高三數學總結精選(九篇)

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第1篇：高三數學總結范文

新的高考形勢下，高三數學怎么去教，學生怎么去學？無論是教師還是學生都感到壓力很大，針對這一問題備課組在王修漢校長、謝鎮祥主任的領導下，在張群懷主任的具體指導下，制定了嚴密的教學計劃，提出了優化課堂教學，強化集體備課，培養學生素質的具體要求。即優化課堂教學目標，規范教學程序，提高課堂效率，全面發展、培養學生的能力，為其自身的進一步發展打下良好的基礎。

在集體備課中，注重充分發揮各位教師的長處，集體備課前，每位教師都準備一周的課，集體備課時，每位教師都進行說課，然后對每位教師的教學目標的制定，重點、難點的突破方法及課后作業的布置等逐一評價。集體備課后，各位教師根據自己班級學生的具體情況進行自我調整和重新精心備課，這樣，總體上，集體備課把握住了正確的方向和統一了教學進度，對于各位教師來講，又能發揮自己的特長，因材施教。

二 立足課本 夯實基礎

實行新教材后，高考的要求和高考的內容都發生了很大的變化，這就要求我們必須轉變觀念，立足課本，夯實基礎。復習時要求全面周到，注重教材的科學體系，打好“雙基”，準確掌握考試內容，做到復習不超綱，不做無用功，使復習更有針對性，細心推敲對高考內容四個不同層次的要求，準確掌握那些內容是要求了解的，那些內容是要求理解的，那些內容是要求掌握的，那些內容是要求靈活運用和綜合運用的；細心推敲要考查的數學思想和數學方法；在復習基礎知識的同時要注重能力的培養，要充分體現學生的主體地位，將學生的學習積極性充分調動起來，教學過程中，不僅要展現教師的分析思維，還要充分展現學生的思考思維，把教學活動體現為思維活動；同時還適當增加難度，教學起點總體要高，注重提優補差，新高考將更加注重對學生能力的考查，適當增加教學的難度，為更多優秀的學生脫穎而出提供了更多的機會和空間，有利于優秀的學生最大限度發揮自己的潛能，取得更好的成績；對于差生充分利用輔導課的時間幫助他們分析學習上存在的問題，解決他們學習上的困難，培養他們學習數學的興趣，激勵他們勇于迎接挑戰，不斷挖掘潛力，最大限度提高他們的數學成績。

三 因材施教 全面提高

今年高考采用新的模式，學生選修的科類不同，因此學生的整體情況不一樣，同一班級的學生，層次差別也較大，給教學帶來很大的難度，這就要求每位教師要從整體上把握教學目標，又要根據各班實際情況制定出具體要求，對不同層次的學生，應區別對待，這樣，對課前預習、課堂訓練、課后作業的布置和課后的輔導的內容也就因人而異，對不同班級、不同層次的學生提出不同的要求。在課堂提問上也要分層次，基礎題一般由學生來做，以增強他們的信心，提高學習的興趣，對能力較強的學生要把知識點擴展開來，充分挖掘他們的潛力，提高他們邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。課后作業的布置，既有全體學生的必做題也有針對較強能力的學生的思考題，教師在課后對學生的輔導的內容也因人而異，讓所有的學生都能有所收獲，使不同層次的學生的能力都能得到提高。

四 優化練習 提高練習的有效性

知識的鞏固，技能的熟練，能力的提高都需要通過適當而有效的練習才能實現；首先，練習題要精選，題量要適度，注意題目的典型性和層次性，以適應不同層次的學生；對練習要全批全改，做好學生的錯題統計，對于錯的較多的題目，找出錯的原因。練習的講評是高三數學教學的一個重要的環節，為了最大限度地發揮課堂教學的效益，課堂的講評要科學化，要注重教學的效果，不該講的就不講，該點撥的要點撥，該講的內容一定要講透；對于典型問題，要讓學生板演，充分暴露學生的思維過程，加強教學的針對性。多做限時練習，有效的提高了學生的應試能力。

五 加強應試指導 培養非智力因素

充分利用每一次練習、測試的機會，培養學生的應試技巧，提高學生的得分能力，如對選擇題、填空題，要注意尋求合理、簡潔的解題途經，要力爭“保準求快”，對解答題要規范做答，努力作到“會而對，對而全”，減少無謂失分，指導學生經常總結臨場時的審題答題順序、技巧，總結考前和考場上心理調節的做法與經驗，力爭找到適合自己的心理調節方式和臨場審題、答題的具體方法，逐步提高自己的應試能力；幫助學生樹立信心、糾正不良的答題習慣、優化答題策略、強化一些注意事項。

第2篇：高三數學總結范文

一、精心準備，認真備課

因材施教因人施教，備課時，不但備學生而且備教材備教法，根據教材內容及學生的實際，設計授課類型，擬定教學方法，并對教學過程的程序及時間安排都作了詳細的記錄，認真寫好教案。讓每一課都做到“有備而來”，每堂課都在課前做好充分的準備，并制作各種利于吸引學生注意力的有趣教具，課后及時對該課作出評價與總結，寫好教學后記，并認真按搜集每節課的知識要點，歸納成集。

二、增強上課技能，提高教學質量

力求講解清晰化、條理化、準確化。在課堂上特別注意調動學生的積極性，加強師生交流，充分體現學生的主作用，讓學生學得容易，學得輕松，學得愉快;注意精講精練，在課堂上老師講得盡量少，學生動口動手動腦盡量多;同時在每一堂課上都充分考慮每一個層次的學生，關注學生的學習需求和學習能力，讓各個層次的學生都得到提高。

三、虛心請教其他老師

教學上有疑必問。在各個章節的學習上都積極征求其他老師的意見，學習他們的方法，同時，多聽老師的課，做到邊聽邊講，學習別人的優點，克服自己的不足，并常常邀請其他老師來聽課，征求他們的意見，改進工作。

四、認真批改作業

布置作業做到精讀精練。有針對性，有層次性。同時對學生的作業批改及時、認真，分析并記錄學生的作業情況，將他們在作業過程出現的問題作出分類總結，進行透切的評講，并針對有關情況及時改進教學方法，做到有的放矢。

五、做好課后輔導工作，注意分層教學

第3篇：高三數學總結范文

 

 

高二數學知識點總結(一)

【一】

(一)基本概念

必然事件

確定事件

1、事件不可能事件

不確定事件(隨機事件)

2、什么叫概率?

表示一個事件發生可能性的大小，記為P(事件名稱)=a;

練習一：判斷下列事件的類型

(1)今天是星期二，明天是星期三;

(2)擲一枚質地均勻的正方體骰子，得到點數7;

(3)買彩票中了500萬大獎;

(4)拋兩枚硬幣都是正面朝上;

(5)從一副洗好的牌中(54張)中抽出紅桃A。

(二)預測隨機事件的概率

1、步驟：

(1)找出所有機會均等的結果，作為概率的分母

注：不能僅憑主觀判斷，而應利用列舉法、樹狀圖、列表法等方法找。

(2)明確關注結果，作為分子

2、用列表法或樹狀圖分析復雜情況下機會均等結果

【二】

一、隨機事件

主要掌握好(三四五)

(1)事件的三種運算：并(和)、交(積)、差;注意差A-B可以表示成A與B的逆的積。

(2)四種運算律：交換律、結合律、分配律、德莫根律。

(3)事件的五種關系：包含、相等、互斥(互不相容)、對立、相互獨立。

二、概率定義

(1)統計定義：頻率穩定在一個數附近，這個數稱為事件的概率;(2)古典定義：要求樣本空間只有有限個基本事件，每個基本事件出現的可能性相等，則事件A所含基本事件個數與樣本空間所含基本事件個數的比稱為事件的古典概率;

(3)幾何概率：樣本空間中的元素有無窮多個，每個元素出現的可能性相等，則可以將樣本空間看成一個幾何圖形，事件A看成這個圖形的子集，它的概率通過子集圖形的大小與樣本空間圖形的大小的比來計算;

(4)公理化定義：滿足三條公理的任何從樣本空間的子集集合到[0，1]的映射。

三、概率性質與公式

(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特別地，如果A與B互不相容，則P(A+B)=P(A)+P(B);

(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特別地，如果B包含于A，則P(A-B)=P(A)-P(B);

(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特別地，如果A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B);

(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果，

貝葉斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;

如果一個事件B可以在多種情形(原因)A1,A2,....,An下發生，則用全概率公式求B發生的概率;如果事件B已經發生，要求它是由Aj引起的概率，則用貝葉斯公式.

(5)二項概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.當一個問題可以看成n重貝努力試驗(三個條件：n次重復，每次只有A與A的逆可能發生，各次試驗結果相互獨立)時，要考慮二項概率公式.

【三】

1.輾轉相除法是用于求公約數的一種方法，這種算法由歐幾里得在公元前年左右首先提出，因而又叫歐幾里得算法.

2.所謂輾轉相法，就是對于給定的兩個數，用較大的數除以較小的數.若余數不為零，則將較小的數和余數構成新的一對數，繼續上面的除法，直到大數被小數除盡，則這時的除數就是原來兩個數的公約數.

3.更相減損術是一種求兩數公約數的方法.其基本過程是：對于給定的兩數，用較大的數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，并以大數減小數，繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數就是所求的公約數.

4.秦九韶算法是一種用于計算一元二次多項式的值的方法.

5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.

6.進位制是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統.“滿進一”，就是k進制，進制的基數是k.

