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六年級(上冊)“解決問題的策略”中的替換策略包括倍數關系的等量替換和相差關系的等量替換。教學的重點是讓學生充分理解替換策略的意義:把兩種量替換成一種量,從而順利的解決問題。難點是學生不易理解相差關系的等量替換,以及在解決問題時,不知道該用什么方法來替換。基于以上理解,我認為在教學中應建立模型,運用模型幫助學生解決這類問題。
1.小學數學建模思想的形成。
1.1 創設情境,感知數學建模思想。在實際教學中,先出示例題,讓學生分析題中的數量關系,得出:6個小杯和1個大杯一共是720毫升;一個大杯的容量相當于3個小杯的容量。在此基礎上,出示例題圖,引導學生用畫圖初步感知:解決這個問題就需要根據大杯容量與小杯容量之間的關系,進行一定的等量替換。
大杯換成小杯:
1個大杯可以換成3個小杯
720÷(3+6)=720÷9=80(毫升)……小杯容量
小杯換成大杯:
3個小杯可以換成1個大杯
720÷(6÷3+1)=720÷3=240(毫升)……大杯容量
接著,我向學生提出這樣一個問題:如果這樣的大杯和小杯有很多個,那么能用這種畫圖方法解決嗎?答案是肯定的。我們只要抓住把兩種量替換成一種量就可以了。
在這個教學過程中,學生通過尋找數量關系以及觀察主題圖,得出:解決這個問題需要把兩種杯子換成一種杯子(即替換)。然后引導學生根據主題圖畫出示意圖,即把直觀圖形抽象成幾何圖形,在抽象概括的基礎上,學生逐步理解替換的策略。學生把直觀圖形抽象成幾何圖形的過程,其實是把生活中的原型上升為數學模式的過程。在這一過程中,學生初步感知了數學中的建模思想。最后提出的問題更讓學生進一步思考:是不是解決替換這類問題,都可以采用這種畫圖的模式來解決。
1.2 自主探究,體驗數學建模思想。有了對問題的思考,學生就會主動探究:該畫怎樣的圖形模式才能解決這類問題。這就要求學生抓住替換策略的本質:兩種量替換成一種量。在此基礎上,引導學生建立數學模型。如(1):
學生對問題進行了思考和探究,其實就是對解決這類問題作了一個模型假設。模型假設能幫助學生梳理思路,提取原有的知識并形成較為完整的知識體系。通過教師的引導,學生針對問題中的條件和問題之間的本質關系,作出合理、簡化的假設。學生通過假設的數學模型,能夠清楚地抓住事物的本質關系,從而進一步解決問題。在這個過程中,學生由最初抽象的幾何圖形,到現在的數學表達式,恰恰體驗了數學模型的形成過程。在這個過程中,不僅培養了學生的建模意識,更為學生探究另一種數學模型增添不少興趣。
學生在以上問題的解決過程中,運用建立數學模型的方法,逐步理解并掌握了倍數關系的等量替換。接下來,我把題目中的條件換了一下:1個大杯的容量比小杯多160毫升。引導學生思考,能不能用剛才建立的數學模型來解決?通過交流,學生明白了解決這個問題同樣要把兩種量替換成一種量,只不過替換過程中,總量發生了變化。基于以上分析,引導學生建立了這樣的數學模型,如(2):
學生根據建立的數學模型,比較容易理解相差關系的等量替換。接下來,再讓學生比較(1)和(2)兩種數學模型的聯系與區別。通過比較,學生都能清楚地認識到:倍數關系的等量替換和相差關系的等量替換都是把兩種量變成一種量,不同的是倍數關系的等量替換,其總量不變;而相差關系的等量替換,其總量發生了變化。再進一步引導學生發現,總量的變化也有規律可言。比如說,1個大杯換1個小杯,容量肯定減少,那么總量就會減少;而1個小杯換1個大杯,容量肯定增加,那么總量也會增加。這樣,學生不僅能充分理解替換策略的意義,還能明確的判斷出該用什么方法來解決。
在這個教學過程中,學生能根據倍數關系等量替換的數學模型,建立相差關系等量替換的數學模型。不僅讓學生很好地掌握了重點,更突破了教學中的難點,那么,解決這類替換問題也就迎刃而解了。在模型(2)建立過程中,學生充分體驗了數學模型的形成過程。
2.小學數學建模思想的應用。學生已經形成了解決替換問題的數學模型,接下來,就要用這個方法去解決實際問題。我出示了以下兩道題目:(1)2個同樣的大盒和5個同樣的小盒裝滿球,正好是100個。每個大盒比每個小盒多裝8個,每個小盒和每個大盒各裝多少個?(2)小紅買了3枝鉛筆和1枝鋼筆共10.8元,一枝鋼筆的單價是一枝鉛筆的6倍,求鋼筆和鉛筆的單價。接下來,我讓同學們討論怎樣去解決這類問題。經過短暫的討論,學生們都已經有了正確的答案。他們能夠正確解決這兩道題目,說明他們對倍數關系的等量替換和相差關系的等量替換能正確區分開來。這都歸功于他們建立了這兩種替換的數學模型。從上述兩種模型上能清楚地看到,倍數關系的等量替換其總量沒有發生變化,而相差關系的等量替換其總量已發生變化,而且總量的變化是有規律的。通過這一點,學生很快就能判斷出第1題是相差關系的等量替換,第二題則是倍數關系的等量替換。接下來就可以用相應的數學模型去解決這兩道題目。(各選一種方法如下)
在運用模型解決這類題目時,學生可以發現:題目中裝得多的、價格貴的,我們可以把他們看作“大”的,而題目中裝得少的、價格便宜的,我們可以把他們看作“小”的,這樣,同學們運用這兩個數學模型就更加得心應手了。
[關鍵詞]單一煤種;數學模型;質量控制
中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1009-914X(2016)25-0232-02
1 序言
