數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃精選(九篇)

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第1篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞:精確建模;斜齒輪;參數(shù)化;掃掠

引言

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用最廣泛的一種傳動(dòng)方式,由于漸開(kāi)線的特點(diǎn),漸開(kāi)線齒輪又是齒輪傳動(dòng)最常用的齒輪類型。近年來(lái)隨著CAD/CAE/CAM/CAPP技術(shù)的迅速發(fā)展,為了便于利用計(jì)算機(jī)仿真軟件對(duì)齒輪傳動(dòng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、振動(dòng)噪音、輪齒修型等分析,齒輪的精確參數(shù)化建模已經(jīng)成為一個(gè)必要過(guò)程,而齒輪的建模精度又對(duì)計(jì)算結(jié)果起到?jīng)Q定性的作用。漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪由于螺旋角為零,因此精確建模已經(jīng)沒(méi)有問(wèn)題,而漸開(kāi)線斜齒輪由于齒面為空間漸開(kāi)線螺旋面,且其端面齒形與法面齒形不同,三維精確參數(shù)化建模過(guò)程比較困難。在目前所能查找的論文中提出了很多斜齒輪精確參數(shù)化建模的方法,但仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)里面所提到的很多方法根本就無(wú)法實(shí)現(xiàn)斜齒輪的精確參數(shù)化建模,為此先從理論上對(duì)斜齒輪參數(shù)化精確建模進(jìn)行討論。

一、參數(shù)化建模中齒數(shù)與模型分析

在斜齒輪的精確建模中有一部分文獻(xiàn)沒(méi)有考慮到齒數(shù)對(duì)建模的影響[1][3][4][5][6][7][8]。沒(méi)有考慮齒根圓與基圓之間的大小關(guān)系,根據(jù)斜齒輪的齒根圓與基圓公式有:

df=d-2?mn(h*an+c*n)(1)

db=d?cosat(2)

df=db=d-2?mn(h*an+c*n)-d?cosat(3)

由公式(3)可以得到

=z?--2.5(4)

如果斜齒輪的齒根圓 與基圓 相等,則公式(4)右邊等于零。

z?--2.5(5)

對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)齒輪有an=200,這樣斜齒輪的齒根圓與基圓之間的大小關(guān)系就是螺旋角β、齒數(shù)z和法面模數(shù)mn的函數(shù)。當(dāng)齒根圓與基圓相等時(shí),那么斜齒輪的齒數(shù)z與斜齒輪的螺旋角β就成一函數(shù)關(guān)系,在此把這個(gè)函數(shù)關(guān)系用z=f(β)來(lái)表示,這說(shuō)明斜齒輪的齒根圓與基圓相等的分界線是變化的,而不是恒定的。

齒輪精確建模時(shí),當(dāng)齒根圓小于基圓的時(shí)候,齒根圓與基圓之間是沒(méi)有漸開(kāi)線的,這部分曲線是刀具的齒頂加工出來(lái)的過(guò)渡曲線;當(dāng)齒根圓大于基圓時(shí),齒廓曲線全部為漸開(kāi)線。所以斜齒輪精確建模一定要分這兩種情況來(lái)討論,為了方便在此用表格來(lái)給出兩者的數(shù)據(jù)關(guān)系。

二、螺旋角與斜齒輪模型的關(guān)系分析

現(xiàn)有很多論文中斜齒輪的精確參數(shù)化建模都是先利用漸開(kāi)線表達(dá)式生成漸開(kāi)線一條齒廓曲線,把這個(gè)端面曲線沿螺旋線進(jìn)行沿引導(dǎo)線“掃掠”或“曲面已掃掠”命令來(lái)生成一個(gè)斜齒輪的輪齒,然后利用環(huán)形陣列生成斜齒輪的精確模型[1][2][3][4][5][6][7][8]。

(一)螺旋角的關(guān)系推導(dǎo)

斜齒輪的螺旋角是指分度圓上螺旋線的切線與軸線之間所夾的角度。由下推出[10]:

tanβ=(6)

L-螺旋線的導(dǎo)程;

π?d-斜齒輪分度圓上的直徑;

可以看出螺旋角是齒輪分度圓的一個(gè)函數(shù),在同一齒輪中,任意圓周di上的螺旋角為:

tanβi=(7)

通過(guò)公式(7)可以看出,在不同的圓周上螺旋角是不同的。

(二)沿引導(dǎo)線掃掠策略

掃掠體的數(shù)學(xué)模型是,先進(jìn)行路徑規(guī)劃,即將掃掠路徑進(jìn)行離散,求解出t時(shí)刻通過(guò)掃掠路徑曲線上節(jié)點(diǎn)si的坐標(biāo),然后確定在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的投影面(法平面)方程,然后將物體向投影面(法平面)投影,當(dāng)時(shí)間間隔足夠小時(shí),在滿足一定的精度情況下,把時(shí)刻t和t+t時(shí)刻之間生成的掃掠體看成是由這些投影曲線組成的面域繞轉(zhuǎn)動(dòng)極軸轉(zhuǎn)動(dòng)生成的實(shí)體。

為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程, 掃掠路徑通常寫(xiě)成式的參數(shù)形式:

那么要想對(duì)一個(gè)物體進(jìn)行掃掠必須給出掃掠路徑和掃掠物體,在斜齒輪精確建模中,掃掠路徑是空間螺旋線,掃掠物體為漸開(kāi)線的齒廓,這樣掃掠出來(lái)的齒形隨可以參數(shù)化,但在齒形上的每一點(diǎn)的法線都為掃掠路徑的切矢量,如果在創(chuàng)建時(shí),給定的掃掠路徑是分度圓上的螺旋線(在軟件中這個(gè)命令是單參數(shù)的),則得到的輪齒是任意一點(diǎn)的螺旋角都等于分度圓上的螺旋角,通過(guò)公式(7)可以看出這是不正確的。三維模型圖參考圖1.4。

(三)沿多條引導(dǎo)線已掃掠策略

一條螺旋線不可能得到正確的輪齒,如果采用多條螺旋線做掃掠路徑只能使用軟件中的“曲面已掃掠”命令來(lái)實(shí)現(xiàn),當(dāng)掃掠路徑比較多的時(shí)候可以得到比較精確的輪齒模型,但這個(gè)命令是不支持參數(shù)化的,也得不到參數(shù)化模型。

下面用一個(gè)實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證:

圖四是將端面的一個(gè)齒廓面沿引導(dǎo)線掃掠生成的輪齒形狀,此螺旋角為β=200,可以看出輪齒的形狀發(fā)生了嚴(yán)重的扭曲,且隨著螺旋角的度數(shù)增大,扭曲現(xiàn)象就越明顯。

圖五是將端面的一個(gè)齒廓面利用曲面里面的已掃掠生成的輪齒形狀,可以看出當(dāng)使用一條螺旋線的時(shí)候,輪齒發(fā)生了扭曲,不可能產(chǎn)生精確地輪齒。當(dāng)增多引導(dǎo)引導(dǎo)線串時(shí),扭曲程度降低,另外通過(guò)圖三與圖二的對(duì)比可以看出兩個(gè)操作都產(chǎn)生了扭曲,但扭曲程度是不一樣的。

通過(guò)上述論證,要想得到參數(shù)化的精確模型,必須使用掃掠命令來(lái)實(shí)現(xiàn),可以對(duì)此命令進(jìn)行二次開(kāi)發(fā),給定分度圓上的螺旋角,然后設(shè)定漸開(kāi)線上上段的個(gè)點(diǎn)螺旋角的值是線性遞增的,下半段式線性遞減的,使遞增和遞減的值分別等于齒頂圓上螺旋角和齒根圓上的螺旋角,這樣既可以參數(shù)化又可得到精確的模型

三、陣列操作與參數(shù)化分析

在很多文獻(xiàn)中當(dāng)單個(gè)齒生成后通過(guò)陣列的方法來(lái)生成整個(gè)斜齒輪模型,通常在軟件中有兩種生成方法:第一種是特征操作下的陣列(引用下的環(huán)形陣列)第二中方法是變換下的環(huán)形陣列,這兩種方法本質(zhì)上是不同的,引用下的環(huán)形陣列是不能參數(shù)化的,而特征操作下的環(huán)形陣列是可以參數(shù)化的。

所以要想進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)必須采用特征操作下的沿引導(dǎo)線掃掠來(lái)生成輪齒,然后再進(jìn)行特征操作下的環(huán)形陣列來(lái)得到參數(shù)化模型。

四、結(jié)束語(yǔ)

本文主要對(duì)已有的斜齒輪精確參數(shù)化建模的方法進(jìn)行分析,推導(dǎo)出其不能得到精確參數(shù)化模型的理論原因,為以后斜齒輪的精確建模提供理論上的參考依據(jù)。精確模型一定是理論上推導(dǎo)證明出來(lái)的精確,還要注意當(dāng)通過(guò)計(jì)算機(jī)算法去實(shí)現(xiàn)出來(lái)后一定存在誤差的,那么必須對(duì)誤差進(jìn)行分析,確定誤差的范圍是不是在后續(xù)分析的允許范圍內(nèi)。

參考文獻(xiàn):

[1]白劍鋒等.UG在漸開(kāi)線斜齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2006,(70).

[2]邵家云,任豐蘭.UG中漸開(kāi)線斜齒輪的全參數(shù)化精確建模[J].農(nóng)機(jī)使用與維修,2009,(1).

[3]趙向前,徐洪濤.基于UG4.0的斜齒圓柱齒輪的三維精確參數(shù)化建模[J].金屬加工,2008,(2).

[4]魯春艷.基于UG的齒輪齒條式轉(zhuǎn)向器的虛擬設(shè)計(jì)與分析[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009,(3).

[5]徐雪松,畢鳳榮.基于UG的漸開(kāi)線斜齒輪參數(shù)化建模研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2003,(12).

[6]孫江宏,姚文席,吳平良.基于UG的斜齒輪三維參數(shù)化設(shè)計(jì)方法-掃描成型法[J].2003,(2).

[7]徐江敏,孟慧亮,蘇石川.漸開(kāi)線斜齒輪的參數(shù)化設(shè)計(jì)與應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù),2008,(11).

[8]沈軍,文軍.斜齒圓柱齒輪三維參數(shù)化建模運(yùn)動(dòng)仿真及其在機(jī)床設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2004,(11).

第2篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：車輛路徑問(wèn)題；遺傳算法；ExtendSim；仿真；優(yōu)化

中圖分類號(hào)：U116.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract： This article has introduced the classical vehicle routing problem（VRP）in the field of logistics and the algorithm which can solve the problem firstly， then discusses that how to apply genetic algorithm to solving VRP， and describes how ExtendSim simulation software construct a model and make a optimize for an certain VRP in detail， with this method， finally concludes the optimal solution， and proves that the simulation optimization method is an effective way to solve the VRP.

Key words： vehicle routing problem； genetic algorithm； ExtendSim； simulation； optimization

我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《物流術(shù)語(yǔ)》（GB/T 18354-2006）中，給物流下的定義是：“物流是指物品從供應(yīng)地向接收地的實(shí)物流動(dòng)過(guò)程。根據(jù)實(shí)際需要，將運(yùn)輸、存儲(chǔ)、裝卸、搬運(yùn)、包裝、流通加工、配送、信息管理等基本功能實(shí)施有機(jī)結(jié)合。”物流有多方面的功能，而運(yùn)輸和儲(chǔ)存保管則是其主要功能。在整個(gè)物流活動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)輸是其中各項(xiàng)子活動(dòng)的核心活動(dòng)，它是第三利潤(rùn)源的主要的源泉[1]。

日本在20世紀(jì)70年代就對(duì)物流有深刻的認(rèn)識(shí)了，日本早稻田大學(xué)的西澤修教授在其著作中把物流稱作不為人知的利潤(rùn)源泉，他認(rèn)為，物流能為企業(yè)創(chuàng)造價(jià)值，是企業(yè)的利潤(rùn)源泉。石油危機(jī)后這一觀點(diǎn)得到證實(shí)，物流也因而在企業(yè)管理中得到更加重視。目前我國(guó)生產(chǎn)型企業(yè)的物流成本占到總成本的20%～30%，而發(fā)達(dá)國(guó)家的則為10%左右[2]。因此，為了降低企業(yè)經(jīng)營(yíng)成本，獲得更多的利潤(rùn)，必須盡量降低物流成本的比重，這對(duì)于國(guó)民經(jīng)濟(jì)的更好發(fā)展具有十分重要的作用。

在商品經(jīng)濟(jì)社會(huì)中，人們的生活質(zhì)量與商品消費(fèi)息息相關(guān)，而商品的價(jià)格直接影響人們的生活水平，如果商品價(jià)格不合理，超出人們普遍的可接受范圍，那么人們的生活幸福度將會(huì)大大降低。而商品價(jià)格的構(gòu)成部分除了有生產(chǎn)成本，還有更重要的一部分是物流成本，并且物流成本中的運(yùn)輸費(fèi)又占了較大的比重。商品運(yùn)輸需要耗費(fèi)大量的能源動(dòng)力，消耗越多，花費(fèi)成本越高，如果運(yùn)輸組織的不合理，就會(huì)加大運(yùn)輸成本，因而抬高物流成本，商品價(jià)格也因而升高，結(jié)果是不僅降低企業(yè)的利潤(rùn)，也間接提高人們的生活成本。

