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1合情推理─《課標》的新亮點
在新課程標準下，《課標》提出了讓學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明”等數學活動的過程，發展合情推理和初步的演繹推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點。這標志著數學教育理念的一次轉變，合情推理得到了應有的重視。
2合情推理的概述
2.1合情推理的界定
根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理。關于合情推理的涵義說法很多，但仔細分析，可分為兩類：一類從邏輯學的角度出發，認為合情推理是根據已知判斷提出新的判斷的思維形式，推理有兩種：論證推理與合情推理，前者回答如何證明定理的問題，后者回答如何發現定理的問題。合情推理主要包括歸納推理與類比推理，將它稱為狹義的合情推理。從數學教育的角度講，廣義的合情推理的涵義更合適。廣義的涵義是指，合情推理就是人們根據已有的認識經驗（即原有的認知結構），在某種情境和過程中，運用觀察，歸納，聯想，直覺等演繹的（或非完全演繹的）思維形式，推出關于客體的合乎情理的認知過程。
2.2合情推理與演繹推理的關系
思維科學把思維分為邏輯思維、形象思維和直覺思維三種形式，其中邏輯思維的主要形式是演繹推理，而形象思維和直覺思維的手段是合情推理。
具體地說，有以下幾點：
①從功能上講，演繹推理回答如何證明定理的問題，是論證手段；而合情推理回答如何發現定理的問題，是發現工具。
②從特征上講，演繹推理是可靠的，無可質疑的和終決的；而合情推理推出的結論的正確性是有待于進一步證明的。
③從階段上講，演繹推理是合情推理的升華，合情推理是演繹推理的前奏。
2.3合情推理的主要形式
合情推理主要包括歸納推理，類比推理，統計推理，也包括一些一般的方法如：特殊化與一般化、觀察、猜想、聯想、直覺等形式。
首先讓學生體驗探索過程，引導學生觀察分析，從中尋找規律，進而進行猜想，并用數學歸納法進行證明，這樣的教學處理，則合情推理的思想方法就滲透其中了，思維的探索品質也得到了培養。
這樣的過程，是一個經歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，既有合情推理又有演繹推理的過程。
3合情推理的重要作用
3.1 合情推理有利于培養學生的探索，創新精神
《新課程標準》在解決問題的目標中提出：“形成解決問題的一些基本方法，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力和創造精神。”探索是思維品質的重要方面，也是進行創新的重要方法，而合情推理的實質是“發現”，也就是發現新的關系，新的規律和新的方法等。在數學學習活動中，合情推理除了具有發現數學命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數學事實和規律，擴展認識領域，促進知識的掌握和遷移，啟迪思維和發展數學能力的重要方法和手段。
因此，沒有合情推理就不可能有所發展，有所創新。合情推理是發展和培養創新能力的基礎和必要條件。
3.2 合情推理有利于學生學習方式的轉變
《新課程標準》認為：“有效的數學學習活動不能單純依賴模仿和記憶，動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式，數學學習過程應當充滿著觀察、實驗、模擬、推斷等探索性與挑戰性活動。”
數學學習活動是一種知識與經驗、方法與策略、想象與猜想等多種思維活動參與的創造性勞動，傳統的數學課程內容“重結果，輕過程；重證明，輕猜想。”而理解一個數學命題，不是靠傳授和模仿，而是在學生自主參與的推理活動中“領悟”出來的，這是一個體驗、探索的“再創造”的過程。現代教學論從數學發現出發，重視概念的形成過程，結論定理的發現過程，解題思路的產生過程，這些過程性的教學原則都離不開合情推理的認知過程，而且，經歷這種“過程”不僅有助于學生學習和掌握知識，還有利于培養學生對數學的興趣和優良的思維品質。
3.3合情推理體現了明顯的過程性
關鍵詞：數學教學 培養 推理能力
長期來，中學數學教學一強調教學的嚴謹性，過分染邏輯推理的重要性而忽視了生活潑的合情推理，使人們誤認數學就是一門純粹的演繹科學，事實上，數學展史中的每一個重要發現，除演繹推理外合情推理也起重要作用，哥德巴赫猜想、費爾馬定理、四色問題等的發，其他學科一些重大發現也是科學家通過合推理、提出猜想、說和假設，再經過演繹推理或實得到的，如牛頓通過蘋果落地產生靈感，經過合情推理，出萬有引力的猜想，后通過庫侖的紐秤實驗實，海王星的發現是合情推理的典范，合情推理與演繹推是相輔相成的，波亞等數學教育家認為，演繹推理是定的，可靠的；合情推理則帶一定的風險性，而在學中合情推理的應用與演繹推一樣廣泛，格的數學推理以演繹推理為礎，而數學結論的得出及其明過程是靠合情推理才以發現的，因此，我們不僅要養學生演繹推理能力，且要培養學生合情理能力，《標準》要求生“能通過觀察、實驗、歸納、比等獲得數學猜想并進一步尋求證據、給出證或舉出反例，”也就是要求學在獲得數學結論時要經歷合情理到演繹推理的過程，合情推理的實是“發現—猜想”因而關注合情推理能力的培養有助發展學生的創新精神，當然由合情推理得到的猜，需要通過演繹推理給出證明舉出反例否定，合推理的條件與結論之間是以想與聯想作為橋梁的，直覺思是猜想與聯想的思維基礎，培養學生善合情推理的思維習慣是形成數直覺，發展數學思維，獲數學發現的基本素質，因此在數學學中，既要強調思維嚴密性，結果的正確性，也要視思維的直覺探索性和發現性即應重視數學合情推理的合理和必要性，充分揮課堂教學的作用，漸進而序地培養數學合情推理能力，提學生素質，促進學生健康全面地發展。
