學習總結數學精選(九篇)

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第1篇：學習總結數學范文

    1.思考:思考是數學學習方法的核心。在學這門課中,思考有重大意義。解數學題時,首先要觀察、分析、思考。思考往往能發現題目的特點,找出解題的突破口、簡便的解題方法。在我們周圍,凡是真正學得好的同學,都有勤于思考,經常開動腦筋的習慣,于是腦子就越用越靈,勤于思考變成了善于思考。我正因為掌握應用了這一方法,所以在全國數學競賽中獲得了武漢市一等獎。

    2.動手試一試:動手有助于消化學習過的知識,做到融會貫通。課下,我常常把老師講過的公式進行推導,推導時不要看書,要默記。這樣就能使自己對公式掌握滾瓜爛熟,可為公式變形計算打下扎實的基礎。

    3.培養創造精神:所謂創造,就是想出新辦法,做出新成績,建立新理論。創造,就要不局限于老師、課本講的方法。平時,有一些難度高的題目,我在聽懂了老師講的方法后,還要自己去找一找有沒有另外的解法,這樣能加深對題目的理解,能比較幾種解法的利弊,使解題思維達到一個更高的境界。

    科學的學習方法在課內課外應注意些什么呢?

    第一,認真聽老師講課。這是我取得好成績的主要原因。聽講時要做到全神貫注,聚精會神,跟著老師的思路走,不能開小差,更切忌一邊講話一邊聽講。其次要專心凝聽老師講的每一個字,因為數學是以嚴謹著稱的,一字之差就非同小可,一字之間就隱藏玄機無限。聽講時還要注意記筆記。一次老師講了一個高難度的幾何題,我一時沒有聽懂,多虧我記下了這道題以及解法,回家后仔細琢磨,終于理解透了,以至在一次競賽中我輕而易舉地解出了類似的一道題,獲得了寶貴的10分。上課還要積極舉手發言,舉手發言的好處可真不少!①可以鞏固當堂學到的知識。②鍛煉了自己的口才。③那些模糊不清的觀念和錯誤能得到老師的指教。真是一舉三得。總之,聽講要做到手到、口到、眼到、耳到、心到。

    第二,課外練習。孔子曰:“學而時習之”。課后作業也是學習和鞏固數學的重要環節。我很注意解題的精度和速度。精度就是準確度,專心致志地獨立完成作業,力求一次性準確,而一旦有了錯,要及時改正。而速度是為了鍛煉自己注意力集中,有緊迫感。我經常是這樣做的,在開始做作業時定好鬧鐘,放在自己看不見的地方再做作業,這樣有助于提高作業速度。考試時,就不會緊張,也不會顧此失彼了。

    第三,復習、預習。對數學的復習,預習我定在每天晚上,在完成當天作業后,我將第二天要學的新知識簡要地看一看,再回憶一下老師已講過的內容。睡覺時躺在床上,腦海里再像看電影一樣將老師上課的過程“看”一遍,如果有什么疑難,我立即爬起來看書,直到搞懂為止。每個星期天我還作一星期功課的小結復習、預習。這樣對學數學有好處,并掌握得牢固,就不會忘記了。

第2篇：學習總結數學范文

關鍵詞：設疑；思考；總結

高職學生無論是數學的學習興趣，還是學習主動性，都較淡薄；在數學學習過程中，無論是對問題的敏感度，還是對問題的感悟度，都較浮淺。因此，作為數學老師，就需要在授課過程中，采用不同的教學方式方法，調動學生學習數學的興趣和主動性，培養他們的對問題的敏感度和感悟度，從而提高他們的數學思想和學習能力。

一、啟發設疑，增強學生發現問題、提出問題的能力

設疑是思維的開端，發現問題是創造的基礎，提出問題是產生求知欲望和興趣的源泉。在高等數學教學中，教師要善于利用問題設疑來鼓勵和激發學生獨立思考、積極探索，使學生在層層懸念中迫不及待地積極探索事情的前因后果及其內涵，點燃他們智慧的火花，從而培養學生學習數學的興趣。

例如，在初等函數的連續性中，有兩個結論：（1）“一切基本初等函數在其定義域內都是連續的”；（2）“一切初等函數在其定義區間內都是連續的”，前者說在“定義域內”，后者說在“定義區間內”；設疑：（1）這兩者間有何區別？（2）為什么不能說成“一切初等函數在其定義域內都是連續的”？首先，一個函數的定義域不一定都能表示成區間的形式，如y=的定義域為數集{…，-3，-1，1，3，…}，其次，說函數在區間內連續是指在區間內每一點都連續，而所有的基本初等函數的定義域，全部可以用區間表示，所以“一切基本初等函數在其定義域內都是連續的”實際上是說在其定義區間內連續；但是，初等函數的定義域就不一定都能表示成區間的形式，如上例，它是初等函數，但它的定義域只能用數集表示，而不能用區間表示，可見，如果說“一切初等函數在其定義域內都是連續的”就是錯誤的。

老師在教學過程中，要引導學生主動設疑，從而發現問題、提出問題，由此，為今后的創新、發明提供基礎意識。

二、引導思考，培養學生分析問題、解決問題的能力

問題：將12米的鐵絲，折成一個封閉的長方形，問長和寬是多少時，圍成的面積最大？為什么？

首先，引導學生將這樣一個實際問題，轉化為數學問題――建立數學模型。此時，關鍵是如何從問題中抽象出“量”，并搞清楚哪些是常量、哪些是變量，這些量之間存在什么樣的依賴關系。此問題，共涉及四個量：鐵絲的總長（圍成長方形后，是其周長），長方形的長、寬和面積。設長方形的長為x，面積為y（引進變量），由長方形的性質得，其寬為（12-2x）=6-x，由于，長方形的面積=長×寬，所以，y=x（6-x）=6x-x2，其中0

第3篇：學習總結數學范文

小學數學的學習需要不斷的積累和創新，最重要的就是及時進行知識點的鞏固和復習。小編為大家整理了北師大版四年級數學知識點歸納及學習方法總結，希望能對大家有幫助。

北師大版四年級數學知識點

第一單元 大數的認識

數位：用數字表示數時，計數單位按照一定順序排列，它們所占的位置叫做數位。

自然數：表示物體個數的0，1，2，3，4，5……都是自然數。所有的自然數都是整數。0是最小的自然數。

計數單位：個(一)、十、百、千……都是計數單位。

十進制計數法：每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十的計數方法叫做十進制計數法。

第二單元 公頃和平方千米

1公頃：邊長是100米的正方形面積是1公頃。

1平方千米：邊長是1千米的正方形面積是1平方千米。

第三單元 角的度量

角：從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。

1°：將圓平均分成360份，將其中1份所對的角作為度量角的單位，它的大小就是1度，記作1°。

平角：一條射線繞它的端點旋轉半周，形成的角叫做平角。

周角：一條射線繞它的端點旋轉一周，形成的角叫做周角。

銳角：大于0°小于90°的角叫銳角。

鈍角：大于90°小于180°的角叫鈍角。

第四單元 三位數乘兩位數

積的變化規律：一個因數不變，另一個因數乘幾或除以幾(0除外)，積也乘(或除以)幾。

速度：單位時間內行駛的路程叫做速度。(千米/小時米/分鐘)

第五單元 平行四邊形和梯形

平行：在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。

垂直：兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

點到直線的距離：從直線外一點到這條直線所畫垂直線段最短，它的長度叫做點到直線的距離。

平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。從平行四邊形一條邊上的一點向對邊引一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。

梯形：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。

第六單元 除數是兩位數的除法

商的變化規律：

1.除數不變，被除數乘或除以幾(0除外)，商也乘或除以幾。

2.被除數不變，除數乘或除以幾(0除外)，商反而除以或乘幾。

3.被除數和除數都乘或除以一個相同的數(0除外)，商不變。

余數的變化規律：

被除數和除數的末尾都去掉相同個數的0，商不變。但余數發生變化，去掉幾個0，余數末尾應添上幾個0。

北師大版四年級數學學習方法

一、思考：思考是數學學習方法的核心。在學這門課中，思考有重大意義。解數學題時，首先要觀察、分析、思考。思考往往能發現題目的特點，找出解題的突破口、簡便的解題方法。在我們周圍，凡是真正學得好的同學，都有勤于思考，經常開動腦筋的習慣，于是腦子就越用越靈，勤于思考變成了善于思考。我正因為掌握應用了這一方法，所以在全國數學競賽中獲得了武漢市一等獎。

二、動手試一試：動手有助于消化學習過的知識，做到融會貫通。課下，我常常把老師講過的公式進行推導，推導時不要看書，要默記。這樣就能使自己對公式掌握滾瓜爛熟，可為公式變形計算打下扎實的基礎。

三、培養創造精神：所謂創造，就是想出新辦法，做出新成績，建立新理論。創造，就要不局限于老師、課本講的方法。平時，有一些難度高的題目，我在聽懂了老師講的方法后，還要自己去找一找有沒有另外的解法，這樣能加深對題目的理解，能比較幾種解法的利弊，使解題思維達到一個更高的境界。