煤炭是數以噸計的大宗商品,其檢驗項目很多,其中發熱量是最重要的一項指標。它關系到鍋爐熱效率、燃燒熱平衡及發電標準煤耗的計算,并且在煤炭貿易中,發熱量也是重要的煤質驗收指標和計價指標。因此,煤質發熱量檢驗的準確性至關重要。對于以汽車煤為主的電廠,入廠煤化驗人員相對工作量比較大,要在當天完成所有煤種的化驗、計算、審核、上報、數據錄入等工作,時間緊任務大,容易在長期疲憊情況下出現工作失誤。為此利用Qb,ad與Mad、Aad、Vad之間的密切關系,應用統計學中的多元線性方程,對其建立數學模型,作為單一品種煤質的質量控制審核校驗的重要工具。
2 采用相關數據進行分析
2.1 數據采集情況
根據懷安電廠近些年來煤種采購工作可知,每月來煤約十萬噸,近40多個礦點,煤種較多;有時出現三十多戶煤,每戶每月的來煤情況大體穩定,因此選用某一礦點的煤種做數據分析,有實際指導意義。下面選取某一礦點的煤質檢驗數據進行分析。
2.2 數據相關性分析
多元線性回歸的計算需要用到線性代數中矩陣的計算,計算難度及計算量比較大,應用excel或者應用統計學中的eviews軟件分析,完成計算就非常容易。
首先需要對 對該單一煤種的發熱量與空干基水分、灰分、揮發分之間的關系做相關性分析如表2所示。
通過查相關系數r檢驗表可知,當自由度(n-m-1)=100-3-1=96,α=0.05時,r=0.19460。根據表2中數據可知,三個相關系數-0. 90229、 -0. 562796的絕對值均大于 0.19460,所以彈筒發熱量與空干基水分、揮發分均具有相關性;與空干基水分弱相關。
3 建立回歸方程
在統計中研究一個因變量與兩個或兩個以上自變量之間的相互關系的理論和方法稱為多元線性回歸。多元線性回歸的一般方程式為:
= b0+b1X1+b2X2+……+ bkXk
該數學模型即利用彈筒發熱量Qb,ad與空干基水分Mad、空干基灰分、空干基揮發分Vad之間的關系,建立熟數學模型。
3.1 單一煤種回歸方程的建立
由表3中的回歸分析可以得出該煤種的回歸方程為:
Qb,ad=31.8402-0.3257Mad-0.3522Aad-0.0312Vad
Qb,ad:空干基彈筒發熱量
Mad:空干基水分
Aad:空干基灰分
Vad:空干基揮發分
3.2 判定系數的確定
SSR:回歸平方和
SSE:殘差平方和
由表4可知,擬合優度: 第一組中R12=0.9494,修正的可決系數Adjusted R Square為0.9478,并且大于第二的R22=0.8396,更接近1,說明揮發分在一定程度上影響彈筒發熱量,通過對比可以得出:用Qb,ad與Mad、Aad、Vad建立的數學回歸方程的擬合度要優于用Qb,ad與Mad、Vad建立的數學回歸方程;公式中只有5.06%是由其他因素引起的。
3.3 標準偏差
由表4可知,標準偏差為0.2705,說明相關點離散程度小,估計值準確度較高。
3.4 F檢驗
針對E0:b1=b2=b3=0,在給定的顯著性水平α=0.05,在F分布表中查出自由度為k-1=3,n-k=96的臨界值F0.05(3,96)=2.699,由表5中數據可知F=600.127>2.699,應決絕原假設H0,說明回歸方程顯著,即空干基水分、空干基灰分、空干基揮發分對彈筒發熱量有顯著影響。
3.5 T檢驗
針對E0:b1=b2=b3=0,在給定的顯著性水平α=0.05,在T分布表中查出自由度為k-1=3,n-k=96 的臨界值T0.05(3,96)=1.662。由統計數據可知:b1、b2、b3對應的統計量分別為-33.7123、-14.4278、-1.8489,其絕對值均大于1.662,這說明分別都應當拒絕假設E0,即當其他變量不變的情況下,解釋變量空干基水分、空干基灰分、空干基揮發分分別對被解釋變量彈筒發熱量都有顯著影響。
4 回歸校核數學模型的應用
對該煤種某個月的化驗結果帶入多元線性方程進行驗證。
由表6中數據可知,表中試驗樣品的計算值與實際測量的差值全部小于國標中規定的再現性臨界值0.3MJ/kg。
應用該多元線性方程只能作為校核使用,不能代替煤質化驗過程。并且要求在實驗的過程中應該嚴格按照國標操作,任何一項出現錯誤都會直接導致結果偏差。回歸校核的多元線性方程使用于單一煤種,在煤種多的情況下,需要建立多個方程。
5 結論
面對目前多變的煤炭市場,單一煤種回歸校核數學模型的建立與推廣應用在火電廠具有很高的利用價值,尤其適合煤種多,人員少的入廠煤化驗中。利用該回歸方程可以及時的發現實驗中的誤差,糾正實際工作的錯誤,提高工作效率,是燃料化驗質量控制體系的重要工具;同時能夠應用與入爐煤質檢驗分析中,為鍋爐優化摻燒配及煤耗計算提供依據;供煤商也可以用其對化驗結果進行核對;也能為缺乏檢驗條件的小型用煤企業提供一定的應用價值。
參考文獻
[1] 林力.關于進口煤炭高位發熱量計算公式的探討[J].寧波化工.
[2] 鄭旭振,康紅生等.煤炭發熱量與灰分回歸計算方程的建立與應用[J].機械管理開發.2001,27-28.
一、 寫好數模答卷的重要性
1.評定參賽隊的成績好壞、高低,獲獎級別, 數模答卷,是唯一依據。
2. 答卷是競賽活動的成績結晶的書面形式。
3. 寫好答卷的訓練,是科技寫作的一種基本訓練。
二、 答卷的基本內容,需要重視的問題
1 評閱原則:假設的合理性, 建模的創造性,結果的合理性,表述的清晰程度。三、 2 答卷的文章結構
0. 摘要
1. 問題的敘述,問題的分析,背景的分析等,略
2. 模型的假設,符號說明(表)
3. 模型的建立(問題分析,公式推導,
基本模型,最終或簡化模型 等)
四、 4. 模型的求解
計算方法設計或選擇;
算法設計或選擇, 算法思想依據,步驟及實現,計算框圖;
所采用的軟件名稱;
引用或建立必要的數學命題和定理;
求解方案及流程
5. 結果表示、分析與檢驗,誤差分析,模型檢驗……
五、 6. 模型評價,特點,優缺點,改進方法,推廣…….
