高中數學求最大值的方法精選(九篇)

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第1篇：高中數學求最大值的方法范文

關鍵詞：高中數學；解題技巧；解題思維

在新課標的改革中，對學生學習興趣的培養、加強學生的解題能力、加強學生在學習過程中舉一反三的能力越來越受到重視。尤其是在高中數學的學習中，以上各方面的能力培養就顯得更加重要。而能力的培養又非一朝一夕能實現的，這就需要教師不斷督促學生完成能力的培養，在傳授基礎知識的過程中，注重學生應變能力的培養。下面將介紹幾種常用的解題技巧。

一、換元法

在很多求最大值或者最小值的題目中，如果利用尋常的不等式的解法，很難求出一些題目的答案，但是如果轉變思路，利用三角函數換元進行計算，或許能夠使計算過程簡便很多。

如，已知a2+b2=4，x2+y2=9，求ax+by的最大值。

解法如下：由a2+b2=4，可以聯想到（2cosα）2+（2sinα）2=4，因此可設a=2cosα，b=2sinα，由x2+y2=9，可以聯想到（3cosβ）2+（3sinβ）2=9，因此可設x=3cosβ，y=3sinβ.

于是ax+by=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β）≤6。又當α-β=2kπ（k=1，2，3…）時，上式中等號成立，即ax+by的最大值是6。

二、比較系數法

比較系數法也就是教師們經常說的觀察法。在運用這個方法的時候，需要學生的觀察力足夠敏銳，通過觀察恒等式左右兩邊的系數，找出其中的聯系，從而建立若干個方程，將其聯立，從而解出未知數。

三、特殊值法

這是一種比較少用但卻很好用的方法，一般不建議使用。但對于對公式比較敏感的成績較好的學生來說，就是一種比較節省時間的方法。在恒等式中帶入特定的數字，令式子左右相等，從而得到系數間的關系，聯立方程組并求解。

在眾多高中學科中，數學可以說是相當有難度的。為了不使學生在學習過程中由于學習效果不佳而產生逆反心理，教師就要在此過程中注意培養學生良好的思維方式，注重學生對解題技巧的把握，在教學中滲透多角度看問題的思想，讓學生能做到“舉一反三”。此過程中，教師適量地布置習題并及時地進行解答也是很有必要的。教師要積極跟隨時代的要求，積極引導學生養成主動思考的習慣，這是新形勢下對教師提出的考驗。

第2篇：高中數學求最大值的方法范文

【關鍵詞】高中數學；數學分析思想；解題技巧；應用研究

數學分析思想是高中數學解題教學的關鍵，能夠幫助學生合理運用數學知識解決實際問題，逐漸形成完善的認知結構，培養學生數學觀念和創新思維。高中數學的學習離不開解題，而目前很多高中學生只會做題，對題目背后的數學思想和數學方法理解不夠透徹，同一題型盲目套用同一種解題方法，缺乏創新能力。所以，為了提高學生數學能力，培養有創新意識、邏輯思維能力強的人才，必須加強對學生數學分析思想的教育。

一、高中數學解題中運用數學分析思想的意義

（一）開拓學生的思維潛能

通過運用數學分析思想，充分發散思維，靈活運用數學知識，解決引申、變通出來的習題，真正將知識為己所用，從而拓寬學生的解題思路，開發學生的思維潛能，讓學生的思維更靈活，更有創造性。

（二）提高學生的觀察能力

數學學習也需要學生要有較強的觀察能力，數學分析思想能讓學生養成好的觀察習慣，透過數學習題表面，挖掘其中潛藏的數學原理，將理論知識與實踐聯系起來，繼而解決實際問題，認清事物的本質。

（三）提高學生的數學學習效果

在高中數學解題中運用數學分析思想能夠激發出學生學習數學的興趣，有效促進學生解題效率的提升和數學學習效果的進一步提高。

二、數學分析思想在高中數學解題中的實踐運用

高中數學解題常用的數學分析思想有類比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種。

（一）類比與歸納思想

類比與歸納思想是指在解題時通過對比形式或本質相近的事物，從中歸納、總結出共同點，訓練解題技能，是高中數學解題最常用的一種數學思想。函數題計算中運用類比與歸納思想，可以讓學生發現其中隱含的數學規律，避免學生盲目做題。比如題目cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n?sinx/2n），分析題目可以發現，等式的左邊有一定規律，符合2sinx/2cosx/2=sinx，再根據規律進一步分析，發現左邊等式可以變形為2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1，繼續替換、計算后，等式左邊與原等式右邊一樣，都是sinx/（2n?sinx/2n），可以證明出cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n?sinx/2n）。