北師大版四年級數學復習計劃

一、復習指導思想

通過總復習，使學生對本學期所學的知識進行系統整理和復習，進一步鞏固數概念，提高計算能力和解決問題的能力，發展空間觀念、統計觀念，獲得自身數學能力提高的成功體驗，全面達到本學期規定的教學目標。

二、復習內容

大數的認識、角的度量、兩位數乘三位數、除數是兩位數的除法、混合運算及簡便運算、可能性大小及數學好玩

重點：大數的認識、兩位數乘三位數、除數是兩位數的除法。

三、復習形式：

分類復習、綜合復習

四、復習目標：

1、對萬級、億級的數，十進制計數法，用“萬”、“億”作單位表示大數目以及近似數、改寫等知識有進一步的認識，建立有關整數概念的認知結構;

2、復習乘、除法口算，把因數和積的關系、商變化的規律和乘、除法口算結合起來復習，使學生進一步理解口算算理，并靈活運用這些規律進行口算，使口算更正確、快速。

3、復習筆算乘、除法，讓學生說一說進行乘、除法筆算需要注意什么，如因數中間、末尾有0的乘法應注意什么，除法試商、調商的原則是什么等等，會用乘、除法解決簡單的實際問題，通過復習使學生理解估算在解決問題中的必要性，體會估算策略的多樣化。

4、進一步提高用計算器進行大數目計算以及探索規律的操作技能，加深對計算器的認識;

5、掌握直線、射線和線段的特征，認識角，能正確畫出平行線和垂線(過直線外一點和直線上一點)，進一步發展空間觀念;

6、對混合運算的運算順序及運用運算律進行簡算。

7、生活中的正負數，及正負數所表示的意義。

8、數學好玩中編碼，數圖形中的規律。

9、通過整理和復習，進一步提高綜合運用所學知識解決實際問題的能力，在解決實際問題的過程中進一步體會數學的價值;

10、通過整理和復習，經歷回顧本學期的學習情況，以及整理知識和學習方法的過程，激發學生主動學習的愿望，進一步培養反思的意識和能力。

五、復習措施：

1、查漏補缺。對本冊教材內容進行系統的歸納整理，理清知識點的聯系，通過對基礎知識的復習和練習，加強學生的記憶，深化認識，使所學的知識內化為學生的知識素養，使學生對知識的掌握理解由感性認識提升到一個理性的認識上來

2、靈活解題，提高綜合運用與解決實際問題的能力。使學生在復習、練習 過程中，對知識進行分類、整理，幫助學生找出各知識之間的聯系和解題規律， 重新整合，形成一個完整的知識體系，達到舉一反三、能綜合、靈活地運用所學的知識解決簡單實際問題、應用數學的能力。

3、在復習、練習過程當中，注重學生的學習方法、數感和數學思維的梳理和培養，發展學生邏輯思維能力。

4、養成學生認真做題、細心檢查的良好學習習慣，形成良好的數學情操。

5、教會學生復習方法，對所學知識進行全面系統的復習，先全面復習每一單元， 再重點復習有關重點內容。

復習作業的設計體現層次性、綜合性、趣味性和開放性，及時批改，及時發現問題，查漏補缺，做到知 識天天清。

6、狠抓學生的計算和理解方面的能力。采用多種方法，比如學生出題，搶 答，抽查，學生互批等方法，提高學習興趣。

7、提高基礎較好的學生，主要是在課堂提高。對基礎較差的學生采取課堂引導，課后輔導，盡量提高對基礎題的理解掌握。

8、加強補差，將課內課外補差相結合，采用“一幫一”的形式，發動學生幫助他們一起進步，同時取得家長的配合，鼓勵和督促其進步。做到課上多提問，作業多輔導，練習多講解，多表揚、鼓勵，多提供表現的機會。讓他們力爭做到當天的任務當天完成。

第4篇：學習總結數學范文

一、課題研究的實施情況

1、加強理論學習和培訓力度

聯合國教科文組織埃得加富爾指出：“未來的文盲不再是不會識字的人，而是不懂得該怎樣去學習的人”。我們課題組深刻認識到，只有對教材有清晰的認識，才能使組織的數學活動更具實效。全課題組的教師先后參加了市、區各項課程標準培訓活動，認真學習了2011版數學新課程標準。通過對修訂前后的課程標準進行對比，讓教師更好地對教材進行駕馭、重組，落實大教材觀，努力使每個教師都能成為教材的創編者。

在此過程中，我們還觀摩名師課堂教學，學習借鑒，大膽改革，勇于實踐，通過骨干教師執教示范課，集體聽評，研討總結，探索創建新路子，為課題研究積累經驗。

理論知識的培訓、學習觀摩活動提高了老師的教育教學水平，提高了課堂教學效率，同時也不斷的促進教學質量的穩步提升。

2、多管齊下，整合性科研促課題發展

在“將教研提升到科研”層面這個目標的倡導下，為切實提高研究的實效性，課題組成員堅持每月研討課不少于1節。圍繞研討課，全體成員再一起說課、評課、分析教材，進行教科研學習活動。隨著課題的深入展開課題組活動還掀起了理論學習和業務培訓的。共同學習了《小學數學練習有效性研究與探索》、《個性化作業設計策略》、《數學合作學習課堂的教學模式》、《新課程標準下如何設計小學數學練習》等優秀前沿的資料文章。除此之外，我們還進行班班對比的形式，并加以比較，做好記錄加以反饋。

同時，本課題實施以來，我們多次舉辦校內數學教師的培訓講座，促進了教師教研水平的整體提高。我們還長期與全省科學教育專家及一線教師進行網上交流，共同探討數學教學中的熱點問題，為課題組教師提供經驗交流與解決困惑的平臺。正所謂人多力量大，我們在不斷交流和碰撞中，逐漸尋求出適合課題研究的方法和路線。

3、實踐操作，體會實效

新型教師必須具備理論聯系實際的能力，這就需要我們能做課題研究的實踐者，不能紙上談兵，而要實踐出真知。基于以上的理論研究和認識，課題組的成員都能夠把理論聯系實際，從平時的課堂教學出發，精心備課，把生本課堂的理念落實到課堂教學中來，鼓勵每位課題組教師上課精講，學生后多練，以扎實有效的練習促提高。

由于課題組教師在實驗班級課堂上均采用“生本”形式，以生為本，即精講多練的形式推廣，學生的主體地位得到很好的體現，比以往現在的課堂教學發生了較大的變化。教師講的時間少了，學生說時間多了；教師提問少了，學生問的問題多了；教師指導少了，學生小組活動多了；教師板演少了，學生練習時間多了。可以說現在練習的優化設計讓教師上課得實惠、嘗到甜頭，學生上課更能積極參與了。

二、實驗成果

課題組成員通過這段時間對相關的理論知識的學習，不斷的將理論應用到實踐當中，邊邊學習邊實踐、邊研究邊總結，從各方面效果看已取得了一定的成效。

1、教師的教與學生的學都發生了明顯的變化

課堂上教師更注重數學練習的設計，注重和諧、民主師生關系的建立，激發了學生參與數學活動的積極性；讓學生學得經松，學得愉快。教師注重數學活動內涵的挖掘，讓學生充分地體驗和探索，學生自主活動的時間和空間得到較大的拓展。

2、研究明確了練習設計的6個原則，并加以遵循和應用

（1）科學性原則。（2）層次性原則。（3）針對性原則。（4）靈活性原則。（5）多樣性原則。（6）時效性原則。

三、存在問題及有待研究問題

1、由于每個班級的知識水平不同，練習的設計也是根據不同班級的水平而定，教師在討論這方面的問題時也不能達成共識。

2、如何才能讓所設計的練習在教學中發揮更有效的作用，并不是練習設計就是單一的進行設計練習。

3、雖然有材料積累，但還欠全面地、系統地去充實、展開研究總結。由于在實踐過程中，全組研究成員都是一線教師，在時間、精力的投入較多，而對于一些資料的收集整理工作未及時歸檔。

4、我們正在探索評價體系，但評價的科學性、完整性和公平性還有待完善。

有的教師往往會不自覺的回到以前的教學方式，依靠大量的練習訓練，以追求短期效益為目標。學生的評價體系的建立，不能只停留在以學習成績上，而學習過程的評介逐漸得到重視。但由于評價體系還欠成熟，對教師的教學評價也有待更客觀公正地去完善。

四、后階段改進措施

1、緊密結合教學實踐，不斷增強科研實效

課題研究本身就是為教育教學服務的，在后期的研究中我們必須把課題研究滲透到課堂教學實踐的每一個環節中去，包括：備課的詳細要求、小組活動的配套方案、課后師生如何互動的情況，教學實效的評價等。

2、注重積累一手材料，充實過程研究檔案

課題研究的成果來源于大量的一手材料，材料的積累來源于實踐地研究。在后期的研究過程中一定要做到用心、細心、耐心、專心，視材料為命根子，做到分類明確、歸類科學、整理規范、內容充實、觀點鮮明。