7. 參考文獻
8. 附錄
計算框圖
詳細圖表
……
3要重視的問題
0. 摘要。包括:
a. 模型的數學歸類(在數學上屬于什么類型)
b. 建模的思想(思路)
c . 算法思想(求解思路)
d. 建模特點(模型優點,建模思想或方法,
算法特點,結果檢驗,靈敏度分析,
模型檢驗…….)
e. 主要結果(數值結果,結論)(回答題目所問的全部“問題”) 表述:準確、簡明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮;
打印最好,但要求符合文章格式。務必認真校對。
1. 問題重述。略
2. 模型假設
跟據全國組委會確定的評閱原則,基本假設的合理性很重要。
(1)根據題目中條件作出假設
(2)根據題目中要求作出假設
關鍵性假設不能缺;假設要切合題意
3. 模型的建立
(1) 基本模型:
1) 首先要有數學模型:數學公式、方案等
2) 基本模型,要求 完整,正確,簡明
(2) 簡化模型
1) 要明確說明:簡化思想,依據
2) 簡化后模型,盡可能完整給出
(3) 模型要實用,有效,以解決問題有效為原則。
數學建模面臨的、要解決的是實際問題,
不追求數學上:高(級)、深(刻)、難(度大)。
u 能用初等方法解決的、就不用高級方法,
u 能用簡單方法解決的,就不用復雜方法,
u 能用被更多人看懂、理解的方法,
就不用只能少數人看懂、理解的方法。
(4)鼓勵創新,但要切實,不要離題搞標新立異
數模創新可出現在
建模中,模型本身,簡化的好方法、好策略等,
模型求解中
結果表示、分析、檢驗,模型檢驗
推廣部分
(5)在問題分析推導過程中,需要注意的問題:
u 分析:中肯、確切
u 術語:專業、內行;;
u 原理、依據:正確、明確,
u 表述:簡明,關鍵步驟要列出
u 忌:外行話,專業術語不明確,表述混亂,冗長。
4. 模型求解
(1) 需要建立數學命題時:
命題敘述要符合數學命題的表述規范,
盡可能論證嚴密。
(2) 需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據、步驟。 若采用現有軟件,說明采用此軟件的理由,軟件名稱
(3) 計算過程,中間結果可要可不要的,不要列出。
(4) 設法算出合理的數值結果。
5. 結果分析、檢驗;模型檢驗及模型修正;結果表示
(1) 最終數值結果的正確性或合理性是第一位的 ;
(2) 對數值結果或模擬結果進行必要的檢驗。
結果不正確、不合理、或誤差大時,分析原因,
對算法、計算方法、或模型進行修正、改進;
(3) 題目中要求回答的問題,數值結果,結論,須一一列出;
(4) 列數據問題:考慮是否需要列出多組數據,或額外數據 對數據進行比較、分析,為各種方案的提出提供依據;
(5) 結果表示:要集中,一目了然,直觀,便于比較分析數值結果表示:精心設計表格;可能的話,用圖形圖表形式
求解方案,用圖示更好
(6) 必要時對問題解答,作定性或規律性的討論。
最后結論要明確。
6.模型評價
優點突出,缺點不回避。
改變原題要求,重新建模可在此做。
推廣或改進方向時,不要玩弄新數學術語。
7.參考文獻
8.附錄
詳細的結果,詳細的數據表格,可在此列出。
但不要錯,錯的寧可不列。
主要結果數據,應在正文中列出,不怕重復。
檢查答卷的主要三點,把三關:
n 模型的正確性、合理性、創新性
n 結果的正確性、合理性
n 文字表述清晰,分析精辟,摘要精彩
三、對分工執筆的同學的要求
四.關于寫答卷前的思考和工作規劃
答卷需要回答哪幾個問題――建模需要解決哪幾個問題問題以怎樣的方式回答――結果以怎樣的形式表示
每個問題要列出哪些關鍵數據――建模要計算哪些關鍵數據 每個量,列出一組還是多組數――要計算一組還是多組數……
五.答卷要求的原理
u 準確――科學性
u 條理――邏輯性
u 簡潔――數學美
u 創新――研究、應用目標之一,人才培養需要
u 實用――建模。實際問題要求。
建模理念:
1. 應用意識:要解決實際問題,結果、結論要符合實際; 模型、方法、結果要易于理解,便于實際應用;
站在應用者的立場上想問題,處理問題。
2. 數學建模:用數學方法解決問題,要有數學模型;
問題模型的數學抽象,方法有普適性、科學性,
1.數學建模競賽有利于學生創新思維的培養。數學建模是對現實問題進行合理假設,適當簡化,借助數學知識對實際問題進行科學化處理的過程。數學建模競賽的選題都是源于真實的,受社會關注的熱點問題[2]。例如:小區開放對道路通行的影響(2016年賽題),2010上海世博會影響力的定量評估(2010年賽題),題目有著明確的背景和要求,鼓勵參賽者選擇不同的角度和指標來說明問題,整個數學建模的過程力求合理,鼓勵創新,沒有標準答案,沒有固定方法,沒有指定參考書,甚至沒有現成數學工具,這就要求學生在具備一定基本知識的基礎上,獨立的思考,相互討論,反復推敲,最后形成一個好的解決方案,參賽作品好壞的評判標準是模型的思路和方法的合理性、創新性,模型結論的科學性。同一個實際問題從不同的側面、角度去思考或用不同的數學知識去解決就會得到不盡相同的數學模型。數學建模競賽不僅是培養和提高學生創新能力和綜合素質的新途徑,也是將數學理論知識廣泛應用于各科學領域和經濟領域的有效切入點和生長點。
2.數學建模競賽有利于促進學生知識結構的完善。高校的理工科專業都開設很多基礎數學課,例如:高等數學、線性代數、概率統計、運籌學、微分方程等,目前這些課程基本上還是理論教學,主要以考試、考研為主要目標。由于缺少實際問題的應用,知識點相對分散,很多學生不知道學了有什么用,怎么用。那么如何將所學的基礎知識高效的立體組裝起來,并有針對性拓展和延伸,是一個重要的研究課題[3]。實踐表明:數學建模競賽對于促進大學生知識結構完善是一個極好的載體。例如在解決2009年賽題———眼科病床的合理安排的問題時,學生不僅要借助數理統計方法,找到醫院安排不同疾病手術時間的不合理性,還要結合運籌學給出新的病床安排方案,并結合實際情況評估新方案合理性;2014年賽題嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略,參賽學生首先根據受力分析和數據,判斷出可能的變軌位置,再結合微分方程和控制論構建模型,并借助計算機軟件求解,找到較好的軌道設計方案。整個數學建模過程中,參賽學生將所學分散的數學知識點拼裝集成化,在知識體系上,數學建模實現了知識性、實踐性、創造性、綜合性、應用性為一體的過程;在知識結構上,數學建模實現了學生知識結構從單一型、集中型向復合型的轉變。