所以，運(yùn)輸問(wèn)題是物流領(lǐng)域中值得研究的關(guān)鍵問(wèn)題。其中車輛路徑問(wèn)題（Vehicle Routing Problems，VRP）是運(yùn)輸問(wèn)題中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。該問(wèn)題是指：在物資流通過(guò)程中，每個(gè)需求點(diǎn)的位置和需求量已知，供方如何調(diào)度車輛和安排行車路徑向需方供應(yīng)物資，使得在滿足需方需要的同時(shí)也達(dá)到某些關(guān)鍵目標(biāo)（如車輛數(shù)盡量少、花費(fèi)時(shí)間盡量少、費(fèi)用最少、路程最短等）。

學(xué)者們很早就開(kāi)始對(duì)車輛路徑問(wèn)題進(jìn)行了研究，積累了豐富的研究成果。在20世紀(jì)50年代末，車輛路徑問(wèn)題首先被G.Dantzig和J.Ramser[3]提出，兩位學(xué)者根據(jù)如何運(yùn)送汽油到加油站這個(gè)現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)方法對(duì)其建立模型，并得出求解算法。在1964年，Clark和Wright這兩位學(xué)者研究了G.Dantzig和J.Ramser的方法后，認(rèn)為后者的方法有改進(jìn)的空間，并最后提出了Clark-Wright節(jié)約算法（即C-W算法）。從此VRP成為運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。五年后，Christofides與Eilon又想出新的方法，他們應(yīng)用2-opt和3-opt處理VRP，取得較好的效果。到1981年，F(xiàn)isher、Jaikumar和Gullen、Ratliff、Jarvis提出不同的研究方法。前者主要利用數(shù)學(xué)規(guī)劃，來(lái)對(duì)VRP進(jìn)行最優(yōu)化處理，后者則是運(yùn)用人機(jī)互動(dòng)的啟發(fā)式方法處理VRP。到90年代，學(xué)者們開(kāi)始利用人工智能構(gòu)造大量的啟發(fā)式算法來(lái)解決VRP，如禁忌搜索發(fā)、模擬退火法、遺傳算法等。首先采用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）的學(xué)者是Holland[4]，他利用遺傳算法中的編碼方法處理了VRP。在這幾種人工智能方法中，遺傳算法能較好地逼近最優(yōu)解的同時(shí)具有較高的運(yùn)算速度和效率，具有很好的發(fā)展前途。

1 VRP數(shù)學(xué)模型及遺傳算法

1.1 VRP的基本數(shù)學(xué)模型

VRP的一般描述[5]：

（1）車輛的載重量大于等于配送路徑上總的需求量；

（2）任一配送路徑的長(zhǎng)度小于等于車輛在一次配送任務(wù)中的最大行駛距離；

（3）每個(gè)需求點(diǎn)的需求都只能被同一輛送貨車滿足；

（4）設(shè)定每輛車都是從中心出發(fā)開(kāi)展配送任務(wù)，任務(wù)完成后再重新回到中心。

將一個(gè)配送中心編號(hào)設(shè)為0，該配送中心擁有車k輛，車輛數(shù)m，車的額定載重量為q，該中心面向L個(gè)客戶，第i個(gè)客戶需求量為g■，且g■≤q（i=1，2，…，L），VRP的基本模型如下：

minz=■■■c■x■ （1）

■g■y■≤q ？坌k （2）

■y■=1 i=1，…，L （3）

■x■=y■ j=0，1，…，L； ？坌k （4）

■x■=y■ i=0，1，…，L； ？坌k （5）

x■=0 or 1 ？坌i，？坌j，？坌k （6）

以上式（1）中，c■表示由點(diǎn)i到點(diǎn)j的運(yùn)輸成本，該函數(shù)為最小運(yùn)輸成本目標(biāo)函數(shù)；（2）為車容量的約束；（3）表示每個(gè)客戶僅有一輛車服務(wù)；（4）、（5）表示到達(dá)和離開(kāi)某一客戶僅有一輛車。x■和y■為變量，定義為：

x■=■

y■=■

1.2 遺傳算法

本文中的仿真軟件ExtendSim擁有一個(gè)自帶遺傳算法的優(yōu)化模塊。遺傳算法在處理車輛優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題時(shí)，有以下幾個(gè)步驟：

（1）確定染色體的編碼和初始群體

對(duì)可行路線編碼，如長(zhǎng)度為1+m的染色體編為：

0，i■，i■，…，i■，0，i■，…，i■，0，…0，i■，…，i■

i代表著每一項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)，此染色體可理解為車輛從配送中心0出發(fā)，完成i■，i■，…，i■后返回配送中心0，形成子路徑1；然后又從0出發(fā)，完成i■，…，i■后返回0，形成路徑2，如此反復(fù)直至完成所有的任務(wù)。這個(gè)過(guò)程中，行走路徑不斷改變，使得函數(shù)目標(biāo)也改變，這樣的遺傳迭代就能讓函數(shù)目標(biāo)最小，也即趨向于最佳路徑。

（2）確定目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)所研究的具體問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)可以表示相應(yīng)問(wèn)題（如運(yùn)費(fèi)最少問(wèn)題、車輛數(shù)最少問(wèn)題、路徑最短問(wèn)題、運(yùn)輸時(shí)間最少問(wèn)題等）的最優(yōu)解方程。

（3）約束的處理

遺傳算法中各個(gè)染色體對(duì)應(yīng)的解在群體中是占有一定比重的，在遺傳算法迭代運(yùn)算進(jìn)程中，如果某個(gè)染色體的解不符合約束條件，則會(huì)受到遺傳算法的懲罰機(jī)制的懲罰，使得其在群體中所占比重越來(lái)越小，而相反，可行解則越來(lái)越大，通過(guò)這樣的一個(gè)機(jī)制最終可以得出最優(yōu)解。

（4）遺傳算子

遺傳算子一般包括復(fù)制、交叉、變異。復(fù)制的目的是保留優(yōu)良個(gè)體，提高全局收斂性和效率；交叉的作用是組合新個(gè)體，降低對(duì)有效模式的破壞概論；變異的目的，是為了減少基因的缺失和不成熟收斂對(duì)結(jié)果的影響。

（5）確定最終方案

經(jīng)過(guò)上述遺傳過(guò)程后，最終產(chǎn)生性能最優(yōu)的染色體串。

2 仿真優(yōu)化方法在VRP上的運(yùn)用

對(duì)VRP的研究，大多停留在理論層面上，這些研究是通過(guò)分析問(wèn)題，運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)知識(shí)，用各種數(shù)學(xué)符號(hào)將問(wèn)題抽象為一系列公式，形成能解決VRP的數(shù)學(xué)算法。這一類方法稱為解析法，是通過(guò)建立某種符合邏輯推理的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決VRP，具有精確求解的優(yōu)點(diǎn)，但不足的是，它完全以數(shù)學(xué)公式的形式存在，所以它不易于理解，不具備良好的人機(jī)交互及可視化，也就無(wú)法讓人直觀地感受到所描繪系統(tǒng)是如何運(yùn)行變化的。相反，仿真方法卻可以直觀方便地處理問(wèn)題。

仿真方法是利用以計(jì)算機(jī)和軟件為工具的仿真技術(shù)對(duì)實(shí)際或者設(shè)想的系統(tǒng)進(jìn)行建模并運(yùn)行，結(jié)合某種算法對(duì)系統(tǒng)分析，從而得出結(jié)果。它結(jié)合優(yōu)化算法來(lái)計(jì)算模型，則可以求解出最優(yōu)解。

李先永[6]根據(jù)VRP模型，利用EM-Plant仿真軟件構(gòu)建了相應(yīng)的仿真模型，同時(shí)結(jié)合啟發(fā)式求解方法計(jì)算和優(yōu)化，從而驗(yàn)證了該仿真方法的可靠性。劉芳華、楊娟都采用了仿真平臺(tái)MATLAB結(jié)合遺傳算法對(duì)具體的VRP進(jìn)行參數(shù)輸入并運(yùn)算，得到很好的效果。白雪利用ProModel對(duì)某汽車租憑公司的運(yùn)營(yíng)方案進(jìn)行建模優(yōu)化并評(píng)比備選方案，得出最優(yōu)排程方案。孫姝婷利用 VISSIM 微觀仿真軟件對(duì)城市配送線路進(jìn)行優(yōu)化搜索，對(duì)多條配送路線進(jìn)行評(píng)價(jià)分析，為配送車輛選出最優(yōu)配送線路。陳靜靜[7]針對(duì)定位—路徑—庫(kù)存問(wèn)題（Location—Routing—Inventory Problem，LRIP）這一物流領(lǐng)域中新的研究熱點(diǎn)問(wèn)題，采用ExtendSim仿真軟件構(gòu)造了該問(wèn)題的模型，并用軟件的遺傳算法對(duì)其優(yōu)化計(jì)算，求解出LRIP的最優(yōu)方案。

3 ExtendSim對(duì)VRP建模優(yōu)化

3.1 運(yùn)輸問(wèn)題

運(yùn)輸問(wèn)題，解決的是如何組織一個(gè)合理的運(yùn)輸方案，使得物資在供求地運(yùn)送到需求地所需要的總運(yùn)費(fèi)最小。其數(shù)學(xué)模型如下[8]：

設(shè)有m個(gè)產(chǎn)地，記為A■，A■，…，A■，生產(chǎn)某種物品，可供應(yīng)產(chǎn)量分別為a■，a■，…，a■；有n個(gè)需求地，記為B■，B■，…，B■，其需求量分別為b■，b■，…，b■；供需平衡，即■a■=■b■。從第i個(gè)產(chǎn)地到j(luò)個(gè)需求地的單位物品的運(yùn)費(fèi)為c■，在滿足各地需要的前提下，求使得運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案。

設(shè)x■i=1，2，…，n為第i個(gè)產(chǎn)地到第j個(gè)需求地的運(yùn)量，則該運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可寫(xiě)為：

minz=■■c■x■ （7）

■x■=a■ i=1，2，…，m （8）

■x■=b■ j=1，2，…，n （9）

x■≥0 i=1，2，…，m j=1，2，…，n （10）

3.2 對(duì)具體問(wèn)題建模

設(shè)有A■，A■兩個(gè)工廠面向B■，B■，B■三個(gè)客戶服務(wù)，工廠可供應(yīng)產(chǎn)品數(shù)量分別為10，8個(gè)單位，客戶需求量分別為5，6，7個(gè)單位，A■到B■，B■，B■的每單位產(chǎn)品運(yùn)費(fèi)分別為3，2，6個(gè)單位，A■到B■，B■，B■的每單位產(chǎn)品運(yùn)費(fèi)分別為5，3，8個(gè)單位。根據(jù)以上信息，如何安排一個(gè)運(yùn)輸計(jì)劃，使總運(yùn)費(fèi)最少。

對(duì)此問(wèn)題，本文采用ExtendSim仿真軟件，實(shí)現(xiàn)了模型的整體構(gòu)建。其整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

3.3 模塊說(shuō)明

ExtendSim中的每一個(gè)模塊都有其特定的功能，這種功能可以是多個(gè)的，另外模塊內(nèi)部還有能輸入和輸出參數(shù)的結(jié)構(gòu)。

首先，上述運(yùn)輸問(wèn)題是一個(gè)離散事件，需要放置Executive仿真時(shí)鐘模塊，讓軟件自動(dòng)推進(jìn)事件的發(fā)展。兩個(gè)Create模塊表示兩個(gè)工廠生產(chǎn)產(chǎn)品，Queue模塊表示存放產(chǎn)品的倉(cāng)庫(kù)，Select item out模塊表示選擇不同的送貨路徑，Gate是個(gè)路徑開(kāi)關(guān)，與Information、Math、Decition共同作用，具有能根據(jù)客戶是否得到滿足而控制路徑開(kāi)通與否的功能。Get模塊可設(shè)置此路徑上每單位產(chǎn)品運(yùn)費(fèi)，而Activity模塊則是計(jì)算運(yùn)送給某個(gè)B客戶的總成本，整個(gè)產(chǎn)品送貨流程以Exit模塊結(jié)束。

3.4 優(yōu)化

以上模型只能直觀地演示系統(tǒng)的運(yùn)行，還不能對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算最優(yōu)方案，所以要求解最佳方案，必須使用優(yōu)化模塊Optimizer。

該模塊內(nèi)置遺傳算法，在本問(wèn)題中，有六個(gè)決策變量，該模塊對(duì)這六個(gè)量分別隨機(jī)編碼成二進(jìn)制的基因b■i=1，2，…，n，并使它們連接組成每一個(gè)都擁有六個(gè)基因的染色體個(gè)體，然后模塊自行隨機(jī)產(chǎn)生初始種群數(shù)，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)來(lái)確定能評(píng)價(jià)染色體優(yōu)劣的適應(yīng)度函數(shù)，在本題中以值越小越優(yōu)，并接著按照一定概率選擇較優(yōu)個(gè)體淘汰較劣個(gè)體進(jìn)而產(chǎn)生一個(gè)種群，然后按一定概率對(duì)這種群里的個(gè)體進(jìn)行交叉、變異運(yùn)算，最終產(chǎn)生新一代的種群，這一代個(gè)體的適應(yīng)度的數(shù)值和平均值都比上一代的有了明顯的改進(jìn)，也就是說(shuō)向最優(yōu)值靠攏，接著再繼續(xù)對(duì)這新一代種群不斷循環(huán)運(yùn)算，經(jīng)過(guò)運(yùn)算多代直至不能搜尋到更優(yōu)的解后，就停止運(yùn)行并顯示最優(yōu)解了。