（二）逆向思維

逆向思維是數學思維中最重要的思維方式之一，適用于題型比較復雜，正面解題困難，運算量較大的題目中。以題目“已知a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，求解c的值”為例，學生在解這道題時往往會通過配方消元的方法來解出c的值，但這道題目含有許多未知元素，用配方消元來解的話需要大量運算，運算過程也相對比較復雜，這時可以運用逆向思維分析題目，提高解題效率。題目中已經有了a，b，c的等量關系，從逆向思考一元二次方程的定義，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，得出方程的解就是a和b，然后再通過韋達定理可以得出a與b的和為1，a與b的積為-c/2，題干中已經給出條件a-b=c，此時就能快速計算出這道題的答案。高中數學題中也比較常遇見這種題型：求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的結果，在計算此類型題目時，一個數一個數的計算既浪費時間，也很容易算錯，而運用逆向思維， 從右到左利用5n-5n-1=5n-1的規律來計算，可以快速得出結果，大大提高做題效率。

（三）化歸思想

化歸思想是指在解題時將一些復雜的、難解決的問題轉化成容易解決的問題，其核心觀點就是化難為易，將未知的問題轉換為已知的。化歸思想最重要的就是如何尋求化歸方法，確定明確化歸目標，以2010年江蘇理科高考數學題“設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，求x3/y4的最大值”為例，直接解題時會發現問題形式不易構造，計算很花時間，所以需要等價轉化，將x3/y4轉換為（x2/y）2?1/xy2，由題目可知，3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，所以1/8≤1/xy2≤1/3，16≤（x2/y）2≤81，可以得出2≤x3/y4≤27，x3/y4的最大值為27。也就是指，化歸思想要將高次轉為低次，多元轉為一元，三維轉向二維，以實現由難到易的轉換。

（四）整體思想

高中數學題經常會整合課本知識，從另一角度考察學生對知識的掌握情況，整體思想就是讓學生立足整體，綜合運用已經學到的知識解決未知問題。比如求tan15°+tan15°tan60°的值，課本沒有直接給出tan15°的值是多少，但根據三角函數公式，可以計算將題目整體變形，計算出答案。

三、總結

高中數學題看似復雜，計算困難，但歸根究底仍是對課本知識的變相考察，這就需要學生充分掌握數學分析思想，并在解題時能綜合運用整體思想、化歸思想、類比與歸納思想、逆向思維等數學分析思想，加快解題速度，提高學習效率。

【⒖嘉南住

[1]麥康玲.數學分析思想在高中數學解題中的應用[J]. 科教文匯（下旬刊），2015.05：110-111

[2]李明銳.數學分析思想在高中數學解題中的應用[J].文理導航（中旬），2016.10：16

第3篇：高中數學求最大值的方法范文

關鍵詞：數形結合；高中數學；選擇題

【中圖分類號】G633.6

高中數學是學生學習數學的重要階段，學生的很多重要基礎都開始在高中的數學學習階段開始掌握，與初中階段的數學學習相比，高中的數學學習對學生的數學思維要求更高，已經脫離了小學、初中階段直來直去的思維方式，開始出現思維方法上的要求，很多高中題型，存在著一題多解的現象，簡便的方法可以讓學生節約答題時間，提高成績，而如何尋找到簡便方法，就牽涉到了數學方法和數學思維，其中，數形結合法就是高中階段學生必須掌握的一種數學方法，也是高中階段考察的重點，尤其是在選擇題中容易出現需要學生特別的掌握。

有效地運用圖形結合法，可使問題由復雜變得簡單，抽象變得具體，進而便于學生們接受和理解[1]

一、以數助形，簡潔直觀

對于一些比較復雜的圖形，若果單純從幾何的方面去考慮，可能繞來繞去，陷入了困境，這時候可以考慮將圖形條件適當的代數化，根據題意要求，把“形”的特征正確的表達成為“數”的性質，進行解題。[2]

例1：（2010全國卷1文數）已知圓 的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么 的最小值為（）

A． B．C． D．

思路解析：如圖所示：設PA=PB=,∠APO= ,則∠APB= ，PO= ， ，

= = = ，令 ，則 ，即 ，由 是實數，所以

， ，解得 或 .故 .此時 .