3.數學建模競賽有利于培養學生的團隊協作精神,提高溝通能力。現代社會競爭日趨激烈,具備良好的團隊協作和溝通能力的優秀人才越來越受到社會的青睞。數學建模競賽也需要三個隊員組成一個團隊,因為要在規定的時間內完成確定選題,分析問題、建立模型、求解模型,結果分析,單靠一個人是很難完成的,這就必須要由團隊成員之間相互尊重、相互信任、互補互助,并且發揮團隊協作精神,才能讓團隊的工作效率發揮到最大。同時,數學建模作為一種創造性腦力活動,不僅要求團隊成員之間學會傾聽別人意見,還要善于提出自己的想法和見解,并清晰、準確地表達出來。團隊成員間良好的溝通能力,不僅可激發團隊成員的競賽熱情和動力,還可以形成更加默契、緊密的關系,從而使競賽團隊效益達到最大化。
二、依托數學建模競賽,提升大學生創新實踐能力的對策
1.以數學建模競賽為抓手,構建分層的數學建模教學體系,拓寬學生受益面。不同專業和年級學生的學習基礎、學習能力和培養的側重點都存在較大差異,構建數學建模層次化教學課程體系有利于增強學生學習和使用數學的興趣,讓更多的學生了解數學建模以及競賽,通過自己動手解決實際問題,更加真切感覺到數學的應用價值,切實增強數學的影響力,擴大學生的受益面。南京郵電大學、華南農業大學、重慶大學和南京理工大學等高校這些方面相關工作和經驗值得借鑒。因此,構建數學建模分層課程體系,在課程內容設置上,結合專業特色,有針對性設置教學方案和內容,逐步完善具有不同專業特色的數學建模教材,講義和數據庫、并保持定期更新,不斷深入推進創新教學理念[4];在課程時間的安排上,遵循循序漸進的基本思路,一、二年級大學生開設數學建模選修課,介紹數學建模的基本理論和一些基本建模方法,三年級、四年級和研究生階段開設創新性數學實驗課程,重點訓練學生應用數學知識解決實際問題的動手能力,并通過參加建模培訓、數學建模競賽以及課外科研活動,培養學生學習解決實際問題的能力;在課程目標的定位上,數學建模有別于其他的數學課程,集中體現在數學的應用、實踐與創新,因此,數學建模不僅是一門課程,同時也是一門集成各種技術來解決實際問題的工具[6]。
2.以數學建模競賽為載體,搭建橫縱向科技服務平臺,擴大數學建模影響力。數學建模競賽的理念是“一次參賽,終身受益”,這就要求數學建模活動要立足高遠,不斷向縱深推進與發展,將數學建模應用融入服務國計民生。因此,選擇優秀本科學生、研究生和畢業生,結合大學生創新創業計劃,科研課題以及企事業單位關注的問題等,讓他們自己動手去調查數據,查閱相關建模問題的文獻資料,建立數學模型,借助軟件進行模型求解,最后獨立撰寫出建模科技論文或決策咨詢報告。全程參與“課外實習與科技活動”的方式,不僅實現了因需施教、因材施教的目標,還搭建了連接企業和學生的橋梁,不僅讓大學生創新創業落到實處,為企事業單位提供了智力支撐,真正實現所學知識服務社會。
3.以數學建模競賽為平臺,加強教師的隊伍建設,提升教師教育教學能力。數學建模授課和指導教師的教育教學能力直接影響著學生的創新能力。教育教學能力是指教師從事教學活動、完成教學任務、指導學生學習所需要的各種能力和素質的總和。數學建模的教學與傳統數學教學相比,對教師的動手能力、教學內容駕馭能力、教學研究和創新能力等有較高的要求,因此,數學建模指導教師可以通過自主研修,網絡研修,參與集體備課、聽評課、教學研討等方式提高自身業務水平,同時積極參與賽區、全國組織的學習和培訓,加強交流,開闊視野,不斷地提高自我認知、認識水平。只有建成一支高素質、實力雄厚、結構合理、富有創新能力和協作精神的學科梯隊,數學建模整體水平才能有較大提升,才能適應數學建模發展的現實需要,切實有利于學生創新實踐能力的提高[6,7]。
三、我校數學建模教學和競賽改革的實踐
1.構建模塊化教學體系。針對我校輕工特色,結合專業培養需求,構建模塊化教學體系。針對食品、生工、醫藥、化工和輕化等實驗科學為主的專業,重點將實驗設計、數據處理、數據分析和預測分析等內容模塊化;針對數學基礎較好的物聯網、計算機、信息計算和自動化等專業,構建微分方程,運籌優化和控制論等內容模塊化;偏于社科類的管理、會計、金融和國貿等專業,重點將概率模型、優化等內容模塊化。再結合數學建模競賽和大學生創新創業計劃,構建“專業基礎模塊+知識拓展模塊+競賽需求模塊+科研論文寫作模塊”的實踐教學體系。
【關鍵詞】數學建模;數學教學;過程當前,教育改革
以“素質教育”為目標,培養學生的自主學習能力和自我發展能力.在此前提下,數學教育不僅要教給學生數學理論知識,更重要的是要引導學生用數學思維去觀察、分析、解決實際問題.傳統的數學教學中更多強調讓學生掌握數學概念、定理和公式,讓學生訓練各類題型,而忽視如何從實際問題出發,通過抽象概括建立數學模型,再通過對模型的分析研究返回實際問題中取得認識問題和解決問題的訓練.融入數學建模思想,可以提高學生應用數學的意識,數學建模體現了學生學和用的統一.
一、數學建模簡介及一般求解流程
數學建模是一種思考方法,是對實際問題的抽象、簡化、確定變量和參數,應用相關規律建立了變量與參數之間的數學關系,再求解這個數學關系,并通過解析和驗證所得到的結果,從而形成解決實際問題的一種強有力的數學手段.建模過程需要經過哪些步驟沒有固定的模式,通常情況下與問題特征、建模目的等相關聯,但數學建模一般求解流程大致如圖所示.模型準備是指深入調研問題的實際背景,搜集與問題相關的信息,明確建模的目的,進一步確定問題用哪一類模型,做到情況明才能方法對.模型假設是指以問題的特征和建模目的為基礎,忽略次要因素,抓住問題的本質,做出必要的、合理的簡化假設.影響模型假設的合理性的因素包括讀者想象力、洞察力、判斷力以及經驗.模型建立是指在模型假設的基礎上,組織數學的語言、符號描述問題的內在規律,建立包含常量、變量的數學模型.模型建立原則:盡量用簡單的數學工具;發揮想象力,用類比法,分析問題與熟悉問題的共性;借用熟悉的模型.模型求解是指針對建立的數學模型給出求解的過程.模型求解過程中可以嘗試采用各種數學方法,特別注重結合數學軟件和計算機技術.模型分析檢驗是指對求解結果進行分析并返回實際問題進行比較、檢驗,確定模型的合理性.模型分析檢驗的過程是對模型假設的再次驗證.模型應用是指此類模型可以適用解決的相似問題.利用建模解決實際問題時,不要拘泥于求解流程,在建模時靈活運用,注重問題的實際意義,合理進行模型假設,選擇合適的數學模型,對求解結果進行分析檢驗.