在Optimizer的Objectives中，對(duì)分別輸入運(yùn)量的最小值0和最大值（客戶B的需求量），以及表示總費(fèi)用最少的目標(biāo)函數(shù)：Mincost=yunfei1+yunfei2+yunfei3。

在Optimizer的Constraints中，輸入決策變量的約束條件：

if（yunliang1+yunliang4 ！=5） reject=true；

if（yunliang2+yunliang5 ！=6） reject=true；

if（yunliang3+yunliang6 ！=7） reject=true；

if（yunliang1+yunliang2+yunliang3 ！=10） reject=true；

if（yunliang4+yunliang5+yunliang6 ！=8） reject=true；

最后，點(diǎn)擊New Run，系統(tǒng)自動(dòng)運(yùn)行，最終求解出最優(yōu)結(jié)果，結(jié)果顯示，軟件運(yùn)行了24秒，最小總成本值為82，最優(yōu)解方案為best行：A■向B■，B■，B■分別運(yùn)送1、3、6單位的產(chǎn)品；A■向B■，B■，B■分別運(yùn)送4、3、1單位的產(chǎn)品。

4 結(jié) 論

本文論述了當(dāng)前物流領(lǐng)域熱點(diǎn)問(wèn)題車輛路徑問(wèn)題及前人對(duì)其研究出來(lái)的解決方法，這些方法當(dāng)中以某種算法來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的理論研究居多，仿真建模層面上的研究比較少，因此重點(diǎn)探討了仿真優(yōu)化方法在VRP上的應(yīng)用，并基于ExtendSim仿真優(yōu)化軟件對(duì)某一VRP問(wèn)題進(jìn)行了建模和優(yōu)化，得出可靠結(jié)果，突顯出了仿真軟件界面友好、可視化強(qiáng)、操作簡(jiǎn)單易懂、運(yùn)算速度快的特點(diǎn)，是解決物流領(lǐng)域中VRP的一種有效的途徑。

參考文獻(xiàn)：

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第3篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

【關(guān)鍵詞】超聲；數(shù)學(xué)建模；CAD模型

0 引言

第一壁壁板屬于聚變堆屏蔽包層材料，而屏蔽包層作為國(guó)際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆（ITER）的關(guān)鍵部件之一，其主要作用是作為直接面對(duì)等離子體的部件，承載聚變反應(yīng)過(guò)程中的高熱及中子輻照，因此屏蔽包層技術(shù)是ITER的關(guān)鍵技術(shù)之一。屏蔽包層包括第一壁和屏蔽塊兩個(gè)部分，第一壁直接面對(duì)等離子體，屏蔽塊在第一壁的后面，其主要作用是帶走聚變反應(yīng)過(guò)程中的核熱及屏蔽中子輻照。為了使第一壁及屏蔽包層能夠承載高的核熱，達(dá)到聚變?cè)囼?yàn)堆安全運(yùn)行的目的，對(duì)聚變?cè)囼?yàn)堆屏蔽包層的結(jié)合質(zhì)量檢測(cè)就顯得尤為重要；若第一壁壁板不進(jìn)行結(jié)合質(zhì)量的檢測(cè)，在等靜壓和電子束焊接的過(guò)程中，或者在材料加工過(guò)程中難免會(huì)造成一些缺陷和裂紋，而這些缺陷和裂紋對(duì)第一壁和屏蔽包層整體功能的影響很大，對(duì)于反應(yīng)堆來(lái)說(shuō)甚至是致命的[1]。因此，為了保證將來(lái)反應(yīng)堆的安全運(yùn)轉(zhuǎn)，必須對(duì)第一壁壁板的結(jié)合質(zhì)量進(jìn)行無(wú)損檢測(cè)。

2008年，中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院開(kāi)發(fā)的原理樣機(jī)只能檢測(cè)平面型屏蔽包層材料的結(jié)合質(zhì)量，而第一壁壁板結(jié)構(gòu)為曲面的鈹瓦表面，檢測(cè)難度很大。目前，國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有專門(mén)系統(tǒng)檢測(cè)這種工件，其主要難度在于超聲檢測(cè)曲面工件，需要確認(rèn)探頭和工件要始終保持垂直，以此保證探頭能接收工件所反射回的超聲波信號(hào)。而本文采用超聲技術(shù)與數(shù)學(xué)建模技術(shù)相融合的方式，成功地研制了第一壁壁板超聲自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)，通過(guò)實(shí)際應(yīng)用，證明該技術(shù)能夠準(zhǔn)確的檢測(cè)第一壁壁板的結(jié)合質(zhì)量及平面模塊的結(jié)合質(zhì)量，為國(guó)際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆的安全運(yùn)行提供技術(shù)保障。

1 檢測(cè)對(duì)象

檢驗(yàn)對(duì)象為第一壁板工件，其最大長(zhǎng)度尺寸約為660mm，最大寬度尺寸約為200mm，最大厚度尺寸約為200mm。圖1為第一壁板工件CAD圖，檢驗(yàn)面為帶曲面的鈹瓦表面。

圖1 第一壁板CAD圖

1.1 檢驗(yàn)原理

由于檢驗(yàn)面為曲面，為了準(zhǔn)確跟蹤工件檢驗(yàn)界面、保持探頭與檢驗(yàn)面的垂直，檢驗(yàn)前需對(duì)檢驗(yàn)面進(jìn)行建模，使用超聲波方式測(cè)定探頭與工件表面距離及五維運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建立好曲面模型后，進(jìn)行自動(dòng)檢驗(yàn)，在每個(gè)采集點(diǎn)根據(jù)曲面模型適時(shí)調(diào)整探頭與工件垂直，在調(diào)整好探頭的基礎(chǔ)上，采集超聲儀檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，并處理存儲(chǔ)[2]。

1.2 數(shù)學(xué)建模

由于被檢面為一曲面，為了使超聲波探頭在整個(gè)檢驗(yàn)過(guò)程中始終保持與工件表面相垂直，需要對(duì)工件被檢面進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建模使用超聲波原理，利用聲束入射角與表面波時(shí)域特征值之間關(guān)系。主要步驟為：

（1）根據(jù)所提供的工件信息，初步將工件表面劃分出多條掃描線；

（2）人工確定測(cè)量點(diǎn)之間的間距，根據(jù)此間距在掃面線上設(shè)定測(cè)量點(diǎn)；

（3）啟動(dòng)自動(dòng)測(cè)量程序，移動(dòng)探頭到第一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，調(diào)節(jié)五自由度機(jī)械手，使聲束與測(cè)量點(diǎn)垂直，記錄三維坐標(biāo)值及二維轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)變量并保存；使用同樣方式記錄每一個(gè)測(cè)量點(diǎn)的三維坐標(biāo)值及二維轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)變量；

（4）根據(jù)已測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)值分析曲面曲率，若曲面變化顯著則縮小測(cè)量點(diǎn)間距（具體原理詳見(jiàn)2.3.1～2.3.2），若曲面曲率變化不大則按原初始規(guī)劃的間距進(jìn)行測(cè)量；

（5）根據(jù)最終確定測(cè)量點(diǎn)的自動(dòng)測(cè)量，并由反求軟件建立鈹銅工件的CAD建模。

1.2.1 測(cè)量點(diǎn)規(guī)劃

測(cè)量點(diǎn)分布在各掃描線上，其影響因素主要有三點(diǎn)：（1）掃面線的走向；（2）相鄰掃面線的間距X；（3）相鄰測(cè)量點(diǎn)的間距Y。

測(cè)量點(diǎn)自動(dòng)規(guī)劃思路如下：

（1）被檢工件檢驗(yàn)面的特點(diǎn)選定測(cè)量的初始規(guī)劃，利用聲束自動(dòng)對(duì)正的方法完成第一條掃面線上，初始規(guī)劃測(cè)量點(diǎn)的三維坐標(biāo)拾取；

（2）根據(jù)已測(cè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)分析掃描線的曲率，在曲率變化不大處按初始規(guī)劃的間距進(jìn)行測(cè)量，在曲率變化顯著處縮小測(cè)量點(diǎn)間距，實(shí)現(xiàn)測(cè)量點(diǎn)的自動(dòng)規(guī)劃；

（3）完成一條掃描線的測(cè)量后，同樣根據(jù)工件表面曲率變化情況調(diào)整兩條相鄰掃面線的間距。

1.2.2 曲面曲率的分析

曲面曲率是根據(jù)一條掃描線上相鄰3個(gè)測(cè)量點(diǎn)兩兩組成的線段夾角來(lái)進(jìn)行分析的。首先將相鄰的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)用線段連接起來(lái)，從而得到一系列逼近兩點(diǎn)間曲線的線段。

相鄰兩條線段之間夾角能夠反映該段掃描線的曲率變化，給定一角度誤差δ（可以人工設(shè)定），若ωi≥δ，則認(rèn)為這兩條相鄰線段所代表的掃描線之間曲面曲率變化劇烈，因此需要在這段區(qū)域內(nèi)需要所點(diǎn)測(cè)量點(diǎn)間距，以增加測(cè)量點(diǎn)從而反映曲線劇烈的變化；若ωi≤δ，則說(shuō)明這2條相鄰線段過(guò)渡平緩，可認(rèn)為這段掃面線曲面曲率變化平緩，不需要增加測(cè)量點(diǎn)。

2 建模實(shí)驗(yàn)

在對(duì)檢驗(yàn)面進(jìn)行曲面建模及測(cè)量點(diǎn)自動(dòng)規(guī)劃后，方可實(shí)施對(duì)工件100%的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)路徑：探頭先沿工件寬度方向運(yùn)動(dòng)，到工件邊緣時(shí)，再沿長(zhǎng)度方向運(yùn)動(dòng)，如此反復(fù)，直到檢驗(yàn)完整個(gè)工件。

在檢驗(yàn)過(guò)程中，根據(jù)所建立模型的數(shù)據(jù)，對(duì)探頭進(jìn)行適時(shí)調(diào)整，使探頭與工件表面始終保持垂直；檢驗(yàn)數(shù)據(jù)能夠進(jìn)行采集、存儲(chǔ)及處理。

檢驗(yàn)裝置在檢驗(yàn)過(guò)程中，工件固定良好；探頭的調(diào)節(jié)能滿足被檢工件的檢驗(yàn)要求，方便、精確、自鎖；檢驗(yàn)全過(guò)程中，探頭位置、運(yùn)動(dòng)速度等檢驗(yàn)條件不允許發(fā)生改變；檢驗(yàn)裝置具有自動(dòng)開(kāi)始和末端停止掃描功能及相應(yīng)的安全連鎖裝置，掃描停止，探頭自動(dòng)歸零位；實(shí)現(xiàn)并完成對(duì)工件的檢驗(yàn)，可以使用控制器按扭進(jìn)行控制，也可以利用所編制的軟件，通過(guò)檢驗(yàn)參數(shù)的輸入進(jìn)行程序。

具體實(shí)施過(guò)程為：

圖2 第一壁壁板數(shù)學(xué)模型圖

（1）建立工件的數(shù)學(xué)模型，如圖2所示。采用超聲波技術(shù)，利用工件表面反射波幅；根據(jù)所提供的工件信息，初步確定將工件表面劃分出3條掃描線，如圖3所示，圖中虛線為掃描線。每條掃描線上的掃描點(diǎn)間距間隔10mm。以上要求可以根據(jù)工件的曲率變化進(jìn)行調(diào)整，曲率變化較大時(shí)可以適當(dāng)增加采樣點(diǎn)，即縮短掃描點(diǎn)間距。

（2）能對(duì)工件實(shí)施100%掃查，掃查過(guò)程如圖3中虛線所示：探頭先沿工件寬度方向運(yùn)動(dòng)，到工件邊緣時(shí)，再沿長(zhǎng)度方向運(yùn)動(dòng)，如此反復(fù)，直到檢驗(yàn)完整個(gè)工件。

圖3 掃查示意圖

（3）在檢驗(yàn)實(shí)施過(guò)程中，能夠根據(jù)所建立模型的數(shù)據(jù)，對(duì)探頭進(jìn)行適時(shí)調(diào)整，使探頭與工件表面始終保持垂直。

（4）對(duì)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)能夠進(jìn)行采集、存儲(chǔ)及處理，檢測(cè)結(jié)果如圖4所示。

圖4 檢測(cè)結(jié)果圖

3 結(jié)論

本文采用超聲技術(shù)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合的方法，根據(jù)超聲波回波情況，獲得探頭與工件表面距離及五維坐標(biāo)，應(yīng)用曲面反求技術(shù)重構(gòu)工件的數(shù)據(jù)模型，進(jìn)而建立被檢工件的CAD模型。利用研制的第一壁壁板專用檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)建立的CAD模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明，所建立的CAD模型能與檢測(cè)系統(tǒng)相融合，檢測(cè)結(jié)果達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

