函數的表示法精選(九篇)

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第1篇：函數的表示法范文

正文:

函數連續性的概念:

函數在一點的連續性,值得注意的是函數的連續性是對一點進行定義的,引《數學分析》第四版上冊中的定義1:設函數f在某U(Xo)在有定義.若當XXo時lim f(Xo)=f(Xo),則稱f在點Xo連續.該定義指出如果f(X)中X趨于Xo時的極限等于f(Xo)則函數連續.在幾何表示中,則可以認為X所對應的f(X)在Xo處是與U(Xo)對應的f是相接的,不是斷點的.在此我們可以發現:1.函數在Xo處連續與函數在Xo處的極限有密切關系,f在點Xo有極限是f在Xo處連續的必要條件,從幾何圖示上可以清楚看到函數在X趨于Xo無極限,則f(Xo)與函數在X趨于Xo的值不可能相交,因此不可能連續.2.函數在Xo處連續的第二個條件是函數在X趨于Xo對應的左右f(X)極限必須相等,在幾何上反應的是過(Xo,f(Xo))是一條連續的曲線,至于是怎么一個形狀的曲線,只要無中間斷點即可.

間斷點及其分類:

有了函數f在某對應Xo處的定義則不滿足連續定義的點都可以算是間斷的,稱為間斷點或者不連續點.主意此處的間斷點可以分為兩種1.可去間斷點2.跳躍間斷點.具體定義可以參照《數學分析》第四版上冊P73.在此我要談談的是幾何表示:1.可去間斷點在幾何中表示為兩種形式①Xo這個點在f上無定義,因此無實際圖像,而當XXo時的lim f(X)=A,幾何表示為一條曲線上擦去了某一個點②Xo對應在f上有定義,但f(Xo)與當XXo時的lim f(X)不相等,在幾何上可以表示成一條曲線上的某一點上下平移到另一位置.總之可去間斷點要求的是一條曲線上某一點的變化.2.跳躍間斷點,跳躍間斷點表示的則是一條曲線在某一處剪短,把其中的半條曲線上下平移,圖像上直觀觀測為階梯狀.

連續函數的性質:

連續函數的性質可分為局部性質,閉區間上的連續函數的基本性質,反函數的連續性和一致連續性等幾個方面.其中我在談談的是閉區間上連續函數的基本性質與一致連續性的意義和幾何表示.

首先說閉區間上連續函數的基本性質,f為閉區間[a,b]上的連續函數,則f在此閉區間上有最大值與最小值,則f在閉區間[a,b]上存在上確界與下確界.因此在幾何表示上,這條f圖像可以用一個矩形框框起來,矩形框的上下邊則是上下界.利用這個方法可以清晰的理解為什么f在閉區間上連續就有最大最小值了.

其次要說說介值性定理, 參照《數學分析》第四版上冊P79中的4.7:設函數f在閉區間[a,b]上連續,且f(a)≠f(b).若ч為介于f(a)與f(b)之間的任何實數,則至少存在一點Xo屬于(a,b)使得f(Xo)=ч,對于這個定理可以擴大為f max與f min之間的任何數ч都可以找到一點Xo屬于(a,b) 使得f(Xo)=ч,這便擴大了定義的使用范圍.而介值定理在運用過程中大多演化為了他的推論(根的存在定理)也就是零點定理,用幾何圖示能清楚看到如果f(a)與f(b)異號,因為f為連續函數那么必定與X軸有交點,而交點則為零點.

最重要的則是一致連續性,首先要明確的是一致連續性是對于區間來定義的,再參照《數學分析》四版上冊P81定義2:設f為定義在區間I上的函數,若對于任意ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得對任何X,Y只要|X-Y|

函數連續與一致連續是有重大區別的,這兩個概念的著眼點不同,連續性是局部性質,一般只對單點討論,討論改點在的左右極限問題,說函數在一個集合上連續也只不過是逐點連續。一致連續性是整體性質,要對定義域上的某個子集(比如區間)來討論,函數一致連續說明函數是在某個規定區間內連續的。一致連續可以推出連續,反之不然。當區間有界時,一致連續函數幾何圖像此時在無界的一邊不能無限傾斜.當區間有界時,若有一部分是開區間,如果可以確定這點對應的f存在極限,那么還是一致連續的.