3、加強科研理論學習，及時總結撰寫教學心得

第5篇：學習總結數學范文

一天的工作流程：

8：00~9：30 上五年級數學。

9：30~11：00上六年級數學。

11：10掃地，拖地。

11：20整理隊伍，點名帶領學生去謝爾曼中山小學校區。

11：40~12：00午餐。

12：00~14：00看管502寢室學生午休。

14：15整理隊伍，點名帶領學生去中醫院分校。

14：30~16：00上三年級數學。

16：00~17：30上四年級數學。

﹙每個周六要開會總結，老師之間進行教育教學的問題交流。﹚

數學積分獎罰規定：

在規定時間內上黑板答題做對一次獎勵1分。

下課后檢查筆記和練習工整完成，并標清楚日期，獎勵1分。

每周五檢查一周的課堂筆記工整完成，并標清楚日期，獎勵2分。

考試成績達60分、70分、80分、90分、100分范圍各獎勵3分、5分、7分、9分、20分。

曠課一次或打架一次扣2分、亂丟垃圾扣1分。

我所帶的班級情況如下：

三年級學生基本情況：﹙共14人﹚

胡雅琪：不善發言，寫字動作慢，課堂上的小動作多，計算能力一般，對應用題的理解不夠透徹。

王思佳：計算基礎不錯，不喜歡多問，對知識的應用不夠靈活，成績中等偏上。

劉守理：反應遲鈍，寫字動作較慢，回答問題時對自己信心不夠，計算能力有待加強。

陳可情：計算能力很好，對知識的理解也透徹，成績優秀，就是課后沒有復習的習慣。

鄭承先：回答問題積極響亮，基礎計算不錯，但對知識的應用不夠靈活，比較外向。

林天和：計算能力較差，學習不夠認真，做練習愛投機取巧，課堂作業完成度較慢。

沈世豪：計算能力很強，對知識的應用很靈活，課堂回答問題也很積極，是個尖子生。

姚丹丹：計算能力不錯，回答問題也積極，學習很好問，對知識的應用不夠靈活。

林紫霜：性格比較內向，不喜歡回答問題，計算能力較差，成績一般。

林唐心：寫字動作快，計算能力不錯，就是課堂上不夠認真聽講，成績一般。

劉德云：計算能力一般，課堂上愛搞小動作，學習不夠認真，成績一般。

梁賢鋒：計算有待加強，對知識的應用不夠靈活，練習完成度也很慢。

王安秀：積極回答問題，學習很勤奮，計算能力很好，不過不夠自信。

鄭必行：計算能力不錯，回答問題也很積極，愛打抱不平，成績中上等，有點小馬虎。

三年級教學總結：大部分的知識講授都能吸收，對數字的計算和列式較好，對理解型的題目需要加強，特別是時間經過的計算。

四年級學生基本情況：﹙共15人﹚

楊茜茜：不喜歡回答問題，計算能力一般，學習也不愛動腦筋，喜歡投機取巧，成績較差。

黃雅琦：對知識的理解能力較好，計算能力不錯，學習挑三揀四，有點小驕傲，需要順和的引導。

黃慶偉：計算能力較好，積極回答問題，就是答題時的審題能力不夠好，有點馬虎。

陳語熙：學習刻苦，計算能力很好，但對知識的應用不夠靈活，不愛發言。

連子希：性格比較外向，計算能力一般，學習不主動，課堂上不夠專心，成績一般。

林  妍：學習認真，計算能力一般，不善于回答問題，對知識的靈活應用需要加強。

王鑫瑩：性格比較內向，基礎計算不夠扎實，吸收知識較慢，需要個別的關注引導。

黃思穎：答題速度快，計算能力一般，對知識的應用不夠靈活，字體寫得潦草。成績一般。

郭興鍵：學習認真，計算能力一般，對知識的理解不夠透徹，課堂上有點小動作。

黃  潔：學習認真，計算能力較好，回答問題不是很活躍，應用不夠靈活，成績中上等。

李彥春：答題速度較慢，計算能力一般，上課不夠認真，缺乏自信。

王子陽：計算能力很強，對知識的應用很靈活，吸收也快，回答問題很積極，是個尖子生。

梁芳韌：計算能力較好，回答問題不夠積極，作業完成度較慢，有時愛搞小動作。

肖佳鑫：計算能力一般，上課不夠專心，對知識的吸收一般，需要加強應用。

陳川幀：計算有待加強，對知識的應用不夠靈活，練習完成度也很慢。

四年級教學總結：每節課的布置量都能在規定時間內完成，大部分學生對知識的理解較好，不過需要加強題型的多樣訓練。

五年級學生基本情況：﹙共10人﹚

萬慧柔：計算能力一般，學習耐心不夠，對知識的應用不夠靈活，主要還有乘法口訣沒記牢，成績一般。

莫小慧：學習刻苦，計算能力一般，對知識的運用不夠靈活，做題量少。

陳華明：學習比較懶惰，答題速度慢，也很少回答問題，需要不斷的督促。成績較差。

梁家炫：計算能力較差，學習不夠積極，不愿多思考，需要不斷的督促。成績較差。

熊人興：能較快的完成課堂任務，計算能力一般，需要大量的答題訓練來鞏固基礎知識。

王晟屹：計算水平一般，缺乏題型的強化訓練，答題速度較慢，學習不夠主動。

文  飛：計算能力較強，對知識的理解應用也透徹，就是缺乏認真審題的習慣。成績優秀，是個尖子生。

陳婉婷：上課認真聽講，計算能力較好，對新知識的吸收也快，就是題型訓練的太少，是個尖子生。

符宗亮：學習不夠主動，也比較沉默，計算能力一般，需要加強基礎的列式訓練。

許寰志：學習認真，計算水平一般，缺乏題型分類訓練，要加強小數除法訓練和應用題理解。

五年級教學總結：教學的進行比較順利，所布置的學習內容大部分學生均能完成，要加強多位小數的除法習題訓練，并做好應用分類。總的來看這個班的學習成績都有所提高，這些學生最主要的缺點就是學習態度不是很端正，實行積分制度對于他們來說還是挺感興趣的。因為用兩個星期來復習四年級下冊知識和講解暑假作業，五年級上冊的新課進度放慢了一周，已上完第四單元。

六年級學生基本情況：﹙共17人﹚

吳坤志、梁驍骉：對待學習，有充分的自信心，思維較敏捷，肯鉆研，學習自主能力有較大提高，上課能積極舉手發言，認真完成課堂練習，不過在圖形這方面的習題還有待提高。

鄭沁韻、王婧苗：這兩個女孩，學習認真自覺，積極思考，完成練習情況較好，性格獨立，做事踏實，書寫工整美觀，對應用題的理解有待提高，是可以培養的尖子生。

何遠輝、符世賢：學習思維較活躍，上課能專心聽講，認真完成課堂練習，在學習上很努力，但是可能沒有找到適合自己的學習方法，所以成績中等不上。

蒙定君、江和俊：學習基礎不是很扎實，上課經常不專心聽講，完成課堂較慢，做幾次思想教育后行為有所改觀，剛開始接觸他們時連筆記和練習都懶得做。

厚、唐浩：學習比較馬虎，基礎不扎實，有較好的記憶能力，但就是課堂練習時比較懶惰，學習不思進取，永遠停留在已掌握的階段，不過相比補習之前成績有所提高。

周甜甜、鄧曉靜：上課注意聽講，有錯及時訂正，可是，只知道聽老師講，不曉得動腦筋想，害怕舉手發言，如果能勤動腦，多做練習，不吃現成的，成績會有很多的飛躍。

李平凡、張禮杰：基礎知識掌握不扎實，甚至連三年級的知識都沒扎實，主要原因是懶得多做練習，只聽講少做筆記，不主動去學習，完全是應付學習的。

張  汛：生性好動，上課不夠專心，不過學習自覺性不錯，成績不夠穩定，但是在嚴厲的課堂氛圍下，還是能夠認真的做好課堂筆記，完成課堂練習。

占校仿、王宜榮：學習思維比較遲鈍，記筆記和做練習速度很慢，課堂上經常分心走神，學習不夠刻苦，基礎不扎實，要不斷督促才能認真對待學習。

六年級教學總結：這個班的學生基礎水平相差太大，幾乎是三年級和六年級同班的情況，所以講課速度比原計劃的放慢了兩個星期，除了復習五年級下冊的知識點，已上完六年級上冊第四單元。這個班的數學基礎不是很扎實，教學的重點是如何去提高他們對數學的興趣，減少對數學的恐懼感。這方面只能做一下較簡單的習題，然后指名回答，給予他們答對的自信心。

原定的教學計劃還是比較符合學生的接受范圍的，只做了部分的難度修改和練習量的增加，學生對老師的認可度還是挺高的，主要是和學生的交流增加了，學生也愿意告訴老師需要重點輔導哪方面的知識，這對我修改教學計劃和教學方法還是起重要意義的。