【參考文獻(xiàn)】

第4篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞 OPNET 網(wǎng)絡(luò)仿真 協(xié)議 流量

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

當(dāng)今業(yè)界使用的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)仿真軟件主要有OPNET和NS2，NS2由于是源代碼開(kāi)放，很受科研人員的歡迎，但由于其運(yùn)行環(huán)境是LINUX，且其圖形界面也過(guò)于簡(jiǎn)單因此不太適合于在教學(xué)環(huán)境中使用。而OPNET則支持在Windows環(huán)境下運(yùn)行，且其圖形界面非常豐富，可以為網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃和設(shè)計(jì)提供客觀、可靠的定量依據(jù)，可以構(gòu)建接近真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境和業(yè)務(wù)，測(cè)試網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)品性能指標(biāo)。而且OPNET具有：網(wǎng)絡(luò)模型、節(jié)點(diǎn)模型、進(jìn)程模型三層建模機(jī)制；豐富的模型庫(kù)；綜合統(tǒng)計(jì)量收集和分析工具等特點(diǎn)可以很好地完成網(wǎng)絡(luò)實(shí)踐中各種難以實(shí)現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。使用OPNET可以使各種抽象的問(wèn)題變得更加直觀，易于接受。使網(wǎng)絡(luò)知識(shí)的理解和掌握變得更加容易，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)OPNET建模并搭建各種不同參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)仿真平臺(tái)，可以全面理解各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議的性能。利用OPNET節(jié)點(diǎn)編輯器、進(jìn)程編輯器不僅可以學(xué)習(xí)各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議的工作原理及其工作過(guò)程，還可以自行研究和設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)協(xié)議，從而加深相關(guān)知識(shí)的理解。利用OPNET提供的仿真結(jié)果及分析報(bào)告功能，可以為網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化提供依據(jù)。仿真報(bào)告直觀地顯示網(wǎng)絡(luò)性能參數(shù)可以通過(guò)這些參數(shù)提出設(shè)計(jì)和優(yōu)化方案，再結(jié)合OPNET支持的VC聯(lián)合調(diào)試功能快速地驗(yàn)證仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真中存在的問(wèn)題，從而拓寬實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目；設(shè)計(jì)和優(yōu)化各種新的網(wǎng)絡(luò)協(xié)議并比較不同設(shè)計(jì)方案的性能，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和創(chuàng)造能力。下面就介紹幾種OPNET在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)仿真實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)用。

局域網(wǎng)的仿真分析：構(gòu)建局域網(wǎng)關(guān)鍵的因素是其流量和延遲時(shí)間的分析，這一點(diǎn)非常難于掌握，這個(gè)問(wèn)題可通過(guò)OPNET加以解決。首先利用OPNET提供的圖形界面構(gòu)建相應(yīng)的局域網(wǎng)，然后運(yùn)行仿真并提取統(tǒng)計(jì)量，最后通過(guò)圖形界面顯示其流量和延遲時(shí)間，對(duì)局域網(wǎng)的流量和延遲時(shí)間有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。可進(jìn)一步通過(guò)圖形方式增加路由器和其它的局域網(wǎng)，再次運(yùn)行仿真，提取相應(yīng)的流量和延遲時(shí)間，并通過(guò)圖形方式和原局域網(wǎng)的流量和延遲時(shí)間相比較，掌握局域網(wǎng)的規(guī)模對(duì)流量和延遲時(shí)間的影響，可起到事半功倍的效果。

傳輸層的滑動(dòng)窗口算法的仿真分析：滑動(dòng)窗口算法在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，不僅用在鏈路層的流量控制，而且也用在傳輸層的流量控制，因此非常重要。但由于其內(nèi)容過(guò)于抽象學(xué)生很難確切地掌握該算法，這個(gè)問(wèn)題可通過(guò)OPNET加以解決。首先利用OPNET提供的圖形界面構(gòu)建兩個(gè)連接在互聯(lián)網(wǎng)的局域網(wǎng)，然后設(shè)置相應(yīng)的應(yīng)用和業(yè)務(wù)，運(yùn)行仿真并提取統(tǒng)計(jì)量，最后通過(guò)圖形界面顯示滑動(dòng)窗口大小的變化，對(duì)傳輸層協(xié)議如何利用滑動(dòng)窗口來(lái)控制流量有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。

路由信息協(xié)議和開(kāi)放式最短路徑優(yōu)先協(xié)議的仿真分析：計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)絡(luò)層的概念非常重要，它負(fù)責(zé)把數(shù)據(jù)包從源節(jié)點(diǎn)依據(jù)某個(gè)路由算法傳送到目的節(jié)點(diǎn)。實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)層的路由選擇算法非常多，這里只選擇路由信息協(xié)議算法和開(kāi)放式最短路徑優(yōu)先協(xié)議算法加以說(shuō)明，這可直觀地了解在互聯(lián)網(wǎng)中數(shù)據(jù)包傳遞到目的地的方式。首先利用OPNET提供的圖形界面構(gòu)建多種路徑相互連接的多個(gè)路由器，然后通過(guò)選擇路由信息協(xié)議為路由算法，并運(yùn)行仿真，得到相應(yīng)的路由表，使學(xué)生掌握路由表的概念。然后選擇開(kāi)放式最短路徑優(yōu)先協(xié)議為路由算法，運(yùn)行仿真，得到直觀的路由路徑圖。并可選擇自治區(qū)域范圍，運(yùn)行仿真并得到路由路徑圖，讓學(xué)生直觀地了解在采用自治區(qū)域后，開(kāi)放式最短路徑優(yōu)先算法的路由選擇變化。并可在選擇路由算法的流量平衡選項(xiàng)后，運(yùn)行仿真得到路由路徑圖，使學(xué)生直觀地掌握選擇流量平衡后，開(kāi)放式最短路徑優(yōu)先算法的路由選擇結(jié)果。

第5篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

摘 要：在查閱大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上對(duì)多機(jī)器人路徑規(guī)劃的主要研究?jī)?nèi)容和研究現(xiàn)狀進(jìn)行了分析和總結(jié)，討論了多機(jī)器人路徑規(guī)劃方法的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，并闡述了研究遇到的瓶頸問(wèn)題，展望了多機(jī)器人路徑規(guī)劃方法的發(fā)展趨勢(shì)。

關(guān)鍵詞：多機(jī)器人；路徑規(guī)劃；強(qiáng)化學(xué)習(xí)；評(píng)判準(zhǔn)則

Abstract:This paper analyzed and concluded the main method and current research of the path planning research for multirobot.Then discussed the criterion of path planning research for multirobot based large of literature.Meanwhile，it expounded the bottleneck of the path planning research for multirobot，forecasted the future development of multirobot path planning.

Key words:multirobot；path planning;reinforcement learning;evaluating criteria 

近年來(lái)，分布式人工智能(DAI)成為人工智能研究的一個(gè)重要分支。DAI研究大致可以分為DPS（distributed problem solving）和MAS（multiagent system）兩個(gè)方面。一些從事機(jī)器人學(xué)的研究人員受多智能體系統(tǒng)研究的啟發(fā)，將智能體概念應(yīng)用于多機(jī)器人系統(tǒng)的研究中，將單個(gè)機(jī)器人視做一個(gè)能獨(dú)立執(zhí)行特定任務(wù)的智能體，并把這種多機(jī)器人系統(tǒng)稱為多智能體機(jī)器人系統(tǒng)（MARS）。因此，本文中多機(jī)器人系統(tǒng)等同于多智能體機(jī)器人系統(tǒng)。目前，多機(jī)器人系統(tǒng)已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)，而路徑規(guī)劃研究又是其核心部分。

機(jī)器人路徑規(guī)劃問(wèn)題可以建模為一個(gè)帶約束的優(yōu)化問(wèn)題，其包括地理環(huán)境信息建模、路徑規(guī)劃、定位和避障等任務(wù)，它是移動(dòng)機(jī)器人導(dǎo)航與控制的基礎(chǔ)。單個(gè)移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃研究一直是機(jī)器人研究的重點(diǎn)，且已經(jīng)有許多成果[1~3]，例如在靜態(tài)環(huán)境中常見(jiàn)的有連接圖法、可視圖法、切線圖法、Voronoi圖法、自由空間法、柵格法、拓?fù)浞ā㈡溄訄D法、DempsterShafer證據(jù)理論建圖等；動(dòng)態(tài)環(huán)境中常見(jiàn)的有粒子群算法、免疫算法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、蟻群算法、模擬退火算法、人工勢(shì)場(chǎng)法等。然而，多機(jī)器人路徑規(guī)劃研究比單個(gè)機(jī)器人路徑規(guī)劃要復(fù)雜得多，必須考慮多機(jī)器人系統(tǒng)中機(jī)器人之間的避碰機(jī)制、機(jī)器人之間的相互協(xié)作機(jī)制、通信機(jī)制等問(wèn)題。

1 多機(jī)器人路徑規(guī)劃方法

單個(gè)機(jī)器人的路徑規(guī)劃是找出從起始點(diǎn)至終點(diǎn)的一條最短無(wú)碰路徑。多個(gè)機(jī)器人的路徑規(guī)劃側(cè)重考慮整個(gè)系統(tǒng)的最優(yōu)路徑，如系統(tǒng)的總耗時(shí)間最少路徑或是系統(tǒng)總路徑最短等。從目前國(guó)內(nèi)外的研究來(lái)看，在規(guī)劃多機(jī)器人路徑時(shí)，更多考慮的是多機(jī)器人之間的協(xié)調(diào)和合作式的路徑規(guī)劃。

目前國(guó)內(nèi)外多機(jī)器人路徑規(guī)劃研究方法分為傳統(tǒng)方法、智能優(yōu)化方法和其他方法三大類。其中傳統(tǒng)方法主要有基于圖論的方法（如可視圖法、自由空間法、柵格法、Voronoi圖法以及人工勢(shì)場(chǎng)方法等）；智能優(yōu)化方法主要有遺傳算法、蟻群算法、免疫算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、強(qiáng)化學(xué)習(xí)等；其他方法主要有動(dòng)態(tài)規(guī)劃、最優(yōu)控制算法、模糊控制等。它們中的大部分都是從單個(gè)機(jī)器人路徑規(guī)劃方法擴(kuò)展而來(lái)的。

1）傳統(tǒng)方法 多機(jī)器人路徑規(guī)劃傳統(tǒng)方法的特點(diǎn)主要體現(xiàn)在基于圖論的基礎(chǔ)上。方法一般都是先將環(huán)境構(gòu)建成一個(gè)圖，然后再?gòu)膱D中尋找最優(yōu)的路徑。其優(yōu)點(diǎn)是比較簡(jiǎn)單，比較容易實(shí)現(xiàn)；缺點(diǎn)是得到的路徑有可能不是最優(yōu)路徑，而是次優(yōu)路徑。薄喜柱等人[4]提出的一種新路徑規(guī)劃方法的基本思想就是基于柵格類的環(huán)境表示和障礙地圖的。而人工勢(shì)場(chǎng)方法的基本思想是將移動(dòng)機(jī)器人在環(huán)境中的運(yùn)動(dòng)視為一種虛擬人工受力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。障礙物對(duì)移動(dòng)機(jī)器人產(chǎn)生斥力，目標(biāo)點(diǎn)產(chǎn)生引力，引力和斥力周圍由一定的算法產(chǎn)生相應(yīng)的勢(shì)，機(jī)器人在勢(shì)場(chǎng)中受到抽象力作用，抽象力使得機(jī)器人繞過(guò)障礙物。其優(yōu)點(diǎn)是適合未知環(huán)境下的規(guī)劃，不會(huì)出現(xiàn)維數(shù)爆炸問(wèn)題；但是人工勢(shì)場(chǎng)法也容易陷入局部最小，并且存在丟失解的部分有用信息的可能。顧國(guó)昌等人[5]提出了引用總體勢(shì)減小的動(dòng)態(tài)調(diào)度技術(shù)的多機(jī)器人路徑規(guī)劃，較好地解決了這個(gè)問(wèn)題。

2）智能優(yōu)化方法 多機(jī)器人路徑規(guī)劃的智能優(yōu)化方（算）法是隨著近年來(lái)智能計(jì)算發(fā)展而產(chǎn)生的一些新方法。其相對(duì)于傳統(tǒng)方法更加智能化，且日益成為國(guó)內(nèi)外研究的重點(diǎn)。

遺傳算法是近年來(lái)計(jì)算智能研究的熱點(diǎn)，作為一種基于群體進(jìn)化的概率優(yōu)化方法，適用于處理傳統(tǒng)搜索算法難以解決的復(fù)雜和非線性問(wèn)題，如多機(jī)器的路徑規(guī)劃問(wèn)題。在路徑規(guī)劃中，其基本思想是先用鏈接圖法把環(huán)境地圖構(gòu)建成一個(gè)路徑節(jié)點(diǎn)鏈接網(wǎng)，將路徑個(gè)體表達(dá)為路徑中一系列中途節(jié)點(diǎn)，并轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制串；然后進(jìn)行遺傳操作（如選擇、交叉、復(fù)制、變異），經(jīng)過(guò)N次進(jìn)化，輸出當(dāng)前的最優(yōu)個(gè)體即機(jī)器人的最優(yōu)路徑。遺傳算法的缺點(diǎn)是運(yùn)算速度不快，進(jìn)化眾多的規(guī)劃要占據(jù)很大的存儲(chǔ)空間和運(yùn)算時(shí)間；優(yōu)點(diǎn)是有效避免了局部極小值問(wèn)題，且計(jì)算量較小。 