下面談談函數f在X屬于(a,b)與X屬于[a,b]的區別f在X屬于(a,b)上連續不能推出f在[a,b]上連續,在幾何表示中f在X屬于(a,b)上連續可以畫圖為tanx的類似形狀,此時不是在X屬于(0,π/2)不是一致連續的,原因是f(π/2)的極限為無窮大.不符合一致連續的定義,此時也不能用一個矩形框來把整個圖像框起來,而在X屬于(0,π/3)上就是一致連續的了,因為此時的圖像可以用一個矩形框框起來,也符合書本給與的定義.

參考文獻:

第2篇：函數的表示法范文

關鍵詞：概念形成 函數表示法 辯證思維

概念是一種思維形式。函數是數學中最主要的概念之一，函數理論是高等數學的主要組成部分，是近代科學技術不可缺少的工具。由于自然界的一切事物總是在不停地運動、變化著，因此數學中也必須研究變量和變量間的相互關系。函數就是應此而產生的數學概念。中學階段，學生學習函數及其圖像、集合的簡單知識，從而通過集合元素的對應關系來加深對函數概念的理解；在此基礎上，引入函數的單調性與奇偶性；進而借助于單調函數及其圖像的學習，又從單值對應引出一一對應，從一一對應引出逆對應；同時由逆對應引出反函數的概念。這對于培養學生的辯證思維能力和進一步學習高等數學，起到很大的作用。

函數概念的教學目的是：（一）要求學生對函數概念有正確清晰的認識；（二）要求學生熟練掌握函數的表示法；（三）通過函數概念教學，培養學生辨證思維方面的能力。下面談談本人的一點粗淺認識。

一、函數概念的形成

函數的實例：在客觀世界中，事物的種類繁多，現象的形態各異，它們都按照各自的固有規律運動變化著。某一事物或現象的運動變化總表現為多個不同量的變化，而這些量的變化又不是孤立的，它們常常是按照該事物固有的規律互相聯系、對應著，即給定某量的一個值，依照規律都對應另一個量的唯一一個值。粗略地說，“兩個量（或兩個數）之間的對應規律”就是數學中所說的“函數”。函數概念產生于在同一個研究過程里變量間的相互關系之中，因此，建立函數概念必須以研究常量和變量作為起點。例如，把一個密閉容器內的氣體加熱時，氣體的體積和氣體的分子數保持一定，所以是常量；而氣體的溫度與壓力則是變量。一個量是常量還是變量，要根據具體問題具體條件來分析，而且要辨證地看問題，這一點，教學時應提出注意。例如，火車行駛時的速度，在開始階段或剎車階段是變化的，因而在該過程中是變量；在正常行駛階段變化很小，相對地可看作不變，因而是常量。

在同一個確定的過程中，往往會同時出現幾個變量。例如，一個物體作自由落體運動的過程中，重力加速度（g）是常量，物體經過的路程（s）與時間（t）是兩個變量，而且這兩個變量不是孤立無關的，而是緊密聯系的：物體運動的時間變了，其相應的路程也隨之而變；當確定了物體經過的時間后，相應的路程也隨之而確定，它們間符合的關系。變量s和t之間存在著這種相依關系的確定性，這樣就稱s和t構成了函數關系。其中t叫自變量，s叫自變量t的函數。由此可總結出，在某個研究過程中，存在函數關系的三條標準：（一）是否存在兩個變量（技校教材只限于一元函數）；（二）當一個變量變化時，另一個變量是否也隨之而變化；（三）當一個變量取確定值時，另一個變量是否也隨之取得唯一的確定值。

在許多問題中，自變量的允許取值范圍是有一定限制的，我們把自變量允許取值的范圍叫做函數的定義域。從數學角度看，要使表示函數關系的解析式有意義，自變量是需要有一定條件的；從應用問題的實際內容看，變量允許取值的范圍也是有一定限制的。這就是確定函數定義域的根據。求函數的定義域可參考以下幾個準則：