第6篇：學習總結數學范文

關鍵詞：小學數學 案例教學 總結

一、課堂教學中主要課堂教學環節

環節一：創設情境，導入新課

師：老師把上次活動拍的照片給大家帶來了，你們喜歡嗎？同學們給老師提了一個建議，想把它放到我們的黑板上，為了美觀一些，可以把它的周圍用彩帶給圍上，那多漂亮啊！那我們需要多長的彩帶呢？

生：大約需要6 厘米長的彩帶，但是有4條邊，需要四六二十四厘米的彩帶。

師：你們同意嗎？

生：不同意。上下兩個邊是6 厘米，左右兩邊是3 厘米，一共是18 厘米。

師：要想知道這條彩帶有多長我們首先要知道什么？

生：這個圖形的周長。

師：同學們知道的可真多，這就是這節課我們要學的內容――周長。

在導入新課這個教學環節，教師注意從學生的學習興趣入手，從學生的生活經驗出發，選擇學生在活動上的照片，通過美化照片入手。

這樣的教學導入，貼近學生的生活，使學生很快進入數學學習的狀態。我們說有效的課堂教學的基本理念之一就是要貼近學生的實際生活，從這種意義上來說本節課的導入是有效的 。

環節二：講授新課，認識周長

有效的課堂教學才是高質量的課堂教學，而有效教學關注學生的學習效果。在本節課的學習后，通過教師的反思我們發現，班級中的相當一部分學生沒有掌握周長的內涵。

在“認識周長”這一環節中，講授“什么是周長”的過程中教師首先讓學生歸納出什么叫做周長，具體解釋這個定義中個別詞語的含義。小學三年級的學生的認知水平還比較低，他們的形象思維能力比較強，抽象概括能力相對較差。

環節三：學生動手操作，測量物體的周長

我們說有效教學的一個重要理念就是“在對話中學習”，本節課老師設計的測量物體周長的教學環節就是讓學生在動手操作的基礎上，師生之間、生生之間互相交流測量不同圖形的周長的方法。

師：今天老師給學生帶來了一些漂亮的不同形狀圖形，你們有辦法知道這些圖形的周長嗎？同學們先獨立思考1 分鐘，小組同學再交流一下。（同學討論時間為4 分鐘）

師：將你們討論好的匯報一下。

環節四：測量物體的周長

師：我們下面來實際的量一量，算一算長方形的周長，注意測量的結果取整數，

采用四舍五入法。

（學生用直尺測量教科書上的長方形的長和寬，教師深入學生中進行指導，并選擇兩種有代表性的計算方法讓學生將方法寫到黑板上。兩種方法分別是：2×2=4cm 1×2=2cm 4+2=6cm；1+1+2+2=6cm 這時下課鈴聲已響）

師：還有其他方法嗎？

有效教學關注教學效率，也就是說一定的教學投入，教學相關知識的輻射越多越好。但是，并不是忽視學生的實際學習能力。本節課教師渴望盡可能多的完成教學內容，在下課鈴聲響起之際還在講授“如何測量物體的周長”。

小學三年級的孩子在每節課上注意力集中的時間其實很短，教師在鈴聲響起后還在講解，以下的學習效果將是微弱的，乃至是負面效應。

二、課堂教學結構分析

本節課的教材呈現了一些規則和不規則的實物和圖形：樹葉、國旗、數學課本、鐘面等實物圖和五角星、三角形、長方形、正方形等圖形，教材設置的目的是幫助學生直觀理解周長的一般含義。接著教材呈現出：“有辦法知道上面這些圖形的周長嗎？”讓學生實際動手解決這一問題，感悟周長的實際含義。

本節課的課堂教學結構是：導入新課，讓學生產生學習周長的需求；講授周長的內涵，并且在生活中感受什么是物體的周長；測量不同圖形的周長，尋找測量規則圖形和不規則圖形周長的測量方法；探索計算長方形周長的方法；課堂小結。首先，教材讓學生通過一些規則和不規則的圖形感受周長的含義，形成對周長含義的感性認識。

三、反思與總結

教師的專業能力直接影響學生在課堂教學中的學習效果，現在應該不斷的促進教師的專業發展，讓教師的專業能力得到不斷的提升，以此來保障課堂教學質量的提高。“反思”對教師專業發展具有重要意義，因為教師發展的過程是自主學習和業務提升的過程，實質就是教師的教學藝術與課堂隨機應變能力行為的歷練階段，這種不自覺的自然進展、變化來自教師的內心、內力，可以說，教師專業發展就是一種自我反思的過程。

參考文獻：

[1] 祝新宇. 新課改背景下的課堂教學質量觀探析[J]江西教育科研, 2006,(07).

第7篇：學習總結數學范文

 

短暫的暑期學習使我受益匪淺，感觸頗多。經過這次學習使我更進一步了解和掌握了新課改的發展方向和目標，反思了以往工作中的不足。下頭就談談我對暑期學習的點滴體會：

 

1、發展的教師教學觀

 

處于這種職業境界的教師認為，教師是一種發展學生、完善自我的職業，能以服務社會為自我的職業夢想，并從服務社會的高度賦予自我發展、完善的實踐意義，明確自身發展與學生發展的互動關系，在發展學生中發展自我，在發展自我中服務社會。他是以一種高度的職責感從專業角度來審視自我的教學，反思自我的情感，凈化自我的品德，完善自我的智慧。他能夠自覺地注重教育行為的科學和教育情感的理性，并不斷地追求著學生發展和自我發展的更高效益。

 

2、教師主角的轉變

 

在過去的教學實踐活動中，很多教師只滿足于在其中扮演“教材的執行者”的主角，這和教師本身的教學觀有關，也和課改以前我國的大教育體制環境以及其對教師的相應要求有關。但在新的課程改革的要求下，再走老路，在教學中按照課程的嚴格規定亦步亦趨地進行操作，而很少發揮教師的自主性，那就很難再適應新課改的要求了。那么新課程對教師新的要求是什么呢?

 

經過魏書生教師的講座我認為新課程要求教師努力和學生建立平等互動的師生關系，教學過程首先是師生交往互動的過程，這種交往主要表現為以語言為中介進行溝通，教師與學生憑借自我已有的經驗，用各自獨特的精神表現方式，在教學過程中經過心靈的對話、意見的交換、思想的碰撞、合作的探討，實現知識的共同擁有與個性的全面發展。它要求教師不僅僅有教學策略和教學方法的改變，并且要有主角的轉化——從傳授者、管理者變為引導者和促進者，同時還有個性的自我完善—民主的精神、平等的作風、寬容的態度、真摯的愛心和悅納學生的情懷。此外，在這個過程中教師也會受到很多啟發，對學生有更多的了解，這些無疑對教師的專業化發展也是十分有益的。

 

3、學生地位的轉變

 

變過去傳統的被動學習狀態的客體地位為主動學習的主體地位，變“要我學”為“我要學”、“我愛學”、“我會學”，真正讓學生成為主宰學習的主人，學習活動參與者、探索者與研究者。學生是共同管理學習過程中的參與者，這個觀點必須牢固地札根于教師的頭腦中，切實貫徹于課堂教學的實踐中，這是培養學生主體的必然要求。因為只認識到這一點，教師傳統的一些做法才會相應地改變，才不會像以往那樣強迫

 

4、在學習新教師法、義務教育法的過程中，我不僅僅更新了自我對法律的認識，更是清楚的了解到自我的法律地位，每個人都享有必須的權利，“平等”的口號不應是嘴上說說而已，落實到實處才擁有意義，否則有法也等于無法了。同時我也認識到作為一名教育前線的教師所應盡的職責和義務

 

總之，這次學習是我收益很大，我必須要加強學習，努力做一名合格的人民教師。

 

個人總結2

 

Xx鎮學區組織進行了開學前的暑期學習會，經過這次學習，使我拓寬了學習的視野，更新了教育觀念。下頭談談我對本次學習的心得。

 

一、加強自身師德修養，展現教師人格魅力教師素有“塑造人類靈魂的工程師”之美譽。在對靈魂塑造的過程中，教師既要有比較淵博的知識，更要有高尚的道德和崇高的精神境界。教師應當成為學生的表率，成為學生的良師益友，成為全社會禮貌的楷模。為此，教師要時刻謹記不斷提高自身的道德修養，展現自身的人格魅力。

 

二、用學習引領自身專業成長隨著信息技術的迅速發展，人類正在進入信息社會。在知識經濟時代，知識老化速度大大加快，學習就成了當今人類生存和發展的重要手段。教師終身學習，不僅僅是時代的呼喚，教育發展的要求，也是教師教學自我提升的需要。“嚴謹篤學，與時俱進，活到老，學到老”是新世紀教師應有的終身學習觀。教師要善于從教育實踐中汲取能量和資源;善于在任何時間向任何人學習，包括在教學過程中和學生分享知識;善于和同事交流，擴大

 