孫樹(shù)棟等人[6，7]在這方面較早地展開(kāi)了研究，提出的基于集中協(xié)調(diào)思想的一種混合遺傳算法來(lái)規(guī)劃多機(jī)器人路徑方法較好地解決了避障問(wèn)題。但不足的是該方法必須建立環(huán)境地圖，在環(huán)境未知情況下的規(guī)劃沒(méi)有得到很好的解決；且規(guī)劃只能保證找到一個(gè)比較滿意的解，在求解全局最優(yōu)解時(shí)仍有局限。

文獻(xiàn)[8]中提出的一種基于定長(zhǎng)十進(jìn)編碼方法有效降低了遺傳算法的編碼難度，克服了已有的變長(zhǎng)編碼機(jī)制及定長(zhǎng)二進(jìn)制編碼機(jī)制需特殊遺傳操作算子和特殊解碼的缺陷， 使得算法更加簡(jiǎn)單有效。

智能計(jì)算的另一種常見(jiàn)的方法——蟻群算法屬于隨機(jī)搜索的仿生算法。其基本思想是模擬螞蟻群體的覓食運(yùn)動(dòng)過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)，通過(guò)螞蟻群體中各個(gè)體之間的相互作用，分布、并行地解決組合優(yōu)化問(wèn)題。該算法同樣比較適合解決多機(jī)器人的路徑規(guī)劃問(wèn)題。

朱慶保[9]提出了在全局未知環(huán)境下多機(jī)器人運(yùn)動(dòng)螞蟻導(dǎo)航算法。該方法將全局目標(biāo)點(diǎn)映射到機(jī)器人視野域邊界附近作為局部導(dǎo)航子目標(biāo)，再由兩組螞蟻相互協(xié)作完成機(jī)器人視野域內(nèi)局部最優(yōu)路徑的搜索，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行與其他機(jī)器人的碰撞預(yù)測(cè)與避碰規(guī)劃。因此，機(jī)器人的前進(jìn)路徑不斷被動(dòng)態(tài)修改，從而在每條局部?jī)?yōu)化路徑引導(dǎo)下，使機(jī)器人沿一條全局優(yōu)化的路徑到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。但其不足是在動(dòng)態(tài)不確定的環(huán)境中路徑規(guī)劃時(shí)間開(kāi)銷劇增，而且機(jī)器人缺乏必要的學(xué)習(xí)，以至于整個(gè)機(jī)器人系統(tǒng)路徑難以是最優(yōu)路徑。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)[10，11] (又稱再激勵(lì)學(xué)習(xí))是一種重要的機(jī)器學(xué)習(xí)方法。它是一種智能體從環(huán)境狀態(tài)到行為映射的學(xué)習(xí)，使得行為從環(huán)境中獲得積累獎(jiǎng)賞值最大。其原理如圖1所示。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法一般包含了兩個(gè)步驟：a）從當(dāng)前學(xué)習(xí)循環(huán)的值函數(shù)確定新的行為策略；b）在新的行為策略指導(dǎo)下，通過(guò)所獲得的瞬時(shí)獎(jiǎng)懲值對(duì)該策略進(jìn)行評(píng)估。學(xué)習(xí)循環(huán)過(guò)程如下所示，直到值函數(shù)和策略收斂:

v0π1v1π2…v*π*v*

目前比較常見(jiàn)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法有：Monte Carlo方法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法、TD（時(shí)間差分）方法。其中TD算法包含Sarsa算法、Q學(xué)習(xí)算法以及Dyna-Q算法等。其Q值函數(shù)迭代公式分別為

TD（0）策略： V(si)V(si)+α[γi+1+γV(si+1)-V(si)]

Sarsa算法： Q(st，at)Q(st，at)+α[γt+1+γQ(st+1，at.+1)-Q(st，at)]Qs′學(xué)習(xí)算法： Qπ(s，a)=∑Pαss′[Rass′+γVπ(s′)]

近年來(lái)，基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的路徑規(guī)劃日益成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。M. J. Mataric[12]首次把強(qiáng)化學(xué)習(xí)引入到多機(jī)器人環(huán)境中。而基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的多機(jī)器人路徑規(guī)劃的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在：無(wú)須建立精確的環(huán)境模型，簡(jiǎn)化了智能體的編程；無(wú)須構(gòu)建環(huán)境地圖；強(qiáng)化學(xué)習(xí)可以把路徑規(guī)劃、避碰、避障、協(xié)作等問(wèn)題統(tǒng)一解決。

張芳等人[13]提出了基于再激勵(lì)協(xié)調(diào)避障路徑規(guī)劃方法，把再勵(lì)函數(shù)設(shè)計(jì)為基于行為分解的無(wú)模型非均勻結(jié)構(gòu)，新的再勵(lì)函數(shù)結(jié)構(gòu)使得學(xué)習(xí)速度得以提高且有較好的魯棒性。同時(shí)，證明了在路徑規(guī)劃中，機(jī)器人的趨向目標(biāo)和避障行為密切相關(guān)，對(duì)反映各基本行為的再勵(lì)函數(shù)取加權(quán)和來(lái)表示總的再勵(lì)函數(shù)要優(yōu)于取直接和的表示方式，也反映了再勵(lì)函數(shù)設(shè)計(jì)得合理與否及其確切程度將影響再勵(lì)學(xué)習(xí)的收斂速度。王醒策等人[14]在動(dòng)態(tài)編隊(duì)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法方面展開(kāi)了研究。宋一然[15]則提出了分段再勵(lì)函數(shù)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法進(jìn)行路徑規(guī)劃。其缺點(diǎn)是學(xué)習(xí)次數(shù)較多、效率不高，當(dāng)機(jī)器人數(shù)目增加時(shí)，它有可能面臨維數(shù)災(zāi)難的困難。所以，基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的路徑規(guī)劃在多機(jī)器人環(huán)境下的學(xué)習(xí)將變得比較困難，需要對(duì)傳統(tǒng)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)加以優(yōu)化，如基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)[16]等。

3)其他方法 除了以上國(guó)內(nèi)外幾種比較常見(jiàn)且研究較多的方法外，還有唐振民等人[17]提出的基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想的多機(jī)器人路徑規(guī)劃，把運(yùn)籌學(xué)中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想與Dijkstra算法引入到多機(jī)器人的路徑規(guī)劃中，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想來(lái)解決圖論中的費(fèi)用流問(wèn)題和路徑規(guī)劃中的層級(jí)動(dòng)態(tài)聯(lián)盟問(wèn)題。其選擇距離鄰近法作為聯(lián)盟參考依據(jù)。一個(gè)機(jī)器人的鄰居是指在地理位置上分布在這個(gè)機(jī)器人周圍的其他機(jī)器人；與該機(jī)器人最近鄰的機(jī)器人為第一層鄰居，第一層鄰居的鄰居為該機(jī)器人的第二層鄰居， 依此類推。那么層級(jí)越高（即越近)的鄰居，它滿足協(xié)作要求的可能性越大。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法實(shí)質(zhì)上是一種以空間換時(shí)間的技術(shù)，它在實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，必須存儲(chǔ)產(chǎn)生過(guò)程中的各種狀態(tài)，其空間復(fù)雜度要大于其他算法，故動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法比較適合多機(jī)器人的全局路徑規(guī)劃。

孫茂相等人[18]提出了最優(yōu)控制與智能決策相結(jié)合的多移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃方法。其首先構(gòu)造一個(gè)以各機(jī)器人最優(yōu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)據(jù)庫(kù)為核心的實(shí)時(shí)專家系統(tǒng)， 在離線狀態(tài)下完成; 然后各機(jī)器人在此專家系統(tǒng)的支持下， 以最優(yōu)規(guī)劃策略為基礎(chǔ)， 采用速度遷移算法， 自主決定其控制。該方法擁有較好的穩(wěn)定性與復(fù)雜度。焦立男等人[19]提出的基于局部傳感和通信的多機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃框架較好地解決了多機(jī)器人路徑規(guī)劃在局部在線規(guī)劃的系統(tǒng)框架問(wèn)題。沈捷等人[20]提出了保持隊(duì)形的多移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃。以基于行為的導(dǎo)航算法為基礎(chǔ)，把機(jī)器人隊(duì)列的運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分為正常運(yùn)動(dòng)、避障和恢復(fù)隊(duì)形三個(gè)階段。在避障階段，引入虛擬機(jī)器人使隊(duì)形保持部分完整;當(dāng)隊(duì)形被嚴(yán)重打亂時(shí)，規(guī)劃?rùn)C(jī)器人的局部目標(biāo)位姿使隊(duì)列快速恢復(fù)隊(duì)形。其算法重點(diǎn)為避障機(jī)器人進(jìn)入避障狀態(tài)，暫時(shí)脫離隊(duì)列，并以虛擬機(jī)器人代替避障機(jī)器人。

2 多機(jī)器人避碰和避障

避障和避碰是多機(jī)器人路徑規(guī)劃研究中需要考慮的重點(diǎn)問(wèn)題之一。避障和避碰主要討論的內(nèi)容有防止碰撞；沖突消解、避免擁塞；如何避免死鎖。在路徑規(guī)劃中常見(jiàn)的多機(jī)器人避障方法[21]有主從控制法、動(dòng)態(tài)優(yōu)先法（建立在機(jī)器人之間的通信協(xié)商上）、交通規(guī)則法、速率調(diào)整法，以及障礙物膨脹法、基于人工勢(shì)場(chǎng)的方法等。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于多機(jī)器人避障展開(kāi)的研究還不是很多，比較典型的有徐潼等人[22]以Th.Fraichard的思想為基礎(chǔ)，擴(kuò)充并完善了路徑/速度分解方案來(lái)協(xié)調(diào)多機(jī)器人，設(shè)立集中管理agent進(jìn)行整體規(guī)劃，為每個(gè)機(jī)器人規(guī)劃路徑；并根據(jù)優(yōu)先級(jí)規(guī)則對(duì)運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行分布式規(guī)劃以避免機(jī)器人間的沖突。周明等人[23]提出分布式智能避撞規(guī)劃系統(tǒng)，將原來(lái)比較復(fù)雜的大系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為相對(duì)簡(jiǎn)單的子系統(tǒng)問(wèn)題，由各智能機(jī)器人依據(jù)任務(wù)要求和環(huán)境變化， 獨(dú)立調(diào)整自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，完成任務(wù)的分布式智能決策體系結(jié)構(gòu)。任炏等人[24]提出了基于過(guò)程獎(jiǎng)賞和優(yōu)先掃除的強(qiáng)化學(xué)習(xí)多機(jī)器人系統(tǒng)的沖突消解方法。該算法能夠顯著減少?zèng)_突，避免死鎖，提高了系統(tǒng)整體性能。歐錦軍等人[25]提出了通過(guò)調(diào)整機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)速度實(shí)現(xiàn)多機(jī)器人避碰，將避碰問(wèn)題轉(zhuǎn)換為高維線性空間的優(yōu)化問(wèn)題， 并進(jìn)一步將其轉(zhuǎn)換為線性方程的求解。該方法的缺點(diǎn)是系統(tǒng)的復(fù)雜度較高、計(jì)算量太大。

人工勢(shì)場(chǎng)方法的特點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)潔、實(shí)時(shí)性強(qiáng)、便于數(shù)學(xué)描述，且適合于多自由度機(jī)器人環(huán)境，但容易產(chǎn)生抖動(dòng)和陷入局部極小。為了克服其缺點(diǎn)，景興建等人[26]提出了人工協(xié)調(diào)場(chǎng)的方法，在傳統(tǒng)排斥力場(chǎng)中增加一個(gè)協(xié)調(diào)力，并將吸引力、排斥力和協(xié)調(diào)力與局部環(huán)境下機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)要求結(jié)合起來(lái)，有效地保證機(jī)器人的安全性，提高機(jī)器人在復(fù)雜動(dòng)態(tài)環(huán)境下行為決策的準(zhǔn)確性和魯棒性。

3 多機(jī)器人協(xié)作和協(xié)調(diào)機(jī)制

多機(jī)器人間的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)[27~31]是多機(jī)器人路徑規(guī)劃的關(guān)鍵，也是多機(jī)器人與單機(jī)器人路徑規(guī)劃相區(qū)別的根本所在。多機(jī)器人系統(tǒng)在復(fù)雜動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)環(huán)境下，由于受到時(shí)間、資源及任務(wù)要求的約束，需要在有限時(shí)間、資源的情況下進(jìn)行資源分配、任務(wù)調(diào)配、沖突解決等協(xié)調(diào)合作問(wèn)題，而機(jī)器人間的協(xié)調(diào)與協(xié)作，能夠大大地提高整個(gè)系統(tǒng)的效率和魯棒性，成為系統(tǒng)完成控制或解決任務(wù)的關(guān)鍵。