（1） 若f（x）是整式，則f（x）的定義域是全體實數的集合R；

（2） 若f（x）是分式，則分式的分母應該不為零；

（3） 若給出式子 （k為正整數），則應有f（x）≥0；

（4） 若給出式子log ，則應有f（x）＞0；

（5） 若給出式子arcsin f（x）、arccos f（x），則應有｜f（x）｜≤1；

（6） 若上述情況同時出現，可分別找出它們的定義域，取公共部分為所求的定義域。

函數值以及記號f（x）是函數概念教學的重點，學生開始學習函數時，往往不容易理解f（x）和f（a）的意義，有的認為f（x）是x的一次函數，f（ ）是x的二次函數，這說明對記號f（x）的教學不能忽視。

在函數概念的教學中可以指出，函數符號f（x）按其實質來說就是指對應法則，例如 f（x）=3x + x－1，那么對應法則f就是指這個式子中所給的一系列運算，而f（x）就是指下面括號中自變量的某一數值應作3（ ） +（）－1這樣的一系列的運算以求函數值。因此當x=1時有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。

一般來說，記號f（a）代表一個數，它等于函數f（x）在變數值等于a時的值。用幾何術語說：f（a）是函數f（x）在a點的值。如果a不屬于定義域，則f（a）就無意義了。

二、函數的表示法

通過對函數各種表示法的學習，可以加深對函數概念的理解。用公式或分析表達式直接給出自變量與因變量之間的關系是函數的分析表示法，在自然科學或實際問題中是經常遇到的，在微積分中，這種表示法也便于進行運算。

但是要防止學生產生函數關系一定能用公式表示的誤解。許多生產過程和科研實踐中，由觀察得到的一系列變量間對應的數據，不見得都能概括成這兩個變量間確定的解析表達式，但它們之間應該說構成函數關系，這種函數關系可用列表法來表示。通常用的各種數學用表，有的寫不出一般表達式（例如質數），有的寫出了表達式（例y=logx），但也不能揭示由x經過怎樣的代數運算步驟而得到y。采用列表法，就可彌補上述的不足。

公式法和列表法都可以表示函數關系，但它們都存在著表示因變量隨自變量的變化而變化的趨勢的直觀性差的缺點。而函數的圖示法具有直觀性、明顯性，并且便于研究函數的幾何性質。

在講授圖示法表示函數關系時，應注意：

（一）函數圖像存在的范圍是以函數定義域為依據的。

例1作函數 的圖像。

解： 定義域:是（-∞，+∞），

其圖像為（圖1）

例2作出函數y=x（其中x取整數）的圖像（圖2）。

（二）作函數圖像時，應把列出的點用平滑的曲線連結起來，而不能畫成折線。為此可舉函數 的圖像為例，先畫幾個點，連結成折線，再補進幾個點，讓學生看這些點并不在折線上，從而指出畫成折線是不對的。

在函數概念教學中，應注意挖掘教學內容中的教育因素，注意在教學過程中滲透一些辯證唯物主義的思想，這樣，不僅有利于學生學好數學基礎知識，也有助于對學生進行辯證唯物主義的教育。例如，常量和變量的相對性實際上蘊含著矛盾的對立統一這一法則；研究存在某種相依關系的兩個變量的過程，就是用運動、聯系的觀點來研究數學內容……教師如能把觀點蘊含于內容之中，通過內容滲透觀點，就會使函數概念的教學效果有所提高。

參考文獻：

［1］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（上冊）――函數.北京：高等教育出版社，1992.

［2］齊建華.現代數學教育――數學學習論.鄭州：大象出版社，2001.

第3篇：函數的表示法范文

教材直接解答如下：

解：過水池的中心任意選取一個截面，如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水注軌跡是拋物線型，建立如圖所示的直角坐標系，由已知條件知，水柱上任意一個點距中心的水平距離 與此點的高度 之間的函數關系是

所以裝飾物的高度為103m。這是一個應用性極強的函數解析式與函數圖像互化的一個應用問題，高一的學生大部分對這種應用問題，尤其是抽象函數的圖像再通過圖像來擬合函數解析式，通過解析式來解決實際問題的問題。學生首先是感覺特別抽象，其次是感覺特別牽強。經過本人長期的教學研究發現，如果教師不注重這種問題的降階處理，學生在學習過程中感覺知識的形成過程特別生硬并無法理解，無形的給學生造成學習障礙及學習壓力，并且這種學習障礙多了以后會挫傷學生的學習積極性，給學生的數學學習造成負面影響。

