初中數學求動點最值的方法精選(九篇)
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第1篇：初中數學求動點最值的方法范文
【中圖分類號】G633.6
解這類題目要盡可能運用數形結合思想，把幾何圖形轉化成代數式，或是結合動點運動屬性，分析圖形特征，根據題目的條件寫出關系式，將動態的幾何問題靜態化，抓住靜態的瞬間，將一般問題轉化成一些特殊的情況，從而找到動、靜之間的關系來求解。本文試從以下幾個方面對這類問題作一些簡單的探討：.（1）出現一個動點兩個定點；（2）出現兩個動點一個定點；（3）出現兩個動點兩個定點，這3中情況下的解題方法主要是通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，對稱到直線的另一側，當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由"兩點之間線段最短"或者"垂線段最短"可知動點的位置及其最值情況。
課后習題（引例）：如圖，已知AB是一條河，河的一邊有兩個村莊M和N，現要在河AB上修一個抽水站，同時向M和N這兩個村莊供水，為了節約供水的費用，就要使所鋪的管道最短，請你找到AB上的點P，使點P到點M和點N的距離之和最短.
解：過點M作AB的對稱點M'，連接M'N，即PM+PNM'N
要使得PM+PN最小，即P在M'N與AB的交點處
總結：對稱共線法，如果不定的兩條線段之和由一個動點決定，我們可以用"軸對稱"的性質將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，對稱到直線的另一側，將不共線的線段進行等量轉移，在借助"兩點之間的距離最短"找到特殊情況下的動點P的位置，將動態問題轉化成靜態的幾何問題，進而求解。
類型一：一動兩定型（兩個定點到一個動點的距離和最小問題）
變式1：從直線到三角形中
例1：在ABC中，AC=BC=2，∠ACB=900，D是BC邊的中點，E是AB上的一動點，則EC+ED的最小值為 。
解：作點C關于AB的對稱點P，連結DP，PB由引例可知，點E即為DP與BC的交點，
AC=BC=2，∠ACB=900，
∠PCB=450即CBP為等腰直角三角形
BD==1，PB=2
PD=
變式2：從三角形模型轉移到四邊形模型
如圖：菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是_______。
解法：
變式3：從四邊形轉移到圓柱體中
如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為 cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為________。
誤解：學生一看到這一個圓柱體問題，很容易產生一個定向思維：將圓柱體展開，找到展開圖中的對應的點C，構造RTADC，利用勾股定理AC2=CD2+AD2，在利用已知的條件求出CD=9，AD=4，進而求出AC=，但是這個問題到底出現在什么地方呢？我們在前面的練習中絕大多數情況下碰到的是螞蟻繞圓柱體的外壁從一點爬到這一點，此時考慮到柱體是一個曲面，利用轉化思想，將它轉化為平面圖形進而求解，但是此時這個問題中這只螞蟻是從杯外繞著杯口爬到杯子的內壁中去，不再是我們曾經多次練習的外壁問題，此題已經轉化成了在杯口在一個點P，使得PA+PC的值最小，從而變成我們熟悉的一動兩定問題型。
正確的解：將圓柱體展開（如右圖），找到點C的位置，根據上述一動兩定型問題的基本模型解法，找到A的對應點A'，此時PA'+PCCA'利用兩點之間線段最短確定點P的位置，在RTA'DC中，求出CA'=15。
方法總結：一動兩定型問題主要是由一個動點引起，將動態問題通過軸對稱轉化成靜態下的幾何問題，運用"勾股定理"找到最小值。
類型二：一定兩動型（一個定點到兩個動點的距離最短問題）
即兩個動點分別在兩條直線上運動，一個動點分別到一個定點和另一個動點的距離最短問題
例2：ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，試在AB上找一點P，在BC上取一點M，使CP+PM的值最小為________。
解：作點C關于AB的對稱點C'，此時PC=PC'，CP+PM=M C'
M是線段BC上的動點即線段M C'仍在變化
當M C'BC時，M C'最短
即點P為M C'與線段AB的交點
在RTMC C'中，C C'= ，∠ C'CM=∠A，∠C'MC=∠ACB
MC C'∽ACB
M C'=
變式一：從直角三角形到一般的銳角三角形，形變意不變。
方法總結：如果不定的兩條線段由兩個動點決定，我們用"軸對稱"的性質、"兩點之間線段最短"可以找到最短距離，但是與例1不同的是這條最短的線段大小還在不斷的變化中，此時再可以利用"垂線段最短"可得到其最值。
類型三：兩動兩定型
即兩個定點，一個動點一個定點，兩個動點之間的四邊形周長最小問題。
求動點最值問題的內涵非常豐富，能更好的考察學生觀察轉移的能力，培養他們數形結合的思想和轉化的思想，希望以上的幾個模型，對我們今后分析解決動點最值問題有一定的幫助。