數家波利亞說過：數學可以作是一門證明的科學，但這只一個方面，完成了數理論。用最終形式表示來。像是僅僅由證明構成的純證明性。嚴格的摘要隨著教育改革全面推進，新教材糾正了教材那種過分強調推理的謹性，以及渲染邏輯推理的重要，而是提出了新的觀“合理推理”是新教材的一大特。本文就新形勢下初中數學教學中學生推理能力的養做了探索。
針對中學生培養數學推理應以演繹理為基礎，而數學結論的出及其證明過程是靠合情推才得以發現的。那么是合情推理呢？它是由個或幾個已知判斷推出另一個未判斷的思維形式，合推理是根據已有的知識和經驗，在種情境和過程中推過能性結論的推理合情推理就是一種合乎情理推理，主要包括觀察、較、不完全歸納、比、猜想、估算、聯、自覺、頓悟，靈感思維形式。合理推理所得結果是具有偶然性，但不是完全憑空想象它是根據一定的知識和法，做出的探索性的判斷因而在平時的課堂學中培養學生的合情推理是一個值深思的課題。
當今教育改正在全面推進。培養學生的新意識和創新能力是大家公認新教改的宗旨。合情推理是培創新能力的一種手段和過程。人們為數學是一門純粹的演繹科學，難免太偏見了，忽視了合情推理。情推理和演繹推理相互相成的。在證明一個定理前，先得猜想。
現一個命題的內容，在完全作出明之前，先得不斷檢驗，完，修改所提出的猜想還得推測證明的思。合情推理的實質：”發現到猜想”牛頓早就說過；”沒有大膽猜想就沒有偉大的發現。”名的數學教育家波利亞早在1953年就提：”讓我們教猜測吧？’先測后證這是大多數的發現之”。因此在數學學習中也要重維的直覺探索性和現性，即應重視數學合情理能力的培養。數學中合推理能力大致分為以下三個面內容：
一、恰當創設情境
引導學生觀察合情推并非盲目的、漫無際的胡亂猜想，它是數學中某些已知事實為基，通過選擇恰當的材料創情境，引導學生觀察，Euler曾說過：“學這門科學，需要觀察，還需實驗，”觀察是人們識客觀世界的門戶，察可以調動學生的各感官，在已有知識的基礎產生聯想，通過觀察可以減少猜想的盲性，同觀察力也是人的一種重要力，以在教學中要給學生必要時間和空間進行觀察，培養良好的察習慣，提高觀察力發展合理推理能力。
例，把20，21，22，23，24，25這六個數別放在六個圓圈里，使這個角形每邊上的三個數和相等。通過觀察圖形以及六個數后，我們應該想到，較大幾個數或較小的幾個數不能同時三角形的某一邊上否則其和就會太大或太小，也是說，可以把較小三個數分別放在三個頂點上再把三個較大的數放在相的對邊上。
二、精心設計實驗
激發學生維Gauss曾提到過，他的許多定都是靠實驗、歸納法發現的，明只是補充的手段，在數學教學中正確地恰到好處地應用數學實驗，是當前實施素質教育的需要，著名的數學教育家GeorgePolya曾出：“數學有兩個側面，一方是歐幾里得式的嚴謹科，從這方面看，數學像一門系統的演繹科學；但是另一面，在創造過程中的學更像是一門實驗性的歸納科”，從這一點上講，數學實驗對激學生的創新思維有著不可低估的用。
三、仔細設計問題
【關鍵詞】合情推理；合情推理能力；培養
合情推理一詞來自于波利亞的P1ausible reasoning被翻譯成過“合情推理”“似真推理”“似然推理”等.《義務教育數學課程標準（2011年版）》中認為：推理能力一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果，合情推理用于探索思路，提高中學生合情推理能力對于培養中學生數學能力具有重要意義，筆者主要從以下幾個方面給出培養中學生數學合情推理能力的建議。
一、培養學生數學興趣，提高合情推理能力
在數學教學過程之中，應重視學生在合情推理方面的興趣，教師授課之中，可根據需要穿插部分數學家的故事，闡釋數學定理和規律的發現歷史，從而增強學生對于數學學習的興趣，提高學習熱情，不僅如此教師還要關注學生的學習態度，當學生作業不認真完成時，應給予及時反饋，當學生在課堂上走神時，教師應及時提醒，充分地調動課堂氣氛，使學生在課堂中積極思考，進而達到鍛煉思維目的。
二、傳授數學思想方法，提高合情推理能力
數學思想方法是影響初中生合情推理能力的主要因素.史寧中認為數學思想的實質在于三方面：抽象、推理和模型.他從哲學的視角，通過形象的數學實例解釋了上述三方面的意義，數學思想方法是數學的核心所在，傳授知識的內容，莫不如向學生傳遞學習知識的技巧，初中數學學習中較常用的數學思想方法有：等量替換法、數形結合法和分類討論等一系列的方法。所以，教師在日常教學過程之中應該將數學思想做成對應的專題，利用分類的方式向初中學生講授，從而增強學生合情推理的實際水平。
例如在講授“有理數”時可以給學生講授奇數一般用2n+1或2n一1表示，偶數可以用2n表示等等。
三、加強解題策略訓練，提高合情推理能力
教師對W生進行解題訓練過程中，應關注一題多解、反證法、逆向思維法等推理方法，從而促進學生找到適合自己的、最簡單的、最易想到的解題策略，推理方法。
例如，若一道題目由條件難以得到答案，則可引導學生從結論出發來逐步得到對應的答案.使學生養成勤于思考的習慣，例如思考變換題目中的條件，結論是否成立等問題。
四、提高學生在解題中的自我監控能力