結合本人近年來的教學實際及對教材的深刻研究，本人是這樣處理的，在引領學生學習完函數的三種表示法后，插入一節《函數的解析表示法與函數的圖像表示法互化》的習題課。通過回憶初中學習的正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像實際例子，再來求函數的解析式等問題，搭建學生認知階梯，如本人在我校B層次班教學中設計了如下問題。

例 畫出函數y=x2-2|x|的圖像。

先板演引領學生分析完成

（1）列表

（2）描點，（3）連線：如下圖

另外。可以通過初中學習的二次函數圖像的畫法畫出y=x2+2 ； 與y=x2-2x；的圖像在定義域上截取得到，找對稱軸x=-22=-1，找頂點（-1，-1），交點（0，0），（-2，0）定開口（向上）得到左邊的圖像，同理得到右邊的圖像，在本人引領學生做完圖像后，在黑板上擦掉前面的函數解析式及所列表格，只剩下圖像。

師：同學們，你們能夠根據左邊的函數圖像寫出函數的解析式嗎？

生：能，y=x2-2|x|；

師：（又重新將剛才學生寫出的解析式寫在黑板上）

師：那么，現在要是請你們說出是怎樣求出函數的解析式，能嗎？

（學生陷入了一片沉思，有學生講是二次函數？）

師：是二次函數嗎？那么又怎么求這函數的解析式呢？

生1：先設f（x）=ax2+bx+c；（因為他們比較熟悉二次函數的一般表示式）

師：根據你們的假設求解一下解析式試試；同學們迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；

師：還有其他的解決方式嗎？

生2：二次函數的表示式還有頂點式、兩點式；

那么現在要你來選擇求解這個問題的方式，你喜歡選擇那一種表達方式呢？你選擇試試看：

有學生選擇頂點式，因為

當x≥0；知道頂點是（1，-1），圖像過（2，0）解得y=x2-2x；

當x≤0；知道頂點是（-1，-1），圖像過（-2，0）解得y=x2+2x；

有學生選擇兩點式，因為

結合以上學生學習的經驗，我在處理課本例題，21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4處達到最高，高度為6，另外還要在噴水池的中心設計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設計？

時是這樣做的。先閱讀題目分析由物理學知識知道是拋物線，選取一個縱截面得出圖形。

第4篇：函數的表示法范文

一、新課導入――習題設計要以學情為重點

高中數學知識前后章節有著密切的聯系，在新課導入時，教師應設計適當的習題，引導學生進行溫故知新。這樣的習題應以教材為中心，承上啟下，淺顯易答，以不斷增強學生的學習信心。

例如，在講解“函數的表示法”一節時，初中已經接觸過函數的三種表示法：解析法、列表法和圖像法。高中階段重點是讓學生在了解三種表示法各自優點的基礎上，使學生會根據實際情境的需要選擇恰當的表示方法。因此，在導課環節，教師可設計一些作業讓學生在比較、選擇函數模型表示方式的過程中，加深對函數概念的整體理解，而不再誤以為函數都是可以寫出解析式的。

課堂練習：

某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）本筆記本需要y元。試用函數的三種表示法表示函數y=f（x）。

（設計意圖：進一步讓學生感受到，函數概念中的對應關系、定義域、值域是一個整體.函數y=5x不同于函數y=5x （x∈{1，2，3，4，5}），前者的圖像是（連續的）直線，而后者是5個離散的點。由此認識到：“函數圖像既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點，等等。”）

二、課內自學――習題設計要以教材為中心

在設定教學目標的基礎之上，教師可引導學生開展課內自學，為配合學生的學習效果，教師可嘗試讓學生主動的解決一些問題。這些問題應以教材為中心，以教材內的例題或習題為重點，也可適當拓展變換條件，體現基礎性與思想性。