參考文獻：
1劉鵬； "特例"讓數學復習課更加有效[J]；數學之友；2012年01期
2李玉榮；最值問題新考[J]；數學教學通訊；2010年03期
第2篇：初中數學求動點最值的方法范文
關鍵詞： 數形結合 初中數學教學 培養能力
數形結合思想主要是指利用數與形之間的轉化來解決各類實際問題[1]。一是借助幾何圖形的性質使得抽象的數式問題變得形象和直觀，得到意想不到的解題思路和解題方法；二是把某些幾何圖形問題通過聯想轉化成為數式問題，得到較簡便的解題方法。所以數形結合實際上是把直觀而具體的圖形與抽象而復雜的數式結合，使形象與抽象的兩種思維結合，通過數形轉化、圖形認識培養學生形象、靈活的思維，把復雜的數學問題簡單化、抽象問題形象化的過程。
一、由數式聯想到圖形，進行數形結合，通過圖形解決數式的問題。
有機的數形結合，能夠把化抽象的問題為具體，化復雜的問題為簡單。
1.利用數軸來闡述絕對值、相反數這類有關概念，以及有理數的四則運算等[2]。數軸是一種重要的工具，借助數軸能夠直觀體現許多數學問題，也能夠展示數形結合思想。因此在初中數學教學中我們應合理引入數軸幫助學生掌握相反意義概念，了解絕對值、相反數的內涵，全面掌握比較有理數大小方式，深刻理解有理數運算意義法則等，進而圓滿完成教學任務。如圖①：已知有理數a、b在數軸上表示的點如圖，借助數軸很容易找出表示-a和-b的點，從而順利地比較出a、b、-a、-b之間的大小關系。
圖①
2.通過幾何圖形推導出平方差，平方和，以及完全平方公式，表示出整式的乘法和因式分解等。
3.巧借函數的圖像求解函數題目的最值問題。如點P點在x軸上，點A（-2，3），B（3，1）在x軸的同一側，①求PA+PB的最小值；②求PA-PB的最大值。如圖②，先找到B點關于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，則PA+PB最小，利用一次函數的性質求出P點的坐標，而AB′的長度則是PA+PB的最小值；如圖③，根據三角形的兩邊之差小于第三邊，連接AB交x軸于點P，則PA-PB最小，利用一次函數的性質求出P點的坐標，而AB的長度則是PA+PB的最小值。此外還可以探究當點A、B在x軸的兩側的情況。
圖② 圖③
二、由圖形聯想到數式數形結合，用數式來解決圖形的問題。
此類問題的解決關鍵就是利用數式的精確性來表明圖形的一些屬性；把圖形的信息轉化成代數的信息，通過數量特征將圖形問題進而轉化為代數問題來解決。這在初中數學中運用較多，如：
1.用數量來表示角度大小和線段長短，并進行相應大小長短的比較。
2.用有序實數對表示在平面直角坐標系內的點的位置。
3.用數式來描述點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，直線與直線的位置關系[3]。
三、巧用數形結合，培養合情推理。
1.通過直觀的幾何圖形求解代數問題能夠激發學生思維、誘發直覺判斷，從而引導學生產生聯想，進行大膽的假設推理，從而形成合情推理，進而培養出合情推理的習慣。
如華東師大版義務教育教科書《數學》七年級上冊第80頁第25題，我們從圖④中可看出第一層有1個小圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈……（以此類推）。①第一層的圓圈個數為1=1 ；②前兩層的圓圈個數總和為1+3=4=2 ；③前三層的圓圈個數總和為1+3+5=9=3 ；④前四層的圓圈個數總和為1+3+5+7=16=4 ……（以此類推）由此可歸納出前n層圓圈個數和為1+3+5+（2n-1）=n.數形結合，直觀明了。
圖④
2.借助幾何圖形解決復雜的代數問題。在一些情況中，許多表面上看起來復雜錯綜的應用題，其實我們只需要把其中所涵蓋的各項條件逐一拆分開來，通過數形結合思想把它們對應的示意圖畫出，就能立即使復雜的應用題變得淺顯易懂。如利用勾股定理求取代數式的最值問題：請構圖求出代數式 的最小值。如圖⑤，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC，當點C滿足在AE上時，AC+CE的值最小。若設CD=x，CB=12-x，AB=3，DE=2，則AE就是所求的代數式 的最小值。
圖⑤
四、在運用數形結合思想解決數學問題時應注意的問題。
由于綜合運用題并不是單純的由數式聯想圖形或者由圖形形聯想數式的問題，因此利用數形結合解有關的問題時要注意以下幾個問題。
1.數與形進行轉化要求前后一致；
2.用數的精確性準確的來表示圖形的一類特征；
3.把數轉化成形時要注意考慮圖形的涉及各種情形。因為有些數學問題相對的圖形如果不具有唯一性，就要求根據特定的情況作出相對應的圖形，才能討論進而求解。
總之，我們應當在教學實踐中科學地滲透數形結合思想，提高學生綜合分析和解決問題的能力，把數形結合思想作為初中數學教學所必需的基礎工具，利用幾何圖形、數軸、坐標系等，結合相關教材習題內容引導學生，并使他們在實踐中養成反思的習慣，提高數學素養，全面提升教學水平。
參考文獻：
[1]黃家超. 初中數學教學中如何滲透數學思想方法[J]. 教育教學論壇， 2011， 30： 035.