研究表明學生的自我監控能力與思維品質、數學學業成業均成顯著正相關.因此培養初中生的自我監控能力可以提高學生的合情推理能力，波利亞在《怎樣解題――數學思維的新方法》一書中，詳述了解題步驟，他認為解題分為四步：理解題目制定方案執行方案回顧，在每個大步驟中又給出了具體的說明，教師應在平時的教學過程中給予解題指導，發現錯誤及時糾正，及時調整計劃，教師還可以訓練學生的出聲思維以達到提高學生在解題過程中自我監控的能力。
例如，學生解完一道題，教師可以讓學生說出自己解這道題時怎么想的和具體的推理思路。
五、提高學生的演繹推理能力
初中數學增強合情推理的比重，會導致演繹推理的降低.為避免學生在解題之中盲目地猜測，提高學生思維的邏輯性和嚴謹性，有必要加強對學生演繹推理的訓練.如果說合情推理是靈感的火花，那么演繹推理就是驗證真理正確的途徑.因此在提高學生推理能力的過程中，注意演繹推理與合情推理互補，使合情推理與演繹推理相輔相成，才能真正使學生的推理能力更好地發展。
六、培養學生數學直覺。提高合情推理能力
數學創造性和猜想緊密相關，而猜想和直覺思維又有著緊密的關系，合情推理存在著內在的邏輯性，直覺思維存在著相應的非邏輯性，邏輯思維和非邏輯思維對學生的合情推理能力的發展是相輔相成的、互相促進的.古往今來，科學家們往往在人文方面有著很高的造詣，數學的發現，往往對美感的追求和哲學思辨是密切聯系的，因此家庭要提供一些可供學生人文素養提升的相關條件，學校教育應能開設一些人文性質的講座、活動等.數學教師應給予學生推薦一些提高科學素養的書籍，供學生暑假、寒假閱讀。
七、通過合作學習促進中學生合情推理能力的發展
【關鍵詞】數學課程標準 培養 數學推理能力 一題多解 多元化 合情猜想
How to teach students to learn mathematics reasoning
Tan Guangxin
【Abstract】The purpose of cultivating students’ reasoning ability is to improve students’ ability to analyze and solve problems, which is the main direction and task of the mathematics education and also the diathesis that students must have for following the society and being established in the society. Therefore, teachers must make use of all possible chances to create all possible conditions to make all students have the mathematics reasoning ability through their autonomic learning.
【Keywords】Mathematics standard Cultivation Mathematics reasoning ability One question with more than one solution Many entity Fair and reasonable guess
《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）在“總體目標”中指出：學生通過義務教育階段的數學學習，“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。”培養學生的推理能力，旨在提高學生分析和解決問題的能力，這是數學教育的重要目標和任務，也是學生適應社會、立足社會的必備素質。因此，在數學教學中培養推理能力，不僅是數學本身發展的需要，也是數學教學目標和素質教育的要求。
1．《標準》中關于推理能力的論述。在日常生活、學習和工作中，人們經常要對各種各樣的事物進行判斷，判斷事物的對與錯、是與非、可能與不可能等。判斷是“對事物的情況有所斷定的思維形式”。“由一個或幾個已知判斷推出另一個未知判斷的思維形式”叫做推理。推理有演繹推理、歸納推理、類比推理等等形式。合情推理是根據已有的知識和經驗，在某種情境過程中推出可能性結論的推理，歸納推理、類比推理和統計推理是合情推理的3種重要形式。演繹推理的前提和結論間具有蘊涵關系，是必然性推理，三段論是演繹推理的一種主要形式。長期以來，數學教學注重采用“形式化”的方式來發展學生的演繹推理能力，忽視了合情推理能力的培養。事實上，數學需要演繹推理，更需要合情推理。科學結論的發現往往發端于對事物的觀察、比較、歸納、類比……即通過合情推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤。因此，演繹推理和合情推理是既有區別又相輔相成的兩種推理形式。
《標準》對推理能力的主要表現做了如下闡述：“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例。”這就是說，學生獲得數學結論應當經歷合情推理――演繹推理的過程，合情推理的實質是“發現”，因而關注合情推理能力的培養有助于發展學生的創新精神。當然，由合情推理得到的猜想常常需要證實，這就是通過演繹推理給出證明或舉出反例。《標準》中對一些公式、法則、定理，也提出了相應的論證要求。