例如，在講解“向量的加法與減法”一節時，為了能引導學生準確理解向量的有關的概念，靈活地應用向量加法的運算律解決較簡單的實際問題，筆者設計了如下習題：

例1.已知向量a、b，則在下列命題中，正確的是（ ）

（A） 若|a|>|b|，則a>b；

（B）若|a|=|b|，則a=b；

（C）若a=b，則a∥b；

（D）若a≠b，則a與b一定不共線；

例2.在ABCD中，=（ ）

三、交流反饋――習題設計要以易錯題為主

通過學生自學，對教師呈現的問題進行解決交流，中下游學生講解、分析，優生點評、拓展，學會把問題理解透徹。學生交流評價時，其他學生暴露的問題是矯正補救的核心，也是教學的關鍵，教師要在此基礎上設計一些較為淺顯的易錯題，以突出教學重點、難點。

如在講解“不等式及其性質”一節時，有的學生存在對充分不必要條件的概念理解不清或不等式的轉化考慮不全等問題，容易解題出錯，因此筆者設計了如下習題供學生討論。

1.設則使成立的充分不必要條件是：

部分學生錯選B，對充分不必要條件的概念理解不清，“或”與“且”概念不清，正確答案為D。

2.不等式的解集是：

部分學生錯選B，不等式的等價轉化出現錯誤，沒考慮x=-2的情形。正確答案為D。

四、課內探究――習題設計要以實踐為主體

教師在充分理解科學探究的目標內容的前提下，組織好學生進行探究，重視開發學生的智力，發展學生的創造性思維。教師的角色應該是課堂探究的組織者與實施者，要以作業為載體，調動學生學習數學的積極性與主動性。

數學中的基本概念和規律既是探究教學的起點和基礎，又是探究的對象。在教與學中，教師如果在基本概念和規律的學習過程中滲透探究思想，就會使學生加深對概念和規律的理解與掌握。例如，在進行橢圓概念的教學，可分以下幾個步驟進行：

（1）實驗――要求學生用事先準備的兩個小圖釘和一根長度為定長的細線，將細線的兩端固定，用鉛筆把細線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動，所得圖形為橢圓。

（2）提出問題，思考討論。

①橢圓上的點有何特點？

②當細線的長等于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？

③當細線的長小于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？

④你能給橢圓下一個定義嗎？

（3）揭示本質，給出定義。通過上述的自主探究活動，使學生體驗從生活實例中，抽象出數學概念的方法，進一步探究它們之間具有的內在聯系和各自特征，完成了對新知識的主動建構過程。

五、達標檢測――習題設計以查缺補漏為主

第5篇：函數的表示法范文

【關鍵詞】拋物線型；函數解析式；函數圖像；深刻研究

本人在教授人民教育出版社全日制普通高中教科書（必修）數學第一冊上第二章《函數的表示方法》課本例題3時遇到學生無法理解的牽強尷尬境地。例題如下：21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4m處達到最高，高度為6m，另外還要在噴水池的中心設計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設計？

教材直接解答如下：

解：過水池的中心任意選取一個截面，如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水注軌跡是拋物線型，建立如圖所示的直角坐標系，由已知條件知，水柱上任意一個點距中心的水平距離 與此點的高度 之間的函數關系是

所以裝飾物的高度為103m。這是一個應用性極強的函數解析式與函數圖像互化的一個應用問題，高一的學生大部分對這種應用問題，尤其是抽象函數的圖像再通過圖像來擬合函數解析式，通過解析式來解決實際問題的問題。學生首先是感覺特別抽象，其次是感覺特別牽強。經過本人長期的教學研究發現，如果教師不注重這種問題的降階處理，學生在學習過程中感覺知識的形成過程特別生硬并無法理解，無形的給學生造成學習障礙及學習壓力，并且這種學習障礙多了以后會挫傷學生的學習積極性，給學生的數學學習造成負面影響。

結合本人近年來的教學實際及對教材的深刻研究，本人是這樣處理的，在引領學生學習完函數的三種表示法后，插入一節《函數的解析表示法與函數的圖像表示法互化》的習題課。通過回憶初中學習的正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像實際例子，再來求函數的解析式等問題，搭建學生認知階梯，如本人在我校B層次班教學中設計了如下問題。

