高中數學抽象概括能力培養方式淺議

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【摘要】數學抽象概括能力是數學思維的一大核心能力，也是學生理解數學、應用數學的重要條件。教師在高中數學教學中要加強對學生抽象概括能力的培養，引導學生在數學學習中自覺排除本質因素的干擾，使學生能準確抓住問題的特征，由表及里地進行分析和解決。本文通過數學概念形成過程、圖形關系和數學習題變式訓練等方式來培養學生的數學抽象概括能力，從而促進學生學習效率的提高。

【關鍵詞】高中數學；抽象概括；能力培養

數學抽象概括能力是數學核心素養的重要組成部分，也是每個學生應具備的基本數學素養。它對提高學生的數學學習能力具有重要幫助作用，如何才能培養學生的數學抽象概括能力，筆者在高中數學教學中進行了實踐探索。

一、經歷概念形成過程，培養抽象概括能力

數學概念的形成過程是一個抽象概括的過程，是通過對各種數學關系的表形形式進行歸納總結，最后抽象概括出具有普遍性的數學本質。教師在數學概念教學中，常常是直接給出定義，講解概念本質屬性、內涵與外延，最后進行鞏固練習。這種簡明直接的數學概念教學方法，既不利于學生掌握概念，也不利于培養學生的抽象概括能力。教師只有在概念的形成過程中去啟發學生，讓學生經歷數學概念本質屬性的抽象概括過程，學生才能真正理解數學概念。例如，在教學高中數學“空間兩條直線的位置關系”時，教師可通過概念的形成過程來培養學生的數學抽象概括能力。可從以下四個步驟教學。一是直觀感知具體數學事例。教師可在同一平面內兩條直線位置關系的基礎上，為學生展示生活中空間兩條直線位置關系的事例，如課桌的四條邊、立交橋兩個路面的交通線、旗桿與地基邊沿線等。讓學生感知這些空間體中哪些線能相交，哪些不能相交。二是歸納分析事例數學屬性。在對數學事例感知的基礎上，學生通過觀察、比較來分析這些線段或直線的相同點與不同點。可按照相交與不相交（有沒有公共點）來區分兩條直線的位置關系，也可以按照在不在一個平面進行區分，還可按平行與不平行進行區分。以此來歸納分析這些事例中包含的數學屬性（兩條直線的位置關系）。三是邏輯演繹篩選本質屬性。歸納了這些事例的數學屬性后，學生要進行嚴謹的邏輯演繹，以此來篩選出這些數學事例中最本質的屬性（特征）是什么，如立交橋兩個路面的交通線是不相交、不平行、不在同一平面內的兩條直線，就可確定它們是異面直線。四是概括本質屬性形成概念。最后教師引導學生對空間內兩條直線的不同位置關系進行概括總結，從特殊情況再擴展到一般情況，最后就能形成“空間兩條直線的位置關系”完整的數學概念。教師通過這四個步驟，既能培養學生的抽象概括能力，又能使學生深入理解數學概念。

二、通過圖形關系類比，培養抽象概括能力

圖形與數量是數學知識的兩個主要方面，運用圖形和圖形關系能把數量之間具有的抽象關系變得具體化、直觀化，特別是借助于數形結合的思想方法，更有利于培養學生的數學抽象概括能力。例如，在高一必修1的《對數函數性質》教學時，可利用圖形關系和數形結合思想方法來培養學生的數學抽象概括能力。學生要掌握對數函數的性質，首先應掌握對數函數圖象的畫法，可以運用“列表—描點”的傳統方法繪制，還可以利用已經學過的指數函數的圖象，再根據指數函數與對數函數的圖形y=x關于對稱的關系，就可以畫出對數函數的圖象。借助于對數函數圖象的性質，再與指數函數的性質進行類比，就能讓學生抽象概括出對數函數的性質：對數函數的定義域是（0，+∞）、值域是R，而指數函數的定義域是R、值域是（0，+∞），兩者正好相反；兩個函數都是非奇非偶函數；在單調性方面，兩個函數具有相同的性質，即當a>1時，兩者單調遞增，當0<a<1，兩者單調遞減；對數函數經過（1，0）特殊點，而指數函數經過（0，1）特殊點；對數函數的對稱軸是x軸，而指數函數的對稱軸是y軸。在《對數函數性質》教學中，教師遵循了“從具體到抽象”的教學過程，通過借助于對數和指數函數的圖象關系進行類比抽象，使學生很容易掌握對數函數的性質，同時促進了學生數學抽象概括能力的提升。習題訓練是高中數學教學的重要內容，在習題訓練

三、運用習題變式訓練，培養抽象概括能力

師可借助于變式訓練來培養學生的數學抽象概括能力和創新思維能力教師可通過改變原題目的某些條件或所求結論，來訓練學生解題思維的拓展性、整體性和邏輯性，達到培養學生數學抽象概括能力的目的。例如，如果a=，b=，c=，那么a、b、c三者之間的大小關系是（）解析：要解此題可先解決與之相關的問題，進行變式訓練：變式1：比較、、大小；變式2：求f（x）=的單調區間。通過比較（）、（）、（），就容易得出；；函數f（x）=在區間（0，+∞）是單調遞增，∴，即可推出。教師在本題中運用變式訓練來進行類比構造，并通過對相關的知識體系進行抽象概括，既實現了所求問題的轉化，也實現了學生抽象概括能力的遷移。四、梳理學生思路，培養抽象概括能力部分。在運用數學知識的過程中，教師應該充分發揮自身指導作用，使學生了解與掌握解題思路，總結學習方法，發現探索與解答問題規律，通過應用實踐教學，提高學生的抽象概括能力。在高中數學教學中，應用實踐問題是教學環節中的一個重要問題。教師可通過舉例形式，培養學生自主解決問題的意識以及抽象概括能力，明確此類應用問題的解題思路與解題方法，幫助學生找到快速解答問題的方案。例如，在高中數學教學中三角函數問題至關重要，教師可引導學生利用三角函數圖象的性質來解決這一問題。在具體解題過程中教師還可引導學生從正弦函數、余弦函數和切線函數三個方面來分析圖象的特征。分析函數表達式，比較正弦函數和余弦函數之間存在的差異性，繪制函數坐標圖，要求學生對各函數之間存在的關系進行總結。將所學理論知識應用到實際習題練習中，學生可以獨立地將這些已知變量和未知變量代入到公式中。教師可舉例，要求學生作答，如果函數y=3sin（x+）的反比例函數為H，如何獲得y=3sin（x-）的反比例函數圖象。教師應不斷開拓學生思維，引導學生總結知識，培養學生的抽象概括能力，為高中數學教學質量與教學效率的有效提高奠定堅實基礎。總之，在高中數學教學中，培養學生的數學抽象概括能力，對學生的數學能力提升具有重要意義。因此，教師要注重利用數學概念形成過程、圖形關系和習題變式訓練，來培養學生的數學抽象概括能力，從而促進學生的數學核心素養培養。

作者:楊帆 單位:重慶璧山中學