第3篇：初中數學求動點最值的方法范文
【關鍵詞】初中 二次函數 三角形面積問題
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0120-02
引言
二次函數是初中數學的教學重點，對于二次函數的三角形面積問題是代數數學與幾何數學有機結合的一個考點，是初中數學課堂教學的一個重點內容。教師在進行這類問題的講解時，應該注重學生思維能力的培養和綜合應用能力的提升，對于一些題目可以進行一題多解，擴散學生的數學思維模式。
一、拋磚引玉
題目：已知直角坐標系中有B、C、D三點，其坐標分別為（2，0）、（0，2）、（1，3），一次連接這三個點，求其圍城三角形的面積。
問題引導：先在平面指教坐標系中一次標出B、C、D三點的坐標位置，并按題目要求依次連接，形成三角形BCD，在具體求三角形BCD面積中會遇到不能確定其底邊長與底邊上高的問題。教師可以提醒學生利用直角坐標系的優勢，用“割補法”進行三角形面積的求解。
教學感悟：教師可以在教學過程中，對有些數學問題進行建模，引導并培養學生在數學建模方面的能力。對于上面求解三角形面積的問題，教師可以讓學生將自己的“割補”思想表達出來，師生一起進行探討學習，學生自己想出來的解題方法通常是其思維能力的一種表現，教師應該充分的發現和挖掘學生的思維模式。
二、構建例題
例題：如下圖所示，已知拋物線經過B、C兩點，對稱軸為X=3/4，求以下問題：（1）求該拋物線的解析式，該拋物線與X軸的另外一個交點坐標和頂點坐標；（2）求三角形BCD的面積。
問題引導：求二次函數的解析式常用的有哪幾種方法？在求二次函數的解析式時，需要知道哪些條件？哪種方法更加適合本題的求解？關于三角形BCD面積的求解，需要知道什么條件？三角形BCD的面積應該如何進行求解？教師在數學課堂上可以通過一系列的問題對學生進行相關的提點，幫助學生理清解題思路。
設計目的：通過對本題解析式的求解，可以讓學生更加熟悉二次函數解析式的三種不同的表達式，可以幫助學生理解二次函數解析式不同表達方式之間的相互轉換，幫助學生對平面直角坐標系中關于三角形面積求解問題的思考方法。教師在數學教學課堂中可以采用循序漸進的方法進行教學，由簡單到復雜，由單一到多變。
教師可以對例題進行相關的變形，得到變式1：已知拋物線與直角坐標系的X軸的B、C兩點相交，與Y軸相交于C點，連接BC兩點，D是拋物線上的點，在拋物線與線段BC相交的上方進行移動（不與B、C兩點重合），問：點D在拋物線上移動到什么位置時，三角形BCD的面積最大，并算出此時三角形BCD的面積和點D的坐標。
問題引導：例題與變式1之間的相同點和不同點？在求三角形BCD的面積時，哪些條件是已知的，哪些條件是未知的，與三角形BCD面積計算式之間的關系是怎樣的？拋物線的最值問題與變式1之間有沒有聯系？如有，應該如何構建三角形BCD的面積與點D坐標之間的關系？在題目圖形的建模過程中，“分割法”是否能夠運用到變形1的解題中？
在一系列的問題引導后，教師可以為學生交流自己解題思路提供一個平臺，相互之間的思維模式的學習和借鑒，逐漸培養學生具備一題多解的能力，提高學生數學知識的應用能力。
變式2：已知拋物線的解析式為Y=-2X2+3X+2，直線方程為Y=-X+3/4相交于兩點B、C，點D是直線上方拋物線上的一個動點（與B、C兩點均不重合），問：D點在拋物線上什么位置時，三角形BCD的面積最大，并求出此時三角形BCD的面積和D點的坐標。
問題引導：變式2與變式1之間相同點與不同點？結合它們之間的關系可以聯想到什么解題思路？在這幾種解題思路中，哪種思路更加簡單？結合這幾種題型，進行相關的學結。
解析思路：過D點作直線DE平行于Y軸，與直線BC相交于E點，根據直線BC的解析式可以用變量表示E點的坐標，D點的坐標也可以對應的E點的變量進行表示：
線段DE=YD-YE，用E點的橫坐標可以表示為DE=-2X2+4X+11/4，再將直線方程與拋物線解析式聯立進行求解，可以得出其相交的兩點BC的坐標，進而求出BC之間的距離，線段DE的長度可以求出，即三角形BCD的面積可以分割為三角形CDE和三角形BEN的面積之和。
變式3：已知拋物線的解析式為Y=-2X2+3X+2與直線方程為Y=-X+3/4相交于B、C兩點，D是平拋物線上的一個動點，在B、C兩點之間運動且不與B、C兩點重合，問當D點運動到什么位置時，三角形BCD的面積是最大的？并求出此時D點的坐標和三角形BCD的最大面積。
問題引導：變式3與變式2之間的相同點和不同點？不同點有哪些？能夠用相同的解題思路進行解題嗎？
解題分析：隨著D點的移動，三角形BCD的圖形也會發生相應的變化，如下圖所示：
過D點做平行于Y軸的平行線DF，與直線方程相交于F點，可以根據F點是直線方程上的點，用變量表示F點的坐標，DF是平行于Y軸的，可以對應的用變量表示出D點的坐標。
三、教學反思
教師在對每一章節的內容進行課堂教學后可以適當的進行一些課堂總結或者小型測試，了解學生對所學章節內容的掌握程度。教師也需要對自己教學思路進行反思，結合學生的數學基礎，進行循序漸進的引導，適當的將數學函數的應用題與實際生活中的應用問題相結合，培養學生對數學函數問題的建模能力。
結論
初中二次函數三角形面積求解問題，教師首先應該培養學生的數學建模能力，通過二維直角坐標系中的斜三角形的面積求解問題進行二次函數三角形面積求解問題的引入。在具體的解題中，教師應該引入不同的解題思路和解題方法，逐漸培養學生能夠進行一題多解的思維能力。教師可以從二次函數上定點三角形面積問題的求解開始，逐漸演變為在二次函數上的動點問題所在三角形最大面積問題的求解。這需要教師將直線方程與二次函數的相交點之間的關系進行充分的應用，相關變量表示D的橫坐標進而用拋物線解析式表示縱坐標，三角形的面積問題最終就換成二次函數最值的求解問題，即幾何問題最值問題的求解轉變成代數最值問題的求解，對學生的數學綜合應用能力的培養至關重要。
參考文獻：
第4篇：初中數學求動點最值的方法范文
動態問題變化形式多樣，綜合性強，教學中教師應抓住數形結合思想和分類討論思想，揭示變量與變量，變量與不變量之間的關系，讓學生學會解決動態問題。
[關鍵詞]
動態問題;數形結合;分類討論
動態問題是應用數學中的一個重要的部分，其變化形式多樣，根據不同的變化情況可歸納為動點、動線、動形三種類型。它的綜合性強，是對學生的綜合能力、思維能力、創新能力的綜合考查，在考試中常以壓軸題的形式出現。因為這類問題思維跨度大，而且還需要有動與靜的辯證思考等等，學生覺得難度大。因此要讓學生掌握，就應教給學生解決問題的思想方法，采用“動靜結合，以靜制動”等思維方法，揭示變量與變量，變量與不變量之間的關系，揭示動態問題背后蘊含著核心的數學思想――數形結合思想和分類討論思想，從而達到掌握解題思路及探究方法。
一、動點問題
（一）動點形成函數問題
例1.如圖，點P是ABCD邊上一動點，沿ADCB的路徑移動，設P點經過的路徑長為x，BAP的面積是y，則下列能大致反映y與x的函數關系的圖象是（ ）。
分析：分三段來考慮點P沿AD運動，BAP的面積逐漸變大;點P沿DC移動，BAP的面積不變;點P沿CB的路徑移動，BAP的面積逐漸減小，據此選擇即可。
本題主要考查了動點問題的函數圖象，注意分段考慮。解決問題的關鍵在于利用畫圖，結合分類討論思想，將問題分解成幾個“靜態”問題，由“動”轉化為“靜”求解。
（二）動點形成最值問題
例2.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點為A（-3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3m）（其中m>0），頂點為D。
（1）求該二次函數的解析式（系數用含m的代數式表示）;