7.將進制的數化為十進制數的方法是：先將進制數寫成用各位上的數字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進制數的運算規則計算出結果.

8.將十進制數化為進制數的方法是：除k取余法.即用k連續去除該十進制數或所得的商，直到商為零為止，然后把每次所得的余數倒著排成一個數就是相應的進制數.

高二數學知識點總結(二)

第一章 算法初步

算法的概念

算法的特點

(1)有限性：

一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.

(2)確定性：

算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當 是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：

算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個 確定的 后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，并且每 一 步都準確無誤，才能完成問題.

(4)不唯一性：

求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

(5)普遍性：

很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經過 有限、事先設計好的步驟加以解決.

程序框圖

1、程序框圖基本概念：

(一)程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來 準確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：

1.表示相應操作的程序框;

2.帶箭頭的流程線;

3.程序框外

4.必要文字說明。

(二)構成程序框的圖形符號及其作用

畫程序框圖的規則如下：

1、使用標準的圖形符號。

2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。

3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退 出點的唯一符號。

4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果; 另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。

5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。

(三)、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。

1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。  

順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而

下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B

框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接著執

行B框所指定的操作。

2、條件結構：

條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結 構。條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執行A框或B 框之一，不可能同時執行A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。一個判斷結構可 以有多個判斷框。

3、循環結構：

在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況， 這就是循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含條件結構。 循環結構又稱重復結構。

循環結構可細分為兩類：

(1)一類是當型循環結構

如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執行A框，A框執行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執行A框，如此反復執行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。

(2)另一類是直到型循環結構

如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。

當型循環結構 直到型循環結構

輸入、輸出語句和賦值語句

賦值語句

(1)賦值語句的一般格式

(2)賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量;

(3)賦值語句中的“=”稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩 邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量;

(4)賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或 算式;

(5)對于一個變量可以多次賦值。

注意：

①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。

②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。

③不能利用賦值語句進行代數式的演算。(如化簡、因式分解、解方程等)

④賦值號“=”與數學中的等號意義不同。

注意：

在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執行的操作內容;“語句2”表示不滿足條件時執行的操作內容;END IF表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執行THEN后面的語句1;若條件不符合，則執行ELSE后面的語句2

第二章 統計

簡單隨機抽樣

1.總體和樣本：

1.研究對象的全體叫做總體.

2.每個研究對象叫做個體.

3.總體中個體的總數叫做總體容量.

4.樣本容量：一般從總體中隨機抽取一部分：

研究，我們稱它為樣本.其中個體的個數稱為樣本容量.

2.簡單隨機抽樣：

從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。

特點：

每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個單位完全獨立，彼此間 無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在 總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。

3.簡單隨機抽樣常用的方法：

(1)抽簽法;

⑵隨機數表法;

⑶計算機模擬法;

⑷使用統計軟件直接抽取。

4.抽簽法:

(1)給調查對象群體中的每一個對象編號;

(2)準備抽簽的工具，實施抽簽

(3)對樣本中的每一個個體進行測量或調查

5.隨機數表法

系統抽樣

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣 本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K(抽樣距離)=N(總體規模)/n(樣本規模)

分層抽樣

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志(性別、年齡等)劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

兩種方法：

(1)按比例分層抽樣：

根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取樣本的方法。

(2)不按比例分層抽樣：

有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便 于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體 時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢 復到總體中各層實際的比例結構。

2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征

1、平均值：

2、.樣本標準差：

4.(1)如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變

(2)如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變為原來的k倍

2.3.2兩個變量的線性相關

1、概念: (1)回歸直線方程 (2)回歸系數

2.回歸直線方程的應用

(1)描述兩變量之間的依存關系;利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系

(2)利用回歸方程進行預測;把預報因子(即自變量x)代入回歸方程對預報量(即因變量Y)進行估計，即可得到個體Y值的容許區間。

第三章 概 率

隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

(1)必然事件：在某種條件下，一定會發生的事件，叫做必然事件;

(2)不可能事件：在某種條件下，一定不會發生的事件，叫做不可能事件;

(3)隨機事件：在某種條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件;

(4)基本事件：

試驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用它們來描繪，這樣 的 時間叫基本事件;

(5)基本事件空間：

所有基本事件構成的集合，叫做基本事件空間，用大寫希臘字母Ω表示;

(5)頻數、頻率：

在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗 中事件A出現的次數為事件A出現的頻數;稱事件A出現的比例為事 件A出現的頻率;

(6)概率：

在n次重復進行的試驗中，時間A發生的頻率m\n，當n很大時，總是在某個常 熟附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常熟叫做事件A 的概率，記作P(A)，0≤P(A)≤1;

概率的基本性質

1.必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1;

2.當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B);

3.若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于 是有P(A)=1—P(B);

4.互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不 會同時發生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發生且事件B不發生;(2) 事件A不發生且事件B發生;(3)事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事 件A與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形;(1)事件A發生B不發生;(2) 事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。

古典概型

(1)古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。

(2)古典概型的解題步驟;

①求出總的基本事件數;

②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P(A)=#FormatImgID_5#

幾何概型

基本概念：

(1)幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積) 成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型;

(2)幾何概型的概率公式：

P(A)=

(3)幾何概型的特點：

1)試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個;

2)每個基本事件出現的可能性相等.

高二數學知識點總結(三)

一、簡諧運動

1.機械振動：機械振動是指物體在平衡位置附近所做的往復運動.

2.回復力：回復力是指振動物體所受到的指向平衡位置的力，是由作用效果來命名的.回復力的作用效果總是將物體拉回平衡位置，從而使物體圍繞平衡位置做周期性的往復運動。回復力是由振動物體所受力的合力(如彈簧振子)沿振動方向的分力(如單擺)提供的，這就是回復力的來源。

3.平衡位置：平衡位置是指物體在振動中所受的回復力為零的位置，此時振子未必一定處于平衡狀態.比如單擺經過平衡位置時，雖然回復力為零，但合外力并不為零，還有向心力.

4.描述振動的物理量：

①位移總是相對于平衡位置而言的，方向總是由平衡位置指向振子所在的位置—總是背離平衡位置向外;②振幅是物體離開平衡位置的最大距離，它描述的是振動的強弱，振幅是標量;③頻率是單位時間內完成全振動的次數;④相位用來描述振子振動的步調。如果振動的振動情況完全相反，則振動步調相反，為反相位.

5.簡諧運動：A、簡諧運動的回復力和位移的變化規律;B、單擺的周期。由本身性質決定的周期叫固有周期,與擺球的質量、振幅(振動的總能量)無關。

6.簡諧運動的表達式和圖象：x=Asin(ωt+φ0) 簡諧運動的圖象描述的是一個質點做簡諧運動時，在不同時刻的位移，因而振動圖象反映了振子的運動規律(注意：振動圖象不是運動軌跡)。由振動圖象還可以確定振子某時刻的振動方向.

7.簡諧運動的能量：不計摩擦和空氣阻力的振動是理想化的振動，此時系統只有重力或彈力做功，機械能守恒。振動的能量和振幅有關，振幅越大，振動的能量越大。

高二數學知識點總結(四)

隨機事件的概率

平面直角坐標系

證明不等式的方法

絕對值不等式

均勻隨機數的產生

隨機事件的概率

概率的基本性質

古典概型

不等式與不等關系

基本不等式

等差數列

簡單的邏輯連接詞

全稱量詞與存在量詞

基本不等式的證明

正弦定理

充要條件

三角函數的誘導公式

函數y=Asin(wx+φ)的圖像

正弦函數、余弦函數的圖象

等比數列

四種命題

三角函數模型的簡單應用

任意角的三角函數

《隨機數的產生》

不等式

等差數列的前N項和

任意角的三角函數

函數y=Asin(ωx+ψ)的圖象

任意角和弧度制

正弦函數、余弦函數的圖象

高二數學知識點總結(五)

練習:

已知方程 表示焦點在x軸

上的橢圓，則m的取值范圍是 .

(0,4)

(1,2)

練習：求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(2)焦點為F1(0,-3),F2(0,3),且a=5.

(3)兩個焦點分別是F1(-2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點;

(4)經過點P(-2,0)和Q(0,-3).

小結：求橢圓標準方程的步驟：

①定位：確定焦點所在的坐標軸;

②定量：求a, b的值.

例1 ：將圓 = 4上的點的橫坐標保持不變，

縱坐標變為原來的一半，求所的曲線的方程，

并說明它是什么曲線?

解：

將圓按照某個方向均勻地壓縮(拉長)，可以得到橢圓。

2)利用中間變量求點的軌跡方程

的方法是解析幾何中常用的方法;

練習

1 橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，

則P到另一個焦點的距離為( )

A.5 B.6 C.4 D.10

A

2.橢圓

的焦點坐標是( )

A.(±5，0)?

B.(0，±5) ?

C.(0，±12)?

D.(±12，0)

C

3.已知橢圓的方程為 ，焦點在X軸上，

則其焦距為( )

A 2 B 2

C 2 D 2

A

,焦點在y軸上的橢圓的標準方程

l 是 __________.

例2已知圓A：(x+3)2+y2=100，圓A內一

定點B(3，0)，圓P過B點且與圓A內切，求圓心

P的軌跡方程.

解：設|PB|=r.

圓P與圓A內切，圓A的半徑為10.

∴兩圓的圓心距|PA|=10-r，

即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).

∴點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓.

∴2a=10，

2c=|AB|=6，

∴a=5，c=3.