2．數學推理能力的培養。邏輯推理是指按照規律，由已知條件出發，逐步分析推導，最后獲得合乎邏輯的正確答案或合理的結論。它注重的是已知條件、事物間的聯系及原有知識的儲備等，強調的是步步為營、依次推進。從這個角度來說，邏輯推理是“微觀”方面的。在數學教學中，合情推理是一種有一定數學根據的探索性的判斷過程。在這個過程中可暫時忽略問題的某些條件，在整體上通過觀察、比較、直覺、類比、聯想去發現問題，直到問題解決。從這個角度上來說，合情推理過程既是宏觀方面的推理過程，也是學生發現、探索、創新的過程。發散性思維是創新活動必需的思維品質。因此，要培養學生的合情推理能力，首先必須培養學生的發散性思維能力。
心理學認為，發散性思維是把思考總體的信息朝各種可能的方向擴散，沿不同的方向思考問題，尋求作出合乎條件的各種解答。由于受傳統教學模式的影響，在學生思維活動中，收斂性思維占主導地位，特別是解題時學生往往滿足于教師所講的解題方法，而不善于探求其他的解題方法，這種思維習慣往往會限制思維活動，導致思維能力發展的遲緩。因此，教師在教學活動中必須給學生提供探索、交流的空間，要為學生創設良好的思維情境。
2．1 一題多解。通過一題多解的訓練，使學生自主開闊數學思維的廣度，從多角度、全方位審視數學問題，并逐步優化數學解題中的推理模式。
在這3種解法中，第①種解法是最基本的，也是學生最容易想到的，通過求出m的值再求式子的結果。但很常規，而且計算量大，容易因為粗心大意導致錯誤；第②種方法通過變形求值，但這種變形很巧妙，沒有經過對題目細致的觀察、分析、判斷、思考是很難想到的；第③種解法挖掘了m的內涵，m與 是方程 的兩根，并與韋達定理進行了聯系，這也體現了思維的發散性。三種解法運算量一種比一種小，所蘊涵的數學知識卻越來越多，而數學推理強度也一種比一種高。
對學生的多種解法，教師除了要比較各自的優劣外，也應允許學生犯錯誤，更要鼓勵其探索的精神，這樣才能激發學生自主學習、探求問題的興趣，這樣能讓學生體會到最佳解題方法的思維規律，使學生發散性思維能力的培養貫穿于整個學習過程中。
2．2 載體“單一化”向“多元化”改變。一般認為，學生推理能力的培養基本上依賴于代數，實際上，推理能力更應該是全面的甚至是超越數學學科的能力。教師要為學生提供自主探索、合作交流的時間和空間，要設置現實的、有意義的、富有挑戰性的問題，引導學生參與“過程”的探索。如果說例1體現了“一題多解”，那么下面的例2則體現了“一題多變”、“一題多用”。
例2、求證：順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形。
分析：如圖l，連接AC可利用中位線定理得出HG EF，因而四邊形EFGH是平行四邊形，這一證明過程就是演繹推理的過程。
然后提出：你能否將題中的“四邊形”條件改為其它條件，從而得到新的數學問題呢？
學生探討后可以得到。教師再問：若改為特殊四邊形，即為平行四邊形、矩形、正方形、菱形、梯形時，順次連接各邊的中點得到什么圖形呢？
可讓學生作圖、測量、猜測，最后，讓學生講講
所猜測的結論成立的理由。這樣的過程，是一個經歷
觀測、實驗、類比、猜想的過程，即既有合情推理又有演繹推理的過程。
2．3 鼓勵合情猜想。從前文可知，數學直覺是數學發現的最常見的途徑，數學推理能力是在猜想與證明的不斷沖突中形成和成型，我們要鼓勵學生對問題進行合情猜想。
例3、給出下列算式：
32－12＝8＝8×1
52－32＝16＝8×2
72－52＝24＝8×3
92－72＝32＝8×4
……
觀察上面一系列等式，你能發現什么規律？用代數式來表示這個規律。
要解答這道題，學生必須對具體算式進行觀察，然后進行合情猜想（歸納）：兩個相鄰的奇數的平方差是8的倍數，然后用數學符號表達，設n為正整數，則相鄰的兩個奇數為2n－l和2n+1，用代數式表示為 。這樣的題目多得不勝枚舉。教師在平時應多廣泛閱讀各種書籍和期刊，收集一些典型的題目，拿到課堂或課外讓學生練習，這也是訓練、培養他們合情推理能力的一種途徑。
數學推理能力的培養是數學課堂教學的需要，也是學生數學素養形成的需要，它對于學生科學思維方式的養成和創新能力的提高有著重要的意義。我們要利用一切可能的時機、創造一切可能的條件，使所有學生都通過自主學習來培養數學推理能力。
一、以合情推理為主色調，培養歸納推理能力
反思傳統教學，對學生推理能力的培養往往被認為就是加強邏輯證明的訓練，主要形式就是通過演練以掌握更多的證明技巧，這樣的認識是有局限性的。《義務教育數學課程標準（2011）》強調通過多樣化的活動來培養學生的推理能力，在第二學段中提出“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理”。本課，教者在培養學生合情推理能力方面，做了一定的嘗試。
（一）巧設情境，為合情推理“鋪陳”
課始，教者展示情境：“在波濤洶涌的大海上，有一艘輪船發生了故障，它不能行駛也不能發出任何求救信號。在這萬分危險的時刻，好在大海中有一座燈塔，燈塔上有一位觀察員發現了這一險情。大家想一想，觀察員會怎么做？”隨著問題給出并給予一定的時間，學生們充分調動自己的生活經驗，設身處地想辦法：“我覺得觀察員需要先弄清這艘船的準確位置，然后報告給救援船，讓他們前去開展救援”“作為燈塔上的觀察員，要首先確定一下故障船的位置，然后把他觀察到的位置報告給救援船隊”。在此基礎上，教者再進行角色的重新調整：“說得好！觀察員自己勢單力薄，他不可能自己去援救，必須呼救，而呼救時必須要報出故障船所在位置，救援船才能準確地進行施救。現在每位同學就假設自己是這個救援船的船長，請你根據燈塔上觀察員的話音提示在地圖上尋找故障船所在的位置。”
在“類真實”的情境中，學生的興趣被充分激活，潛在的使命感、責任感被催生，這樣的學習既有意義又有趣。
（二）厚積素材，為合情推理“描摹”