（2）如圖，當m=2時，點P為第三象限內的拋物線上的一個動點，設APC的面積為S，試求出S與點P的橫坐標x之間的函數關系式及S的最大值;
（3）分析：①利用交點式求出拋物線的解析式;
②先求出S的表達式，再根據二次函數的性質求出最值;
本題考查了函數的圖象與性質、待定系數法、圖形面積計算等知識點。第（2）問重點考查了圖形面積的計算方法;運用數形結合、函數及方程思想是解題的關鍵。
（三）動點形成的存在性問題
例3.如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），與y軸交于點C。若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動。
（1）求該二次函數的解析式及點C的坐標;
（2）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標;若不存在，請說明理由。
分析：①將A，B點坐標代入函數y=x2+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式及C坐標。
②等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ。借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后，利用勾股定理易得E坐標。
本題考查了二次函數性質、利用勾股定理解直角三角形等知識，運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵。
二、動線問題
例4.如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC于點D，BC=10cm，AD=8cm。點P從點B出發，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當點P到達點C時，點P與直線m同時停止運動，設運動時間為t秒（t>0）。
（1）當t=2時，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形;
（2）在整個運動過程中，所形成的PEF的面積存在最大值，當PEF的面積最大時，求線段BP的長;
（3）是否存在某一時刻t，使PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值;若不存在，請說明理由。
分析：①如圖1所示，可證明AE=ED=DF=FA;
②如圖2所示，首先求出PEF的面積的表達式，然后利用二次函數的性質求解;
③如圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解，其中第一種情況不存在。
本題是運動型綜合題，涉及動點與動線兩種運動類型。第（1）問考查了菱形的判別方法;第（2）問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數的極值;第（3）問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識點，重點考查了分類討論的數學思想。
三、動形問題
抓住變量與不變量，探索平移、旋轉和翻折等幾何圖形變換的解決方法。
（一）幾何圖形的平移變換
例5.如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.沿斜邊AB邊上的中線CD把這張紙片剪成AC1D1和BC2D2兩個三角形.將紙片AC1D1沿直線D2B（AB）方向平移（點A、D1、D2、B始終在同一直線上），當點D1與點B重合時，停止平移。在平移過程中，C1D1與BC2交于點E，AC1與C2D2、BC2分別交于點F、P。
（1）當AC1D1平移到如圖2所示的位置時，猜想圖中的D1E與D2F的數量關系，并證明你的猜想;
（2）設平移距離D2D1為x，AC1D1與BC2D2重疊部分面積為y，請寫出y與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍;
（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的x的值，使重疊部分面積y等于原三角形ABC的面積的[14]，若存在，請求出x的值，若不存在，請說明理由。
抓住此圖形在平移過程中的角的不變量，線段的不變量，用變量x表示D1E、BD1、D2F的長，利用相似三角形、方程思想和以靜制動的思維方法是解題的關鍵。
（二）幾何圖形的旋轉變換
例6.將一副三角尺（在RtABC中，∠ACB=90°，∠B=60°;在RtDEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過點C。
（1）求∠ADE的度數;
（2）如圖②，將DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°
分析：①根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=[12]AB，根據等邊三角形性質求出∠BDC=∠B=60°，再求出∠ADC=120°，再根據∠ADE=∠ADC-∠EDF計算即可得解;
②根據旋轉變換的性質可得∠PDM=∠CDN，再根據然后求出BCD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出∠BCD=60°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據兩組角對應相等，兩三角形相似判斷出DPM和DCN相似，再根據相似三角形對應邊成比例可得[PMCN=PDCD]為定值。
本題考查了旋轉變換的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等知識。解題的關鍵是注意數形結合思想與以靜制動的思維方法的應用。
（三）幾何圖形的翻折變換
例7.矩形紙片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是邊BC上的點，以AE為折痕折疊紙片，使點B落在點F處，連接FC，當EFC為直角三角形時，BE的長為__________。
分析：①如圖1，當∠EFC=90°時，且點F在對角線AC上，利用勾股定理列式求出AC，設BE=x，表示出CE=8-x，根據翻折變換的性質可得AF=AB=6，EF=BE=x，然后在RtCEF中，利用勾股定理列出方程求解可得BE=3;②如圖2，當∠CEF=90°時，且點F在AD上，判斷出四邊形ABEF是正方形，根據正方形的四條邊都相等可得BE=AB=6。
本題考查了翻折變化的性質，勾股定理，正方形的判定與性質，此類題目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本題難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀。
在數學知識應用中，常常遇到關于圖形變換問題的求解，就其變化方式而言，主要由點、線、面的變換而得出的問題求解。在解決問題的思維方式，即找出變與不變的關系，由動到靜，由靜想到動。此類問題的應用廣泛，舉不勝舉。在學習和教學中要善于歸納小結，解決問題的思路，萬變不離其宗，當然因其解題過程滲透數形結合、函數方程思想、分類討論等重要的數學思想方法，因此，教師的教學應注重歸納，達到事半功倍的效果，培養和提高學生的數學解題能力。
[參 考 文 獻]
[1]周冬琴.“圖形運動問題”教學中難點的分析與突破[J].中小學數學，2013（12）.