二、在數學教學中融入數學建模思想
對數學問題進行建模,就是從應用的角度來處理數學問題、闡述數學、呈現數學.如二元一次方程組的教學,重點在于讓學生熟悉并掌握建立數學模型的一般過程.教學過程設計如下:(一)實際問題A、B兩地相距900公里,船從A地到B地順水航行需要30小時,從B地到A地逆水航行需要50小時,問船速、水速各多少?(二)模型假設中學數學航行問題的背景是勻速運動狀態下,根據勻速運動的距離等于速度乘以時間這一物理規律,假設航行中船速和水速為常數,設船速為x,水速為y.(三)模型建立建立數學模型要善于利用有效的信息,將文字語言轉為數學表達式,就是把實際問題轉為數學問題,如“順水航行”表示船速加水速,“逆水航行”表示船速減水速,將其用數學符號表示.結合假設所給的建模信息以及實際問題的特征,利用二元一次方程組建立起最簡單的數學模型.船在順水航行的距離數學表達式為(x+y)×30=900;船在逆水航行的距離數學表達式為(x-y)×50=900.(四)模型求解利用代入消元法解此二元一次方程組:x=24km/h,y=6km/h,求得船速和水速.(五)模型檢驗將求解的船速和水速代入實際問題比較,計算出航行問題的距離,從而檢驗模型的正確性.順水航行距離為(船速加水速)乘以時間,數學表達式為(24+6)km/h×30h=900km;逆水航行距離為(船速減水速)乘以時間,數學表達式為(24-6)km/h×50h=900km;順水航行和逆水航行所得距離結論與實際問題所給數據一致,說明該模型建立合理,對模型假設沒有異議.(六)模型應用航行問題是用二元一次方程組解決實際問題的經典案例.解決問題的過程是模型求解流程的體現.
三、總結
【關鍵詞】 數學建模; 教學設計; 教學方法; 考試方式
目前數學廣泛應用于生物技術、生物醫學工程、現代化醫療器械、醫療診斷方法、藥物動力學以及心血管病理等醫學領域。數學在醫學中的應用引起了醫學的劃時代變革,而這些應用基本上都是通過建模得以實現。長期以來,醫學院校的高等數學課在學生心目中成為可有可無、無關緊要的課程。問題在于課程體系中缺乏一門將數學和醫學有機結合的課程——數學建模。它為醫學和數學之間架設起橋梁,教學內容注重培養學生運用數學知識解決實際問題的能力,同時促進理論知識形式,加深學生對數學概念定理本質的直觀理解,最大限度激發學生學習興趣,對傳統數學教育模式是個沖擊,相應教學方法必須進行改革。
1、醫用數學建模課教學設計改革
1.1 通過醫學問題,設計模型數學情境
本著“學以致用”的原則,醫學院校開設數學建模課與傳統的醫學教學設計不同,數學建模課以實際醫學問題為出發點,學生在具備一定高等數學基礎知識的前提下,以醫學實際問題出發點,要求收集必要的數據,這部分可以留給學生作為課前預習。在處理復雜問題的時候,這個環節關鍵是:抓住問題的主要矛盾,舍去次要因素,對實際問題做適當假設,使復雜問題得到必要的簡化,為下一步模型建立打下基礎,從而在醫學問題中抽象出數學問題情境。
1.2 運用數學知識,設計模型建立[1]
這是整個教學環節成敗的關鍵,醫科高等數學教學有別于理工科,理工科高等數學的學時較多,教學內容設計的系統性強,醫學高等數學更側重于數學在醫學上的應用,并通過醫學問題的解決加深鞏固對數學知識的理解,更深刻掌握。在上一步去粗取精把握主要矛盾的基礎上,設置變量,利用數學工具刻畫數量之間的關系,從而建立數學模型。同樣的問題可以有不同的數學模型,衡量一個模型的優劣全在其作用的效果,而不是采用多么高深的數學方法。模型可以通過理論推導得到結果,也可以運用mathematics或matlab求數值解,教學設計核心問題應設計如何引導學生分析問題,建立模型,發現問題解決方程式。
1.3 檢驗合理性,設計模型完善
建模后引導學生對數學結果進行分析,設計分析求解結果的正確性,求解方程的優越性,知識運用的綜合性分析及求解模型的延續性、穩定性、敏感性分析。進行統計檢驗、誤差分析等,從而檢驗模型合理性,并反復修改模型有關內容,使其更切合實際,這使學生應用數學知識的基礎上進一步深化并結合醫學實際,溫習醫學知識,為臨床實踐打下堅實的基礎。
1.4 分析結論,設計模型回歸實踐
數學建模是運用數學知識,解決醫學實際問題,利用已檢驗的模型,設計、分析、解釋已有的現象,并預測未來的發展趨勢。啟發學生這樣的模型代表特點是什么?可以解決哪類醫學實際問題,并引出運用相同方法可以解決的數學模型問題留做學生課后練習。
2、實例檢驗
在2003年流行性的傳染病SARS爆發,對于復雜的醫學問題適當假設:某地區人口總數N不變;每個病人每天有效接觸平均人數常數λ ;人群分兩類易感染者(S)和已感染者(I);根據假設,建立SARS數學模型NdIdt=λNSI ,得到解I(t)=11+(1I0-1)e-λI ;通過實踐我們發現當∞時,I1 ,即所有人都被感染,這顯然不符合實際,因為忽略了被感染SARS后,個體具有一定的免疫能力,人群還分出一類移出者R(t),設μ 為日治愈率,此時微分方程為:dIdt=λSI-μI
dSdt=λSI
I(0)=I0,S(0)=S0 ,
解得I=(S0+I0)-S+μλ ln SS0 ;引導學生代入北京4月26日到5月15日SARS上報的數據基本復合實際。獲得的結論我們可以運用指導目前蔓延的禽流感疾病,預測流行病的傳播趨勢,及時有效的采取防御措施。
3、采取有效措施,重視教學方法改革
3.1 變革課內教學環節
以學生為主體,把學生知識獲取,個性發展,能力提高放在首位。課堂強化“啟發式”教學,采用“開放式教學方法,減少課堂講授,增加課堂交流時間,將授課變成一次學生參加的科學研究來解決實際問題,引領學生進行創新實踐的嘗試,鼓勵學生大膽發表見解,選用的案例都是醫學實際問題,并通過設計讓學生認識到數學建模的適用性、有效性,在某些案例的講授環節注重講解深度,注意為學生留有充分想象空間,并引導學生思考一系列相關問題,這種建模方法還可以使用到哪類問題中?建模成功的關鍵是什么?運用到哪些數學知識?該數學知識還能解決什么樣的醫學實際問題?