∴b2=a2-c2=25-9=16.

即點P的軌跡方程為 =1.

例3在ABC中，BC=24,AC、AB邊上的中線之

和為39，求ABC的重心的軌跡方程.

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練習

第4篇：高三數學總結范文

導數及其應用

第八講

導數的綜合應用

2019年

1.（2019全國Ⅲ文20）已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當0

2.（2019北京文20）已知函數．

（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：；

（Ⅲ）設，記在區間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．

3.（2019江蘇19）設函數、為f（x）的導函數．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；

（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．

4.（2019全國Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）為f（x）的導數．

（1）證明：f

′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；

（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

5.（2019全國Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）為f（x）的導數．

（1）證明：f

′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；

（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

6.（2019全國Ⅱ文21）已知函數.證明：

（1）存在唯一的極值點；

（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

7.（2019天津文20）設函數，其中.

（Ⅰ）若，討論的單調性；

（Ⅱ）若，

（i）證明恰有兩個零點

（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.

8.（2019浙江22）已知實數，設函數

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）對任意均有

求的取值范圍.

注：e=2.71828…為自然對數的底數.

2010-2018年

一、選擇題

1．（2017新課標Ⅰ）已知函數，則

A．在單調遞增

B．在單調遞減

C．的圖像關于直線對稱

D．的圖像關于點對稱

2．（2017浙江）函數的導函數的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年全國I卷）若函數在單調遞增，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）已知為函數的極小值點，則

A．4

B．2

C．4

D．2

5．（2014新課標2）若函數在區間（1，+）單調遞增，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

6．（2014新課標2）設函數．若存在的極值點滿足

，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

7．（2014遼寧）當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

8．（2014湖南）若，則

A．

B．

C．

D．

9．（2014江西）在同一直角坐標系中，函數與

的圖像不可能的是

10．（2013新課標2）已知函數，下列結論中錯誤的是

A．

B．函數的圖像是中心對稱圖形

C．若是的極小值點，則在區間單調遞減

D．若是的極值點，則

11．（2013四川）設函數（，為自然對數的底數）．若存在使成立，則的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．

12．（2013福建）設函數的定義域為R，是的極大值點，以下結論一定正確的是

A．

B．是的極小值點

C．是的極小值點

D．是的極小值點

13．（2012遼寧）函數的單調遞減區間為

A．(－1,1]

B．(0,1]

C．

[1,+)

D．(0,+)

14．（2012陜西）設函數，則

A．為的極大值點

B．為的極小值點

C．為的極大值點

D．為的極小值點

15．（2011福建）若，，且函數在處有極值，則的最大值等于

A．2

B．3

C．6

D．9

16．（2011浙江）設函數，若為函數的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是

A

B

C

D

17．（2011湖南）設直線

與函數，

的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為

A．1

B．

C．

D．

二、填空題

18．（2016年天津）已知函數為的導函數，則的值為____.

19．（2015四川）已知函數，(其中)．對于不相等的實數，設＝，＝．現有如下命題：

①對于任意不相等的實數，都有；

②對于任意的及任意不相等的實數，都有；

③對于任意的，存在不相等的實數，使得；

④對于任意的，存在不相等的實數，使得．

其中真命題有___________(寫出所有真命題的序號)．

20．（2011廣東）函數在=______處取得極小值．

三、解答題

21．（2018全國卷Ⅰ）已知函數．

(1)設是的極值點．求，并求的單調區間；

(2)證明：當時，．

22．（2018浙江）已知函數．

(1)若在，()處導數相等，證明：；

(2)若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．

23．（2018全國卷Ⅱ）已知函數．

(1)若，求的單調區間；

(2)證明：只有一個零點．

24．（2018北京）設函數．

(1)若曲線在點處的切線斜率為0，求；

(2)若在處取得極小值，求的取值范圍．

25．（2018全國卷Ⅲ）已知函數．

(1)求曲線在點處的切線方程；

(2)證明：當時，．

26．（2018江蘇）記分別為函數的導函數．若存在，滿足且，則稱為函數與的一個“點”．

(1)證明：函數與不存在“點”；

(2)若函數與存在“點”，求實數a的值；

(3)已知函數，．對任意，判斷是否存在，使函數與在區間內存在“點”，并說明理由．

27．（2018天津）設函數，其中，且是公差為的等差數列．

(1)若

求曲線在點處的切線方程；

(2)若，求的極值；

(3)若曲線與直線有三個互異的公共點，求d的取值范圍．

28．（2017新課標Ⅰ）已知函數．

(1)討論的單調性；

(2)若，求的取值范圍．

29．（2017新課標Ⅱ）設函數．

(1)討論的單調性；

(2)當時，，求的取值范圍．

30．（2017新課標Ⅲ）已知函數．

(1)討論的單調性；

(2)當時，證明．

31．（2017天津）設，．已知函數，

．

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）已知函數和的圖象在公共點處有相同的切線，

（i）求證：在處的導數等于0；

（ii）若關于x的不等式在區間上恒成立，求的取值范圍．

32．（2017浙江）已知函數．

（Ⅰ）求的導函數；

（Ⅱ）求在區間上的取值范圍．

33．（2017江蘇）已知函數有極值，且導函數

的極值點是的零點．（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）

（1）求關于的函數關系式，并寫出定義域；

（2）證明：；

34．（2016年全國I卷）已知函數.

(I)討論的單調性；

(II)若有兩個零點，求的取值范圍.

35．（2016年全國II卷）已知函數.

(Ⅰ)當時，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)若當時，，求的取值范圍.

36．（2016年全國III卷）設函數．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）證明當時，；

（III）設，證明當時，．

37．（2015新課標2）已知函數．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍．

38．（2015新課標1）設函數．

（Ⅰ）討論的導函數零點的個數；

（Ⅱ）證明：當時．

39．（2014新課標2）已知函數，曲線在點（0，2）處的切線與軸交點的橫坐標為－2．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）證明：當時，曲線與直線只有一個交點．

40．(2014山東）設函數（為常數，是自然對數的底數）

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數在內存在兩個極值點，求的取值范圍．

41．（2014新課標1）設函數，

曲線處的切線斜率為0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范圍．

42．（2014山東）設函數

，其中為常數．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性．

43．(2014廣東)

已知函數

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，試討論是否存在，使得．

44．(2014江蘇)已知函數，其中e是自然對數的底數．

（Ⅰ）證明：是R上的偶函數；

（Ⅱ）若關于的不等式≤在上恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）已知正數滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結論．

45．（2013新課標1）已知函數，曲線在點處切線方程為．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）討論的單調性，并求的極大值．

46．（2013新課標2）已知函數．

（Ⅰ）求的極小值和極大值；

（Ⅱ）當曲線的切線的斜率為負數時，求在軸上截距的取值范圍．

47．（2013福建）已知函數（，為自然對數的底數）．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；

（Ⅱ）求函數的極值；

（Ⅲ）當的值時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值．

48．(2013天津)已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）

證明：對任意的，存在唯一的，使．

（Ⅲ）設（Ⅱ）中所確定的關于的函數為，

證明：當時，有．

49．（2013江蘇）設函數，，其中為實數．

（Ⅰ）若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍；

（Ⅱ）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論．

50．（2012新課標）設函數f(x)=－ax－2

（Ⅰ）求的單調區間

（Ⅱ）若，為整數，且當時，，求的最大值

51．（2012安徽）設函數

（Ⅰ）求在內的最小值；

（Ⅱ）設曲線在點的切線方程為；求的值。

52．（2012山東）已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）設，其中是的導數．

證明：對任意的，．

53．（2011新課標）已知函數，曲線在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）證明：當，且時，．

54．（2011浙江）設函數，

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）求所有實數，使對恒成立．

注：為自然對數的底數．

55．（2011福建）已知，為常數，且，函數，（e=2.71828…是自然對數的底數）．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）當時，是否同時存在實數和()，使得對每一個∈，直線與曲線（∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數和最大的實數；若不存在，說明理由．

56．（2010新課標）設函數

（Ⅰ）若=，求的單調區間；

（Ⅱ）若當≥0時≥0，求的取值范圍．

專題三

導數及其應用

第八講

導數的綜合應用

答案部分

2019年

1.解析（1）．

令，得x=0或.

若a>0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減；

若a=0，在單調遞增；

若a

（2）當時，由（1）知，在單調遞減，在單調遞增，所以在[0,1]的最小值為，最大值為或.于是

，

所以

當時，可知單調遞減，所以的取值范圍是.

當時，單調遞減，所以的取值范圍是.

綜上，的取值范圍是.

2.解析（Ⅰ）由得．

令，即，得或．

又，，

所以曲線的斜率為1的切線方程是與，

即與．

（Ⅱ）要證，即證，令．

由得．

令得或．

在區間上的情況如下：

所以的最小值為，最大值為．

故，即．

（Ⅲ），由（Ⅱ）知，，

當時，；

當時，；

當時，．

綜上，當最小時，．

3.解析（1）因為，所以．

因為，所以，解得．

（2）因為，

所以，

從而．令，得或．

因為都在集合中，且，

所以．

此時，．

令，得或．列表如下：

1

+

–

+

極大值

極小值

所以的極小值為．

（3）因為，所以，

．

因為，所以，

則有2個不同的零點，設為．

由，得．

列表如下：

+

–

+

極大值

極小值

所以的極大值．

解法一：

．因此．

解法二：因為，所以．

當時，．

令，則．

令，得．列表如下：

+

–

極大值

所以當時，取得極大值，且是最大值，故．

所以當時，，因此．

4.解析

（1）設，則.