第5篇：初中數學求動點最值的方法范文
一、“新知”與“舊知”的轉化
新知識的獲得，離不開原有認知基礎. 很多新知識都是學生在已有知識基礎上發展起來的. 因此，對于學生來講，學會怎樣在已有知識的基礎上掌握新知識的方法是非常必要的.
例如，在學次根式時，可向學生提出：我們已經學習了平方根和算術平方根，那么你能根據已學的知識完成今天的學習內容“二次根式 ”嗎？這樣簡單、明了的一句話就勾通了新舊知識間的內在聯系. 問題的提出，激發了學生學習的興趣，促使了學生思維的展開，提供了回答問題的機會，創造了活躍的教學氣氛，學生會迅速而準確地回答出二次根式的定義.
二、圖形與圖形之間的轉化
圖形變換的目的就是化繁為簡，化難為易，化笨為巧，尋找解題捷徑，通過轉化思想來開拓你的解題思路. 轉化有轉化條件、轉化問題、轉化方法，等等. 例如運用“等積替代圖形”：
例 如圖，菱形ABCD的邊長為2 cm，∠A = 60°. 以點A為圓心、AB長為半徑的弧， 以點B為圓心、BC長為半徑的弧. 則陰影部分的面積為 cm2.
分析 連接BD，由菱形的性質知AB = BC = CD = AD，又因為∠A = 60°，所以三角形ABD和三角形BCD都是等邊三角形，故陰影部分的面積等于三角形BCD的面積.
三、生活中的實際問題與數學問題的轉化
數學來源于生活，也服務于生活. 用貼近學生生活的實際問題為背景，構建函數類的試題，利用函數模型解決實際問題的考法是歷年中考的熱點之一，也是十分常見的，解決實際問題的思考方法.
例 某商場以每件42元的價格購進一種服裝，由試銷知道，每天的銷售量t（件）與每件的銷售價x（元/件）之間的函數關系為t = -3x + 204.
（1）寫出商場每天銷售這種服裝的毛利潤y（元）與每件的銷售價x（元）之間的函數關系式（每件服裝的毛利潤是指每件服裝的銷售價與進貨價的差）.
（2）商場要想每天獲得最大銷售毛利潤，每件的銷售價應定為多少？最大銷售毛利潤為多少？
分析 （1）因為銷售量t = -3x + 204， 每件的銷售價為x（元/件），進價為每件42元，所以這種服裝的毛利潤y（元）與每件的銷售價x（元）之間的函數關系式y = t × （x - 42） = （-3x + 204） × （x - 42）
（2）y = （-3x + 204） × （x - 42）是二次函數，求每天獲得最大銷售毛利潤，實質是求二次函數的最大值，可以把二次函數的關系式化為頂點式求解，也可以用二次函數的最值公式求解.
四、動態問題與靜態問題的轉化
動態問題在初中數學中占有重要位置，滲透運動變化的觀點，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題.這類題靈活性強，能力要求高，它能全面地考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 解這類題目要“以靜制動”，即把動態問題變為靜態問題來解.
例 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，DC = 5，BC = 10，梯形的高為4.動點M從B點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動.設運動的時間為t（秒）.
（1）當MN∥AB時，求t的值；
（2）試探究：t為何值時，MNC為等腰三角形.
第6篇：初中數學求動點最值的方法范文
【關鍵詞】 動態型問題；三重生態觀；教學探究
所謂“三重生態”即自然生態、類生態和內生態. 其中， 自然生態是人生命的物質滋養， 類生態是人生命的社會依托， 內生態是人生命安頓的心靈居所. 中央教科所劉驚鐸教授認為：每一個生命個體都處于自然生態、類生態和內生態三重生態關系之中. 其實，課堂也是三重生態關系圓融互攝的生態場，自然生態和類生態始終對內生態產生直接或間接的影響和感染，最后通過內生態的體驗使三重生態得以融通.
以運動的觀點來探索幾何圖形部分規律的問題稱之為動態型問題，其特點是圖形中的某個元素（點、線段、角等）或整個幾何圖形按某種規律運動，圖形的各個元素在運動變化的過程中互相依存、和諧統一，體現了數學中的“變”與“不變”及由簡單到復雜、由特殊到一般的辯證思想，它集代數與幾何、概率統計等眾多知識于一體，滲透了分類討論、轉化、數形結合、函數、方程等重要數學思想方法，問題具有開放性、綜合性. 這類題目蘊含著“變”與“不變”、“運動”與“靜止”、“一般”與“特殊”的辯證思想，由于形式多樣，立意新穎，符合新課程的要求，歷來都是中考復習中的難點， 對此類問題的研究有利于我們教師在教學中把握方向、研究對策. 這樣才能更好地培養學生的解題素養，在素質教育的背景下更明確地體現課程標準的導向. 下面本人將從三重生態觀的視角對此類問題進行研究、分析，并給出解決此類問題的一般思路.