合情推理不可能憑空而至，必須有豐富的素材做支撐，素材的質和量直接決定推理的成效。
在這一階段，教者一共設計并播放了三段模擬語音信息：“距燈塔15千米”“30°”“北偏東”，每次都給學生以充裕的時間，分別讓其在地圖上尋找并描點，調動生活經驗，激活數學思維，為推理的展開、數學本質的感悟、數學結論的歸納提供了最大的幫助，這才是教學所應該起到的最上乘的“中介”作用。
播放第一條語音信息“距燈塔15千米”后，引導學生找到故障船可能的位置，即船可能的位置形成了一個以燈塔為圓心、5厘米長為半徑的圓。然后播放第二條語音信息“30°”，引導學生尋找船可能的位置。學生的思路被充分打開，在地圖上表達自己的理解。在認可合理想法的基礎上，引導學生聚焦大多數學生的思路，理解并形成“共有8種可能”的共識。隨后播放第三條語音信息“北偏東”，并形成一條完整的關于方向的信息“北偏東30°”。因為理解的不同，催生了較強烈的認知沖突：“X和Y都對”“只有X點是對的”“只有Y點是對的”。繞三種想法讓學生自由表達觀點，在暢所欲言的氛圍和你來我往的辯論中，逐漸形成“X點應描述成北偏東30°，而Y點則應描述成東偏北30°”，“北偏東”是以北為基準，而“東偏北”是以東為基準。（圖1）
（三）對比提煉，為合情推理“著色”
討論：“Y點在生活中可以描述成東偏北30°，但科學上并不規范，那究竟怎樣描述才是科學、規范的呢？”“為什么在地理學中規定以南北方向為基準呢？”，在充分尊重學生個性理解的基礎上通過“小貼示”呈現的方式提供科學原理和相關規定。（圖2）
讓學生明晰“在地圖上，一個點的方位，如果不在東、南、西、北正方向，一般用北偏東、北偏西、南偏西、南偏東四個方位詞來描述”的規定性。引導學生明白，故障船所在位置應該是X點，而Y點所在的位置應從生活化描述“東偏北30°”調整為“北偏東60°”。進一步組織學生、回顧反思，對學習過程進行“數學化”回應，讓學生明白：今天所學的確定位置就是要根據三個條件，即方位、角度、距離來進行，三個條件缺一不可。
在這部分的教學中，依次通過給學生提供必要的信息條件，鼓勵他們大膽猜想，并自主探索這艘故障船的可能位置。隨著已知信息量的增加，學生逐步縮小推測的范圍，直至最后成功確定了故障船的位置。教者把根據信息確定位置的學習任務交給學生，讓他們借助已有經驗背景中諸如方向、距離、位置、比例尺等相關知識及方法儲備，在“如何確定故障船只的位置”這一頗具挑戰性的大問題上，學生在獨立思考與學習共同體共同探討的基礎上，有效調動原有的經驗和方法，從而建構起屬于自己的認識路徑，同時，也有效地養成了一定的合情推理能力。
二、以演繹推理為輔色調，培養數學應用能力
在新知明晰之后，教者精心設計了“描述救援船的位置”的練習，層層遞進，在鞏固已有新知的基礎上，著力培養學生的應用意識和演繹推理能力。
如果說“B船在哪里”是基本方法的訓練，那么“C船在哪里”的追問，則起到一定的變式作用，有效強化“以南北方向為基準”的知識本質，引導學生自覺把常犯的錯誤“南偏東65°”或“東偏南65°”調整到“南偏東25°”上來。
而對“D船在哪里”的研究是此環節的匠心獨具之處。先出示第一條信息“燈塔南偏西方向”，讓學生明白，如果只有這一條信息，只能確定目標船所在一個“面”；增加信息后變成“南偏西45°”，讓學生思考、嘗試后，學生的意識更加聚焦，這時已經能從“面”中找到目標船所在“線”了；最后，呈現完整信息“燈塔南偏西45°方向12千米”，這時學生的數學意識完全打開，心領神會地在地圖上找到D船所在的“點”。（圖3）
先生說科學研究的基本方法是“大膽猜想，小心求證”。教者帶領學生質疑并驗證“確定位置的三個必要條件”的教學環節，無疑是觸摸數學本質的“再往前跨一步”。如同寫作中講究“丹青難描是精神”，對關鍵素材要深描細寫，通過盡可能多的細節之處，突出表現人物的“精神氣質”，故事的“情感意蘊”，這便是“詳寫一筆”的價值所在。教者在課堂上的“詳寫一筆”采用連續的追問，讓學生剛剛建立起的對“確定位置”的認知經受考驗。當教者抽絲剝繭般引導學生認識到“確定位置”的過程本質其實就是“由面到線，再到點”的目標精確的過程，相信一定可以給學生帶來視覺、思維乃至心靈的震撼。
這一“得意之作”，引領我們審視一個重要的教學理念：演繹推理教學中的靈魂與核心究竟在哪里？答案顯而易見：在數學教學中，我們最應該關注的是引導學生準確把握數學知識的本質，并促進學生對數學方法的思考；數學教學的高明之處在于既要能“遇河搭橋”，更要能“過河拆橋”，即在關鍵時刻要善于想辦法讓學生擺脫“具體情境”的干擾和依附，變操作技能為心智技能。
三、以辯證施教為調色盤，培養綜合推理能力
如何處理好歸納推理與演繹推理教學的關系？史寧中教授說得好：“多年來，我國基礎教育重在學生思維能力的培養上，而弱于歸納能力的訓練，給創新型人才的培養帶來了嚴重的障礙，所以，我們應更為關注對學生歸納推理能力的培養。”
誠哉斯言，在平時教學中，在大力倡導“合情推理教學”的當下，我們要防止一哄而上，一刀切、“運動式”的教學改革。
一、提問是創新的開始
通過適時提問題，提好問題，給學生示范提問的方法，使他們領悟和發現提出問題的藝術，引導他們更加主動地學，富有探索性地學，逐步培養學生的問題意識，孕育創新精神。
例如，每一節的開篇盡量都以問題開始。以“觀察”“思考”“探究”等欄目明確提出問題，引導學生的數學活動，使他們認真觀察具體實例中反映的數量關系或幾何特征，積極主動地開展實驗與猜想，歸納與推理的活動，思考問題的本質，探究解決問題的方法，使學生通過自己的探索思維來概括熟悉概念，獲得數學結論，多方尋求答案，解決疑問，領悟數學思想，理解數學本質。
二、學起于思，思源于疑