3.2 深化課外實踐改革[2]
數學建模課應通過案例卜椒í踩砑彩道彩笛檎飧鲇行У慕萄模式,建模是一個綜合性的科學,涉及廣泛的數學知識、醫學知識等,采取導學和自學的相結合教學方式,培養學生歸納總結能力和自學能力,在課內引導的基礎上,通過留作業、出開放性思考題的方法引導學生積極收集資料,自學知識的盲點,同時激發學生學習興趣;組建建模小組,小組成員分工合作,運用數學知識解決醫學實際問題,同時培養學生團結協作精神。
4、循序漸進,實施課程考核方式改革
4.1 開卷和閉卷相結合[3]
開卷是布置一個大作業,三、四道醫學類實際問題,同學自由組合3人一組,從資料收集、模型準備、模型假設、計算方法、模型改進、推廣到論文撰寫,教師可以對學生進行全面跟蹤,指導是有度的,教師不干預學生的個性思維,鼓勵尊重個人意見,只是關鍵時刻指出問題所在,在開放開始中使學生成為主體,以小組為單位協作完成一個科研課題,并以書面形式上交,作為開卷考試的成績評定依據。
4.2 鼓勵性加分作為補充
在課內教學中,對于表現突出,勤于思考并勇于提出自己想法的同學給予加分的鼓勵,即使提出的想法有些偏執也要加以引導、勉勵學生提高;在課外實踐中,對于組織得力的小組長,積極收集材料,鍥而不舍努力專研的學生也應適當的加分。
關鍵詞 數學建模; 實踐性教學; 創新能力; 教學模式
【中國分類法】:G420
1 現狀分析
目前高職數學教學面臨著許多問題,主要表現在:
1.1 由于社會發展的需要,時代對人生存和發展的需要,使得教育價值取向多樣化,使得高職數學教育的價值也多樣化。
1.2 由于高職教育培養目標的要求,使得高職數學教學有別于初等數學教學,有別于普通高校數學教學。“高職教育是培養高素質的技能型人才特別是高級技術人才”。
1.3 教學內容多,教學學時少。高等數學教學內容有:極限與連續、導數及其應用、不定積分與定積分、線性代數與線性規劃、概率與統計等。教學學時:高職院校一般是:開二個學期(每周2-4節)的高等數學課,而且往往從第一學期就開課,這樣新生報到遲會減少3-5周課時,期間專業實習又會減少1-2周的課時。
1.4 生源差,高職學生的生源來自于高考中的四本、五本生或三類生。
2 目的、意義
通過高職數學課程的教學改革:一方面,使高職數學教學不僅僅是為了知識技能思維的傳授,而應是提高學生的數學素養,促使人全面發展的教學。另一方面,使高職數學教學更適應高職教育培養目標的實現,即為學生的應用與實踐而教。高職教育的培養目標就是應用型的技術人才特別是高級技術人才,而不是工程型或學術型的人才,因此,高職學生所學的高等數學知識主要是為了直接應用于生產技術,應用于社會生活實踐;高職數學的教學活動主要是為了提高學生各種數學素養,特別是運用數學知識去分析問題解決問題的實踐能力。
3 具體改革內容和改革目標
3.1 課程設計與學時
把數學的基礎教學與數學的應用教學整合在一起。高職數學教學課時少,而內容多,為了使學生既掌握好必要的基礎知識技能、必要的思想方法,又加強學生數學知識應用的意識與能力,同時培養學生對數學學科的感情與態度等,必須開設以下的課程:
開設《高等數學》課程,每周2-4節,所授內容為最基礎的高等數學知識:一元微積分(共6章),可另加1-3章(內容根據各專業的需要而定)。據我們的實踐,這樣的課時與內容較匹配,老師能比較充容地授完教學內容,而且教學效果也理想。
開設《數學建模》課。因為只有前者,必然是:有些專業上需要的知識、生活實踐中需要的知識,學生學不到,或學得不夠,學生也不能充分地感受到數學的廣泛應用。為了彌補這個缺陷,我們認為有必要開設該課程。該課程以數學建模為核心,以培養學生應用能力,提升學生的綜合素質,特別是培養學生的創新意識、創新精神、合作精神、吃苦精神為目的。
3.2 教學內容
高職數學教學內容的取舍,以“必需、夠用”為原則,以充分顯示高職數學教育服務于專業,服務于學生的價值取向。在《在標準課程下的數學學習》一書中,提出數學教學的內容應是學生生活中的數學,應是學生們感興趣而富有挑戰性的數學知識。
重視概念的講解。高等數學最基礎的部分(一元微積分)中,幾個重要的概念:極限、連續、導數、定積分、不定積分務必使學生直觀理解掌握,使學生充分地了解這些概念是在什么背景下產生的,它們的實質是什么,又可以用在何處 。而不能只定留在會用公式計算上,否則,學得最好也是沒有用的。
淡化定理、法則、公式系統間的嚴密性和邏輯性的教學。對于定理、法則、公式來說,原則上是會正確運用即可,當需要時,也可以進行適當的驗證和直觀說明,以增加可信度,而不必化過多的時間加于證明。
3.3 教學過程的設計和教學手段方法
幫助學生重新建構數學知識,并內化為學生有效的知識,進而成為學生的智慧能力;幫助學生改進學習方式,以提高學力。
教學生系統地學習知識。教材中所提供的知識信息及教師所傳授的知識信息,如果不經過學生大腦的信息加工、處理,那是零碎的,無實際用處的。為此,教師要幫助學生把新學的知識和原來的知識重新進行整合,并以一定結構儲存在學生的大腦中,使其成為有效的知識。
教學生使用現代化的工具、直觀說理的方法進行學習,努力使信息技術與數學學科的教學整合在一起。在教學中,要多采用數據,圖象的方法說明概念、定理、公式,最好運用計算機來進行數值計算和圖象演示,運用網絡教學平臺進行課堂教學。
教學生在問題解決中進行學習、反思。教師可通過數學建模,安排一些材料,讓學生通過自主的活動,在解決問題的過程中,重新去反思和建構所學的知識和技能,使他們有個去粗取精,去偽成真的過程,從而獲得有用的知識,獲得思維的經驗和能力。
4 實施方案、實施方法、具體實施計劃及可行性分析
4.1實施方案、實施方法、具體實施計劃
2013-2014學年,《高等數學》教學已按設計的思路有序進行,主要對教學內容的選擇和課時分配的合理性、試教的方法是否符合學生、考試及成績的評定方法的合理性進行實踐。
2013-2014學年,第二學期,《數學建模》選修課開課,同時進行教材編寫;另外,爭取對沒有開《高等數學》課的班級準備開選修課,對數學愛好者開辦《高等數學》競賽訓練班,并開展高等數學及數學建模競賽活動。
4.2可行性分析
《高等數學》的課堂教學與《數學建模》選修課都是在教務課的統一部署下,能有序地有目的地進行。教學內容、教學素材、教學軟件的收集與發掘,正在進行,但因為是剛剛開始,所以有困難,還不是十分明了,不過我們目標明確,能克服這些困難。
參考文獻
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關鍵詞 建模 學生 數學素質
中圖分類號:G424 文獻標識碼:A
Modeling to Promote Student to Improve the Quality of Mathematics
MA Hengguang
(Liaocheng Technician College, Liaocheng, Shandong 252400)
Abstract Mathematical modeling is an actual phenomenon constructed by mental activity can seize an important and useful features, it's related to the level of university students' mathematics, mathematics ability, mathematics sense and mathematical quality, is the core of the overall quality of college mathematics content. This paper discusses the meaning of mathematical modeling, mathematical modeling is important to improve the quality of students' mathematical optimization modeling and presents some suggestions for teaching.