1. 動態型數學問題課堂教學中生態因子分析
如果把整個動態型問題的教學過程看作一個生態系統來說的話，自然生態的主要因子可以看成師生課堂學習與成長的物質環境和課堂空間. 類生態的主要因子可以看成是教師與學生以及由此而呈現出來的師與生、生與生等共同遵循的課堂活動方式，課堂雙邊活動的制度等. 內生態的主要因子則是師生內心世界的感受和領悟. 具體來說，課堂教學的環境與內容可以看成是自然生態因子，課堂教學的組織形式、教學方法等可以看成是類生態因子，而師生在課堂教學中的體驗、感悟則可以看成是內生態因子.
2. 動態型數學問題學生思維障礙分析
從教學實踐來看，學生很怕這種動態型問題，考試中得分率也比較偏低，一方面固然是題目自身的難度較大，另一方面來講，其實是課堂教學中三重生態關系未能產生該有的化學反應，主要表現為以下幾種形式：
2.1 自然生態因子的不和諧
動態型問題需要描述基本元素運動、變化的過程，這種文字的描述需要在學生頭腦中建立一種“圖景”體驗，例如：蘇州市2004中考數學卷第29題的題干描述：
如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（3，0），（3，4）. 動點M，N分別從O，B同時出發，以每秒1個單位的速度運動. 其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動. 過點N作NPAC，交AC于P，連接MP. 已知動點運動了x秒.
這里“動點M，N分別從O，B同時出發，以每秒1個單位的速度運動”，這段文字語言學生必須將其轉化為頭腦中建立的一種“圖景”體驗，即點的運動路徑轉化為“路程 = 速度 × 時間”這一數量關系，一旦這種“體驗”不能建立，學生往往會對此類問題無從下筆.
2.2 類生態因子的不和諧
在動態型問題的教學過程中，我們發現， 有些教師的教學更注重于單一問題的解決，缺乏對學生的思維進行高屋建瓴的引領，缺乏對問題理性的思考. 這就造成了部分學生喜歡按照某種習慣思路考慮問題，當學生熟悉它的常見功能以后，往往會形成思維定式，從而對于在新條件下轉化它的功能會感到困難，尤其是對一些“舊瓶裝新酒”問題，學生往往會根據以往學習的例題和作業所獲得的“套路”去走，而對形成“套路”的基本原理不去探究. 造成這種現象的原因主要在于類生態因子的不和諧，即課堂教學中學生未能體驗這種點或線的運動對圖形和圖形中的數量關系產生的影響，只能按造他們所熟悉的某種習慣思路考慮問題.
2.3 內生態因子的不和諧
初中學生在解決動態型問題的過程中往往表現出兩大思維能力的缺失：數形結合和分類討論. 學生這種內生態因子的缺失往往導致學生要么在尋找相似、等腰或符合條件的特殊點的過程中出現漏解的結果，要么無法根據圖形找出“臨界點”進行分類討論造成錯解. 這種內生態因子的不和諧也是中考中學生失分的主要原因.
3. 問題解決
從三重生態觀的課堂追求來看，就是要圍繞學習內容，盡可能地使自然生態、類生態和內生態三者都能有一個最佳的發揮. 但只有三重生態各自的最佳發揮還是不夠的. 生態課堂更看重的是三重生態之間的最佳組合與有機滲透，強調三者之間的高境界的圓融互攝，進而創設最為理想的課堂學習與成長的生態場. 那么，在動態型問題的教學過程中如何實現三重生態的完美融合呢？我認為需要做好以下幾點：
3.1 正確理題干文本和圖形，融合自然生態
二次課改以來，中考卷上的動態型問題呈現題型繁多、題意創新的特點，題目更加注重考查學生分析問題、解決問題的能力，內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等. 雖然題型眾多，但并非無跡可尋，動態型問題基本可以歸納為以下兩大類型：
① 未引入變量型：此類問題多為純幾何問題，其運動形式基本表現為點動、線動或者面（形）動，重點考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形等. 解此類問題的方法相對比較固定，解決方法主要是相似和全等.
② 引入變量型：此類問題多為綜合題，題目往往以變量為載體，集幾何、函數、開放、最值等問題于一身，題目難度相對較大，多為壓軸題.
對題目文本和圖形等自然生態因子的解讀是學生解決動態型問題的首要條件. 所以我們需要引導學生正確理解題目所給出的條件，要從運動中找出其規律性的東西，首先要解讀出哪些圖形元素在動，其次要解讀出圖形中哪些特殊點在運動，最后將其歸結為某一點在運動.
如蘇州市2012中考數學卷第28題：
如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1 cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1 cm，矩形EFGH的邊長FG，GH的長分別為4 cm，3 cm.設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0 ≤ x ≤ 2.5.
（1）試求出y關于x的函數關系式，并求當y = 3時相應x 的值；
（2）記DGP的面積為S1，CDG的面積為S2，試說明S1 - S2是常數；
（3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.
本題首先應引導學生從題意中解讀出運動的是正方形ABCD，其次引導學生從圖形中解讀出運動的其實可以歸結為四個點，即點A，B，C，D，最后要引導學生從運動中發現其實運動可以歸結為一個點，即點D的運動. 從而發現只要證出兩個三角形相似就能解決問題了.