視野，促進自身專業成長。

 

教師終身學習已成為全球教育改革的突破口。要促進自身專業化成長，教師就要具有終身學習的理念，擁有自主學習、自我學習的觀點。因為終身學習已成為未來每個社會成員的基本生存方式，那種“一朝學成而受用終身”的觀點已經過時，人們再也不能只經過一段時間的集中學習，獲得一輩子享用的知識技能。僅有主動去掌握新概念，學習新理念，研究新問題，培養適應新環境的本事，才會使自我重視終身受益。

 

教育是全社會的大事，但重任主要落在教師身上。時代在變，對人才的要求也在變，教師必須認清終身學習對自身成長和發展的重要性，自覺地樹立終身學習的觀點，不斷地提高自身的素質，以適應現代的教育需要。首先要加強政治思想方面的學習。我國素質教育堅持“五育并舉，德育為首”的原則，教師首先要以德育人。教育思想、教育觀點對教育事業的發展至關重要，正確的教育觀能夠造就人才，錯誤的教育思想則會摧殘人才。教師的政治取向、道德素質、教育觀、世界觀和人身觀對學生起直接影響作用。

 

其次要加強專業知識的學習。課程走向綜合化是基礎教育改革的大方向。我身為一名中青年教師，又奮斗在課程改革實驗的最前沿，更應當樹立終身學習的意識。無論是教育家，還是中外名師，他們都具備較深的文化底蘊，這與經

 

常學習是分不開的。隨著課改如火如荼的展開，我們教師要有一種強烈的資源意識，克服“一支粉筆教下去，一本教案講過來”的人生惰性，自覺拓展自我的思維空間和知識結構，以便更好的為教育教學服務。知識的更新換代讓我們的學生接觸了更多的新生事物，廣闊的課內課外學習資源為他們知識的積累供給了更多的機會。我們在學校學習的那點知識，已經遠遠不夠傳授了。要想成為研究型教師、專家型教師，不學習怎樣能夠，怎樣能勝任更多的教育教學工作?生活是一個廣闊的學習的課堂，有很多東西是我們所不了解的，為了使自我不被社會所淘汰，僅有加緊學習的步伐!一個優秀教師應當抓緊一切時間增加知識儲備，僅有這樣才能用人格魅力來感染學生，和學生共同發展。

 

隨著時代的提高，教育的改革，當今的形勢向每一位教師提出了嚴峻的挑戰，所以，在今后的工作中，我將樹立終身學習的觀點，在師一日，便不可荒廢半日。經過學習不斷獲取新知識，增長自身的才干，適應當今教育改革的新形勢。為了無愧于教師這一職業，也為了實現自我心中的夢想信念，今后的工作中，我定會更加努力，加強學習，提高素質，完善自我，書寫出燦爛完美的未來。

 

 

個人總結3

 

教師的職業道德，集中體此刻教育職責感，關愛學生和工作效率上。暑假學習正是教師們提升自身綜合本事的好機會。查字典范文大全特意為大家整理了關于暑假學習心得體會范文的相關材料，期望對您的工作和生活有幫忙。

 

一、充分發揮教師的主導作用

 

在課堂教學中，教師的主導作用是不容忽視的。在先學后教，當堂訓練的教學模式上，教師的主導作用應當體此刻精心的準備上，體此刻簡而精、通俗易懂的語言上，體此刻將復雜問題簡單化、形象化的演示上，體此刻能夠及時發現問題的精銳的目光上，體此刻耐心的巡視指導上，體此刻及時解決問題的方法上。

 

二、相信每一個學生

 

學生在個性上存在差異，但在智商上是絕對沒有差異的，每一個學生都有很大的潛力有待于教師去挖掘。所以我們應大膽地放開手，讓所有學生去學習，去全力地發揮自我的潛能，并經過教師的培養逐漸提高學生的各方面的本事。

 

三、使學生能真正地成為課堂的主人

 

進取地動腦思考，動手操作，充分體現了學生的主體作用，使學生從思維到實踐都得到很好的鍛煉與提高。當堂訓練的方法提高了課堂教學的質量，讓學生能夠在課堂上發現問題解決問題，不留死角，一向處于主動狀態，有利于培養學生學習的主動性、進取性，真正體驗學習的樂趣。

 

四、因人施教，不讓任何一個學生掉隊

 

任何一個學生都有學習的本事，要向讓他們學好，就必須給他們供給學習的基本條件，同時針對學生的個性差異，輔以適宜的指導方法。在不失大局的前提下，讓后進生學好，刺激他們的學xxx取性。當后進生的本事提上來之后，又會產生一些所謂的后進生如此循環下去，后進生在不斷提高，同時整個班級的成績就會提高，而整個學校的教學質量將會隨之不斷提高。

 

經過這次培訓，我感觸很深，受益匪淺，自我感覺就像和所有的教師融合在一齊，翱翔在知識海洋中，陶醉不已，流連忘返。不僅僅教育教學水平提高了，師德師風也得了升華。為此，我代表所有的教師衷心地感這次培訓我們的“專家、教授、名師”，也期望以后類似的培訓機會延續下去。更期望我市的教育大業在市委、市政府的指引下，日新月異，與時俱進，大放光彩!

 

個人總結4

 

八月的天空，驕陽似火，期待已久的暑期培訓已悄然進行了兩天，

 

小學教師暑期培訓心得體會。在這兩天的學習中，專家們那豐富的案例、精深的理論，讓我深深地嘆服;而他們在自我專業成長路上所付出的努力和到達的境界，更是深深地感染了我的內心。對于教育我有了新的認識與理解，對于人生我又有了新的起點與目標。

 

首先，xxx教師的專題講座猶如雪中送炭，及時地給正在研究自主教育的我指點了迷津。自主教育正是我最近一段時間苦苦思索而不得其果的一個問題，聽了鄭教師的講座，我茅塞頓開。他的一靠感情二靠制度三靠文化的自主教育管理理念給我留下了深刻的印象，在今后的教育教學中，我將仔細琢磨，認真思考，經過反復摸索，不斷實踐，研究出更多的有效的能夠共享的自主教育管理模式。除此之外，鄭教師所講的“以人為本，信任學生，依靠學生，激勵學生，發展學生”也讓我感觸頗深，尤其是“信任學生，依靠學生”這兩點，很多的時候，我們教師都會自覺不自覺包辦了教[此文轉貼于育中關乎學生的一些事，對學生的本事和自覺性往往會持懷疑態度，長久以往會導致學生在學習和生活中的被動性，削弱了他們的自信心，而學生的個性也會在這不自主中難以凸顯出來，

 

“充分給學生位置，有位才能有為;充分給學生放權，有權才能做事”，鄭教師的這一觀點和做法給喜歡一手操辦班級事務的我上了生動的一課。

 

其次，鄭立平教師“詩意棲居做人師”的教育夢想深深地打動了我，能把教師這一職業和詩意放在一齊，我覺得這是一種境界，這種境界既讓我佩服，也讓我向往!正如鄭教師本人詩意的人生追求一樣，他的講座亦是別開生面地詩意盎然。在教育的路上，我明白了原先我們也能夠這樣幸福。“好的教育靠欣賞，靠喚醒，靠期待。”“植物總是朝著有陽光的方向生長，孩子永遠向著贊美的方向發展。”如何看待教育如何對待工作如何看待學生等等這一系列問題，都是我們日日在做卻并不在乎實效的問題，我們的心不知何時已變得麻木，我們的身體不知何時已疲憊不堪，“愚者以為幸福在遙遠的彼岸，而聰明的人卻總能把周遭的事物營造成自我的幸福園地。”讓我做一個教育的智者，去除那些浮躁與不安，趕走那些虛華與不平，在鄭教師的感染下，愛教育，愛工作，愛家庭，愛生活，愛學生，淡定地享受育人的歡樂!

 

今日的學習讓我充實，明天的學習值得期待!仰望星空，名師們身上那種從不停止追求教育夢想的精神正在閃爍!俯瞰大地，我們正把初長的根須努力植進貧瘠的土地!在和名師共舞的時刻，讓我們一路歡歌!