學生有了疑問才會進一步思考問題，才會有所發展，有所創造。在傳統教學中，學生少主動參與，多被動接受；少自我意識，多依附性。學生束縛在教師、教材、課堂的圈子中，不敢越雷池半步，其創造性、個性受到壓抑和遏制。因此，在新課改中提出“學生是教學的主人，教是為學生服務的”，通過設置具體的問題，使學生在課前積極地投入到預習中去，針對問題，分析答疑，對于難度稍大的問題，分組進行合作探究，集思廣益，充分調動學生的積極性和主觀能動性，使每個學生都參與到課堂中去，讓學生真正成為課堂的主人。
三、問題式教學需要注意的幾個方面
（一）全面了解學生，把握好教材
問題的設計是建立在了解學情，把握好教材的基礎之上的，根據學情緊扣教學目的，將學習的重、難點分層設計成問題，從而激發學生的求知欲，問題的設計要在學生已經具備的基礎知識的基礎上誘導學生主動思考或用動手操作的方式取得問題的答案。
（二）問題的設計要有啟發性
數學是思維的科學，思維從對問題的驚訝開始。首先要給學生思考的時間，不過思考時間的長短，是與問題的難易程度和學生實際水平密切相關的，更與教師設計問題是否具有啟發性有關，要讓學生短時間內回答正確，教師要做是適當的啟發引導。而啟發引導要遵循學生思維的規律，因勢利導，循序漸進，不要強制學生按照教師提出的方法和途徑去思考問題，甚至讓學生大膽地猜想自己認為好的方法，用學生的思路去引導學生，順其道而行之，幫助學生思考。
（三）問題的設計要有層次性
問題的設計要依據學生的認知水平，章節內容由淺入深，切合學生的思維流程，根據學生的基礎不同，理解能力不同，思維方法也不同，因此問題可以有基本定義、定理到具體的思想方法，以及知識的遷移與推廣，充分考慮讓每個學生的思維都被觸動，讓每一位同學都體會到成功的喜悅，都積極地參與思考；從自學能夠解決到共同合作探究進一步獲得提升。因此在數學課堂學習中，教師要不斷地向學生提出新的、深的數學問題，為更深入的數學思維運動提供動力和方向，使學生的數學思維活動持續不斷向前發展。
四、問題式教學法的案例展示
教學內容：選修1—2，第二章《推理與證明》第一節第二部分內容“演繹推理”。
教學目標：
雙基：在學習合情推理的基礎上，結合數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的基本形式，了解演繹推理和合情推理的聯系和差異；
能力：通過學習，使學生能運用三段論進行一些簡單推理，培養和提高學生的演繹推理或邏輯證明能力；
重點：了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行簡單的推理；
難點：分析證明中包含的“三段論”形式；
學情了解：學生基礎較差。
根據教學目標的要求，結合對學生的了解，特提出問題如下：
問一：什么是演繹推理？（在自學的基礎上所有同學均能回答）
問二：演繹推理與合情推理有什么區別？你可以從推理形式上分析。（啟發學生回答問題的方向，并引出接下來的重點，演繹推理的基本形式“三段論”）
問三：請同學們再觀察教材引例，分析它們由幾部分組成，各部分有什么特點？
（教師引導學生觀察、引導、總結，從而得出“三段論”是演繹推理的一般模式，并啟發學生分析“三段論”的特征及相互聯系，從而解決學習重點）
問四：你能舉出一些用“三段論”推理的例子嗎？
（學以致用，深入理解“三段論”）
問五：觀察例1的證明過程，思考與我們平時的證明過程有什么不同？
（教師引導學生分析證明中包含的“三段論”形式，從而突破學習難點）
【關鍵詞】 推理；合情推理；演繹推理；猜想
演繹推理的前提和結論間具有蘊含關系，是必然性推理. 歸納推理、類比推理和統計推理是合情推理的三種重要形式. 課堂中如何培養學生的推理能力呢？
一、猜想促進學生探究推理能力的動力
1. 借助觀察與實驗提出猜想
通過觀察，能開動學生的思維，在觀察中進行實驗，能提高學生的動手操作能力，所以觀察與實驗是數學發現的重要手段. 在教學中我們可以通過組織學生開展剪一剪、量一量、做一做等實驗活動，讓學生通過觀察發現其變化規律，提出合理猜想. 如：在教學“圓的周長計算”時，讓學生以三條不同長度的線段為直徑分別畫出三個不同的圓，剪下后把這三個圓同時滾動一周，得到三條線段的長分別是三個圓的周長. 讓學生探索圓的直徑與周長有沒有關系，學生發現：圓的直徑越短，它的周長也越短，圓的直徑越長，它的周長也越長，學生得出結論是圓的周長與直徑有關系. 然后再次組織學生動手測出每個圓的直徑，并計算出圓的周長除以直徑所得的商，得數保留兩位小數，并把相應的數據填在表格里，通過展示數據，學生發現了直徑與周長的關系，提出了“圓的周長是直徑的3倍多一些”的猜想.
2. 運用歸納提出猜想
數學具有高度抽象性，而抽象寓于具體之中. 在小學數學教學中，許多概念和規律都是歸納推理得出的. 在許多情況下，采用的是不完全歸納法，由不完全歸納法得出的結論不一定正確，但可以通過歸納提出猜想并驗證.
3. 重視應用類比猜想
運用類比提出猜測，就是運用類比的方法，通過比較研究對象或問題某些方面的相似性作出猜想或推斷. 學生掌握了運用類比提出猜想的研究方法，可以在學習中做到舉一反三，觸類旁通. 例如，根據除法和分數的關系（都具有相除的相同屬性），就可以由除法具有的“被除數和除數同時擴大幾倍或同時縮小幾分之幾（0除外），商不變”的性質，類比猜想出“分數的分子和分母都乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變”，得出分數的基本性質. 再往后學習比的性質時，也可以用類比的方法，加深學生對比的知識的記憶. 這對學生在以后學法、分數、比的互相轉化打下了很好的基礎.