例 畫出函數y=x2-2|x|的圖像。

先板演引領學生分析完成

（1）列表

（2）描點，（3）連線：如下圖

另外。可以通過初中學習的二次函數圖像的畫法畫出y=x2+2 ； 與y=x2-2x；的圖像在定義域上截取得到，找對稱軸x=-22=-1，找頂點（-1，-1），交點（0，0），（-2，0）定開口（向上）得到左邊的圖像，同理得到右邊的圖像，在本人引領學生做完圖像后，在黑板上擦掉前面的函數解析式及所列表格，只剩下圖像。

師：同學們，你們能夠根據左邊的函數圖像寫出函數的解析式嗎？

生：能，y=x2-2|x|；

師：（又重新將剛才學生寫出的解析式寫在黑板上）

師：那么，現在要是請你們說出是怎樣求出函數的解析式，能嗎？

（學生陷入了一片沉思，有學生講是二次函數？）

師：是二次函數嗎？那么又怎么求這函數的解析式呢？

生1：先設f（x）=ax2+bx+c；（因為他們比較熟悉二次函數的一般表示式）

師：根據你們的假設求解一下解析式試試；同學們迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；

師：還有其他的解決方式嗎？

生2：二次函數的表示式還有頂點式、兩點式；

那么現在要你來選擇求解這個問題的方式，你喜歡選擇那一種表達方式呢？你選擇試試看：

有學生選擇頂點式，因為

當x≥0；知道頂點是（1，-1），圖像過（2，0）解得y=x2-2x；

當x≤0；知道頂點是（-1，-1），圖像過（-2，0）解得y=x2+2x；

有學生選擇兩點式，因為

結合以上學生學習的經驗，我在處理課本例題，21世紀游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池。計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水注在離池中心4處達到最高，高度為6，另外還要在噴水池的中心設計一個裝飾物。使各個方向噴來的水柱在此匯合，這個裝飾物的高度如何設計？

時是這樣做的。先閱讀題目分析由物理學知識知道是拋物線，選取一個縱截面得出圖形。

第6篇：函數的表示法范文

1、微積分、函數、極限、連續考試內容函數的概念及表示法、函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性、反函數、復合函數、隱函數、分段函數基本初等函數的性質及圖形初等函數等。

2、一元函數微分學考試內容導數的概念、函數的可導性與連續性之間的關系、導數的四則運算、基本初等函數的導數、復合函數、反函數和隱函數的導數等。

3、一元函數積分學考試內容原函數與不定積分的概念、不定積分的基本性質、基本積分公式、不定積分的換元等。

4、多元函數微積分學考試內容多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續性、有界閉區域上二元連續函數的性質偏導數的概念等。

第7篇：函數的表示法范文

1.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.

（1）了解公差的概念，明確一個數列是等差數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等差數列，了解等差中項的概念；

（2）正確認識使用等差數列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數列的首項、公差、項數、指定的項；

（3）能通過通項公式與圖像認識等差數列的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.

2.通過等差數列的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過等差數列通項公式的運用，滲透方程思想.

3.通過等差數列概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識；通過對等差數列的研究，使學生明確等差數列與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.

關于等差數列的教學建議

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

①教學重點是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用，等差數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.

②通過不完全歸納法得出等差數列的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外，出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.

（3）教法建議

①本節內容分為兩課時，一節為等差數列的定義與表示法，一節為等差數列通項公式的應用．

②等差數列定義的引出可先給出幾組等差數列，讓學生觀察、比較，概括共同規律，再由學生嘗試說出等差數列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做等差數列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數列的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．

③等差數列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數列的條件．

④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示等差數列，前提條件是已知數列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規律；再看通項公式，項可看作項數的一次型（）函數，這與其圖像的形狀相對應．

⑤有窮等差數列的末項與通項是有區別的，數列的通項公式是數列第項與項數之間的函數關系式，有窮等差數列的項數未必是，即其末項未必是該數列的第項，在教學中一定要強調這一點．

⑥等差數列前項和的公式推導離不開等差數列的性質，所以在本節課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究等差數列的子數列，有規律的子數列會引起學生的興趣．

⑦等差數列是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創設相互研討的課堂環境．

等差數列通項公式的教學設計示例

教學目標

1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

2.利用通項公式求等差數列的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

3.通過參與編題解題，激發學生學習的興趣.