Key words modeling; student; mathematical quality
1 數學建模的內涵
自 1992 年起開始主辦全國大學生數學建模競賽以來,全國大學生數學建模競賽規模飛速發展,參賽院校從 1992 年的全國 79 所增加2011年的全國1251所 ,參賽隊也從 1992 年的 314隊增加到 2011 年的 19490 隊。并且隨著計算機技術的發展,CAD 技術大量替代傳統工程設計中的現場實驗,MATLAB 等數學軟件能夠提供精確的計算結果和實現良好的量化分析。這些,都使得數學建模展現出強大的活力,發揮出更大的作用。數學建模就是將現實世界中的實際問題加以提煉抽象為數學模型,然后求出模型的解,驗證模型的合理性,并用該模型的結論來解釋現實問題。其運用方法主要有機理分析法和測試分析法,機理分析主要是通過已經認識的客觀事物特性,找出內部數量規律,由數量規律建立數學模型。而測試分析則需用到概率和數理統計知識來進行建模,也就是說,測試分析是用來解決“黑箱”問題的。數學建模一般包括以下幾個步驟:模型準備,模型假設,模型建立,模型求解,模型分析,模型檢驗和模型應用。具體說來,首先,用數學語言了解實際問題。其次,根據建模的目的和實際問題的特性,提出恰當的假設,并運用數學工具刻畫各變量之間的關系,同時也要注意對建模進行必要的簡化。最后,將獲取的數據資料,對模型進行計算,并將分析后的數據與實際情況進行比較,繼而驗證出模型的準確性、合理性。
2 建模對學生數學素質的促進作用
2.1 培養學生數學意識
數學意識不僅能使學生理解和學習現成的數學知識和技能,而且還能夠讓學生逐步學會主動地認識數學,初步形成用數學的觀點和方法看待事物,處理問題,具有從現實世界中尋找數量關系和數學模型的態度和方法,是將認識數學過程中的態度和情感體驗聯系在一起的前提。數學建模能使學生從現實世界中看似與數學沒有絲毫關系的問題最終抽象成數學問題,培養學生以數學的思維、從數學的角度去思考現實問題,潛移默化地加強了數學意識。
2.2 培養學生數學語言翻譯能力
建立數學模型,要運用到假設、收集和應用證據等進行抽象簡化。確切地將其用數學語言表達成數學問題的形式,然后將數學語言編譯成計算機程序,通過計算機進行數據處理、數據分析、論證得出曲線圖表或數學語言表達的結論。最后還要用常人能理解的一般描述性語言表達出來,提出解決某一問題的方案或是建議。數學建模可以充分鍛煉學生的自然語言、數學語言和計算機語言之間的翻譯表達能力。
2.3 提高學生的創新能力
創新能力是人的各種能力的綜合和最高形式表現。創新能力不僅僅是智力活動,它不僅表現為對知識的攝取、改組和應用,還表現了一種發現問題、積極探索問題的心理取向,是一種善于把握機會的敏銳性和積極改變自己并改變環境的應變能力。數學建模的實質就是構造模型。但模型的構造并不容易,需要有足夠強的創造能力。通過構造模型,在學生應用數學知識的基礎之上,激發學生的創造性思維。從而在不斷地運用數學知識和發散思維之中,提高學生的創新能力。
2.4 提高學生轉換能力
數學建模實質是把實際問題轉換成數學問題,通過數學建模,使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法。恩格斯曾經說過:“由一種形式轉化為另一種形式不是無聊的游戲而是數學的杠桿,如果沒有它,就不能走很遠。”因此,我們在數學教學中要注重轉化,善于發現問題,溝通各類知識之間的內在聯系。進一步培養學生的思維轉換能力,(下轉第148頁)(上接第125頁)這對培養學生思維品質的靈活性、創造性及開發智力、能力培養、提高解題速度大有裨益。
3 優化高校建模教學方法措施
3.1 在教學中滲透建模教學思想
在高等數學教學中,滲透數學建模的思想,讓學生初步了解建立數學模型的思想和方法,通過逐漸的滲透,能潛移默化地培養學生數學意識和數學思維習慣。例如,在學習函數內容時,可以介紹金融業務中的單利模型,用微分方程建立冷卻模型和濃度模型。對于繁復的公式推導以及難度大的數學計算,可用數學軟件解決復雜的數學計算,實現課堂教學和數學實驗的有機結合。如學習定積分時,要求學生掌握定積分概念的產生背景、定積分的思想、基本性質和微積分基本定理,并熟練使用牛頓·萊布尼茲公式、換元法和分部積分法,對于難度大的定積分計算,要善于使用數學軟件求解。
3.2 加大數學實驗課的力度
通過歷屆數學建模競賽情況來看,有許多學生在比賽時,能夠列出公式,能構建出模型,但卻不知道如何解答模型。例如,列出了問題的微分方程,但不知道怎樣求解,建立了問題的模型,但不知怎樣去開發算法,解出模型。因此,應當加大學生的解題能力訓練,特別是要培養學生利用現代的數學軟件進行解題的能力。在全校開展數學實驗課和數學建模實驗課,將學生分為各個小組,以小組為單位開展對數學實驗和數學建模實驗問題的探討,有利于培養學生的動手解題能力。
3.3 建立穩定的教育實習基地
教育實習基地建設歷來是各師范院校十分重視的問題。如何建設好穩定的教育實習基地?第一,在工作中,要打破傳統教育實習管理體制,建立健全的管理體制。制度建設可以嘗試由地方教育行政部門參與和嘗試選留畢業生和實習相結合形式共同參與制度建設。第二,營造互惠互利的聯合機制。做到互相交流教育、科研信息,共同研究基礎教育改革,共同建設教育實習基地。第三,提高實習生綜合素質,確保教育實習基地的建設和鞏固。