當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（2）由題設知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，所以，當時，.

又當時，ax≤0，故.

因此，a的取值范圍是.

5.解析

（1）設，則.

當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（2）由題設知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

又，所以，當時，.

又當時，ax≤0，故.

因此，a的取值范圍是.

6.解析（1）的定義域為（0，+）.

.

因為單調遞增，單調遞減，所以單調遞增，又，

，故存在唯一，使得.

又當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

因此，存在唯一的極值點.

（2）由（1）知，又，所以在內存在唯一根.

由得.

又，故是在的唯一根.

綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

7.解析（Ⅰ）由已知，的定義域為，且

，

因此當時，

，從而，所以在內單調遞增.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，

可知在內單調遞減，又，且

.

故在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，則.

當時，，所以在內單調遞增；當時，，所以在內單調遞減，因此是的唯一極值點.

令，則當時，，故在內單調遞減，從而當時，

，所以.

從而，

又因為，所以在內有唯一零點.又在內有唯一零點1，從而，在內恰有兩個零點.

（ii）由題意，即，從而，即.因為當時，

，又，故，兩邊取對數，得，于是

，

整理得.

8.解析（Ⅰ）當時，．

，

所以，函數的單調遞減區間為（0，3），單調遞增區間為（3，+）．

（Ⅱ）由，得．

當時，等價于．

令，則．

設

，則

．

（i）當

時，，則

．

記，則

.

故

1

+

單調遞減

極小值

單調遞增

所以，

．

因此，．

（ii）當時，．

令

，則，

故在上單調遞增，所以．

由（i）得．

所以，．

因此．

由（i）（ii）得對任意，，

即對任意，均有．

綜上所述，所求a的取值范圍是．

2010-2018年

1．C【解析】由，知，在上單調遞增，

在上單調遞減，排除A、B；又，

所以的圖象關于對稱，C正確．

2．D【解析】由導函數的圖象可知，的單調性是減增減增，排除

A、C；由導函數的圖象可知，的極值點一負兩正，所以D符合，選D．

3．C【解析】函數在單調遞增，

等價于

在恒成立．

設，則在恒成立，

所以，解得．故選C．

4．D【解析】因為，令，，當

時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以．故選D．

5．D【解析】，，在（1，+）單調遞增，

所以當

時，恒成立，即在（1，+）上恒成立，

，，所以，故選D．

6．C【解析】由正弦型函數的圖象可知：的極值點滿足，

則，從而得．所以不等式

，即為，變形得，其中．由題意，存在整數使得不等式成立．當且時，必有，此時不等式顯然不能成立，故或，此時，不等式即為，解得或．

7．C【解析】當時，得，令，則，

，令，，

則，顯然在上，，單調遞減，所以，因此；同理，當時，得．由以上兩種情況得．顯然當時也成立，故實數的取值范圍為．

8．C【解析】設，則，故在上有一個極值點，即在上不是單調函數，無法判斷與的大小，故A、B錯；構造函數，，故在上單調遞減，所以，選C．

9．B【解析】當，可得圖象D；記，

，

取，，令，得，易知的極小值為，又，所以，所以圖象A有可能；同理取，可得圖象C有可能；利用排除法可知選B．

10．C【解析】若則有，所以A正確。由得

，因為函數的對稱中心為（0,0），

所以的對稱中心為,所以B正確。由三次函數的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側，所以函數在區間（∞,

）單調遞減是錯誤的，D正確。選C.

11．A【解析】若在上恒成立，則，

則在上無解；

同理若在上恒成立，則。

所以在上有解等價于在上有解，

即，

令，所以，

所以．

12．D【解析】A．，錯誤．是的極大值點，并不是最大值點；B．是的極小值點．錯誤．相當于關于y軸的對稱圖像，故應是的極大值點；C．是的極小值點．錯誤．相當于關于軸的對稱圖像，故應是的極小值點．跟沒有關系；D．是的極小值點．正確．相當于先關于y軸的對稱，再關于軸的對稱圖像．故D正確．

13．B【解析】,,由，解得，又，

故選B．

14．D【解析】，，恒成立，令，則

當時，，函數單調減，當時，，函數單調增，

則為的極小值點，故選D．

15．D【解析】，由，即，得．

由，，所以，當且僅當時取等號．選D．

16．D【解析】若為函數的一個極值點，則易知，選項A，B的函數為，，為函數的一個極值點滿足條件；選項C中，對稱軸，且開口向下，

，，也滿足條件；選項D中，對稱軸

，且開口向上，，，與題圖矛盾，故選D．

17．D【解析】由題不妨令，則，

令解得，因時，，當時，

，所以當時，達到最小．即．

18．3【解析】．

19．①④【解析】因為在上是單調遞增的，所以對于不相等的實數，恒成立，①正確；因為，所以

=，正負不定，②錯誤；由，整理得．

令函數，則，

令，則，又，

，從而存在，使得，

于是有極小值，所以存

在，使得，此時在上單調遞增，故不存在不相等的實數，使得，不滿足題意，③錯誤；由得，即，設，

則，所以在上單調遞增的，且當時，

，當時，，所以對于任意的，與的圖象一定有交點，④正確．

20．2【解析】由題意，令得或．

因或時，，時，．

時取得極小值．

21．【解析】(1)的定義域為，．

由題設知，，所以．

從而，．

當時，；當時，．

所以在單調遞減，在單調遞增．

(2)當時，．

設，則

當時，；當時，．所以是的最小值點．

故當時，．

因此，當時，．

22．【解析】(1)函數的導函數，

由得，

因為，所以．

由基本不等式得．

因為，所以．

由題意得．

設，

則，

所以

16

+

所以在上單調遞增，

故，

即．

(2)令，，則

，

所以，存在使，

所以，對于任意的及，直線與曲線有公共點．

由得．

設，

則，

其中．

由(1)可知，又，

故，

所以，即函數在上單調遞減，因此方程至多1個實根．

綜上，當時，對于任意，直線與曲線有唯一公共點．

23．【解析】(1)當時，，．

令解得或．

當時，；

當時，．

故在，單調遞增，在單調遞減．

(2)由于，所以等價于．

設，則，

僅當時，所以在單調遞增．

故至多有一個零點，從而至多有一個零點．

又，，

故有一個零點．

綜上，只有一個零點．

24．【解析】(1)因為，

所以．

，

由題設知，即，解得．

(2)方法一：由(1)得．

若，則當時，；

當時，．

所以在處取得極小值．

若，則當時，，

所以．

所以1不是的極小值點．

綜上可知，的取值范圍是．

方法二：．

(ⅰ)當時，令得．

隨的變化情況如下表：

1

+

?

↗

極大值

在處取得極大值，不合題意．

(ⅱ)當時，令得．

①當，即時，，

在上單調遞增，

無極值，不合題意．

②當，即時，隨的變化情況如下表：

1

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

在處取得極大值，不合題意．

③當，即時，隨的變化情況如下表：

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

在處取得極小值，即滿足題意．

(ⅲ)當時，令得．

隨的變化情況如下表：

?

+

?

極小值

↗

極大值

在處取得極大值，不合題意．

綜上所述，的取值范圍為．

25．【解析】(1)，．

因此曲線在點處的切線方程是．

(2)當時，．

令，則．

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；

所以．因此．

26．【解析】(1)函數，，則，．

由且，得，此方程組無解，

因此，與不存在“點”．

(2)函數，，

則．

設為與的“點”，由且，得

，即，（*）

得，即，則．

當時，滿足方程組（*），即為與的“點”．

因此，的值為．

(3)對任意，設．

因為，且的圖象是不間斷的，

所以存在，使得．令，則．

函數，

則．

由且，得

，即，（**）

此時，滿足方程組（**），即是函數與在區間內的一個“點”．

因此，對任意，存在，使函數與在區間內存在“點”．

27．【解析】(1)由已知，可得，故，

因此，=?1，

又因為曲線在點處的切線方程為，

故所求切線方程為．

(2)由已知可得

．

故．令=0，解得，或．

當變化時，，的變化如下表：

(?∞，

)

(，

)

(，

+∞)

+

?

+

↗

極大值

極小值

↗

所以函數的極大值為；函數小值為．

(3)曲線與直線有三個互異的公共點等價于關于的方程有三個互異的實數解，

令，可得．

設函數，則曲線與直線有三個互異的公共點等價于函數有三個零點．

．

當時，，這時在R上單調遞增，不合題意．

當時，=0，解得，．

易得，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

的極大值=>0．

的極小值=?．

若，由的單調性可知函數至多有兩個零點，不合題意．

若即，

也就是，此時，

且，從而由的單調性，可知函數在區間內各有一個零點，符合題意．

所以的取值范圍是

28．【解析】（1）函數的定義域為，

，

①若，則，在單調遞增．

②若，則由得．

當時，；當時，，

所以在單調遞減，在單調遞增．

③若，則由得．

當時，；當時，，

故在單調遞減，在單調遞增．

（2）①若，則，所以．

②若，則由（1）得，當時，取得最小值，最小值為

．從而當且僅當，即時，．

③若，則由（1）得，當時，取得最小值，最小值為

．

從而當且僅當，即時．

綜上，的取值范圍為．

29．【解析】（1）

令得

，．

當時，；當時，；當時，．

所以在，單調遞減，在單調遞增．

（2）．

當時，設函數，，因此在單調遞減，而，故，所以

．

當時，設函數，，所以在單調遞增，而，故．

當時，，，

取，則，，

故．

當時,取,則,．

綜上，的取值范圍是．

30．【解析】（1）的定義域為，．

若，則當時，，故在單調遞增.