目前已有的協(xié)調(diào)方式分為集中式、分布式和混合式三種。在集中式協(xié)調(diào)中，集中規(guī)劃器詳細(xì)地規(guī)劃出每個(gè)機(jī)器人的動(dòng)作，通常的做法是將多個(gè)機(jī)器人看做一個(gè)多自由度的機(jī)器人進(jìn)行規(guī)劃；而分布式協(xié)調(diào)規(guī)劃中，機(jī)器人之間進(jìn)行合作，將一個(gè)任務(wù)分成多個(gè)子任務(wù)，根據(jù)各自的特點(diǎn)完成不同的子任務(wù)，從而共同完成總?cè)蝿?wù)；混合式協(xié)調(diào)是集中式和分布式混合在一起的形式。

多機(jī)器人間典型的協(xié)調(diào)方法[32]有合同網(wǎng)協(xié)議[33]、黑板模型、結(jié)果共享的協(xié)同方法、市場(chǎng)機(jī)制。近年來(lái)強(qiáng)化學(xué)習(xí)在多機(jī)器人協(xié)作方面也得到很好的應(yīng)用，陳雪江[32]在基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的多機(jī)器人協(xié)作方面展開(kāi)了研究，提出了多智能體協(xié)作的兩層強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法來(lái)求解在多智能體完全協(xié)作、有通信情況下的協(xié)作問(wèn)題。其主要通過(guò)在單個(gè)智能體中構(gòu)筑兩層強(qiáng)化學(xué)習(xí)單元來(lái)實(shí)現(xiàn)：第一層強(qiáng)化學(xué)習(xí)單元負(fù)責(zé)學(xué)習(xí)智能體的聯(lián)合任務(wù)協(xié)作策略；第二層強(qiáng)化學(xué)習(xí)單元負(fù)責(zé)學(xué)習(xí)在本智能體看來(lái)是最有效的行動(dòng)策略。陳偉等人[34]提出基于多目標(biāo)決策理論的多機(jī)器人協(xié)調(diào)方法；通過(guò)對(duì)環(huán)境的拓?fù)浣＃瑥幕谛袨榈臋C(jī)器人學(xué)角度出發(fā)，對(duì)任務(wù)進(jìn)行分解并設(shè)計(jì)目標(biāo)行為，以多目標(biāo)行為決策理論作為決策支持，從而達(dá)到多機(jī)器人運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)的目的。

4 多機(jī)器人路徑規(guī)劃方(算)法的判優(yōu)準(zhǔn)則

通常評(píng)價(jià)機(jī)器人路徑規(guī)劃方(算)法的標(biāo)準(zhǔn)文獻(xiàn)[35]有正確性、時(shí)間/空間復(fù)雜度、并行性、可靠性、擴(kuò)展性、魯棒性和學(xué)習(xí)。而多機(jī)器人的路徑規(guī)劃除了以上一些衡量標(biāo)準(zhǔn)之外，還需要考慮整個(gè)系統(tǒng)的最優(yōu)化以及機(jī)器人間的協(xié)調(diào)性。

1)正確性 是分析算法的最基本的原則之一。一般來(lái)說(shuō)算法的正確性是指:在給定有效的輸入數(shù)據(jù)后，算法經(jīng)過(guò)有窮時(shí)間的計(jì)算能給出正確的答案。但在多機(jī)器人路徑規(guī)劃算法中，正確性主要指:路徑規(guī)劃算法要生成多個(gè)機(jī)器人協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的無(wú)碰安全路徑;這條路徑是優(yōu)化的。

2)安全性 一般指多機(jī)器人所生成的各路徑中節(jié)點(diǎn)與障礙物有一定的距離。但在實(shí)際的應(yīng)用背景下，有人認(rèn)為安全性可以從兩個(gè)方面來(lái)理解：a）狹義地講，它就是機(jī)器人在行走過(guò)程中所做的功。在一定的條件下，它與路徑長(zhǎng)度準(zhǔn)則是一致的。b）廣義地講，它是各種優(yōu)化條件加權(quán)綜合而得到的結(jié)果。

3)復(fù)雜度 一個(gè)算法的復(fù)雜性高低體現(xiàn)在該算法所需要的計(jì)算機(jī)資源的多少上面。所需要的資源越多，該算法的復(fù)雜性越高；反之，所需要的資源越少，該算法的復(fù)雜性就越低。算法的復(fù)雜性包括時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。

在多機(jī)器人的路徑規(guī)劃算法中，算法的復(fù)雜度分析顯得尤為重要。一般地，單機(jī)器人路徑規(guī)劃算法的時(shí)空復(fù)雜度已經(jīng)頗高，它們的數(shù)量級(jí)至少是O(n2)；多機(jī)器人的路徑規(guī)劃算法不僅是m-O(n2)(即m個(gè)機(jī)器人路徑規(guī)劃簡(jiǎn)單地疊加)，它們之間還存在著對(duì)運(yùn)動(dòng)空間競(jìng)爭(zhēng)的沖突，面對(duì)不斷變化的沖突的協(xié)調(diào)需要花費(fèi)大量的時(shí)間和空間。通常多機(jī)器人的路徑規(guī)劃算法與機(jī)器人的個(gè)數(shù)呈指數(shù)關(guān)系O(km×n2)（k為常數(shù)）。這對(duì)多機(jī)器人路徑規(guī)劃算法的時(shí)間/空間復(fù)雜度控制是一個(gè)很嚴(yán)峻的考驗(yàn)。

4)并行性 算法的并行性從算法設(shè)計(jì)、編寫(xiě)程序、編譯和運(yùn)行等多個(gè)不同的層次來(lái)體現(xiàn)。路徑規(guī)劃過(guò)程需要大量的計(jì)算，當(dāng)處理的環(huán)境比較復(fù)雜，機(jī)器人工作的環(huán)境過(guò)于緊湊，尤其是機(jī)器人數(shù)量很多時(shí)，算法的時(shí)間/空間復(fù)雜度勢(shì)必會(huì)成為算法效率的關(guān)鍵。因此，在算法設(shè)計(jì)和運(yùn)行上的并行性是通常考慮的方法。對(duì)多個(gè)機(jī)器人的路徑規(guī)劃盡量采用分布式多進(jìn)程的規(guī)劃?rùn)C(jī)制，以實(shí)現(xiàn)每個(gè)機(jī)器人路徑規(guī)劃的并行性。

5)可靠性 把多個(gè)機(jī)器人及其工作環(huán)境看成是一個(gè)系統(tǒng)，多機(jī)器人處于它們各自的起始點(diǎn)時(shí)，稱該系統(tǒng)處于初始狀態(tài)；當(dāng)它們處于各自的目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，稱該系統(tǒng)處于目標(biāo)狀態(tài)。多機(jī)器人的路徑規(guī)劃就是在該系統(tǒng)的這兩個(gè)狀態(tài)間建立一串合理的狀態(tài)變遷。這一狀態(tài)變遷過(guò)程可能會(huì)歷經(jīng)許多狀態(tài)，如果在狀態(tài)變遷過(guò)程中，路徑規(guī)劃算法控制不好各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系，就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)紊亂，出現(xiàn)機(jī)器人間的碰撞、找不到路徑等惡性后果，使任務(wù)失敗。所以這就對(duì)算法的可靠性和完備性提出了挑戰(zhàn)。為了很好地克服這一困難，需要對(duì)系統(tǒng)的各種可能狀態(tài)建模，分析它們相互間的關(guān)系，建立有限狀態(tài)自動(dòng)機(jī)模型或Petri網(wǎng)模型，并以此為指導(dǎo)，按照軟件工程的思想，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)乃惴ㄝ斎雭?lái)對(duì)算法的可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)。

6)可擴(kuò)展性 在多機(jī)器人的路徑規(guī)劃算法中，可擴(kuò)展性主要是指一種路徑規(guī)劃算法在邏輯上，或者說(shuō)在實(shí)現(xiàn)上能否容易地從2D空間擴(kuò)展到3D空間，從低自由度擴(kuò)展到高自由度，從較少的機(jī)器人數(shù)到更多的機(jī)器人數(shù)。可擴(kuò)展性在各種路徑規(guī)劃算法之間沒(méi)有一種量的比較標(biāo)準(zhǔn)，只能從實(shí)際的具體情況出發(fā)、從對(duì)環(huán)境描述的適宜程度出發(fā)、從算法解決這一問(wèn)題的復(fù)雜度出發(fā)、從算法本身的自適應(yīng)出發(fā)等來(lái)考慮。

7)魯棒性和學(xué)習(xí) 魯棒性對(duì)于多機(jī)器人系統(tǒng)非常重要。因?yàn)樵S多應(yīng)用，如路徑規(guī)劃要求連續(xù)的作業(yè)、系統(tǒng)中的單個(gè)機(jī)器人出現(xiàn)故障或被破壞，要求機(jī)器人利用剩余的資源仍然能夠完成任務(wù)。學(xué)習(xí)是在線適應(yīng)特定的任務(wù)。雖然通用的系統(tǒng)非常有用，但將它用于特定應(yīng)用上時(shí)，通常需要調(diào)整一些參數(shù)。具有在線調(diào)整相關(guān)參數(shù)的能力是非常吸引人的，這在將體系結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移到其他應(yīng)用時(shí)可以節(jié)省許多工作。尤其是多機(jī)器人系統(tǒng)中機(jī)器人的自身學(xué)習(xí)和相互間的學(xué)習(xí)能夠大大提高整個(gè)系統(tǒng)的效率和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

8）最優(yōu)化 對(duì)動(dòng)態(tài)環(huán)境有優(yōu)化反應(yīng)。由于有些應(yīng)用領(lǐng)域涉及的是動(dòng)態(tài)的環(huán)境條件，具有根據(jù)條件優(yōu)化系統(tǒng)的反應(yīng)能力成為能否成功的關(guān)鍵。

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，國(guó)內(nèi)外研究者在多機(jī)器人路徑規(guī)劃取得了一些成果，但是在協(xié)作、學(xué)習(xí)、通信機(jī)制等方面仍面臨很大的困難和不足。如何進(jìn)一步提高機(jī)器人間的協(xié)調(diào)性，增強(qiáng)機(jī)器人自身以及相互間的學(xué)習(xí)以提高多機(jī)器人系統(tǒng)的效率和魯棒性都有待深入研究。近年來(lái)無(wú)線通信技術(shù)得到長(zhǎng)足發(fā)展，但在目前的技術(shù)條件下，在多機(jī)器人系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)所有機(jī)器人之間的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)實(shí)時(shí)通信還有較大困難，這也是大多數(shù)多機(jī)器人系統(tǒng)仍然采用集中通信方式的主要原因。因此，如何降低多機(jī)器人系統(tǒng)對(duì)通信速度的依賴程度也是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。

總之，多機(jī)器人路徑規(guī)劃設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)是一項(xiàng)極其復(fù)雜的系統(tǒng)工程，展望其能在結(jié)合計(jì)算智能方法，如差分進(jìn)化、遺傳算法、粒子群算法、免疫算法、模糊邏輯算法、BP網(wǎng)絡(luò)、人工勢(shì)場(chǎng)的改進(jìn)、模擬退火和環(huán)境建模方法等方面取得新的突破。

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第6篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

【關(guān)鍵詞】交通建模；路阻函數(shù)；參數(shù)標(biāo)定

1 路阻函數(shù)的作用

路阻函數(shù)包括路段和節(jié)點(diǎn)兩部分。

路段流量延誤函數(shù)，用于反映不同等級(jí)道路隨著路段車流量增加，行程時(shí)間延誤的增長(zhǎng)規(guī)律。

節(jié)點(diǎn)的控制延誤及轉(zhuǎn)向排隊(duì)延誤是行程時(shí)間延誤中重要部分，是城市模型有別于公路模型的主要區(qū)別。在出行時(shí)間中，節(jié)點(diǎn)的延誤占有一定比重，特別是當(dāng)節(jié)點(diǎn)擁擠或阻塞時(shí)，節(jié)點(diǎn)延誤可能會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)路段行駛時(shí)間，因此必須對(duì)路阻函數(shù)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)延誤的修正。當(dāng)轉(zhuǎn)向在網(wǎng)絡(luò)的連線之間發(fā)生時(shí)，大部分規(guī)劃軟件程序允許用戶應(yīng)用限制規(guī)則、處罰和延遲等。

2 路阻函數(shù)的模型使用階段

出行分布階段常用的重力模型方法被吸引來(lái)的交通量是與小區(qū)之間的距離有關(guān)。吸引力隨著出行時(shí)間降低的變化趨勢(shì)的規(guī)律，一方面與出行的目的有關(guān)，另一方面與出行的方式有關(guān)。描述這種趨勢(shì)的就是阻力函數(shù)。

方式選擇階段常用的Logit模型方法，基于出行距離、車輛擁有條件、出行費(fèi)用、出行時(shí)間、舒適度、可達(dá)性等條件。不同方式的延誤時(shí)間，影響方式之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。

交通分配階段流量延誤函數(shù)是影響車輛隨著路段分配流量增加選擇路徑的主要依據(jù)。依據(jù)查詢道路網(wǎng)的最短行程時(shí)間判斷出行路徑的選擇。