二、以數轉形，直觀深刻

在處理到代數問題時，并不像面對幾何問題那樣很容易的就想到數形的轉化,若不借助形的輔助往往會事倍功半,陷入題海無法自拔。[3]相反，如果善于借助圖形簡潔直觀的特點，把代數問題轉化成幾何圖形，有助于尋找突破口。

例2：方程 的實根的個數為（）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

畫出 在同一坐標系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10，y=lgx在(0，+∞)內遞增， ，所以 和 的圖象應該有三個交點。

例3. 定義在 上的函數 在 上為增函數，且函數 的圖象的對稱軸為 ，則（）

A. B.

C. D.

解： 的圖象是由 的圖象向左平移2個單位而得到的，又知 的圖象關于直線 （即 軸）對稱，故可推知， 的圖象關于直線 對稱，由 在 上為增函數，可知 在 上為減函數，依此易比較函數值的大小。

實際上，在高中數學里面，經常會遇到關于方程（組）解的個數問題，如果通過正面不好計算，都可以考慮數形結合去求解。

例4. 函數u＝ 的最值是（）．

A. 最大值為2 ，最小值為2 B. 最大值為3 ，最小值為2

C. 最大值為6 ，最小值為3 D. 最大值為10 ，最小值為2

分析：觀察得2t+4+2(6－t)＝16，若設x= ，y= ，則有x2+2y2=16，再令u=x+y則轉化為直線與橢圓的關系問題來解決．

解：令 ＝x,=y, 則x2+2y2=16, x≥0, y≥0, 再設u=x+y, 由于直線與橢圓的交點隨著u的變化而變化，易知，當直線與橢圓相切時截距u取得最大值，過點(0，2 )時，u取得最小值2 ， 解方程組 ，得3x2－4ux+2u2－16=0,

令=0, 解得u=±2 .

所以u的最大值為2 ，最小值為2選A

例5. 已知A（1，1）為橢圓 =1內一點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點

求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值是（）

A.B.

C. D.

解：將原方程化為

，且

令 ，它表示傾角為 的直線系，

令 ，它表示焦點在 軸上，頂點為 的等軸雙曲線在 軸上方的部分，

原方程有解

兩個函數的圖象有交點，由下圖知 或

的取值范圍為 選A

例6：某單位共有員工50名，為了鍛煉員工的身體素質，單位組織員工參加體育活動小組，已知員工每人至少參加一個體育活動項目小組，參加跑步、跳高、羽毛球小組的人數分別為27、26、16，同時參加跑步、跳高小組的9 人，同時參加跑步、羽毛球小組的7 人，同時參加跳高、羽毛球小組的人數為8，問：同時參加跑步、跳高、羽毛球小組的有（ ）人

A.1B.2 C.3D.5

思路解析：本題屬于典型的集合問題，如果單純根據題意里面的數量關系去解答，非常容易出現混亂，但是如果借助于文氏圖，則關系一目了然。

我們用三個圓來表示跑步、跳高、羽毛球小組的人數，分別是A、B、C，通過下圖我們可以觀察的到，三個圓兩兩相交，相交重合的的地方就是表示共同參加活動的人數部分，同時參加跳高、羽毛球小組的人數就是三個圓共同的交集。如果用n表示集合的元素,則有：

n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)=50

即27 +26+16−9−7−8+n(A∩B∩C)=50；故n(A∩B∩C)=5, 同時參加跑步、跳高、羽毛球小組的有5人 選D

結語

數形結合是數學中重要的一種思維方法，通過“數”與“形”，“形”與“數”的互相轉換去解決問題，讓抽象的圖形關系轉化成簡潔明了的代數關系，讓復雜的代數關系轉化成直觀的幾何圖形關系，通過轉化，可以有效地開拓思路，找到簡明的解題思路，

參考文獻：

[1] 宋端坤. 淺談數形結合思想在高中數學解題中的應用[J]. 數學學習與研究, 2013,(21) .

第4篇：高中數學求最大值的方法范文

[關鍵詞]抽象函數 單調性 奇偶性

1 前言

高中數學課程中抽象函數的單調性與奇偶性是非常重要的章節，數學學習中對函數的單調性與奇偶性掌握的要求也越來越高。因此，在學習過程中我們要不斷進行抽象函數的單調性與奇偶性的研究，才能對單調性與奇偶性的掌握更加嫻熟。

2 高中數學抽象函數的單調性與奇偶性的重要性

函數的單調性這一性質學生在初中所學函數中曾經了解過，但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降，而現在要求把它上升到理論的高度，用準確的數學語言去刻畫它。這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的，因此要在概念的形成上重點下功夫。單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，學生在代數論證推理方面的能力是比較弱的，許多學生甚至還搞不清什么是代數證明，也沒有意識到它的重要性，所以單調性的證明自然就是教學中的難點。

3 高中數學抽象函數的單調性與奇偶性學習中存在的問題

3.1 學生沒有掌握數形結合的學習方法。數形結合是一種非常重要的數學學習方法，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。但大部分學生并沒有這種習慣和意識，沒有掌握數形結合的正確方法。而函數的單調性僅依靠學生的想象是難以理解的，沒有這種正確的學習方法會極大地阻礙學生的學習。