教學重點，難點

教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．

教學用具

實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學方法

研探式.

教學過程

一.復習提問

前一節課我們學習了等差數列的概念、表示法，請同學們回憶等差數列的定義，其表示法都有哪些？

等差數列的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.

二.主體設計

通項公式反映了項與項數之間的函數關系，當等差數列的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知求）.找學生試舉一例如：“已知等差數列中，首項，公差，求.”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

1.方程思想的運用

（1）已知等差數列中，首項，公差，則－397是該數列的第______項.

（2）已知等差數列中，首項，則公差

（3）已知等差數列中，公差，則首項

這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量，在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.

2.基本量方法的使用

（1）已知等差數列中，，求的值.

（2）已知等差數列中，，求.

若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于和的二元方程組，所以這些等差數列是確定的，由和寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于和的二元方程組，以求得和，和稱作基本量.

教師提出新的問題，已知等差數列的一個條件（等式），能否確定一個等差數列？學生回答后，教師再啟發，由這一個條件可得到關于和的二元方程，這是一個和的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.

如：已知等差數列中，…

由條件可得即，可知，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發現規律，完善問題

（3）已知等差數列中，求；；；；….

類似的還有

（4）已知等差數列中，求的值.

以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

3.研究等差數列的單調性

，考察隨項數的變化規律.著重考慮的情況.此時是的一次函數，其單調性取決于的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.

4.研究項的符號

這是為研究等差數列前項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如

（1）已知數列的通項公式為，問數列從第幾項開始小于0？

（2）等差數列從第________項起以后每項均為負數.

三.小結

1.用方程思想認識等差數列通項公式；

2.用函數思想解決等差數列問題.

四.板書設計

等差數列通項公式1.方程思想的運用

2.基本量方法的使用

第8篇：函數的表示法范文

片段一：模式的概括

例如圖1，拋物線y=-x2向上移動，與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點，若ABC為等腰直角三角形，求移動后的拋物線的解析式.變式1：ABC為等邊三角形，求移動后的拋物線的解析式.

設計意圖：利用簡單而常見的函數、圖形為題材，讓學生感覺熟悉又有親切感，但綜合在一起，難度驟然加大.通過變式，讓學生覺得圖形的形狀、位置雖然變了，但題目的模式并未發生變化，體會到找到解決此類問題的一般方法才是問題解決的關鍵，進而體會到解題方法的重要性.

上課開始時老師展示例題，并讓學生先嘗試性地做幾分鐘.46名同學中僅有7名同學做對，其中有5名學生是用特殊值湊出來的.然后老師變式：（如變式1）將ABC變為等邊三角形.師：題目簡簡單單，但又覺得難，原因在于方法的缺失.師：先把題中的條件按數學形式分分類.經學生七嘴八舌，老師點撥、概括，題中條件可分為函數類條件（y=-x2等）和圖形形狀類條件（等腰直角三角形、等邊三角形）.師：對此類問題能否用一個簡單的模式進行概括？經老師引導，學生熱烈的討論，大家形成一個共識，用下列模式：函數―圖形形狀.

片段二：“題眼”的提煉

師：剛才我們只是對題型進行了分析與討論，解題的方法和思路還不清楚.生：老師，我覺得剛才這個模式中，在函數和圖形之間肯定有一種聯系的要點或方法.師：有道理，在函數和圖形間需要一條紐帶，學生表示認可.師：那么聯結這條紐帶的最主要因素是什么？學生討論激烈.生：這條紐帶應該是點的坐標.因為題中ABC的三個頂點既是三角形的頂點，又是函數圖像上的點.老師加以肯定，并分析點的坐標就如這個模式的眼睛，這條通道的窗口.然后對模式又做了一次修改補充.