3 節(jié)點(diǎn)路段化延誤函數(shù)構(gòu)建

在交通分配模型中，采用的路段流量延誤函數(shù)模型有BPR函數(shù)、Akcelik函數(shù)、錐形擁堵函數(shù)以及IITRP函數(shù)。

交通模型中通過(guò)在節(jié)點(diǎn)進(jìn)口道添加延誤函數(shù)的查詢索引，將節(jié)點(diǎn)處的控制延誤和停車延誤引入到交通分配中。節(jié)點(diǎn)流量延誤函數(shù)的形式一般分為兩種：一種是根據(jù)城市交通調(diào)查統(tǒng)計(jì)的按照相交道路等級(jí)分類的節(jié)點(diǎn)平均延誤（分級(jí)式節(jié)點(diǎn)延誤），以表格的形式存儲(chǔ)；另一種是根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)回歸得到的節(jié)點(diǎn)流量延誤函數(shù)（聯(lián)動(dòng)式節(jié)點(diǎn)延誤），以函數(shù)方程的形式存儲(chǔ)。

基于對(duì)模型精度、數(shù)據(jù)處理難易程度、后期維護(hù)的考慮，構(gòu)建延誤函數(shù)型式如下式。其中路段延誤參考BPR函數(shù)型式，交叉口延誤則按照分段函數(shù)的型式。

d―總的延誤時(shí)間；

D―路段流量延誤；

I―節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)向延誤；

Ti―路段零流時(shí)間；

αβ―參數(shù)值；

x―路段流量；

i―分類分轉(zhuǎn)向延誤調(diào)查數(shù)值。

4 調(diào)查及參數(shù)標(biāo)定

4.1 調(diào)查方法

路段車輛延誤調(diào)查的方法主要有跟車法、觀測(cè)法、路段調(diào)查法等幾種，根據(jù)構(gòu)建的延誤函數(shù)型式，路段延誤與節(jié)點(diǎn)延誤分開(kāi)計(jì)算，因此路段延誤采用路段調(diào)查法。

調(diào)查節(jié)點(diǎn)延誤的方法主要有停車時(shí)間法和行程時(shí)間法，根據(jù)構(gòu)建的延誤函數(shù)型式，節(jié)點(diǎn)延誤滿足與相交道路等級(jí)相關(guān)的控制延誤和停車延誤即滿足要求，因此調(diào)查采用停車時(shí)間法。

4.2 參數(shù)標(biāo)定

通過(guò)對(duì)交通流規(guī)律的定性判斷，可以得出兩條基本結(jié)論：

（1）在同樣的道路負(fù)荷度下，單位長(zhǎng)度高等級(jí)道路上的行駛時(shí)間短，這種差異性在負(fù)荷度越大的情況下越明顯。

（2）T=f（V/C）的函數(shù)曲線形狀向上彎曲，在BPR函數(shù)中的數(shù)學(xué)條件可以描述為β>1。

本文結(jié)合實(shí)際工作，提出了微觀擬合、宏觀校核的兩層次參數(shù)標(biāo)定方法，宏觀層次的工作主要是參數(shù)的校核，利用微觀層次擬合的特性參數(shù)進(jìn)行交通分配計(jì)算，得出城市的機(jī)動(dòng)車出行宏觀指標(biāo)如平均出行時(shí)耗、出行距離以及總體交通負(fù)荷度狀況等等，通過(guò)對(duì)宏觀指標(biāo)的校核來(lái)調(diào)整微觀參數(shù)的選取。

在參數(shù)標(biāo)定工作流程中以下三個(gè)環(huán)節(jié)是整個(gè)工作的重點(diǎn)和難點(diǎn)：

（1）調(diào)查數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度的保證；

（2）微觀層次參數(shù)標(biāo)定；

（3）宏觀層次模型參數(shù)的校核。

5 軟件平臺(tái)處理方式

在交通規(guī)劃軟件TransCAD中，節(jié)點(diǎn)延誤以定義全局的轉(zhuǎn)向懲罰的形式給出，為確定值。在交通規(guī)劃軟件Emme中，節(jié)點(diǎn)延誤根據(jù)具體節(jié)點(diǎn)調(diào)用的延誤函數(shù)計(jì)算延誤值，延誤函數(shù)的形式可以是分級(jí)式，也可以是聯(lián)動(dòng)式；同時(shí)可以相交道路等級(jí)的不同進(jìn)行較為細(xì)致的分級(jí)。

6 濟(jì)南市參數(shù)標(biāo)定及校驗(yàn)

（1）路段延誤函數(shù)

經(jīng)過(guò)對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)的觀測(cè)處理，得到了近350個(gè)路段流量數(shù)據(jù)和1600個(gè)道路瞬時(shí)車速數(shù)據(jù)。根據(jù)奇異數(shù)據(jù)排除原則，將奇異數(shù)據(jù)排查以后，共得到1800條數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)擬合以標(biāo)定模型參數(shù)。

標(biāo)定基本思路如下：

令 ， ，根據(jù)BPR函數(shù)的形式可以得到：

其中，V―路段機(jī)動(dòng)車流量；

C―路段機(jī)動(dòng)車通行能力；

T―路段機(jī)動(dòng)車行駛時(shí)間；

T0―路段機(jī)動(dòng)車自由行駛時(shí)間。

根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)分析及國(guó)內(nèi)外參數(shù)值得參考，最終結(jié)合濟(jì)南市實(shí)際道路情況，建立7個(gè)BPR函數(shù)。

圖2不同等級(jí)道路BPR函數(shù)曲線擬合圖

（2）節(jié)點(diǎn)延誤

圖3 交叉口延誤測(cè)算匯總

經(jīng)過(guò)對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)的處理分析，最終得到各登記道路節(jié)點(diǎn)各轉(zhuǎn)向延誤時(shí)間。

（3）參數(shù)校驗(yàn)

分布檢驗(yàn)

在出行分布校核中，判斷模型標(biāo)定參數(shù)的精度，通常采用卡方檢驗(yàn)。即需要檢查模型得到的出行距離分布曲線與實(shí)際調(diào)查得到的出行距離曲線之間的一致性，得到的卡方值與臨界值進(jìn)行比較，卡方值越小，說(shuō)明模型標(biāo)定的結(jié)果越符合實(shí)際情況。

運(yùn)用該方法對(duì)濟(jì)南市的出行分布模型進(jìn)行校核，可以看出，現(xiàn)狀出行分布模型計(jì)算出的出行量與實(shí)際調(diào)查所得到的出行量擬合較好。

分配檢驗(yàn)

小客車分配路段流量與路段核查線調(diào)查小客氣流量對(duì)比R2值為0.97，達(dá)到了擬合現(xiàn)狀小客車流量的精度要求。

通過(guò)對(duì)核查線上路段流量與分配小汽車流量的絕對(duì)誤差分析，發(fā)現(xiàn)支路以上等級(jí)的核查線路段流量與分配流量的絕對(duì)誤差值約為10.4%，所有核查線路段流量與分配流量的絕對(duì)誤差值約為12.8%。

參考文獻(xiàn)

[1]TransCAD交通需求模型.

[2]Travel Forecasting Model CalibrationReport.

第7篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

關(guān)鍵詞：蟻群算法；數(shù)學(xué)模型；流程

中圖分類號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2013）35-8055-03

1 蟻群算法概述

通過(guò)對(duì)社會(huì)性動(dòng)物（蟻群、鳥(niǎo)群、蜂群等）的自組織行為進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，雖然它們的能力和智能都很低，但是它們能通過(guò)相互協(xié)調(diào)、分工、合作來(lái)最好最快地完成覓食、遷徙等復(fù)雜行為，比如說(shuō)蟻群，能夠在沒(méi)有任何先知條件下找到從蟻穴到食物源的最短路徑，而且有能力隨著環(huán)境的變化而變化，搜索到新的最短路徑。因此這些行為引來(lái)越來(lái)越多研究者關(guān)注，通過(guò)對(duì)這種行為進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和仿真，演化成許多解決傳統(tǒng)復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的新方法，也就是群智能算法。蟻群算法是群智能理論研究領(lǐng)域中的一種主要的算法，其是模擬螞蟻群落食物采集過(guò)程而產(chǎn)生的搜索算法，并成功應(yīng)用于許多離散優(yōu)化問(wèn)題。

20世紀(jì)90年代意大利學(xué)者Dorigo M等人提出蟻群算法[1]，其靈感來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活中單個(gè)螞蟻的能力和智能很低，但在自然界螞蟻的覓食過(guò)程中，蟻群總是能在遇到障礙物時(shí)選擇較短路徑，尤其是它們?cè)跊](méi)有任何先知條件下可以找到從蟻穴到食物源的最短路徑。并且在周圍的環(huán)境發(fā)生改變的情況下，蟻群也能很快找到新的最短路徑。原來(lái)當(dāng)螞蟻經(jīng)過(guò)一個(gè)還沒(méi)有走過(guò)的路口時(shí)，會(huì)隨機(jī)的挑選一條路徑前進(jìn)，并且在經(jīng)過(guò)的路上分泌一種稱為信息素的化學(xué)物質(zhì)，而且還能夠感知其存在和濃度。越多螞蟻經(jīng)過(guò)的路徑上的信息素越濃，其它螞蟻就會(huì)向信息素濃度高的地方靠近[2]。于是，螞蟻經(jīng)過(guò)越多的路徑，后來(lái)的螞蟻選擇的概率就越大。由于信息素具有揮發(fā)性，距離較短路徑上的信息素濃度較高，距離較長(zhǎng)路徑上的信息素濃度隨著時(shí)間會(huì)漸漸減弱。如此不斷循環(huán)，就可以找到最短路徑。

螞蟻算法是一種群智能優(yōu)化算法，由于其引入了正反饋和并行機(jī)制，該算法具有自主搜索能力，魯棒性強(qiáng)，不需要人工干預(yù)，容易與其他方法相結(jié)合。雖然螞蟻算法的理論基礎(chǔ)薄弱，但其發(fā)展迅速，問(wèn)世以來(lái)就解決了許多實(shí)際問(wèn)題，比如旅行商問(wèn)題、二次規(guī)劃、車輛路徑問(wèn)題、車間作業(yè)調(diào)度問(wèn)題、圖像處理等優(yōu)化問(wèn)題，具有廣闊的應(yīng)用前景，并成為前沿性課題和研究熱點(diǎn)。

2 蟻群算法的原理

在蟻群算法中，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)螞蟻覓食的群體行為，將真實(shí)螞蟻抽象為人工螞蟻，具有如下特點(diǎn)[1]：

① 能夠像真實(shí)螞蟻一樣在經(jīng)過(guò)的路徑上留下信息素，而且使信息素隨著時(shí)間揮發(fā)，在選擇路徑時(shí)不會(huì)被前面人工螞蟻留存的信息所局限。

② 人工螞蟻并不能處在連續(xù)的空間，而是離散的空間，所以它們的運(yùn)動(dòng)也是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換。

③ 人工螞蟻具有一定的智能，可以從問(wèn)題的特征中得到啟發(fā)，依據(jù)規(guī)率而不是僅僅靠概率搜索最優(yōu)路徑。

蟻群算法包括基本蟻群算法（AS）、蟻群系統(tǒng)（ACS）、最大-最小螞蟻系統(tǒng)、最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)。基本蟻群算法中每只人工螞蟻均獨(dú)立的搜索可行解，當(dāng)它到達(dá)一個(gè)未曾經(jīng)歷過(guò)的節(jié)點(diǎn)時(shí)，就會(huì)根據(jù)概率函數(shù)隨機(jī)地選擇繼續(xù)移動(dòng)的下一條路徑，并在該路徑上釋放信息素。選擇路徑短的螞蟻?zhàn)叩每欤?jīng)過(guò)的路徑上留下的信息素就多。如此不停地搜索，最優(yōu)解路徑上的信息素濃度會(huì)越來(lái)越高，會(huì)有更多的螞蟻選擇該路徑，而其他路徑由于信息素會(huì)隨著時(shí)間慢慢揮發(fā)，從而只有最優(yōu)解路徑的濃度最高，整個(gè)蟻群都會(huì)集中在該路徑上，并得到最優(yōu)解。圖1是一個(gè)基于蟻群算法的人工螞蟻系統(tǒng)搜索最短路徑的示例圖。

由上面示例可以看出，螞蟻算法是一種隨機(jī)搜索算法，其尋優(yōu)的過(guò)程包含兩個(gè)階段：一是適應(yīng)階段，初時(shí)信息素相同，隨著信息素不斷的積累，性能好的解的信息素濃度就高，性能不太好的解的信息素濃度就低。在初始情況信息不明的情況下，適應(yīng)階段會(huì)比較漫長(zhǎng)，影響了求優(yōu)的速度。二是協(xié)作階段，各個(gè)候選解之間不斷地進(jìn)行信息的交流，不斷地最優(yōu)解收斂。在適應(yīng)階段的基礎(chǔ)上，這個(gè)階段會(huì)較快速。

3 蟻群算法的數(shù)學(xué)模型

蟻群算法被成功地應(yīng)用于許多實(shí)際問(wèn)題，其中最著名的是解決旅行商問(wèn)題。在此以該問(wèn)題為例說(shuō)明基本蟻群算法的數(shù)學(xué)模型和實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