3.2 對定義域的理解較為抽象。定義域作為函數中非常重要的一個組成部分，在函數單調性中的作用不可忽視。定義域往往決定了函數的單調性，但學生對定義域的理解較為抽象，沒有深刻領悟到定義域的內涵和其對于函數單調性的重要作用。例如：已知函數f（x2）的定義域為-1≤x≤1，求函數f（x）的定義域。在這種復合函數中，學生難以理解定義域，難以得到正確的答案，也就無法進一步確定函數的單調性。

3.3 奇偶性的判斷。若定義域不對稱，則為非奇非偶函數；若定義域對稱，則有成為奇（偶）函數的可能，到底怎樣，取決于數量關系，f（-x）=±f（x）怎樣成立？若，f（-x）=f（x）成立，則為偶函數；若，f（-x）=-f（x）成立，則為奇函數；若，f（-x）=±f（x）成立，則為既是奇函數也是偶函數；若f（-x）=±f（x）都不成立，則為非奇非偶函數。

4 高中數學抽象函數的單調性與奇偶性的研究

4.1 判斷單調性和奇偶性。

4.1.1 判斷單調性。根據函數的奇偶性、單調性等有關性質，畫出函數的示意圖，以形助數，問題迅速獲解。

例1：如果奇函數f（x）在區間[3，7]上是增函數且有最小值為5，那么f（x）在區間[-7，-3]上是（ ）。

A、增函數且最小值為B、增函數且最大值為

C、減函數且最小值為D、減函數且最大值為

分析：畫出滿足題意的示意圖，易知選B。

4.1.2 判斷奇偶性。根據已知條件，通過恰當的賦值代換，尋求f（x）與，（-x）的關系。

例2：若函數y=f（x）（f（x）≠0）與y=-f（x）的圖象關于原點對稱，判斷：函數y=f（x）是什么函數。

解：設y=f（x）圖象上任意一點為P（x0，y0），y=f（x）與y=-f，（x）的圖象關于原點對稱，P（x0，y0）關于原點的對稱點（-x0，-Y0）在y=f（x）的圖象上，-Y0=-f（-x0） y0=f（-x0），又Y0=-f（x0）f（-x0）=f（x0）。即對于函數定義域上的任意x都有f（-x）=f（x），所以y=f（x）是偶函數。

4.2 求參數范圍。這類參數隱含在抽象函數給出的運算式中，關鍵是利用函數的奇偶性和它在定義域內的增減性，去掉“f’符號，轉化為代數不等式組求解，但要特別注意函數定義域的作用。

4.3 不等式。①解不等式。這類不等式一般需要將常數表示為函數在某點處的函數值，再通過函數的單調性去掉函數符號“f’，轉化為代數不等式求解。②討論不等式的解。求解這類問題利用函數的單調性進行轉化，脫去函數符號。

4.4 比較函數值大小。利用函數的奇偶性、對稱性等性質，將自變量轉化到函數的單調區間內，然后，利用其單調性使問題獲解。

第5篇：高中數學求最大值的方法范文

【關鍵詞】新課標；高中數學；習題教學；探析

數學習題作為數學知識要義、教師教學意圖以及教材目標要求等方面的有效“承載”和生動“代言”，在數學課堂教學進程中占據不可替代的重要地位，并在助推教學進程中發揮著積極顯著的深刻功效。課堂之中的習題教學，表面看似解題思路和方法的探求過程，實際上貫徹著教學的目標要求、滲透著先進的教學理念、體現著教者的教學技能、執行著能力培養的要旨。讓學生在習題教學中提升解決問題的技能，在習題探析中實現能力素養的升華，是新課程改革背景下，高中數學課堂教師習題教學的出發點和落腳點。鑒于上述的認知和感悟，本人現簡要闡述新課標背景下的高中數學習題教學活動的實施。

一、抓住教材知識要義，實施互動式習題教學

教師在數學習題教學進程中的重要目的之一就是鞏固所學數學知識、強化已有數學經驗。具備堅實的數學知識根基、良好的數學知識素養，是學生主體有效認知數學問題、正確解決問題、提高解體技能的重要前提和知識保障。教育運動學認為，教師與學生之間應該是雙向、互動、交流的發展過程，師生只有深入其中、積極配合，才能實現學與教之間的科學融合，有機統一。筆者以為，教師習題教學應成為師與生深入互動、深刻交流的“橋梁”，應成為鞏固強化數學知識素養的重要“階梯”。因此，高中數學教師習題教學，不能好高騖遠，將解題技能培養作為唯一要務，而應該重視基礎工作和要點教學，通過開展師與生之間的深刻互動活動，深入挖掘數學習題中隱含和呈現的數學知識點，及時回顧和復習相關知識點內容，實現問題有效解答和數學知識升華的完美統一。