若，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減.

（2）由（1）知，當時，在取得最大值，最大值為

．

所以等價于，

即．

設，則．

當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減.故當時，取得最大值，最大值為．所以當時，．從而當時，，即．

31．【解析】（I）由，可得

，

令，解得，或．由，得．

當變化時，，的變化情況如下表：

所以，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．

（II）（i）因為，由題意知，

所以，解得．

所以，在處的導數等于0．

（ii）因為，，由，可得．

又因為，，故為的極大值點，由（I）知．

另一方面，由于，故，

由（I）知在內單調遞增，在內單調遞減，

故當時，在上恒成立，

從而在上恒成立．

由，得，．

令，，所以，

令，解得（舍去），或．

因為，，，故的值域為．

所以，的取值范圍是．

32．【解析】（Ⅰ）因為，

所以

（Ⅱ）由

解得或．

因為

x

（，1）

1

（1，）

（，）

-

+

-

↗

又，

所以在區間上的取值范圍是．

33．【解析】(1)由,得.

當時，有極小值.

因為的極值點是的零點.

所以，又，故.

因為有極值，故有實根，從而，即.

時，，故在R上是增函數，沒有極值；

時，有兩個相異的實根，.

列表如下

+

–

+

極大值

極小值

故的極值點是.

從而，

因此，定義域為.

（2）由（1）知，．

設，則．

當時，，所以在上單調遞增．

因為，所以，故，即．

因此．

（3）由（1）知,的極值點是，且，.

從而

記，所有極值之和為，

因為的極值為，所以，.

因為，于是在上單調遞減.

因為，于是，故.

因此的取值范圍為.

34．【解析】

(Ⅰ)

(i)設，則當時，；當時，.

所以在單調遞減，在單調遞增.

(ii)設，由得或．

①若，則，所以在單調遞增.

②若，則,故當時，；

當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

③若，則，故當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.

(Ⅱ)(i)設，則由(I)知，在單調遞減，在單調遞增.

又，取b滿足b

則，所以有兩個零點.

(ii)設a=0，則，所以有一個零點.

(iii)設a

又當時，

綜上，的取值范圍為.

35．【解析】（Ⅰ）的定義域為.當時，

，

曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）當時，等價于

令，則

，

（i）當，時，，

故在上單調遞增，因此；

（ii）當時，令得

，

由和得，故當時，，在單調遞減，因此.

綜上，的取值范圍是

36．【解析】（Ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.

所以當時，.

故當時，，，即.

（Ⅲ）由題設，設，則，

令，解得.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

由（Ⅱ）知，，故，又，

故當時，.

所以當時，.

37【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

若，則，所以在單調遞增．

若，則當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，在上無最大值；當時，在取得最大值，最大值為．

因此等價于．

令，則在單調遞增，．

于是，當時，；當時，．

因此的取值范圍是．

38．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

當時,，沒有零點；

當時，因為單調遞增，單調遞增，所以在單調遞增.又，當滿足且時，，故當時，存在唯一零點．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可設在的唯一零點為，當時，；

當時，．

故在單調遞減，在單調遞增，

所以當時，取得最小值，最小值為．

由于，所以．

故當時，．

39．【解析】（Ⅰ）=，.

曲線在點（0,2）處的切線方程為．

由題設得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

設，由題設知．

當≤0時，，單調遞增，，所以=0在有唯一實根．

當時，令，則．

，在單調遞減，在單調遞增，

所以，所以在沒有實根.

綜上，=0在R有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．

40．【解析】（Ⅰ）函數的定義域為

由可得

所以當時，，函數單調遞減，

所以當時，，函數單調遞增，

所以

的單調遞減區間為，的單調遞增區間為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，在內單調遞減，

故在內不存在極值點；

當時，設函數，，因此．

當時，時，函數單調遞增

故在內不存在兩個極值點；

當時，

函數在內存在兩個極值點

當且僅當，解得

綜上函數在內存在兩個極值點時，的取值范圍為．

41．【解析】（Ⅰ），

由題設知，解得．

（Ⅱ）的定義域為，由（Ⅰ）知，，

（ⅰ）若，則，故當時，，在單調遞增，所以，存在，使得的充要條件為，

即，解得．

（ii）若，則，故當時，；

當時，，在單調遞減，在單調遞增．所以，存在，使得的充要條件為，

而，所以不合題意．

（iii）若，則．

綜上，的取值范圍是．

42．【解析】（Ⅰ）由題意知時，，

此時，可得，又，

所以曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ）函數的定義域為，

，

當時，，函數在上單調遞增，

當時，令，

由于，

①當時，，

，函數在上單調遞減，

②當時，，，函數在上單調遞減，

③當時，，

設是函數的兩個零點，

則，，

由

，

所以時，，函數單調遞減，

時，，函數單調遞增，

時，，函數單調遞減，

綜上可知，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減；

當時，在，上單調遞減，在上單調遞增．

43．【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ）

44．【解析】（Ⅰ），，是上的偶函數

（Ⅱ）由題意，，即

，，即對恒成立

令，則對任意恒成立

，當且僅當時等號成立

（Ⅲ），當時，在上單調增

令，

，，即在上單調減

存在，使得，，即

設，則

當時，，單調增；

當時，，單調減

因此至多有兩個零點，而

當時，，；

當時，，；

當時，，．

45．【解析】．由已知得，，

故，，從而；

（Ⅱ）

由（I）知，

令得，或．

從而當時，；當時，．

故在，單調遞增，在單調遞減．

當時，函數取得極大值，極大值為．

46．【解析】（Ⅰ）的定義域為，

①

當或時，；當時，

所以在，單調遞減，在單調遞增．

故當時，取得極小值，極小值為；當時，取得極大值，極大值為．

（Ⅱ）設切點為，則的方程為

所以在軸上的截距為

由已知和①得．

令，則當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍是．

所以當時，的取值范圍是．

綜上，在軸上截距的取值范圍．

47．【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲線在點處的切線平行于軸，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①當時，，為上的增函數，所以函數無極值．

②當時，令，得，．

，；，．

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．

綜上，當時，函數無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值．

（Ⅲ）當時，

令，

則直線：與曲線沒有公共點，

等價于方程在上沒有實數解．

假設，此時，，

又函數的圖象連續不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數解”矛盾，故．

又時，，知方程在上沒有實數解．

所以的最大值為．

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當時，．

直線：與曲線沒有公共點，

等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方程：

（*）

在上沒有實數解．

①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數解．

②當時，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，

當變化時，的變化情況如下表：

當時，，同時當趨于時，趨于，

從而的取值范圍為．

所以當時，方程（*）無實數解，解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

48．【解析】（Ⅰ）函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．

f′(x)＝2xln

x＋x＝x(2ln

x＋1)，令f′(x)＝0，得.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x

f′(x)

－

＋

f(x)



極小值

所以函數f(x)的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（Ⅱ）證明：當0＜x≤1時，f(x)≤0.

設t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．

由(1)知，h(x)在區間(1，＋∞)內單調遞增．

h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln

et－t＝t(e2t－1)＞0.

故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．

（Ⅲ）證明：因為s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而

，

其中u＝ln

s.

要使成立，只需.

當t＞e2時，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．

所以s＞e，即u＞1，從而ln

u＞0成立．

另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.

當1＜u＜2時，F′(u)＞0；當u＞2時，F′(u)＜0.

故對u＞1，F(u)≤F(2)＜0.

因此成立．

綜上，當t＞e2時，有.

49．【解析】：（Ⅰ）由題在上恒成立，在上恒成立，；

若，則在上恒成立，在上遞增，

在上沒有最小值，，

當時，，由于在遞增，時，遞增，時，遞減，從而為的可疑極小點，由題，，

綜上的取值范圍為．

（Ⅱ）由題在上恒成立，

在上恒成立，，

由得

，

令，則，

當時，，遞增，

當時，，遞減，

時，最大值為，

又時，，

時，，

據此作出的大致圖象，由圖知：

當或時，的零點有1個,

當時，的零點有2個,

50．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

若，則，所以在單調遞增．

若，則當時，當，，所以

在單調遞減，在單調遞增．

（Ⅱ）

由于，所以(x－k)

f′(x)+x+1=．

故當時，(x－k)

f′(x)+x+1>0等價于

（）

①

令，則

由（Ⅰ）知，函數在單調遞增．而，所以在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點，設此零點為，則．當時，；當時，，所以在的最小值為，又由，可得，所以