二、實例驗證助推學生掌握推理能力
1. 動手驗證感知“推理”
小學生由于受年齡、知識等限制，一般較多采用實例驗證. 實例驗證，主要是通過舉例方法進行，可以舉出正例，運用不完全歸納法驗證猜想或使用原來的結論更可靠. 也可以舉出反例. 例如，“三角形的內角和”的教學，通過課本上“三角形的內角和是180度”的結論，讓學生自己動手操作，進一步驗證結論的正確性：有的學生用準備好的其中一個三角形的三個角全部撕下來，把三個角拼在一起組成一個平角，由于一個平角是180度，有的學生用量角器分別量出每個角的度數，然后把三個角的度數相加，并通過對多個大小、形狀不同的三角形的測量，反復驗證“三角形的內角和是180度”. 這樣學生在實踐中驗證了猜想的準確性，加深了對知識的理解.
2. 合情推理促“推理”深度
通過合情推理可以培養學生的創新思維能力、創造想象能力、創新實踐能力. 例如，教學六年級“圓的面積”時，在教學中，我先引導學生復習前面平行四邊形、三角形、梯形的面積公式的推導過程，然后引導學生把圓轉化成近似于學過的長方形. 學生通過動手操作，把圓進行等分，拼成接近長方形的圖形，老師再適時動態演示把圓等分成32，64份拼成的近似長方形的演變過程，邊觀察邊思考，最后達成共識：如果等分的份數越多，拼成的圖形就越接近于長方形. 這時再讓學生通過觀察、比較、分析，發現圓的面積、周長、半徑和拼成的近似長方形面積、長、寬之間的關系，讓學生推導出圓的面積計算公式S圓 = π × r × r = πr2. “圓的面積”一課，通過讓學生積極主動參與知識形成的全過程來獲取知識，提高學生歸納、推理的數學思維能力， 同時也把學生的學習主動權還給學生.
3. 演繹推理提升“推理”高度
[關鍵詞] 推理能力；發展；提問設計；能力的培養
一、 初中生推理能力的發展具有如下特點
1. 初中生的合情推理能力隨年級的升高呈現緩慢增長趨勢。
在新課程實施過程中，初中生的合情推理能力得到了一定的發展。原因主要在于：一是目前使用的新教材有利于合情推理教學；二是教師的教學觀念的轉變，對新課程的理念有了一定的體會。三是中考試題的導向作用。從最近幾年各地的數學中考題來看，各地都比較重視對合情推理能力的考查，比如讓學生尋找規律，提出猜想等，因此教師在教學中比較重視對合情推理能力的培養。
隨著學生知識量的增加，猜想能力隨年級的升高而呈現增長的趨勢。由于教師在整個初中階段都注重了對合情推理能力的培養，使得各年級之間的合情推理能力高低差異并不明顯，因此初中生的合情推理能力隨年級的升高增長呈現緩慢趨勢。
2.初中生的演繹推理能力隨年級的升高而快速增長。
一是學生隨著年齡的增長，思維的發展日趨成熟，思維更加趨于抽象化、形式化，演繹推理能力的水平將得到提高；二是學生演繹推理能力與其自身基礎知識與基本技能的掌握程度是成正比的；三是從教材的編排來看，符合學生的認知發展規律。所以初中生的演繹推理能力隨年級的升高呈現出快速增長的趨勢。
3. 初中生缺乏檢驗反思能力。
通過多年的教學，總結出多數學生欠缺檢驗反思能力。甚至有些學生不懂得如何檢驗，能夠進行檢驗并進一步進行推廣的學生寥寥無幾。
二、仔細設計問題，激發學生猜想數學猜想是數學研究中合情的推理，是數學證明的前提
只有對數學問題的猜想，才會激發學生解決問題的興趣，啟迪學生的創造思維，從而發現問題、解決問題. 數學猜想是在已有數學知識和數學事實的基礎上，對未知量及其規律做出的似真判斷，是科學假說在數學的體現，它一旦得到論證便上升為數學理論. 牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”數學家通過“提出問題―分析問題―作出猜想―檢驗證明”，開拓新領域，創立新理論. 在中學數學教學中，許多命題的發現、性質的得出、思路的形成和方法的創造，都可以通過數學猜想而得到. 通過猜想不僅有利于學生牢固地掌握知識，也有利于培養他們的推理能力。
數學教學中對學生進行合情推理能力的培養，對于我們教師，能提高教學效率，增加課堂教學的趣味性，優化教學條件，提升教學水平和業務水平。對于學生，它不但能使學生學到知識，會解決問題而且能使學掌握在新問題出現時該如何應對的思想方法。
三、初中生數學推理能力的培養策略
1.在教學中培養良好的推理風氣。
推理能力的發展不同于一般知識與技能的獲得，它是一個緩慢的過程，這種能力往往不是老師教會地，更多的是學生自己“悟”出來的。因此教師應在班級中培養良好的推理風氣，讓學生在數學學習的過程中發展自己的推理能力。
2.培養學生提出數學猜想的能力。
教學中營造民主氛圍，讓學生敢于猜想。營造和諧民主、生動活潑的學習氣氛能使學生的精神振奮，思維活躍，學生才可能無拘束地去猜想。當學生猜想時，不能因為學生講不清其中的道理而指責學生“瞎猜”、“胡說八道”，而應該耐心地傾聽他們的發言，對于他們猜想中的合理成分要給予充分地肯定，同時要容忍學生因一時的“發現”或“成功”而出現短暫的“忘乎所以”，這樣學生就不會有所顧慮，遇到新問題時便敢于猜想。
3.滲透邏輯推理知識。