如“兩條直線位置關系判定”一節課教學中，教師在鞏固練習環節，設置了“已知兩直線l1：x+ysinθ-1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，試求θ的值，使得兩直線平行和垂直”習題，組織高中生開展習題解答活動。教師抓住鞏固練習習題在強化數學知識點方面的積極功效，將復習該節課數學知識點內容作為重要任務之一，引導高中生開展該習題條件及要求的認知和解析活動，高中生通過數學問題條件感知活動，認識到該習題主要考察“對兩條直線的垂直和平行的判定”。此時，教師因勢利導進行相關數學知識點的回頭看活動，組織高中生對已學的“兩條直線的位置關系判定內容以及已知三角函數值求角的大小”等相關數學知識點的要義以及注意事項等方面進行全面深刻的研習和鞏固，并結合問題條件獲取該習題的解題思路。教師針對高中生認知相關知識點的實情進行及時的鞏固和強化補充。在此習題教學進程中，高中生不僅以題為媒，由此及彼，實現對所學知識點的及時鞏固強化，同時還對數學習題解析思路有了深刻認知，效果顯著。

二、注重探究過程指導，實施探究式習題教學

高中數學課程改革實施綱要強調指出：“學科教學的根本出發點和落點是學生主體能力素養的培養，培養學生探究、思維、實踐等方面的數學學習能力，是教師課堂教學的重要任務之一，教學工作者應在教學進程中予以深入貫徹和有效落實。”習題教學作為課堂教學不可或缺的實踐活動之一，就必須將學生主體的動手操作、推理分析等數學活動融入其中，在探究式習題教學中，實現數學解題能力的提升和進步。教師講解高中數學習題，既要重視解題策略傳授，更要強化探究過程教學，有意識的延伸習題思路探知、問題解題方法辨析、數學問題過程展示等環節進程，并讓高中生滲透和參與其中，親身參與、親自探知，成為現場“當事人”，在深入有效探究解析中，實現數學解題能力的錘煉和提升。

問題：已知二次函數f（x）滿足條件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=f（2x），試求出f（x）和f（x）在區間[-1，1]上的最大值和最小值。

高中生分析習題條件，指出：“該問題主要考查關于二次函數在閉區間上的最值運用”。

教師組織高中生結合習題要求，進行合作探究分析活動，高中生探究獲取解題思路：“設f（x）=ax2+bx+c；則f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，求出a，b，c相應的值從而求出f（x）的解析式。要求最小值和最大值，可以對函數進行配方，結合二次函數在閉區間上的單調性分別求出涵數的最值。

教師根據高中生解析思路予以評點，強調指出：“本題主要利用待定系數法求解函數解析式以及最值的求解，要注意所給區間的單調性。”

高中生依據教師指點，補充完善進行解題活動。

三、凸顯評判促進功效，實施反思式習題教學

筆者在平時的習題教學課觀摩中發現，有極少數教師習題講解往往止步于解題方法的規律，而沒有對學生主體在解析習題中的成效予以點評和指導，不利于高中生良好解題方法和習慣的養成和形成。教育學認為，教師的主導作用應通過“導”的活動予以呈現。因此，高中數學教師開展習題教學，要充分利用評價教學所表現出來的指導促進功效，將解題過程評價作為習題教學有效延伸和生動補充，通過評判手段，引導高中生深刻思考解題得失、思路優劣、表現好差，從而促進高中生更加深入的自我反思和深刻剖析，在師與生的共同作用下形成良好解題習慣。

除此之外，高中數學教師開展習題講解，還要利用數學習題發散特性，舉一反三，設置多樣性、發散性的數學習題，引導高中生深入思考研習，錘煉和培養他們的數學綜合應用能力。

【參考文獻】

第6篇：高中數學求最大值的方法范文

關鍵詞：函數；恒成立；轉化；最值

恒成立問題是高中數學的一類重要題型，很多函數問題都需轉化為恒成立的問題才可解決。該類問題有較高的綜合性和靈活性，往往通過一道綜合試題即可全面考查學生靈活運用數學知識、數學思想方法的能力，考查學生數學思維的深刻性和敏捷性。本文將探討解決恒成立問題的如下三種策略：二次函數法――轉化為二次函數圖象的問題（利用數形結合的方法解決）；分離變量法――轉化為求函數的最值；構造函數法――轉化為求含參函數的最值。

一、二次函數法――轉化為二次函數圖象的問題（利用數形結合的方法解決）

二次函數是高中數學中解決函數問題最重要的工具之一，在恒成立問題中，有許多問題本身就是或可以轉化為關于二次函數恒成立問題。所以二次函數恒成立問題是恒成立問題中的一個重點。而解決二次函數恒成立問題的專屬方法是利用數形結合的思想，根據已知畫二次函數圖象列代數式。雖然二次函數恒成立問題作為一類特殊的恒成立問題，也可以用后面總結的方法解決，但該方法體現了重要的數學思想，所以在此將其作為一種方法介紹。