總之,數學學習不僅要在數學基礎知識、基本技能和思維能力、運算能力、空間想象能力等方面得到訓練和提高,而且要在應用數學、分析和解決實際問題的能力方面得到訓練和提高。在課堂教學中,要使學生學會提出問題,建立數學模型,將把問題抽象為數學問題。只有這樣,才能提高分析問題和解決問題的能力,才能提高學生的創新能力。因此,如果我們能逐步地將數學建模活動和數學教學有機地結合起來,就能更好地提高學生的數學素質。
參考文獻
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關鍵詞:高等數學,數學建模,應用
在高等院校中,數學教育是培養和造就各類、各層次專門人才的公共基礎課,也是培養學生理性思維的重要載體。同樣,伴隨著獨立學院的發展,數學的思想和應用也日顯重要。
1數學建模簡介
數學建模是通過對實際問題的分析抽象和簡化,明確實際問題中最重要的變量和參數,通過系統的變化規律或實驗觀測數據建立起這些變量和參數之間的量化關系,用精確或近似的數學方法求解,然后把數學結果與實際問題進行比較,用實際數據驗證模型的合理性,對模型進行修改和完善,最后將模型用于解決實際問題[1]。。簡而言之,數學建模就是通過建立數學模型來解決各種實際問題的過程。。
數學建模幾乎是一切應用科學的基礎,也是自然科學眾多領域進行科學研究必需的方法。已有的研究成果顯示,凡是要用數學來解決的實際問題,幾乎都是通過數學建模的過程來進行的。如力學中的牛頓定律,電磁學中的麥克斯韋方程組,生物學中的孟德爾遺傳定律等都是經典學科中應用數學模型的典型范例。自從1992年中國工業與應用數學學會開始組織全國大學生數學建模競賽以來,數學建模越來越受到各大高校的重視。
2數學建模思想對獨立學院學生能力素質的培養
2.1建模思想在獨立學院發展中的現狀
在教育部《普通高等學校獨立學院教育工作合格評估指標體系》中指出:獨立學院應確立“培養具有創新精神和實踐能力的應用型人才的目標定位”。在這種定位下,獨立學院的人才培養目標應當以市場為導向,以通識教育為基礎,提高學生的綜合能力和素質,著眼于學生的學習能力和可持續發展,以能力培養為本位,培養學生理論聯系實際、應用所掌握的知識和技術解決實際問題的實踐能力和創新能力。
但是在獨立學院中,除了參加數學建模競賽的很少一部分學生外,大部分學生都沒有機會去了解數學建模的思想方法,這無形中阻礙了數學建模思想的傳播,另外在獨立學院的課程設置中,大部分學生要學習高等數學這門課程,很多學生不了解學這門課程有什么用途,從而缺乏學習的動力和興趣,最后逐漸認為數學是一門非常枯燥而沒用的學科。。這就啟發我們可以將高等數學的教學與數學建模結合起來,在高等數學教學中滲透建模的思想。這樣不但能夠激發學生學習數學的興趣,而且還能提高學生將數學、計算機等方面的知識應用于實踐的能力。
2.2數學建模在高等數學教學中的應用
如何提高學生對高等數學的學習興趣,科學地學好數學是我們每一位教師始終在探索的問題。實踐證明,教師除了在教學方法上予以改進,還可以對學生進行數學建模方法和思想的培養。高等數學許多概念、性質、公式定理的形成過程本身就滲透著數學建模思想,它們都是從客觀事物的某種數量關系或空間形式中抽象出來的數學模型。我們在教學中應從它們的實際“原型”和學生熟悉的日常生活中的例子自然而然地引出來,使學生感到課本里的概念不是硬性規定的,而是與實際生活有密切聯系的。
其實,數學已經非常深入地進入到我們的生活當中了,比如GPS全球定位系統、醫療上的CT技術、電子商務,劉翔的110米欄,減肥問題,湖泊污染問題,甚至一個擁擠水房的模型等等,如果我們給學生講這些技術和問題中數學知識的運用,學生自然會感興趣,再進一步,如果我們讓他們用自己所學的數學知識去解決現實生活中的問題,他們的熱情就會進一步提高。
例如,在介紹空間解析幾何與向量代數這一章的知識時,我們就可以舉GPS全球定位系統模型。GPS全球定位系統是美國研制的新一代衛星導航定位系統,可向全球用戶提供連續、實時、高精度的三維位置,三維速度和時間信息。GPS定位技術是利用高空中的GPS衛星,向地面發射L波段的載頻無線電測距信號,由地面上用戶接收機實時地連續接收,并計算出接收機天線所在位置。在GPS定位中,通常采用兩類坐標系統:一類是在空間固定的坐標系,該坐標系與地球自轉無關,對描述衛星的運行位置和狀態極其方便。另一類是與地球體相固聯的坐標系統,該系統對表達地面觀測站的位置和處理GPS觀測數據尤為方便。該模型采用空間坐標系和矢量的定義,對空間的非線性軌跡進行逐步線性化歸納為點的數學描述,目的是求解地球上任一時刻、任一地點的空間坐標(x,y,z,t),從而知道其所在地球上的位置;同時又進一步用最小二乘法對其位置數據進行優化,補償一定誤差,提高其位置的精確度[2]。
在介紹導數的應用時,可安排講些諸如瞬時速度、切線斜率、邊際利潤、邊際成本等求實際問題的例子。我們就經濟模型中的邊際成本問題做為例子。在經濟管理工作中,需要建立總成本對產量的函數,求出該函數的導數即邊際成本,如果邊際成本小于該商品的單位售價,可以繼續投入生產,否則應停止投入,避免收不抵支。根據邊際成本情況,可以隨時指導生產,有利于提高企業的經濟效益。
例如已知某商品的成本函數(總成本單位為元),其邊際成本,當個單位時,。其經濟意義是,在產量為10個單位的基礎上,再生產一個單位產品,總成本近似地增加20元,若該產品單位售價超過20元,則可以繼續投入生產,反之應停止投入。
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