教師在指導學生循序漸進地學習數學基礎知識的同時，適時地介紹有關邏輯的基本知識，要求學生有意識地去領會、理解并逐步掌握這些邏輯思維的基本形式和方法，保證思維的正確性和合理性。這樣還可以使學生加深對己學過概念、命題、方法的理解，有利于今后的學習。例如，結合教學內容，適時地介紹概念定義的方式、概念的正確分類方法、推理與證明的規則等，就可以防止學生出現邏輯錯誤，逐步提高邏輯思維能力。
4.提高學生反思的能力。
荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學思維活動的核心和動力。對自己的數學活動過程進行反思和自我調節實際上是一個獨立思考、推理的過程。因為“跳出來”審視自己的活動，需要綜合考慮，嚴密思考，本質上就是一個分析、推理的過程。因此在教學中教師要注意培養學生的反思和調節能力，以提高學生的推理能力。在培養學生反思能力方面，教師要重視引導學生做到課堂上反思、課后反思、單元小結反思，引導學生通過“反思型數學日記”訓練學生的反思習慣，在教學中要注意收集和總結學生在數學活動中發生錯誤的典型材料，在教學中有針對性地設計反思性問題，并鼓勵學生現身說法，開展積極的評論和研討等。
關鍵詞 觀察聯想 合情推理 歸納類比
我國數學基礎教育一直都重視邏輯思維能力的培養，重視演繹推理，卻忽視合情推理。從培養學生創新意識和創新能力的角度來說，必須重視學生合情推理能力的培養，引導學生逐步形成從條件推測結果的能力和由結論探究成因的能力。
一、觀察聯想，激發學生提出數學猜想
數學猜想的提出常常是從觀察開始的。觀察是對數學現象及其相互關系的一種準確注視和記錄。合情推理是基于一些現象或事實進行的。因此，在小學數學探索活動中，一般需要聯系學生已有的知識與生活以經驗創設情境，鼓勵學生基于必要的數學現象或事實，鼓勵學生猜想某些結論或數學規律。
蘇教版四年級數學上冊實踐活動課第28～29頁《怎樣滾得遠》中，可這樣創設情境，導入新課：教師提問：一個人怎樣把一頭大象運到卡車上？認可學生各種有創意的回答，認識到用搭斜坡的方法省錢又省力！教師引入：在生產和生活中，人們常常利用斜面來達到省力的目的。出示情境圖：怎樣把油桶從卡車上搬下來？怎樣把砍伐的木頭從山上運下來？（通過討論后得出：利用斜坡省力又經濟，工人叔叔們平時就是這樣做的）引導觀察：這些可以滾動的物體都是什么形狀的？進一步思考：物體從斜坡上滾下來，滾動的距離可能與哪些因素有關？學生自由猜測：物體的重量、滾動的高度、斜坡與地面的角度、地面的光滑度、斜坡的長度……
二、運用素材，培養歸納類比能力
教材中很多的數學方法結論規律的獲得都是不完全歸納推理的結果。探索規律的思維方法結構相似，學生探索規律時一般都要經歷觀察、比較分析、綜合歸納、概括的過程。在不同規律的探究過程中對于材料的分析大都采用橫向類比提煉的方式，通過不完全歸納引導學生經歷由具體形象到逐步抽象的“數學化”過程。在圖形覆蓋現象中的規律則重在引導學生逐步積累素材，在不完全歸納中逐步總結出數學規律。當學生分析數學現象后，會自然地對素材進行比較分析，不同的素材所揭示的規律本質上是一致的，但形式會有不同，且同一規律所呈現的內容也應體現其層次性，這就需要教師能以恰當的方式呈現素材，啟發、引導學生合情推理。
三、操作嘗試，引導學生參與推理全過程
引導學生參與“過程”；要恰當地組織、指導學生的學習活動，并真正鼓勵學生、尊重學生、學生合作。這樣，就能拓寬發展學生合情推理能力的空間，從而有效地發展學生的合情推理能力。
在《球的反彈高度》中（室外實驗后再回到教室，時間控制在15分鐘以內）回教室對記錄結果進行計算，得出“每次實驗中球的反彈高度是下落高度的幾分之幾”，把分數都全部化成小數（除不盡的保留兩位小數），然后進行交流：
1．同一地點的同一種球下落高度和反彈高度實驗結論分析。（1）通過實驗和記錄的數據，你發現了什么？（2）學生投影展示實驗記錄表和計算結果（分數值和小數值，師生比較、歸納）。（3）得出結論：用同一種球從不同高度下落，反彈高度也不一樣，但表示反彈高度與下落高度關系的分數大致不變，這說明同一種球的彈性是一樣的。
2.同一地點的不同種球下落高度和反彈高度實驗結論分析。（1）通過實驗和記錄的數據，你發現了什么？（2）學生投影展示實驗記錄表和計算結果（分數值和小數值，師生比較、歸納）。（3）得出結論：用不同的球從同一個高度下落，其反彈高度不一樣，表示反彈高度與下落高度關系的分數是不一樣的，這說明不同的球的彈性是不一樣的。
3.不同地點的同一種球下落高度和反彈高度實驗結論分析。（1）通過實驗和記錄的數據，你又發現了什么？（2）學生投影展示實驗記錄表和計算結果（分數值和小數值，師生比較、歸納）。（3）得出結論：不同地點的同一種球從同一個高度下落，其反彈高度不一樣，表示反彈高度與下落高度關系的分數是不一樣的，這說明不同的地點影響球的反彈高度。硬的地點反彈得高一些，軟的地點反彈得低一些。
4.小結：通過實驗，我們發現——（根據實際情況說一說）同一地點的同一種球的反彈高度——；同一地點的不同種球的反彈高度——；不同地點的同一種球的反彈高度
四、說理證明，養成學生推理有據的好習慣