綜上所知，a的取值范圍是[-7，2]。

該方法的核心思想是數形結合，關鍵是根據已知畫出二次函數的圖象，而難點也是根據畫出二次函數的圖象，然后根據圖象一般從開口方向、判別式、對稱軸和特殊點函數值四個方面列式。要正確利用該方法解題，需做好以下兩方面：（1）畫圖一般要分類討論，而在分類時要做到“不重復，不遺漏”，即盡量避免重復，而絕不能少考慮情況；（2）數形結合要做利用好圖的直觀性和數的精確性，即畫圖要有代表性并且相對準確。

二、分離變量法――轉化為求函數的最值

分離變量法是將主變量和參數分離，用主變量表示參數，一般將命題轉化為“在某個區間D上，a≤f（x）或a≥f（x）（其中x為主變量，a為參數）”的形式，從而將問題轉化為“求函數f（x）在區間D上的最大值或最小值”，則a小于等于函數f（x）在區間D上的最小值或a大于等于函數f（x）在區間D上的最大值。例如下題：

三、構造函數法――轉化為求含參函數的最值

構造函數法是通過構造含參函數y=f（x），將命題轉化為“在某個區間D上，f（x）≥0或f（x）≤0”的形式，從而將問題轉化為“求函數f（x）在區間D上的最大值或最小值”，則通過解不等式“最小值大于等于0或最大值小于等于0”求解參數的范圍。

綜上所知，a的取值范圍是（-∞，e）

構造函數法是解決此類問題的一般方法，在高中階段恒成立問題幾乎都可用構造函數法解決，即通過構造含參函數，求其最值，然后解不等式。一般情況下它不如分離參數法簡便，因為求解最值時一般要對參數進行分類討論，操作更為復雜，例如例3，而例3也可用分離參數相對簡便一些。若將第（2）問的條件變為x∈[-1，+∞），則分離參數就不易操作了，所以本方法更具一般性。

第7篇：高中數學求最大值的方法范文

關鍵詞：填空題；解答效率；路徑

一、理論角度詮釋提升高中數學填空題的方法

一般來說解決的方法有：直接法：從問題出發，利用學過的數學定理、公式、定義等，經過問題處理或者知識遷移進行推理計算出問題的答案；特殊化法：在解答的時候就可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值進行解析，這樣也能得到答案。另外，還有一種數形結合思想，就是把含有數學幾何中的問題，依據給出的已知條件畫出相應的圖形，實現問題解答中數中有形，做到以形助數。除上面論述外，還有等價轉化法/構造法和分析法等。

二、提升高中數學填空題解答效率的經典案例探究

經典案例1：如下圖在坐標系中表達的數量關系，A1，A2，B1，B2是■+■=1（a>b>0）這個橢圓的四個頂點，其中圖上點F表示的就是橢圓的右焦點，T點就是A1B2與B1F兩條直線的交點，線段OT與橢圓的交點恰為線段的中點，求離心率（ ）。

對于橢圓來說，高中數學對其考查的內容和形式都是十分頻繁的，并且有的時候會牽扯到其他知識點，這需要學生必須給予重視。針對本案例考查的知識點來說，需要學生對橢圓有一個全面的認知，因為此試題主要考查的內容包括橢圓的基本性質，如頂點、焦點坐標、離心率的計算以及直線的方程等，這就可以運用直接法進行解答。

直線A1B2的方程為：■+■=1；

直線B1F的方程為：■+■=1。

二者聯立解得：T（■，■），

則M（■，■）在橢圓■+■=1（a>b>0）上，

■+■=1，c2+10ac-3a2=0，e2+10e-3=0，

解得：e=2■-5。

經典案例2：若AB=2，AC=■BC，求SABC的最大值。

從題干中可以看出，問題主要考查的知識點就是關于三角形的面積、余弦定理以及函數等，可以說是一道比較具有綜合性的考題。按照常規的解題思維來求解的話，計算量比較大，并且由于給出的數字關系量很難得出正確答案。我們就可以換個角度去思考，選擇轉換值代入法進行解析。高中數學考查的試題當中，如果有的量是未知的或者是不確定的，不是觀察或者找到的，但問題的最終答案又是一個定值的話，不妨采取將變量取一些特殊數值、特殊位置等來處理，這樣就很容易找到問題的切入點來解答問題了。