 

 

個人總結5

 

時間匆匆的流逝，而我們的暑假生活也即將告一段落，回想著我已經成為過去的暑假生活，不僅僅趣味，并且讓我學會了許多的道理。

 

暑假生活，是伴隨著炎熱款款而來。而炎熱的夏季往往是考驗人毅力的時候，每個人的毅力不一樣，但求知的大門永遠敞開。就看遠處的你我愿不愿走進。走過了炎熱，也就代表你走上了一個新的起點。

 

隨著那炎熱的夏季到來，我聽說學校要辦數學奧賽班，我報名參加了。可是許多同學怕熱怕累在家避暑乘涼。也就把這大好的學習機會錯過了。俗話說：“學無先后，達者為師。”只要我努力利用這個暑假，我相信我必須比那些沒補習的同學見識廣、收獲多。

 

最終到了開學前幾天，天氣涼爽，我每一天早到校，認真聽教師講課，仔細記錄，把不明白，的問題畫上圈，問教師。沒過幾天，天氣逐漸增熱，坐在教室里一絲風也沒有，頭昏腦脹，心煩意亂，樹上知了不停的叫。教師講課我一點都聽不心去，我打了退堂鼓，不想了去了。

 

我無意中看書，看到童第周這篇課文，童第周學習十分差，但他艱苦努力，早上、晚上都合理利用學習，從最終一名成為第一名。我從中受到很大的啟發：無論做什么事要想成功，必須付出辛勤的勞動和汗水，才能獲得豐收的喜悅。這又使我想起一句名言：“一分耕耘，一分收獲。”多么好的名言，我的精神一下子提上來了，我找到了精神需要的補品。向以往那樣，我又好好學習，每一天教師帶我們去知識的海洋，攻破了一道道難關。得到了一份份完美的戰利品。我們高高興興地捧著戰利品，等待下一關的挑戰。時間如流水，一去不回到。在這短短的時間里我們得到教師的培養，知識的澆灌。并使我們堅定了信念，鍛煉了意志和不斷學習攀登的精神。

 

第8篇：學習總結數學范文

一、 思想政治方面

積極參加政治學習，提高自己的政治素質和理論素養，注重自己思想道德水平的提高。平時積極參加學校組織的各類會議及本組開展的教研活動，積極參加升旗儀式。遵守教師職業道德，時刻注意自己的一言一行，維護教師形象，為人師表。在日常生活中，以真誠與人交往，和其他老師們團結協作，愉快的開展工作。

二、 教學工作，一絲不茍

（一）搞好備課

備課對于每門課程的教學而言，都是必不可少的環節，信息技術學科教學也不例外。在備課的過程中，我首先對所要教授的知識進行全面的研究、歸納、總結，并根據教授對象的不同特點找到教授的最佳方法與方式。在此基礎上將所備內容在計算機上進行逐一推敲、驗證、演練，以使一些空洞的知識具有可操作性；同時，還將每個知識點構造成一個操作性實例，通過對實例的演練讓學生對知識點產生準確、完整的認識，由此得出相關的結論。從而做到對人、書、機三者進行有機結合的備課。

上好課的前提是做好課前準備，不打無準備之仗，尤其本學科主要課程都要上機完成，每節都要認真做好上機備課，檢查機器狀態，有無“不可用機器”。上課時認真講課，力求抓住重點，突破難點，精講精練。運用多種教學方法，從學生的實際出發，注意調動學生學習的積極性和創造性思維，使學生有舉一反三的能力。在學生完成上機任務時，在各臺計算機前巡視，注意對學困生進行手把手的輔導，課后及時做課后記，找出不足。

（二）抓好教學過程

任何教學活動總離不開理論與實踐相結合這條主線。信息技術更是如此。在學習書本知識階段，由于學生一周一節課，理論與實踐時間差大，我通過對比總結，把原來在教室內上一節理論課，再從微機房上一至兩節實踐課，改為全部在微機室上課，四十五分鐘時間，基本按“講—練—講—練—總結”這個模式，教師利用10分鐘左右的時間通過教師主機邊講邊操作演示，把每一個知識點視難易程度，進行一至二遍講解和演示，然后讓學生模仿練習15分鐘左右，接著教師利用5分鐘的時間對學生練習中出現的問題及重點進行第二次講解，之后學生再練習10至15分鐘，最后5分鐘時間教師抓住教學重點進行總結，把所學知識點系統起來。每一節課根據教學內容不同，可以有不同的時間安排。這樣一路走下來，學生基本上能夠掌握所學知識。

三、努力方向：

1、加強自身基本功的訓練，課堂上做到精講精練，注重對學生能力的培養，知識上做到課課清，段段清。

2、對差生多些關心，多點愛心，再多一些耐心，使他們在對計算機的認識上有更大進步。

3、加強機房紀律和機器使用道德方面的教育，使學生不僅在班級集中注意力學習，在機房上機時也要按規定嚴格約束自己。

4、利用各種方法，訓練學生提高，集中注意力。

5、在網站設計和多媒體課件制作上下功夫，努力使學校的網站和學校的多媒體課件的水平在原有的基礎上有更大的進步。

教育工作，是一項常做常新，永無止境的工作。社會在發展，時代在前進，學生的特點和問題也在發生著不斷的變化。作為有責任感的教育工作者，必須以高度的敏感性和自覺性，及時發現，研究和解決學生教育和管理工作中的新情況，新問題，掌握其特點，發現其規律，盡職盡責地做好工作，以完成我們肩負的神圣歷史使命。

四、取得的成績和存在的問題

一個學期來，在校領導的支持和學生的努力下，順利完成教學任務，也取得了一點成績。如今年在山東省全國中小學電腦作品評比中，我校學生作品分獲省二、三等獎。雖然我們取得了一定的成績，但在一個學期的教學中也發現存在不少的問題。如在課外，學生很少能接觸電腦，很難發現、培養尖子學生；其次是信息技術課正處在改革階段，信息技術等級考與信息技術新課程改革如何銜接？相信經過我們的共同努力，這些問題很快都能得到解決。

一份春華，一份秋實，在教書育人的道路上我付出的是汗水和淚水，然而我收獲的卻是那一份份充實，那沉甸甸的情感。我用我的心去教誨我的學生，我用我的情去培育我的學生，我無愧于我心，我無悔于我的事業。讓我把一生矢志教育的心愿化為熱愛學生的一團火，將自己最珍貴的愛奉獻給孩子們，相信今日含苞欲放的花蕾，明日一定能盛開絢麗的花朵。

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第9篇：學習總結數學范文

關鍵詞：流形學習；數據降維；圖嵌入

中圖分類號：TP18文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2012)07-1576-05

在這個信息爆炸的時代，人們的生活逐漸被迅猛增長的數據所包圍。這些數據中很大部分都具有很高的維度，人們難以直接對這些數據進行處理，往往需要借助計算機的力量來對這些高維海量數據進行分析，挖掘出高維數據背后隱藏的有用的信息，從而為人們的后續決策提供依據。在完成這類高維數據分析的任務時，經常采用的方法都是傳統的線性方法，比如經典的主成分分析（PCA）[1]及多維尺度變換（MDS）[2]等方法。這類方法的優勢是算法步驟簡單，易于實現，且復雜度較低，但是它們的缺陷也同樣明顯：它們都依賴于“數據分布在高維線性空間（歐氏空間）上”這一基本假設。然而現實中的許多高維數據顯然并不能滿足這個線性假設。在實際的數據集中，數據各個維度間很難保證完全獨立，它們往往以某種形式相互影響相互作用，從而使整個數據集表現出一定的非線性分布規律。這樣，使用線性方法便很難正確發現高維非線性數據集中所蘊含的真正有意義的信息，便會導致所謂的“維數災難”，這樣就使得信息技術的進一步應用受到很大限制。因此，如何有效地從高維非線性數據中提取出有用信息一時間成為信息科學技術所面臨的基本問題。

2000年，Seung等人在SCIENCE上發表文章稱，現實世界中的高維數據集都可以看成是近似分布在一個低維非線性流形上的，而通過對這個低維流形進行分析就能夠獲得它所對應的高維數據集的各種性質。至此，一種全新的處理高維非線性數據集降維問題的方法——流形學習就第一次被正式提了出來。

流形學習可以被描述為一種從高維數據集中恢復其低維流形結構的數據降維方法。也即，從高維數據集的分布中挖掘出其符合的低維流形結構，并將此低維流形結構在低維歐氏空間中表示出來，獲得對應的低維坐標，從而實現數據降維的目的。流形學習算法突破了線性方法的諸多先天不足，能夠從本質上發掘出數據集的內在規律，得出與高維數據集最為相近的低維嵌入坐標，因此，該類算法一經提出，就獲得了廣泛的關注和討論，并很快成為了處理高維非線性數據集降維問題的標志性算法。在流形學習算法被提出后的數十年間，它的有效性和算法效率也被無數的實驗和實際應用所證實，時至今日依然展現出了強大的生命力。流形學習的代表性算法包括局部線性嵌入（LLE）[3]、等距特征映射（ISOMAP）[4]、拉普拉斯特征映射（LEM）[5]以及局部切空間排列（LTSA）[6]、最大方差展開（MVU）[7]和擴散映射（DFM）[8]等算法。這些算法在遵循了流形學習的一般框架之外，都具有各自非常鮮明的特點，都取得了良好的算法效果。

1流形學習算法概覽

下面先結合三個典型的流形學習算法，詳細介紹它們的算法思想，算法步驟以及算法特點，并為后文探索該類算法的共性做好鋪墊。

1.1局部線性嵌入（LLE）

首先介紹LLE算法。它是一種非監督的學習算法，能夠計算高維數據的的低維嵌入，這種嵌入保留了數據的鄰域性質。假設數據是分布在一個非線性流形上，它最終是被映射到一個獨立的低維全局坐標系上去的。這種映射是通過局部線性重構的的對稱性而獲得的，而且嵌入結果的計算最終是歸結于一個稀疏矩陣特征值問題的。