片段三：點的表示法的探求

師：如何打開這個突破口呢？生：把點的坐標求出來.師：能否直接求出點的坐標？生：不能！師：怎么辦？學生又一次激烈的討論.生：用未知數把點的坐標表示出來.師：對.今天我們解這類問題的最關鍵之處就是怎樣表示這些點的坐標.師：如果單考慮函數條件，如圖1，拋開ABC為等腰直角三角形這一條件，A，B，C的坐標可以怎樣表示？生：可設A的坐標為（0，m），拋物線的解析式y=-x2+m，B，C又是拋物線與x軸的交點，通過代入A的坐標（0，m）得0=-x2+m， x=±m，所以B，C的坐標分別可表示為（-m，0），（m，0）.師：接下來你能求出m的值嗎？生：可以求的，因為ABC為等腰直角三角形，且AOBC，所以OA=OB=OC，可得m=±m，解出來m1=1或0，0舍去，所以m=1.師：做得很好，完全正確.反之是否可行呢？即：單考慮幾何條件，拋開A，B，C都是y=-x2上的點這一條件，A，B，C的點又怎么表示？生：設A的坐標為（0，m），因為ABC是等腰直角三角形，且AOBC，所以OA=OB=OC，所以B的坐標為（-m，0），C的坐標為（m，0）.師：怎么求？生：因為移動后的拋物線的解析式為y=-x2+m，把B（-m，0）代入解析式得0=-m2+m，解之得m1=1，m2=0（舍去）.師：剛才大家能順利解題是因為找到了解題的突破口，抓住了“怎樣表示點的坐標”這一關鍵.接下來我們把剛才兩種解法進行對比，對點的表示方法作進一步的概括，對解題模式再作提煉.經過師生互動和深入討論，對點的表示法概括出兩點：（1）數設形代法.數設：通過函數、坐標系等代數條件，表示出點的坐標.如：A，B，C分別為拋物線的頂點、與兩軸的交點，由此A，B，C三點的坐標分別可表示為A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.形代：然后把點的坐標代入反映形的關系式中.如：OA=OB=OC，得m=±m.（2）形設數代法.形設：通過形的關系式表示出點的坐標.如可由關系式OA=OB=OC反映ABC是等腰直角三角形的形狀，進而設出A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.數代：再把A，B，C三點坐標代入反映數的關系式.如拋物線的解析式y=-x2+m，得0=-（±m）2+m.最后又把解題模式進行了完善.

第9篇：函數的表示法范文

重點：掌握映射的概念、函數的概念，掌握分段函數的概念，會求函數的定義域，掌握函數的三種表示法――圖象法、列表法、解析法，會求函數的解析式.

難點：函數的概念，求函數的解析式.

1. 理解映射的概念，應注意以下幾點

（1）集合A，B及對應法則“f ”是確定的，是一個整體系統.

（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，這與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的.

（3）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區別于一般對應關系的本質特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個.

（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.

2. 理解函數的概念，應注意以下幾點

（1）函數是從非空數集A到非空數集B的映射關系.

（2）數集A是函數的定義域，函數的值域是數集B的子集.

3. 求函數定義域的基本思路

如果沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的x的取值范圍，實際操作時要注意以下幾點：

（1）分母不能為0.

（2）對數的真數必須為正.

（3）偶次根式中被開方數應為非負數.

（4）零指數冪中，底數不等于0.

（5）負分數指數冪中，底數應大于0.

（6）若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集.

（7）如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義.

如求復合函數的定義域，已知函數f（x）的定義域為[a，b]，則函數f[g（x）]的定義域是滿足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范圍；一般地，若函數f[g（x）]的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定義域就是求x∈[a，b]時g（x）的值域.

注意：研究函數的有關問題時一定要注意定義域優先原則，實際問題的定義域不要漏寫.

4. 求函數解析式的基本策略

函數的解析式是函數與自變量之間建立聯系的橋梁，許多和函數有關的問題的解決都離不開解析式，因而求解函數解析式是高考中的熱點. 解決這類問題的關鍵在于抓住函數對應法則“f ”的本質. 下面介紹幾種求函數解析式的主要方法.

（1）湊配法：把形如f（g（x））內的g（x）當做整體，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）換元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用換元法. 具體為：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，換元后要確定新元t的取值范圍.

（3）解方程組法：若已知抽象函數的表達式，往往通過變換變量構造一個方程，組成方程組，然后利用消元法求出f（x）的表達式.

（4）待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數）求解析式，首先設出函數解析式，根據已知條件代入相關值求出系數.

（5）賦值法：已知一個關于x，y的抽象函數，利用特殊值去掉一個未知數y，得出關于x的函數解析式.