設BC=x，則AC=■x，

根據面積公式得SABC=■AB?BCsinB=x■，

根據余弦定理得cosB=■=■=■，

代入上式得SABC=x■=■，

由三角形三邊關系有■，

解得2■-2

故當x=2■時，SABC取得最大值2■。

經典案例3：將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=■，則S的最小值是______。

針對高中的復雜填空題，特別是牽扯到一些較為繁雜的三角函數、幾何知識的時候。為了簡化計算過程，可以巧用圖形就行求解，圖形可以很直觀很簡單地呈現問題，然后依據圖形就可以很簡便地得出問題答案了。本題給出的已知條件較少，看上去問題很簡便，但是不易下手，這就可以勾畫相關的圖形來輔助解題。

如圖，ABC是邊長為1的正三角形，EF∥BC，四邊形BCFE為梯形；設AE=x（0

S=■=■ （0

對S（x）求導，令S′（x）=0，聯系0

所以x=■時S（x）有最小值S（■）=■。

經典案例4：已知3f（2x2-1）+2f（1-2x2）=4x2，求f（x）是（ ）

從題目來看，比較復雜，按照傳統的按部就班的思想解題的話，計算量較大并且不易求解。利用化歸思想，就可以化繁為簡，把復雜的問題簡單化，簡易問題的處理方法，從而求解。具體來說，從給出的已知信息來看，可以令2x2-1=y則原式就可以簡單地轉化為3f（y）+2f（-y）=2y+2，再由新條件等式中f（y），f（-y）的特殊關系，再等式以-y代y，會得到另一個關于f（y），f（-y）的等式，最后我們通過解方程組求得f（x）。這樣就可以實現問題的成功轉化，簡化了問題分析和計算的過程。

解：令2x2-1=y，

原式為：3f（y）+2f（-y）=2y+2，

以-y代y

得：3f（-y）+2f（y）=-2y+2，

則■

3×①-2×②，得f（y）=2y+■，

即f（x）=2x+■。

參考文獻：

第8篇：高中數學求最大值的方法范文

一、運用化歸的思想和方法求解數列問題

數列的通項公式、前n項和公式和數列知識應用是整個高中數列解題的核心問題。在數列問題的解題中，求通項公式對解決數列問題來說非常重要。其解題方法多種多樣，其中許多數列問題可以用化歸的思想方法，把問題轉化成等差（比）數列問題進行解決，這樣就能非常方便地進行求解。

例1.把數列問題轉化成等差型數列an-an-1=f（n）形式求通項公式。

已知a1=1，an-an-1=n-1。求：an。

解題分析：對于此類等差型數列，常采用疊加法進行求解。

an-an-1=n-1，a2-a1=1，a3-a2=2，

a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1，an= 。

解題要點：用該方法求通項公式，一是疊加后等式左邊能進行錯項相消，二是等式右邊要能容易求和。

例2.把數列問題轉化成等比型數列 =f（n）形式求通項公式。

已知a1=1， = 求：通項公式an。

解題分析：對于等比型數列求通項公式，一般采用把若干等式的左右兩邊分別相乘的方法，即累乘方法來求通項公式。

= ， = ， = … = 。

把這些等式左右分別相乘可得： = ，an= 。

要求：運用累乘方法求通項公式，要求等式兩邊能夠化簡。

二、運用函數和方程的思想求解數列問題

運用函數的概念與性質對數列問題進行分析轉化，從而使數列問題容易求解；運用方程的思想求解數列問題，就是從數列問題的數量關系出發，把數列問題轉化成方程或不等式的形式來使問題得到解決。運用這兩種方法求解數列問題，要注意挖掘問題中的隱含條件，建立函數解析式和方程式是其解題的重點。

例3.有等差數列an，其前n項之和是Sn，a3=12，S12>0，S13

（1）求公差d的取值范圍；（2）求S1，S2，S3…S12中的最大值，并講出原因。

解題分析：（1）在本題中利用方程（不等式）的思想就比較容易求解問題，通過利用通項公式an和前n項和公式Sn來構建不等式就能方便求出公差的范圍。（2）對于在數列問題中求前n項和的最大值問題，利用函數的思想和方法，把Sn的表達式轉化成二次函數，這樣問題就變成求函數的最值問題，此題就容易解

決了。

解題思路：（1）a3=a1+2d，可求出a1=12-2d，S12=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，S13=13a1+78d=13（12-2d）+78d=156+52d0156+52d