3.2 創新課堂教學模式，注重類生態
有一次初三一?？荚嚕荚嚽芭銮晌液茉敿毜亟o學生講了一道動態型問題，這道題剛好考到了，但結果卻令我大失所望，全班能把這個問題完整解決的僅有兩名同學. 這樣的經歷可能很多數學老師都有過，為什么會出現這種情況呢？通過和學生交流發現我們在課堂教學中缺乏對類生態因子的關注. 學生要將老師對這個問題的理解內化為自己的理解需要足夠的體驗與交流，否則就容易產生相異構想，出現所謂“一聽就懂”但“一做就錯”的狀態. 那么課堂中具體該怎么做呢？
首先，課堂中老師要努力為學生創設體驗的“圖景”，對于學生而言動態型問題既“美麗”但又“冰冷”，因為這種運動對學生而言太過抽象，缺乏必要的體驗. 數學教師應在自然、合理的教學情境中引導學生數學地思維，讓學生的思維在課堂上翩翩起舞，把數學冰冷的美麗變成火熱的思考. “動態型”問題之所以“抽象”，是因為“看不到”這種實實在在的運動. 因此，在動態型問題的教學中引入信息技術是非常必要的，例如幾何畫板，可以讓學生在圖形的運動中去理清題意、體驗“圖景”、解決問題. 更為出色的是電子白板，可以讓學生自己去拖動“點”進行運動，這種“圖景”體驗比老師的說教要深刻得多.
其次，老師必須改變自己的行走方式. 教師的理念決定著教學的高度，在課堂教學中，老師扮演的不僅是課堂教學的組織者、引領者的角色，而且是“整體活動進程的調節者和局部障礙的排除者”的角色. 教師在對話中要能以伙伴式的態度真誠、平等地面對學生徹底改變傳統課堂上師生之間審視與拷問的狀態， 在學習中起到引導、幫扶學生的作用.
第三，老師必須改變師生交流、生生交流的方式. 變“線流”為“網絡模塊化交流”，變“一問一答”為“多位互動”，主要表現為交流渠道自由暢通，師生之間、生生之間實現無障礙溝通；交流形式的多層次，自我交流、合作交流、小組交流等隨著學習任務的展開而自覺生成.
3.3 注重課堂提升，激發內生態
一名學生在課堂上沒有享受過高峰體驗，他就不太可能有求知的渴望. 許多學生之所以討厭“動態型”問題，一個重要原因，就是這樣的學習經歷沒有讓他產生過高峰體驗. 數學課堂上的高峰體驗是什么？是用獨一無二的方式真切地體會到數學的作用，是震撼地感受到數學的價值，是思考的幸福和快樂，是冥思苦想的苦悶和痛苦，更是豁然開朗的震撼和興奮.
例如，2011年蘇州中考數學卷第29題：
如圖，已知AB是O的弦，OB = 2，∠B = 30°，C是弦AB上的任意一點 （不與點A，B重合），連接CO并延長CO交O于點D，連接AD.
（1）弦長AB等于 （結果保留根號）；
（2）當∠D = 20°時，求∠BOD的度數；
（3）當AC的長度為多少時，以A，C，D為頂點的三角形與以B，C，O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程.
學生在遇到第（3）小題相似的問題時很是煩惱，該怎樣分類討論呢？老師應該告訴他：相似要么從邊對應成比例考慮，要么從角相等考慮，然后讓學生在合作交流中去體驗“角相等”要比“邊對應”更容易找，最后從角的討論中去發現∠ACD是OCB的外角，因此，能與∠ACD相等的只能是∠OCB. 這種豁然開朗的震撼和興奮給學生帶去的絕不僅僅是解決這個問題的喜悅這么簡單.
教學活動的關鍵一定是要能打開學生的“心門”，學生的這種力量一旦激發出來，其能量遠比我們的說教大得多. 三重生態觀是一種全新的理論，而動態型問題是常考常新的熱點，也許，用全新的理論去思考與實踐當前教學中的熱點問題可能還有許多不太成熟的地方，但是我能在教學過程中體驗著學生思維的碰撞和生命的成長，對我來說也是一種難得的心理體驗和生命成長.
【參考文獻】
[1]姚亞萍，劉驚鐸.體驗式道德學習學術研討會述要[J].教育研究，2005（12）.
[2]周海東. 三重生態觀下初中數學課堂教學生態的研究[D].蘇州大學，2011.
[3]吳兆明. 動態幾何問題解析 [J].2007（6）.
第7篇：初中數學求動點最值的方法范文
[關鍵詞] 新課程標準；多角度理解教材；創造性用活教材；創造能力
教材是學生學習的基本載體，教學中如何挖掘、開發教學資源，使教材的內涵更有廣度和深度，如何創造性使用教材，讓教材在促進學生發展的過程中更好地發揮作用，這些是新課程理念下對數學教師的要求. 下面結合一線教學經驗談談如何創造性地“活用”數學教材.
■ 創造性利用教材，促進知識的
形成
教師應深入鉆研教材，挖掘教材的隱性內容，從而使教材變為學材，教師教有新意，學生學有創意. 教材中對一些抽象概念、定理、法則等教學內容的呈現，平鋪直敘，學生難以理解、掌握，教學中教師若能在抽象與具體中建立聯系，尋找共同點，創造性地利用教材，創設直觀的實際問題或情境讓學生體會并自主建構知識，定能培養學生數學思維的深刻性.
在學習“合并同類項”時，課本中設計了如下三道題：
（1）100t-252t=（ ？搖）t；？搖？搖
（2）3x2+2x2=（ ？搖）x2；
（3）3ab2-4ab2=（ ？搖）ab2.