故①等價于，故整數的最大值為2．

51．【解析】（Ⅰ）設；則

①當時，在上是增函數

得：當時，的最小值為

②當時，

當且僅當時，的最小值為

（Ⅱ）

由題意得：

52．【解析】（Ⅰ）由

=

可得，而，

即，解得；

（Ⅱ），令可得，

當時，；當時，．

于是在區間內為增函數；在內為減函數．

（Ⅲ）

=

因此對任意的，等價于

設

所以，

因此時，，時，

所以，故．

設，則，

，，，，即

，對任意的，．

53．【解析】（Ⅰ）

由于直線的斜率為，且過點，故

即,解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考慮函數，則

所以當時，故

當時，

當時，

從而當

54．【解析】（Ⅰ）因為

所以

由于，所以的增區間為，減區間為

（Ⅱ）【證明】：由題意得，

由（Ⅰ）知內單調遞增，

要使恒成立，

只要，解得

55．【解析】（Ⅰ）由

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得從而

，故：

（1）當；

（2）當

綜上，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為（0，1）；

當時，函數的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為。

（Ⅲ）當時，

由（Ⅱ）可得，當在區間內變化時，的變化情況如下表：

－

+

單調遞減

極小值1

單調遞增

2

又的值域為[1，2]．

由題意可得，若，則對每一個，直線與曲線

都有公共點．并且對每一個，

直線與曲線都沒有公共點．

綜上，當時，存在最小的實數=1，最大的實數=2，使得對每一個，直線與曲線都有公共點．

56．【解析】（Ⅰ）時，，

。當時;當時，;當時，。故在，單調增加，在（1，0）單調減少．

（Ⅱ）。令，則。若，則當時，，為減函數，而，從而當x≥0時≥0，即≥0．

若，則當時，，為減函數，而，

第5篇：高三數學總結范文

1.“變式教學”的含義

高三學生已進入到高考倒計時的關鍵時期，在這個階段的學習要以追求高效為主。采用“變式教學”的策略進行高中數學總知識的復習與整合，不但將學生從題海訓練中解脫出來，有效減輕壓力，而且還有利于提高學生對數學知識的觀察與總結能力，培養數學思維，提高數學能力，實現效率與成績的大幅度提高。變式教學顧名思義是指通過采用多種變化性質的方式進行數學教學，如概念的本質屬性和非本質屬性變式、知識理論的發展與解答變式等，幫助學生從多個角度重新認識數學知識，探究規律，培養知識創新與應用能力。

2.高三數學教學課堂上有效變式教學的策略

2.1加深對數學概念的理解

數學概念大多較于抽象，一旦學生在初次學習時沒有掌握全面，那么在后續相關知識的學習中勢必產生較大影響，以至于為復習工作增添了難度。為了加深學生對數學概念的理解，教師可以采用過程性變式的方式為學生建立逐層遞進的問題情境，如一題多問、多題一解等，確保問題具有層次感，逐漸將學生的數學解題思路打開，充分了解理論內涵的同時，實現深度掌握知識和靈活運用知識的目的。

2.2明確變式教學的最終目的

教師對變式教學的應用，首先要確定自身教學目標的清晰定位。作為教學課堂上的組織者與引導者，教師需要在教學過程中培養學生的互動交流能力和獨立思考能力，鼓勵學生調動思維，跟上教師變式教學的腳步，從而充分享有學習主導地位。

2.3合理設計數學變式教學內容

高三是高中階段最重要的時期，教師在為學生做好復習工作的規劃時，要把握好教學的進度與尺度，根據學生的實際情況，針對重點與難點進行變式教學。數學知識來源于教材，也貼近生活，教師要通過對教學內容的合理變式與設計，提高學生的學習興趣，寓教于樂。

3.高三數學教學課堂上變式教學的實施

3.1過程性變式教學

在高三數學復習階段，采用過程性變式教學方式必須遵循循序漸進的原則，復習過程中的問題呈現“階梯式”，使得學生在復習的同時全面掌握知識的發展過程，一題多變、一題多解、層層遞進。比如，我們知道一個圓的方程為x2+y2=r2，那么假設圓上的一點M坐標為（x0，y0），經過這點的切線方程是多少？針對這個問題，我們可以展開層層遞進的三個變式，首先假設M（x0，y0）在圓的內部卻不位于圓心上，那么直線xx0+yy0=r2具有什么幾何意義？第二個變式，假設M（x0，y0）在圓的外部，那么直線xx0+yy0=r2具有什么幾何意義？最后的變式是：假設M（x0，y0）在圓的內部卻不位于圓心，那么直線與圓的交點為多少個？這種一題多問、一題多變的方法逐漸拓展了學生對于圓性質知識點的思路，成功將學生在圓形性質基礎知識上的數學知識外延了內涵。

3.2概念性變式教學

課堂上復習數學概念或定義時，教師通過各種變化的方式為學生揭示知識點的內涵，提高學生的準確辨析能力，使其在相關試題的測驗中靈活運用。例如，關于橢圓定義的復習課堂，教師可以列出一些方程式，讓學生指出這四個方程式表示的是什么曲線。學生通過觀察四個方程式的異同，復習橢圓的性質與概念，經過分析與總結，就能從中找出規律，準確掌握橢圓的定義和解題的正確思路。

3.3試題式變式教學

在以復習和講評為主的高三數學課堂上，對于試題的練習和總結是復習工作的重要環節。如果一個類型的試題在多變上出現了更多的思考，那么學生就很容易找準復習的規律和一手抓的思維，在一試題訓練上更換條件或結論，亦或是更換內容與形式，都可以輕而易舉地保存題目中的重點信息和主要知識點，保留本質的因素，節省大量時間，達到有效復習的目角度和方式的求解，同時復習到不同的基礎知識和數學性質，幾何運算、向量分解與合成、代數運算，融會貫通后，學生很容易根據隨時變化的題型迅速想出解題辦法。

第6篇：高三數學總結范文

【關鍵詞】數學概念；課優化策略；實踐研究

一、高三數學概念復習課的必要性

在整個高中數學的知識體系中，數學概念占據著非常重要的地位.數學概念是數學學科的精髓和靈魂，是數學思維的細胞，掌握數學概念是學好數學的基礎，是提高解題思維能力的關鍵.故必須要掌握到位、理解透徹.但由于高一、高二講授新課時，受內容多、課時少的影響，很多教師會忽視對概念的教學.而在高三數學復習課堂中，數學概念的復習本來也應是非常重要的一個環節，然絕大多數高三數學教師往往會忽視概念的復習，企圖通過“題海戰術”促成學生對概念本質的掌握，結果是效果低微、事倍功半.因此，重視高三數學概念復習教學是必要的.

二、高三數學概念復習課的目的

高三復習主要是要求學生能完善知識結構，強化知識體系.復習課的首要任務就是要讓學生搞清基本的定義、概念、基本原理、基本方法，明白知識體系的形成過程，同時，通過復習疏通相關知識間的聯系，由點成線，由線成面，完成知識的重組，完善知識的結構.例如，函數概念的復習，抓住自變量，它是正確理解函數概念的前提.通過復習數學概念揭示概念的形成、發展和應用的過程，去完善學生的認知結構，開發學生的思維能力，并夯實學生基礎.

三、高三數學概念復習課有效教學的途徑

（一）字斟句酌，正確理解

數學概念歷經數代的數學家們不斷地概括、總結并完善，核心概念已經十分的精煉.因此，在高三總復習時，對數學概念再進行字斟句酌的復習，特別是對其中的關鍵詞語，深入仔細推敲，深刻領會數學概念的深意，只有這樣才能正確理解概念，避免產生概念的誤解.例如，復習異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線.這里要引導學生理解“不同在任何一個平面”其特點是：既不平行，也不相交.剖析其判定方法：①定義法：由定義判定兩直線永遠不可能在同一平面內.②定理：經過平面外一點和平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線，是異面直線.再如，函數的概念：設A、B為兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數.這里要重點講清楚“任意”與“唯一”包含的意義.

（二）對比辨析，深刻理解

一方面，高中數學中的許多概念具有高度的抽象性和相似性，使得很多學生到了高三了還對這些數學概念的理解產生混淆.例如，子集與真子集、映射與函數、對數與指數、頻率與概率、互斥事件與相互獨立事件等.另一方面，許多概念學生從正面理解比較困難，容易產生一些錯誤的認識，而反例是對概念錯誤認識的有效手段，時常能起到意想不到的效果.例如，對于函數概念復習仍需要強調兩點：① 函數定義域，② 函數解析式，所以，判定兩個函數是否相同的標準也是這兩個.

下面判斷兩個函數是否相同：y=x2與y=x，通過學生分析，討論，抓住概念的兩個本質要素進行判斷.高三復習概念時，適當地舉一些反例加以辨析，對于突出概念本質屬性，澄清我們的模糊認識是非常重要的.

（三）變式訓練，彰顯本質

在高考數學復習的教學過程中，注重變式訓練，不僅有利于改變學生只注重做題，不注重思考、變通、總結的現象，還有利于培養學生多方位的數學思維，從而提高高考數學總復習的效率.其中概念性變式就利于揭示數學概念的本質屬性，其意圖就是通過對數學問題進行多方位、多角度的變式，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質屬性及其發展規律.使得學生對數學概念獲得多角度的理解，展示知識的發生、發展、和形成過程，建立知識網絡，抓住問題的本質屬性，加深對概念的理解，也一定程度上增強了學生的應變能力和創新意識，提高了學生發現問題和解決問題的能力.

（四）推陳出新，延伸拓展

高考數學復習的過程中，知識的寬度、深度拓展很重要.而數學概念是數學知識建構的基石，“如果先不教明概念，便是教得不好的.”夸美紐斯在《大教學論》中的這句話說明了概念教學的重要性.應試狀態下的高三數學概念復習教學，常常在復習舊知授課即題海戰術習題化的思想下變成一個速成的過程.顯然，這是不利于學生有效地建構數學概念系統的理解及概念構建.筆者認為，高三數學復習教學中的概念復習教學非但不能壓縮，還應當在原有教學過程的基礎上進行拓展延伸，推陳出新.