LLE算法在計算低維嵌入的過程中遵循的一個最重要的原則：高維空間中相鄰的點在低維空間中仍然保持相鄰，并且整體上來說，數據點的分布也與高維空間中的分布相似。在適當的條件下，僅僅從高維空間的鄰域中的幾何性質也能夠獲得這種低維嵌入。

首先，假設數據由N個實值向量Xi構成，每一個向量的維數都為D，從一個光滑的潛在流形上采樣而來。當數據點的個數很充足（也就是此流形是良好采樣）的時候，就可以認為每一個數據點和它的鄰域都是分布或者近似分布在一個流形的一個局部線性的小塊上的。對于每一個數據點，總存在一些鄰近的點，它和這些鄰近的點就可以定義一個流形上的近似的線性平面。在這種情況下，每個數據點就能夠用它的鄰域來進行重構，得到的線性系數就用來刻畫每個數據點鄰域內的局部幾何特性。最后就是運用這個權重矩陣來恢復低維空間中的嵌入數據。LLE算法的詳細過程可敘述如下：

1）鄰域搜索。LLE方法中的第一步就是確定每個數據點的鄰域。確定鄰域的方法主要有兩種，一種是K鄰域法，也就是對每個數據點取它的K個最鄰近的點作為鄰域，這是用歐氏距離來度量的。另一種方法就是對每個數據點定義一個半徑固定的球域，所有在此球域范圍內的點都被當成是它的鄰域。但是在實際應用中也可以根據一定的先驗知識靈活決定鄰域搜索的辦法。

2）約束最小二乘優化。LLE算法的第二步是將每一個數據點由它的鄰域重構出來。這是通過解決一個約束最小二乘優化的問題來實現的。最小代價函數為：

ε=|x-∑jwjηj|2=|∑jwj(x-ηj)|2=∑jkwjwkGjk

(1)

其中Gjk=(x-ηj)?(x-ηk)。然后求解以下線性方程組：∑kGjkwk=1，再調整w的權值使其和為1。則得到的結果向量wk就是每個點的重構系數，將所有wk寫成矩陣形式得到的矩陣W即為權重矩陣。

3）特征值問題。LLE算法的最后一步就是基于第二步中建立的權重矩陣W來計算高維輸入Xi的低維嵌入。低維輸出Yi是在W固定的情況下，通過最小化如下代價函數所獲得的：

Φ(Y)=∑

(6)

在滿足上述兩個限制條件的同時，再對代價函數公式（2）進行優化，就得到了最優化的嵌入。這是通過求解矩陣M的第2到第d+1小的特征值所對應的特征向量來實現的。1.2等距特征映射（ISOMAP）

下面再接著介紹ISOMA算法。ISOMAP算法是另一種非常經典的流形學習算法，它建立在古典MDS方法的基礎上，通過獲取所有點對之間的測地距離，力求能夠保留數據的內在幾何特征。此方法的難點在于如何在僅僅知道輸入空間中點的距離的情況下，對離的很遠的點估計它們的測地距離。對近鄰點，輸入空間中的距離很大程度上能夠看成是測地距離的近似。而對于離的較遠的點，測地距離則通過將鄰近點間的距離逐一相加來近似得到。

ISOMAP算法同樣可以分為三個步驟：

1）確定數據點間的鄰域關系。這是通過輸入空間X中任意兩點i和j之間的距離dX(i,j)來決定的。具體來說，這又有兩種簡單的方法。第一種是規定一個固定的半徑ε，以一個點為中心，所有在此半徑范圍內的點都稱作這個點的近鄰點；另一種方法是選擇一個點的K個最鄰近的點作為它的近鄰點。這些近鄰關系是通過定義在數點上的賦權圖G來表示的，相鄰的點之間存在一條邊，邊的權重就賦予它們的距離dX(i,j)。

2）Isomap通過計算圖G中的最短路徑距離dG(i,j)來估計流形M上所有點間的測地距離dM(i,j)。一個用來尋找最短路徑的簡單算法如下：首先初始化dG(i,j)，令當i,j之間有邊連接時，dG(i,j)=dX(i,j)；否則dG(i,j)=∞。然后依次為每一個k=1，2，…，N，用min{dG(i,j),dG(i,k)+dG(k,j)}來代替dG(i,j)。得到的最終結果DG={dG(i,j)}就包含了圖G中所有點之間的最短路徑距離。

3）將古典MDS方法運用到圖G的距離矩陣DG上，構建出d維歐氏空間Y上的嵌入數據，構建出的嵌入數據能夠最好的保留流形的預計內在幾何特征。而低維空間Y中點的坐標向量yi的選取必須使得如下的代價函數取得最小值。

E= sdvd]中的行向量就是最合適的d維嵌入坐標，也是整個算法的最終輸出。1.3拉普拉斯特征映射（LEM）

將要介紹的第三個流形學習算法是LEM算法。它運用圖的Laplacian概念，可以計算出數據集的低維表示，能夠在某種意義下最好地保持局部鄰近信息。算法所產生的映射可以看作是對流形幾何的連續映射的一種離散逼近。LEM算法的核心是使用Laplace Beltrami算子在流形上達到最優化的嵌入。此算法用數據點的鄰域圖來近似流形，用鄰域圖的含權Laplace矩陣來近似Laplace Beltrami算子。由于Laplace Beltrami算子在熱傳導方程中的關鍵作用，這就為選擇熱核作為權的衰退方程提供了理論支持。另外，Laplace特征映射保持局部特征的性質使得它對噪聲不敏感，即使只使用局部距離，也不易引起短路。

LEM算法的具體過程可表述如下：

1）建立鄰接圖。如果xi和xj“鄰近”，就在節點i和j之間置一條邊，這一步驟與上述的兩種算法相同，都有兩種做法：ε-鄰域法或者K-最近鄰域法。

2）選擇權值。同樣的，也有兩種為邊確定權值的方法。（a）熱核（Heat Kernel）法[參數t∈R ]：

2從圖嵌入的視角看流形學習算法

上面介紹了三種很有代表性的流形學習算法，可以看出，雖然它們的算法目標不同，各自保持的數據集性質不同，計算過程也是各有偏重，但是，它們同作為流形學習算法的代表，還是有很多能體現這一類算法共性的相似之處的。

其中，比較明顯的就是，這三種算法的步驟都大致相同。比如，算法的第一步都是確立數據點的鄰域關系，第二步都是根據鄰域關系對數據集進行某一方面的刻畫，比如LLE刻畫鄰域點間的重構線性系數；ISOMAP刻畫鄰域點間的相互距離，從而得到全局各點間的最短路徑距離；LEM刻畫鄰域點間的相互遠近關系。算法的第三步就是將第二步中得到的關于數據集某一方面信息的刻畫保持到低維輸出結果中去，從而使得低維輸出結果在我們想要保持的那種性質方面盡可能的逼近高維原始數據。這樣一來，各算法間的區別就可以看成是它們想要在低維嵌入結果中保持的原始數據集的哪種性質了，而這些算法從整體上看，可以說是共同遵循了某種特定的框架。

而在文獻[9]中，作者就提出，目前所有這些流形學習算法，都可以統一在圖嵌入的框架下，都可以從譜圖理論的角度作統一的解讀。下面就將作者文中的一些觀點做一個綜述。

對于流形學習算法，算法的輸入為：X=[x1,x2,...,xN]，其中xi∈Rm，N是輸入點的個數，D是輸入數據的維數；算法的輸出則是Y=[y1,y2,...,yN]，其中yi∈Rm’，m’

其中d是常數，B是為了避免代價函數出現平凡解而定義的約束矩陣，通常是一個用于控制解的規模的對角矩陣。由這樣的圖保持標準所帶來的相似性保持性質就有兩方面的解釋，如果樣本點xi和xj有較大的相似性，那么它們對應的嵌入點yi和yj就應該距離相近；反之，如果xi和xj相似性較小，則yi和yj也應相互遠離。

上述分析就給出了圖嵌入的一般框架，可以看出，圖嵌入的核心思想就是在低維輸出結果中保持相似性圖上各點間的相似性。這顯然與各種流形學習算法的目標是一致的。而這也是流形學習算法能夠統一在圖嵌入框架下的根本原因。下面就將具體描述前一節中介紹的三種流形學習算法是如何描述成圖嵌入的方法的。

首先看LLE方法。LLE方法在將輸入數據映射到低維空間中去的時候注重保持的是鄰域點間的相互關系。首先要計算的是局部重構系數矩陣M，滿足∑j∈Nk(i)Mij=1，其中Nk(i)是樣本點xi的k個最近鄰的索引集，然后低維表示y就是通過最小化代價函數∑i來實現的。如果令圖嵌入中的相似矩陣W=M+MT+MTM，B=I，那么LLE的代價函數公式（2）就可以和圖嵌入的代價函數公式（10）完全的等同起來。所以，LLE和圖嵌入的等價關系由此可以直接建立起來。