（2）求Sn的函數表達式，Sn=na1+ n（n-1）d=n（12-2d）+ n（n-1）d= n- （5- ）2- （5- ）2，d

對于本題還可以換另一種思路來求解，即通過求出an>0，an+1a3>…>a13，根據S13=13a70，可得出S6的值最大。

三、運用數學歸納法求解數列問題

數學歸納法也是求解數列問題的常用基本方法之一，運用歸納法其關鍵是要證明n=k+1時命題成立，該方法也是由遞推來進行歸納的解題方法。

例4.假設有an= + + +…+ ，n∈N

證明： n（n+1）

解題分析：此題和自然數n相關，可運用數學歸納法求解證明。當n=1容易求證，重點在于求n=k+1時，ak+1=ak+ 式子成立，因此，在n=k的式子中加入 ，再與所證明的結論進行比較來求解。根據歸納法的步驟，其求解思路如下：

當n=1時，an= ， n（n+1）= ， （n+1）2=2，n=1時結論成立。

假設n=k時結論成立，即有， k（k+1）

當n=k+1時，只要證明下式成立即可：

k（k+1）+

可先證明結論左邊式子： k（k+1）+ > k（k+1）+（k+1）= （k+1）（k+3）> （k+1）（k+2）。

再證明結論右邊式子： （k+1）2+ = （k+1）2+ < （k+1）2+（k+ ）= （k+2）2。

（k+1）（k+2）

第9篇：高中數學求最大值的方法范文

關鍵詞： 平面向量 常規解法 高中數學教學

平面向量是高中數學的重要內容，是解決數學問題的很好的工具，是聯系代數與幾何的橋梁，是江蘇高考的必考內容，其中向量的數量積還是高考的C級要求，同時也是學生比較感興趣而又有一定難度的一類問題.那么向量問題有哪些常規解法呢？我結合教學體會小結如下.

一、合理拆分法

例1：已知O為ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點，則■?■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分為■+■，然后根據外心定義及一個向量■在■與■上的投影即可解決.答案為5.

例2：在平面上，■■■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|

分析：只要把已知向量與所求向量轉化成以O點為起點的向量即可解決問題.

解：■■■■，

■■?■■=（■■-■）?（■■-■）=■■?■■-■■?■-■?■■+■■=0，

■■?■■-■■?■-■?■■=-■■.

■=■■+■■.

■-■=■■-■+■■-■，

■=■■+■■-■.

|■■|=|■■|=1，

■■=1+1+■■+2（■■?■■-■■?■-■■?■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

|■|

■

二、數形結合，建立坐標系法

例3：

如圖，若a=■，b=■，a與b夾角為120°，|a|=|b|=1，點P是以O為圓心的圓弧■上一動點，設■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立適當的坐標系可以把向量的運算轉化成坐標運算.

解：以O為原點，OD為x軸建立直角坐標系，

則D（1，0），E（-■，■）.

設∠POD=α（0≤α≤■），則P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當α=■時，x+y的最大值為2.

利用向量的坐標運算解題，主要就是根據相等向量坐標相同這一原則，通過列方程（組）進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終點坐標，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標.

三、兩邊平方或同時點乘同一個向量法

例3的解法二：設∠POD=α（0≤α≤■），由■?■=x■?■+y■?■，■?■=x■?■+y■?■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當α=■時，x+y的最大值為2.

例4：（2013?湖南改編）已知a，b是單位向量，a?b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是？搖 ？搖.

分析：對條件|c-a-b|=1兩邊平方，這樣可以很順利地打開解題思路，

解：a?b=0，且a，b是單位向量，|a|=|b|=1.

又|c-a-b|■=c■-2c?（a+b）+2a?b+a■+b■=1，

2c?（a+b）=c■+1.

|a|=|b|=1且a?b=0，|a+b|=■，

c■+1=2■|c|cosθ（θ是c與a+b的夾角）.

又-1≤cosθ≤1，0

c■-2■|c|+1≤0，

■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的證明就是用的兩邊同時點乘一個向量的方法，余弦定理的證明就是用的兩邊平方法，兩種證法參見蘇教版必修五課本.

四、基底法（運用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012?湖州模擬）如圖，在ABC中，D為BC的中點，G為AD的中點，過點G任作一直線MN分別交AB，AC于M，N兩點，若■=x■，■=y■，試問：■+■是否為定值？請證明你的結論.

分析：以不共線的兩個向量■、■為一組基底，把其他向量用這個基底線性表示.

解：■+■為定值，證明如下：

設■=a，■=b，則■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因為■與■共線，所以存在實數λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因為a與b不共線，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4為定值.

方法總結：

1.如果題目中已知兩個不共線的向量的模與夾角，一般都是以這兩個不共線的向量為一組基底，其他向量用它線性表示，這樣問題就可得以解決.

2.平行向量定理的條件和結論是充要條件關系，既可以證明向量共線，又可以由向量共線求參數.利用兩向量共線證明三點共線要強調有一個公共點.

3.對于向量的線性運算，不但要掌握幾何法則，還要掌握坐標運算法則，使二者有機結合.

參考文獻：

[1]江蘇省考試說明.