以上是筆者對高三數學概念復習課優化策略的一些實踐研究，高三數學概念的復習教學是高考復習備考的重要環節，是高考復習回歸基礎知識和基本技能教學的核心.廣大高三一線教師一定要走出輕視概念復習教學的誤區，通過精心設計，大膽嘗試，優化教學策略，讓學生達到對概念本質的理解.

【⒖嘉南住

第7篇：高三數學總結范文

2015年江蘇高考已經結束，但是高考后我們高三數學老師的思考則不可能停止.雖然總體學生的高考成績還算令人滿意，但一年高三復習的有效性不得不令人思考.在高考中一部分學生對于遇到一些新題方寸大亂，遇到繁長的應用題審題如此吃力，遇到計算量大的解析幾何早早放棄，從而高考成績一落千丈.我們的老師在高三復習中給學生做了千道題，歸納了百種題型和方法，卻忘記了高考考的是學生的基礎和思維，讓學生成了題海的奴隸.所以高考中思考我們高三復習怎樣才是行之有效的，能讓學生的能力得到提升，我覺得至少要做到以下三點.

首先，我們的高三課堂要重視學生的思維，不僅僅是教給學生數學解題的方法，還要讓學生掌握重要的數學思想.在復習課本公式定理的時候不應該把結論一帶而過，讓學生死背結論去應用，還是應該帶著學生一起復習定理公式的推導過程，從而復習了重要的數學方法和思想.例如等差等比數列求和公式的推導就復習了倒序相加和錯位相減法.在復習基本知識的時候可以讓學[JP2]生自己整理出一章的知識結構圖和用到的思想方法，培養學生的自主學習能力.在高三的課堂上教師要給學生思維的空間，形式熱鬧的探究討論課不可能是主流課堂，數學的本質在于思維，一個好的數學問題的提出，哪怕教室鴉雀無聲，[JP]學生的思維也是積極的，收獲也是很大的.若學生仍無法解答，老師再在他們思考的基礎上予以啟發提問，學生的思維能力自然得到提高.求等差數列的前n項和最值，要讓學生聯想函數問題，數列的定義域是什么，它和二次函數的最值一樣嗎？給出一個不等式：f（x）=xcosx ，x∈（-[SX（]π[]2[SX）]，[SX（]π[]2[SX）]），則f（3x-2）

高三復習離不開解題，學生解題能力的提高自然是重中之重.可是，如果我們老師課堂上只是教給學生如何讀題、析題、解大量的題，就能讓學生的解題能力大大提高嗎？在題海中，學生沒有真正消化，缺少反思總結，學生會越來越茫然.當老師覺得題目這么簡單而學生卻覺得很困難時，那肯定是教學中沒有重視學生解題后的反思.

實際上，我們和學生一起解完題之后應該讓學生學會舉一反三，和學生一起進行變式探究，生成新的問題去研究解決.還要讓學生反思這道題有沒有更好的解法，這種解法能解決哪一類問題，掌握這類問題的通解通法，由多題一解和一解多題的反思中提高學生的解題能力.在解題的過程中學生經常會犯各種各樣的錯誤，要幫學生反思分析他們各自犯錯的原因，整理好一本精致的錯題本，錯題要有錯解原因和正解，以及變式拓展，要鼓勵學生不要害怕犯錯，在錯誤中反思，在錯誤中成長.并且在滾動練習中把大家都容易犯的易錯題出在里面，在課堂上分析錯因，把問題的本質研究透徹，這樣才能讓我們的學生不僅能夠解決問題，還能提高自己的數學思維能力.解題的反思是讓學生學會總結歸納，學會發現問題，學習揚長補短，從而逐步提高自己的解題能力.

最后在高三的復習中要讓學生明白規范解題書寫和提高計算能力的重要性.高考不僅僅考查基本知識和數學思想，還要考查基本的運算能力和數學表達能力，這幾年的江蘇高考對學生的運算提出了很高的要求，尤其是應用題和解幾題.首先，應當重視學生解題的表達和規范書寫.經常有老師感嘆這個學生很聰明，回答問題反應特別快，想到的方法總是很簡便，但是考試卻總是考不好，不知道為什么？其實這些學生的解題很不規范，書寫很亂，表達不清楚，他的解題過程找不到得分點，經常跳步計算，結果經常算錯，方法再好也沒有用，所以得不到理想的分數.今年高考中理科附加省平均不高，主要的原因是學生不注意解題過程的書寫，只顧結果，忽視過程，而批卷卻對規范答題要求嚴格，所以學生的成績比預想低.因此我們高三復習中對學生解題的規范一定要重視，表達要清楚，有條理，嚴密，不能隨意跳步驟，一開始就養成良好的解題習慣，這樣在考試中才能取得滿意的成績.另外，基本的運算能力，也是數學考查的基礎之一.平時我們要讓學生在作業中采取限時訓練獨立計算，課堂上示范計算過程，當面幫他分析計算錯誤，計算方法的不合理，鍛煉學生的計算勇氣和計算品質，通過課堂訓練和課堂反思來提高學生的計算能力，培養學生堅持到底，鍥而不舍的意志品質.許多學生思維方法都沒有問題，最后都倒在了計算上，問題在于首先遇到計算量大的問題總是望而生畏，怕繁怕難，早早放棄，缺乏計算的勇氣和決心.而有的人計算的方法總是選擇不當，不會用巧妙的計算方法，導致簡單問題復雜化，而有的人則總是計算跳步，算完也不回頭看看，導致計算總是出錯.因此，我們在復習中要培養學生堅韌不拔的計算品質，幫助學生養成良好的計算習慣，不斷總結好的計算方法，分析反思自己的計算錯誤并予改正，這樣才能讓學生在高考中打出漂亮的一仗.

第8篇：高三數學總結范文

關鍵詞：高三復習；有效性；基礎

教師是教學活動的組織者、引導者和合作者，學生是數學學習的真正主人，而數學課堂則是數學學習和交流的重要場所。通過有效的高三復習課教學幫助學生真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，作為教師首先要樹立正確的思想觀念和教學理念，才能引領有效的教學行為。

第一，以學生為主體，面向全體學生。新課程理念之一是課堂教學觀念的轉變，在新課程理念下教師要確立“以全體學生為中心，以學生的學用為中心，以全體學生的主動參與為中心”的教學理念。教師要轉變角色，由知識傳授者成為學生學習的參與者、引導者和合作者；由支配者、控制者成為學生學習的組織者、促進者和指導者；由靜態知識占有者成為動態的研究者。而學生地位也發生了轉變，由單純聽課、被動接收地位轉變為主動參與、合作學習、探究發現的主體地位。所以教師必須樹立以學生為主體的教學觀，擺正講與練的關系，課堂教學中努力關注學生的復習效率。升上理想的大學是每一個高三學生的最大愿望，教師應該充分正視學生知識水平的差異性和認知能力的差異性，因材施教，使每個學生都掌握高考必備的數學知識，提高數學能力。

第二，以數學試題解決為核心。數學試題解決是貫穿數學教學活動的一條主線，學生通過高三年級大量的數學試題解決，達到鞏固基礎知識，掌握基本的解題技能，提高數學思維能力。高三數學復習教學時應注意：

（1）不要徘徊在一招一式的歸類上，要更注重觀點上的提高或實質性的突破.有時候，出現教學只是解題方法的簡單堆積或解題技巧的神秘出現，在解題具體操作與解題策略或數學思想方法之間缺少溝通的橋梁。

（2）對試題不要多是研究“怎樣解”，較少問“為什么這樣解”，更少問“怎樣學會解”，出現重結果，輕過程的現象。

（3）不要只關注現成的、形式化問題的求解，而對問題“提出”和“應用”研究不足。

第三，以學定教的教學思想方法。高三數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗及生活經驗的基礎上，結合《課標》《學科指導建議》《考綱》等有關要求，合理設計教學活動，為學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。

在此思想觀念和教學理念下談談高三數學復習課的策略。

一、加強高考研究，把握高考方向

隨著數學教育改革和素質教育的深入，高考命題也在逐年探索、改革，命題的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新動向，搞好高考復習，不僅能為學生打好扎實的基礎，提高學生的整體素質、應試能力和高考成績，而且也必將提高自己的教學水平，促進素質教育的全面實施。譬如高考試題的來源：（1）來源于課本題的移植和改編；

（2）來源于以往的高考題的改編；

（3）來源于競賽試題、自主招生試題。

常見的命題技術有：（1）直接改編；（2）組合嫁接；（3）運用方法、思想；（4）改變圖形；

（5）逆向提出問題；（6）表示形式復雜化；（7）從靜到動；（8）同一模型的不同外顯形式；

（9）特殊問題一般化、一般問題特殊化；（10）基于閱讀理解命制。

所以教師研究高考要研究考綱與“考試說明”，要研究高考中新舊考題的變化，要進行考綱、考題與教材的對比研究，同時教師要研究學生。通過對高考的研究，把握復習的尺度，避免挖的過深，拔的過高、范圍過大，造成浪費；避免復習落點過低、復習范圍窄小，形成缺漏。

在教學同時，教師要不斷的關注高考的最新動態。如浙江省教育考試院提出要適度打破考試的模式化，在2012年樣卷中考查了數列題，而高考卷中未考查，打破常規考查了概率題，2013年更是將往年必考的三角函數題拿掉了。因此教師只有加強高考研究，把握高考方向，上課做到精講、精評，學生做到精練，高三的復習才能直指高考，提高復習的有效性，也才能提高學生的學習能力和高考成績。