再看ISOMAP方法。ISOMAP在尋求數據集低維表示的過程中所注重的是對數據點間測地距離的保持。令最短路徑矩陣DG為獲得的近似測地距離矩陣，函數τ(DG)=-HSH/2就將距離矩陣轉換為了相應的內積矩陣（其中H=I-eeT/n，Sij=D2G(i,j)。如果令W=τ(DG)，B=I，那么ISOMAP中求解τ(DG)的最大特征值對應特征向量的問題就可以和求圖嵌入的代價函數公式（10）的最優解等價起來。所以ISOMAP方法也可以看成是圖嵌入的另一個例子。

最后再來看LEM方法。它保持的是鄰域點間的相似性。LEM方法和圖嵌入的聯系算是所有流形學習算法中最緊密最直觀的了，因為它的代價函數和圖嵌入的代價函數具有完全相同的形式。只是在具體的選擇相似矩陣W時有兩種不同的方法，一種是選

3流形學習算法成功的條件

前面兩節中詳細介紹了幾種代表性的流形學習算法，可以說，經過人們不斷的研究和擴展，流形學習算法作為一種能夠處理非線性數據降維問題的一類算法已經得到了很廣泛的應用，并在很多數據集上都取得了成功。但是，流形學習算法也并不是對任何數據集都能取得很好效果的，甚至對一些很簡單的數據集，算法卻有可能會輸出一些很離奇的結果。這種情況就是流形學習算法的一些固有缺陷的反映，比如，流形學習算法的低維輸出結果只考慮使代價函數取得最小值而完全不考慮所選擇的特征向量是否有意義。對于這種固有的缺陷，下面將要介紹的這篇文章[10]就作出了詳細的分析，并列出了想要算法取得成功就必須滿足的一些條件。

在本文中，作者首先對何為算法的“失敗”給出了一個明確的定義：令X=XN×d為原始樣本。輸入是由ψ(X)?RD給出的，其中ψ:RdRD是光滑映射，D≥d是輸入數據的維數。令Y=YN×d是原始樣本X的一個仿射變換，這樣就能滿足上述正則化約束。當算法成功的時候，就意味著輸出應該與Y很相似。令Z=ZN×d為任何滿足正則約束的矩陣，如果存在這樣的Z使得Φ(Y)>Φ(Z)，就認為算法失敗了。其中Z是和Y顯著不同的，因而也是和X顯著不同的。或者說，如果存在一個顯著不同的Z，它的代價比最適當的嵌入Y要小，那么算法就失敗了。這篇文章中并沒有明確的給出“顯著不同”的定義，通常來看，當Z的維數比Y小時就認為Z與Y是顯著不同的。這里的矩陣Z并不一定要與算法的輸出相似，它僅僅是一個數學的構造，來顯示流形學習算法的輸出結果并不一定總能恢復流形的真實結構。

然后作者以一個用LEM來處理二維流形嵌入的例子來說明，流形學習算法的成功都是有一定條件的，面對特定數據集時算法可能會產生失敗。設輸入數據集X是一個二維格子[-m,…,m]×[-q,…,q]，其中m≥q，將輸入點xij記為xij=(i,j)。為了簡單，將輸入數據集X記為X=（X(1),X(2)），這是一個N×2矩陣，其中N=(2m+1)(2q+1)代表了格子中的點數。在這個特定的例子中，原始樣本和輸入數據集是一樣的。接下來看兩種不同的嵌入Y和Z。嵌入Y就是格子本身，規范化之后以滿足Cov(Y)=I。嵌入Z則將每一列映射到一個點，而得到的點形成了二維平面上的一條曲線，并滿足Cov(Z)=I。嵌入Z顯然不能保持格子數據的原始結構。首先正式的定義這些嵌入。定義Y?=X(X’DX)-1 2，而它是滿足Y?’D1=0和Y?’DY?=I的對X的唯一線性變換。再定義Y=XCov(X)-1 2，可知Y’1=0，Cov(Y)=I，當K

4流形學習中的一些問題

流形學習算法自2000年首次被提出以來，經過人們不斷的研究與完善，如今已相對比較成熟，而且已經在很多其他領域中得到了廣泛的應用。但是，關于流形學習算法仍然有一些公開的問題并沒有能夠得到很好的解決，這些問題已經成為制約著流形學習取得進一步發展的重要因素。

比如說，在算法的鄰域搜索步驟中，鄰域選擇的參數K或者ε往往是人們憑經驗或者某種對數據集的先驗的了解給出的，而并不是通過某種規則推導得出的。這就使得這兩個參數的選擇有很大的隨意性，可能會影響算法的效果。更關鍵的是，流形學習算法都是建立在一個根本的假設之上的：流形上足夠小的一個局部鄰域可以被看成是一個線性空間。流形學習算法一個最普遍的做法就是，使用線性的方法對每個局部鄰域進行分析，然后將每個局部鄰域的信息匯集起來得到對整個流形的刻畫。所以，流形學習算法取得成功的基礎就在于，每個局部鄰域真的能近似的看成一個線性的子空間。而控制局部鄰域是否構成一個線性子空間的，正是算法的鄰域參數K或者ε。如果對鄰域參數的確定沒有明確的選擇方法，那就意味著算法對所選取的每個局部鄰域是否能真實的逼近一個線性子空間沒有一個理論上的保證。這才是確定鄰域參數中真正的問題所在。比如一個彎曲程度較大的二維流形，為了算法的成功，所選取的鄰域應該能夠近似的逼近一個二維平面，而對于某個給定的鄰域參數K，在流形上比較平坦的區域，K個點所構成的鄰域能很好的逼近二維平面，而在流形上彎曲程度較大的區域，K個最近鄰點就有可能無法構成一個二維平面而只能看作是一個曲面。在這個曲面上運用線性的方法，比如計算相互間的歐氏距離，來獲得關于此鄰域的刻畫顯然是不真實的。再比如在一些密度分布不均勻的數據集上，取多少個鄰域點才能構成一個近似的線性空間，同樣是一個現有算法無法解決的問題。目前針對這一問題還沒有一個十分完美的解決方案。有一些方法試圖對此作出優化，比如可以根據數據集局部的密度或者曲率的不同靈活的調整鄰域個數的選擇，但是對于鄰域參數的選擇與鄰域能否構成一個線性子空間之間理論上的聯系仍然沒有一個很完善的結論。這算是流形學習算法中留待解決的一個疑問。

流形學習算法中另一個公開的問題是流形本質維度確定的問題。流形學習算法的目標是將尋求分布在流形上的高維數據集的低維表示，而這里低維的維數就應該是流形的本質維度，在一般算法中，流形的本質維度是作為算法的參數先驗的給出的。在為了驗證流形學習算法的有效性而經常用到的幾個人造數據集中，它們所在流形的本質維度是很容易看出的，因而算法作為參數的低維維度很容易確定。而在絕大多數的實際數據集中，數據集所在流形的維度是無法直接看出的，需要通過計算才能給出。目前比較普遍的確定流形本質維度的方法主要是計算殘差法，即作出算法輸出結果的殘差隨輸出維度的變化而變化的曲線，將曲線的拐點處對應的維度作為流形的本質維度。這樣做一個主要的問題就是，拐點只是一個相對的概念，有的時候不同的維度所對應的曲線斜率變化相差并不大，難以確定真實的拐點。而且，單憑所謂拐點來確定流形本質維度同樣沒有理論上的證明，目前的方法只能被證明是選出了“最適合”的嵌入維度。能否更有效率且更準確的獲得數據集所在流形的本質維度，這也將是決定著流形學習算法能否擴展其應用領域的重要因素。

除此之外，流形學習算法中還有一些其他的問題也是值得深入探究的。比如多流形上的數據集的降維問題，即如何將分布在多個流形相互交叉和重疊的“多流形”上的數據集統一的在一個低維坐標系中表示出來，就是一個很有意義卻還沒能得到很好解決的問題；而如何發掘出數據集中隱藏的其他有意義的信息，并將其作為對高維數據性質的新的刻畫，從而豐富和發展流形學習算法的方法和種類（就像當初擴散距離被引入到流形學習中而形成的擴散映照算法），也同樣是一個很有挑戰性的問題。

5總結

本文對當前的流形學習作了一個較為全面的綜述。包括介紹了幾種最具代表性的流形學習算法，并介紹了如何從圖嵌入的角度將這些算法統一起來，探討了算法能否取得成功的一些判定條件。本文的主要工作在于對流形學習領域的主要工作及相關成果作了一個總體的介紹，對涉及到的相關問題作了一個簡單的梳理。當然，本文主要選取了各個方面的一些代表性文章作了介紹，對流形學習領域的所有成果顯然無法全部涉及。相信隨著對流形學習研究的不斷深入，流形學習目前所遇到的一些難題一定會得到解決，流形學習作為一種很有潛力的學習算法，一定能夠得到更廣泛的應用。

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