通過計算，你發現上述運算有什么特點 ？能得出什么規律 ？教材通過這樣的方式引導學生獲取合并同類項的規律，學生普遍覺得抽象，不易理解，為了改抽象為直觀，我轉變教學設計，從直觀的圖形、符號和現實中的單位運算，設計了如下三道題代替課本中的設計：
（1）3+2=（ ？搖）；
（2）5+2-9=（ ？搖）；
（3）1克+6克-5克=（ ？搖）克.
有了生活中這些經驗的直觀思維類比后，最后再拋出3a2b2-8a2b2=（ ？搖）a2b2，這樣，學生極易歸納出合并同類項的法則，明白合并同類項的條件. 通過運用直觀的符號、表達式、圖表，促進了概念、法則、性質等的形成，不僅“活用”了教材，也喚起了學生的感知，進而提高了抽象思維能力. 可見，通過不確定的典型實例來提高學生對數學的感知，能大大提高知識形成的能力和問題解決的能力，對教學效果能起到高效的作用.
■ 創造性利用教材，促進數學思
維、方法的形成
深入鉆研教材，才能多角度地分析教材. 在教學過程中，對教材中設置的定理證明、概念形成，教師若能從多角度再現知識的形成過程，不僅能提高學生的學習能力與創新能力，還能提升學生的數學思維能力與數學思想方法的形成. 在多邊形內角和定理的證明中，教材從多邊形的一頂點引對角線入手，通過列舉，探究、發現形成三角形的個數，利用三角形的內角和進行探究.
證法1 （圖1）連結多邊形的任一頂點P與其他各個頂點的線段，把n邊形分成（n-2）個三角形. 因為這（n-2）個三角形的內角和都等于180°，所以n邊形的內角和是（n-2）×180°.
還有其他證法嗎？我接著引導學生思考能否把三角形的公共頂點平移到其他位置加以解決. 經過小組討論交流和多媒體動態演示，學生探究發現，還可將公共頂點移到多邊形內或一邊上，因此，還有如下證法：
證法2 （圖2）在n邊形內任取一點P，連結P與各個頂點，把n邊形分成n個三角形. 因為這n個三角形的內角和等于n?180°，以P為公共頂點的n個角的和是360°，所以n邊形的內角和是n?180°-2×180°=（n-2）?180°，即n邊形的內角和等于（n-2）×180°.
證法3 （圖3）在n邊形的任意一邊上任取一點P，連結P點與其他各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形，這（n-1）個三角形的內角和等于（n-1）?180°，以P為公共頂點的（n-1）個角的和是180°，所以n邊形的內角和是（n-1）?180°-180°=（n-2）?180°.
上述通過從一知識多角度的探究中培養學生形成求新、求思、求異的發散性及創造性思維能力.
■ 多角度理解教材，反思拓展
為更好地符合學生認知需要，培養學生的綜合解題能力，對教材呈現的知識點，教師應引導學生反思，反思能否拓展知識點應用橫向聯系，反思能否對知識點與知識方法進行縱向深入探究. 把教材所蘊涵的知識點遷移、擴展到系統知識面，通過不斷的反思拓展、聯系，加強對知識的理解，完善學生認知結構的知識系統性.
比如，對于反比例的概念：如果兩個變量x，y之間的關系可以表示成y=■（k≠0）的形式，那么y是x的反比例函數.其等價的表達式有y=kx-1（k≠0），xy=k（k≠0）.
應用 點（1，6）在雙曲線y=■（k≠0）上，則k=______. 已知反比例函數y=-■的圖象經過點P（2，a），則a=______. 教學中利用反比例函數解析式，在已知兩量下可求x，y，k中的第三量.為更深層次應用反比例函數解析式，在概念課后，我進一步引導學生反思.
■
反思1 如圖4所示，若P（m，n）為反比例函數y=■（k≠0）圖象上一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為R，Q，則矩形ORPQ的面積與比例系數k有何關系？
S矩形ORPQ=OQ?OR=m?n=k.
反思2 如圖5所示，設點P（m，n）是雙曲線y=■（k≠0）上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為B，則SOPB=■?OB?PB=■m?n=■k.
反思3 反比例函數y=■（k≠0）的圖象如圖6所示，點M是該函數圖象上一點，MN垂直于x軸，垂足為點N，如果SMON=2，求k的值.
■
反思4 如圖7所示，A，B是函數y=■圖象上的兩點，其坐標為A（a，b），B（-a，-b），且BC∥x 軸，ABC的面積記為S，則S=______.
■
學生有了反比例函數的比例系數k的幾何意義，對反比例函數的應用就容易多了.
通過對教材知識點的反思、拓展，促使學生知識結構系統化，能讓學生的數學思維起到整體貫通、提升的作用.
■ 創造性發展教材，變式延伸
變式教學能為學生提供求異、求變、求思的空間，讓學生把學到的知識運用到各種情況中去. 對教材中的例、習題進行變式并創造性地利用它們，能引導學生主動思考、探究，能培養學生靈活多變的能力.
例題 要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水（如圖8所示）. 修在河邊什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置，并說明你的理由.
此題即在直線 l上找一點P，使得PA+PB的值最小. （實際上是通過軸對稱變換，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間，線段最短”加以解決.）
教學中，我以此例題為原認知，進行水平變式和垂直變式，進而構成利用軸對稱知識遷移的最值專題.
變式1 如圖9所示，如何在直線l上找一點P，使PA+PB的和最??？
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變式2 如圖10所示，如何在直線l上找一點P，使PA- PB最大？
以此三題作圖題為基本模式融于數學問題解決中，再進行垂直變式遷移.
變式3 如圖11所示，在ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，P為BC邊上一定點（不與點B，C重合），Q為AB邊上一動點，設BP的長為a（0
■
變式4 如圖12所示，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連結MC，把MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到DAO.
（1）試直接寫出點D的坐標.
（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得TO-TB的值最大？