二、明確教學定位，做好教學計劃

高三復習課是以講練為主，以學生為主體，在教師引導下，共同研討知識的過程。復習課不僅是要幫助學生解疑糾誤，掌握知識，更重要的是指導學生總結規律，探索方法，培養能力的過程。一般學校采取兩輪復習。第一輪高考數學復習是高三復習的“形成期”，其效果直接決定高考復習的成敗；必須按照課程標準和考試說明要求，全面系統地復習，扎扎實實落實雙基，滲透數學思想方法，決不留下認知盲點。第一輪的教學定位是側重回歸基礎、構建知識網絡、查漏補缺、逐步形成數學思想方法。第一輪復習指導思想：全面、扎實、系統、靈活。全面，即全面覆蓋，不留空白；扎實，即單元知識的理解、鞏固，把握三基務必牢固；系統，即前掛后連，有機結合，注意知識的完整性系統性，初步建立明晰的知識網絡；靈活，即增強小綜合訓練，克服解題的單向性、定向性，培養綜合運用、靈活處理問題的能力和探究能力。

第二輪高考數學復習是高三復習的“整合期”，這里的整合，既有各分支內部的整合，又有各分支之間的整合。這一階段必須協調好專題訓練與綜合訓練的關系。其教學定位是以專題的形式，強化重點，注重知識的縱橫聯系，熟練解題方法與技巧，提升分析、解決問題的能力。第二輪復習指導思想是：鞏固、完善、綜合、提高。鞏固，即鞏固第一輪復習成果，把鞏固“三基”放在首位；完善，即通過專題復習，查漏補缺，進一步完善知識體系；綜合，即在訓練上，減少單一知識點的訓練，增強知識的連結點，增強知識交匯點的題目，增強題目的綜合性和靈活性；提高，即培養學生的思維能力、概括能力，分析問題、解決問題的能力。

三、落實基礎知識，倡導通性通法

省教育考試院提出繼續深化高考命題改革，切實控制試題難度，重視教材和基礎知識、基本方法、基本技能。《考試說明》中明確指出：容易題、中等題、

難題的比重為3：5：2，難題即基礎題占80%，難題占20%。基礎所占的比例很大。

從近幾年的高考試題來看，也充分說明了基礎的重要性，我們復習的口號就是基礎、基礎還是基礎.落實好基礎知識（基本的概念、定理、公式、結論和通性通法）是我們大面積提高高三數學復習有效性的關鍵所在，即讓學生能得的分一定得滿分。高考的題目常考常新，但是萬變不離其蹤，雖然情景不同，命題的角度不同，但其依托的仍是基礎知識。有時一些創新試題無非是“新瓶裝舊酒”。可以說高考對基礎知識的考查既全面又突出重點，特別利用在知識交匯點的命題，以考查對基礎知識靈活運用的程度.因此對基礎知識的復習一定要在深刻理解和靈活應用上下功夫，以達到在綜合題目中能迅速準確地認識、判斷和應用的目的。

抓基礎就是要重視對教材的復習，尤其是要重視概念、公式、法則、定理的形成過程，運用時注意條件和結論的限制范圍，理解教材中例題的典型作用，對教材中的練習題，不但要會做，還要深刻理解在解決問題時題目所體現的數學思維方法。即重視提升學生的策略水平，準確把握學生的思維習慣和認知水平，科學分析學生技能成因，在核心知識和核心概念上下功夫，舍棄“題海戰術”，淡化解題技巧，倡導通性通法。

四、把握數學本質

英國哲學家羅素曾指出：“凡是你教的東西，要教的透徹”。為求透徹，作為教師必須鉆進教材，理清知識發生的本原，把握教材中最主要、最本質的東西，

引導學生注重數學知識發生發展的過程，學會和真正理解數學的思維和重要的思想方法，減少過多的程式化訓練，在能力培養的過程中感悟數學，突出數學本質。

總之，在高三數學復習中，教師應該不斷樹立先進的教學理念，同時能將先進的教學理念轉化為教學行為，使學生主動去探究學習，在試題解決過程中，理解數學概念，掌握基本數學思想方法，提高數學素質，培養數學能力，切實提高高三數學復習的有效性。如何提高高三數學復習課的有效性教學是一個長期的工作，有待一線教師日后在不斷的教學實踐中加以完善總結。

參考文獻：

[1]《對高三數學復習的思考與總結》中國校外教育（理論）董培曉

第9篇：高三數學總結范文

一、 高三數學試卷講評課教學的現狀

從高三數學試卷講評課的教學現狀來看，不少課堂的講評方式單調，效率低下。具體表現為：重試卷答案的了解，輕學生答卷情況的把握和分析，講評缺少針對性和有效性；重教師主導，輕學生主體，缺少生生、師生互動合作探究；就題論題，重結果，輕過程，缺少知識網絡的建構；重解題模式和應試技巧，輕數學思維培養，缺少方法總結歸納、問題的變化和拓展；重批評責備，輕鼓勵激發，缺少對學生在情感上的引導和學習動力的激發；重整體講解，輕個別指導，缺少差異幫助；重課上講解，輕課后的針對性訓練，缺少矯正、補償和鞏固的連續性等。產生以上情況的原因，是對試卷講評課的性質和功能、教學的目的和基本要求等方面的認識和研究不足。

二、高三數學試卷講評課教學的基本要求

高三數學試卷講評課是依據學生試卷反映出的主要信息設計教學，有針對性地幫助學生分析和糾正錯誤、鞏固知識和技能、提高數學能力以及應試能力的一種課型。要想提高講評課教學的實效，就必須在堅持講評課教學目標、內容、教學和評價等基本要求的前提下，探索出一條新的實施途徑。

從教學目標看，通過高三數學試卷講評課的教學，填補學生的遺漏，糾正模糊的認識，完善學生的知識體系；示范矯正，跟蹤練習，鞏固學生解決問題的技能；優化、拓展解題思路，提高學生總結和發現規律的思維能力；關注學習差異，發揮講評的激勵功能，激發和強化學生的學習動力。因此，診斷和填補、矯正和鞏固、優化和拓展、激勵和強化是對高三數學試卷講評課在教學目標上的要求。

從教學內容看，有易混淆、模糊的知識點導致的審題、運算發生的錯誤；有典型思路和通常的解法導致的失誤；有拓展思路、培養探究能力的一題多解、多問、多變的問題；有保障矯正、填補和鞏固效果的針對性訓練題等。因此，知識、技能上的通病和典型錯誤的糾正，解題的方法與典型思路，拓展探究的問題以及鞏固性訓練題是對高三數學試卷講評課所應包含的教學內容的要求。

高三數學試卷講評課的教學應該關注全體、效益和過程，發揮學生的主體性，對于極少數人發生的錯誤由個人自主糾正；較少數人發生的錯誤通過小組合作糾正；多數人發生的錯誤或感到困難的問題由師生共同解決。

評價方式上，重視學生的情感引導，幫助學生對自己的試卷進行自主評價和反思；鼓勵學生多角度、多層面表達自己的見解，展示自己的思維過程，讓學習上有差異的學生都能增強信心；針對講評的重點、難點采取適時提問的方式，從審題、思路、過程、結果的表達等方面進行及時反饋。因此，引導、激勵和及時反饋是對高三數學試卷講評課的教學評價方式的基本要求。

三、探究高三數學試卷講評課的教學

充分把握考試情況、分析錯誤原因，基于以學定教、發揮學生主體和教師主導作用的原則進行教學設計。只有充分把握考試情況、分析錯誤原因，堅持關注全面、以學定教、發揮學生主體和教師主導作用的原則，才能保證講評課的教學目標得以實現。

發放試卷后，學生由于懊悔引發的自我分析和矯正的欲望最強烈，他們通過自我反思，能夠發現和解決自己可以解決的問題。對于班級中只有極少數學生發生的基本知識和技能的客觀性問題的錯誤，利用學生主動矯正的積極心理，讓學生充分發揮主體作用，改變教師告知和講解的方式，引導他們通過自我查閱教材、資料，矯正模糊知識、填補遺漏知識，進一步理解知識，改進認知結構，完善知識體系。在利用學生差異資源進行小組合作的實踐中，可能會有少數成績較好的學生認為幫助別人是在浪費自己的時間，或者少數成績較差的學生羞于暴露自己的問題等現象，這些都需要教師在活動之前進行調查了解，幫助學生提高認識，活動中及時指導，使相應的活動真正成為他們的自覺行為。

發揮教師主導作用，挖掘試題內涵。立足于常見錯誤、典型錯誤的分析和講解，引導學生辨析、尋找錯因，提高學生糾錯和防錯的能力；立足于常規解法與典型思路的分析和講解，引導學生開拓解題思路、總結解題規律；立足于難題的分析和解決，挖掘、歸納其中的思想方法，加深學生對數學思想方法的認識；立足于一題多問、多變、多解，師生共同探究，培養學生舉一反三、融會貫通的數學能力。對于學生小組討論中出現的一些思維巧妙、技巧性較強的解題方法，給予鼓勵的同時，更要將學生容易想到、容易掌握的通解通法指出來，只有建立在傳統基礎上的創新才會有持久的生命力。試卷講評過程中，教師對知識和題型進行必要的歸類，有助于學生解題。注意范例教學，使學生解題規范化，克服“會”和“對”常常不是一碼事的問題。