旅行商（TSP）問(wèn)題又稱為貨郎擔(dān)問(wèn)題，是最基本的路線問(wèn)題：當(dāng)有n個(gè)城市，一個(gè)旅行者由其中某一個(gè)需市作為起點(diǎn)出發(fā)，需要不重復(fù)地經(jīng)過(guò)所以結(jié)點(diǎn)后回到原點(diǎn)，求其最短路線。當(dāng)城市數(shù)等于24個(gè)時(shí)，只需要1s時(shí)間就可以計(jì)算完成，但隨著城市數(shù)增加，計(jì)算難度呈幾何級(jí)數(shù)增大，當(dāng)城市數(shù)增加到30個(gè)時(shí)，計(jì)算時(shí)間需要10年多，計(jì)算難度很大。在這里用蟻群算法來(lái)解決。城市個(gè)數(shù)用n表示，

2） 規(guī)定每只螞蟻選擇的城市必須是不曾到過(guò)的，只有到達(dá)過(guò)所有的城市后才到回到出發(fā)城市。所以在這里為每只螞蟻建立一個(gè)禁忌表tabuk（k=1，2，…，m），將第k只螞蟻訪問(wèn)過(guò)的城市放入禁忌表中，禁忌表不是固定不變的，隨著第k只螞蟻的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。

3） 每只螞蟻選擇要訪問(wèn)的下一個(gè)城門(mén)需要通過(guò)概率函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，概率函數(shù)并不是隨機(jī)的，而是與兩個(gè)城市間的距離和兩個(gè)城市間的信息素大小有關(guān)的。其概率選擇函數(shù)如式（2）。

[β]表示期望啟發(fā)式因子，反映螞蟻選擇路徑受啟發(fā)函數(shù)影響的大小。[β]值越大，啟發(fā)函數(shù)對(duì)螞蟻選擇路徑的影響越大，反之亦然。

隨著時(shí)間流逝，路徑上如果遺留的信息素太多就消弱啟發(fā)信息的作用，所以在每只螞蟻每訪問(wèn)完一個(gè)城市或者訪問(wèn)完所有城市后，需要更新信息素。其更新策略為：

5 蟻群算法的特點(diǎn)

通過(guò)分析蟻群算法原理并以實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用，可以得出其具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1） 具有分布式計(jì)算和正反饋機(jī)制特點(diǎn)。分布式計(jì)算能夠?qū)崿F(xiàn)多臺(tái)計(jì)算機(jī)同時(shí)計(jì)算，提高了求解速度；正反饋機(jī)制增強(qiáng)信息素的作用，能夠較快地搜索到優(yōu)化解，節(jié)省時(shí)間。

2） 魯棒性強(qiáng)，只需對(duì)模型稍作改動(dòng)，就可以對(duì)其他各類問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化。

3） 為了改善算法性能，較容易與其它啟發(fā)式算法結(jié)合使用。

4） 個(gè)體之間可以進(jìn)行信息交換，而且通信開(kāi)銷增較小。

雖然蟻群算法已應(yīng)用于許多實(shí)際問(wèn)題，而且具有許多優(yōu)點(diǎn)，但同樣也有缺陷：

1） 該算法的初階搜索時(shí)間較長(zhǎng)影響了搜索效率。這主要是因?yàn)椋诔跏紩r(shí)刻每條路徑上的信息素是一樣的，只有隨著時(shí)間的

增加，在信息正反饋的作用下，才能體現(xiàn)出各條路徑的差別最終求解較優(yōu)解。但這個(gè)過(guò)程一般需要的時(shí)間比較長(zhǎng)，尤其是在求解大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，占用時(shí)間很長(zhǎng)，影響了效率。

2） 該算法比較容易收斂到局部最優(yōu)解。這主要是因?yàn)檎答伒淖饔孟拢铀倭诵畔⑺氐某练e，當(dāng)還沒(méi)有找到全局最優(yōu)解時(shí)，所有個(gè)體就可能搜索到了完全一致的解，但這只是局部最優(yōu)解，而使算法無(wú)法再進(jìn)行進(jìn)一步的搜索。

盡管蟻群算法具有這樣的缺陷，但只要找到原因還是可以解決的，比如適當(dāng)增減信息素正反饋影響，與其它算法相結(jié)合等等。該文通過(guò)對(duì)蟻群算法的分析為后期對(duì)其改進(jìn)應(yīng)用提供了良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 段海濱.蟻群算法原理及其應(yīng)用[M] .北京：科學(xué)出版社，2005.

第8篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

【關(guān)鍵詞】無(wú)人天車 行走路徑優(yōu)化 障礙物避讓

1 引言

目前國(guó)內(nèi)無(wú)人天車市場(chǎng)剛剛興起，以自動(dòng)控制代替?zhèn)鹘y(tǒng)天車工操作天車日漸成為未來(lái)發(fā)展方向。無(wú)人天車多項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)均掌握在國(guó)外公司手中，其中包括天車行走路徑規(guī)劃和障礙物自動(dòng)避讓技術(shù)。天車行走路徑的規(guī)劃直接影響無(wú)人天車的工作效率和行車安全，是無(wú)人天車單體動(dòng)作的重要依據(jù)。

2 總體思路

結(jié)合現(xiàn)有技術(shù)積累和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，將自動(dòng)檢測(cè)技術(shù)、信息化技術(shù)相結(jié)合，通過(guò)對(duì)天車無(wú)人化自動(dòng)行走的深入研究、以及對(duì)無(wú)線通訊、設(shè)備狀態(tài)檢測(cè)、天車三維空間坐標(biāo)定點(diǎn)、障礙物信息采集、行走路徑規(guī)劃和天車設(shè)備動(dòng)作命令等核心技術(shù)的研究與突破，形成具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的無(wú)人天車行走最優(yōu)路徑解析系統(tǒng)，提升無(wú)人天車路徑規(guī)劃能力，杜絕錯(cuò)誤路徑選擇，提高無(wú)人天車工作效率，降低自動(dòng)行車安全風(fēng)險(xiǎn)。有力提升企業(yè)在應(yīng)用無(wú)人天車過(guò)程中的核心競(jìng)爭(zhēng)力。

3 系統(tǒng)構(gòu)成及實(shí)現(xiàn)

為了實(shí)現(xiàn)無(wú)人天車自動(dòng)運(yùn)行，并擁有最優(yōu)行走路徑，運(yùn)行高效流暢，提高無(wú)人天車工作效率。根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，按照安全第一、保證效率的方針，系統(tǒng)與一級(jí)PLC實(shí)時(shí)通訊，結(jié)合一級(jí)PLC系統(tǒng)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)信息采集的優(yōu)勢(shì)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模塊化編程，將整個(gè)系統(tǒng)分為若干個(gè)功能塊。由主程序開(kāi)始依次調(diào)用，以以太網(wǎng)通訊、設(shè)備狀態(tài)檢測(cè)、天車三維空間坐標(biāo)定點(diǎn)、障礙物信息采集、行走路徑規(guī)劃和天車設(shè)備動(dòng)作命令這一流程劃分系統(tǒng)模塊，系統(tǒng)流程圖如圖1所示。

系統(tǒng)采用Oracle數(shù)據(jù)庫(kù)來(lái)存儲(chǔ)與管理數(shù)據(jù)。Oracle數(shù)據(jù)庫(kù)可以很好地實(shí)現(xiàn)本系統(tǒng)對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)的頻繁訪問(wèn)，大流量的數(shù)據(jù)訪問(wèn)和及時(shí)的數(shù)據(jù)交換。數(shù)據(jù)庫(kù)設(shè)計(jì)之前，對(duì)每一個(gè)行走動(dòng)作均要給定唯一確定的ID。系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫(kù)包含五個(gè)數(shù)據(jù)表：設(shè)備狀態(tài)檢測(cè)數(shù)據(jù)表、天車三維空間坐標(biāo)定點(diǎn)數(shù)據(jù)表、障礙物信息數(shù)據(jù)表、行走路徑規(guī)劃數(shù)據(jù)表和天車設(shè)備動(dòng)作命令數(shù)據(jù)表。這五個(gè)表并不是獨(dú)立存在的，而是相互關(guān)聯(lián)的。天車三維空間坐標(biāo)定點(diǎn)數(shù)據(jù)表依賴于設(shè)備狀態(tài)檢測(cè)數(shù)據(jù)表而存在，行走路徑規(guī)劃數(shù)據(jù)表則隨障礙物信息數(shù)據(jù)表而變化，天車設(shè)備動(dòng)作命令數(shù)據(jù)表則完全基于其它四個(gè)表而存。

3.1圖形化界面顯示

將系統(tǒng)各個(gè)功能數(shù)據(jù)統(tǒng)一顯示在操作界面中，為中控人員提供數(shù)據(jù)依據(jù)，并實(shí)時(shí)監(jiān)控天車工作狀態(tài)，如圖2所示。

3.2設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)

無(wú)人天車自動(dòng)行走監(jiān)測(cè)主要依托大車編碼電纜、小車激光測(cè)距、主鉤高度編碼器和天車防撞傳感器，這四種設(shè)備的準(zhǔn)確可靠是天車自動(dòng)行走的重要安全保障和數(shù)據(jù)來(lái)源。本系統(tǒng)以50ms的頻率實(shí)時(shí)掃描這四種設(shè)備的工作狀態(tài)，并反饋到系統(tǒng)操作界面中。

3.3天車三維空間坐標(biāo)定點(diǎn)

以大車方向?yàn)閄軸、小車方向?yàn)閅軸、主鉤方向?yàn)閆軸、以庫(kù)區(qū)某一邊角為原點(diǎn)建立無(wú)人天車坐標(biāo)體系，通過(guò)以太網(wǎng)通訊從PLC系統(tǒng)獲取天車三維空間坐標(biāo)定點(diǎn)，經(jīng)實(shí)際位置和坐標(biāo)位置的地址轉(zhuǎn)換，計(jì)算出當(dāng)前天車位置坐標(biāo)和目標(biāo)位置坐標(biāo)，并計(jì)算出差值，為天車動(dòng)作提供動(dòng)作依據(jù)和目標(biāo)。

3.4障礙物數(shù)據(jù)信息

障礙物坐標(biāo)中標(biāo)示出天車將要行進(jìn)的路途中，需要避讓的障礙物坐標(biāo)，依據(jù)庫(kù)區(qū)現(xiàn)場(chǎng)情況，劃分障礙物類型，包括綠色行走通道、不可移動(dòng)障礙物、可移動(dòng)障礙物、臨時(shí)障礙物；依據(jù)天車工作狀態(tài)分為取卷、放卷。

3.5行走路徑規(guī)劃

依據(jù)障礙物坐標(biāo)，根據(jù)避讓規(guī)則，以天車行走路徑中所遇到的障礙物最近邊角位置為原點(diǎn)做直徑為1米的圓，天車沿圓的切線經(jīng)過(guò)，相切的點(diǎn)即為經(jīng)由路徑轉(zhuǎn)折點(diǎn)，由此生成的天車行走路徑即為天車行走路徑。

4 結(jié)語(yǔ)

第9篇：數(shù)學(xué)建模路徑規(guī)劃范文

一、校企合作平臺(tái)建設(shè)

實(shí)踐證明，同企業(yè)進(jìn)行可持續(xù)的深度合作，需要有高品質(zhì)的校企合作平臺(tái)做支撐。實(shí)踐教學(xué)基地是目前高校的主要校企合作平臺(tái)，各專業(yè)在實(shí)踐教學(xué)過(guò)程中充分地、有創(chuàng)意地運(yùn)用這類平臺(tái)進(jìn)行建設(shè)研究。淡化專業(yè)界定的開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室或開(kāi)放實(shí)訓(xùn)中心，不但可支撐相關(guān)專業(yè)的實(shí)踐教學(xué)，而且可扶持學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展。例如，集電子信息工程、飛行技術(shù)、航空設(shè)備維修和航空機(jī)電維修等專業(yè)需要，航空學(xué)院同安陽(yáng)通用航空等五家公司共同建設(shè)的電信通訊及設(shè)備維護(hù)開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室，這些實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)不僅可提升實(shí)驗(yàn)室教師的育人效果，也可提升實(shí)驗(yàn)室教師的科研水平和對(duì)行業(yè)的服務(wù)能力（設(shè)備維護(hù)檢修、原材料分析檢測(cè)、員工專業(yè)知識(shí)培訓(xùn)等）。研發(fā)項(xiàng)目和研究成果積淀（包括學(xué)生技能大賽成果），是此類實(shí)驗(yàn)室或?qū)嵱?xùn)中心建設(shè)的關(guān)鍵。與實(shí)踐教學(xué)基地配合，此類校企合作平臺(tái)可強(qiáng)化教師隊(duì)伍建設(shè)、課程建設(shè)和專業(yè)建設(shè)過(guò)程中企業(yè)的主導(dǎo)作用，從而不斷提升應(yīng)用技能型人才培養(yǎng)質(zhì)量。

二、依托校企合作平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)多種人才培養(yǎng)路徑并舉

為學(xué)生鋪就多種可能的成長(zhǎng)路徑，構(gòu)筑多層次發(fā)展空間，支持學(xué)生根據(jù)自身特點(diǎn)和發(fā)展志趣自主選擇學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)方式，以更好地適應(yīng)各地對(duì)人才的實(shí)際需求，形成其辦學(xué)特色：一是“冠名班”模式，即按冠名企業(yè)需要人才的知識(shí)和能力結(jié)構(gòu)，以企業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)或服務(wù)的流程，重新配置課程、制定教學(xué)計(jì)劃，以企業(yè)在線任務(wù)或在研項(xiàng)目，重新優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、調(diào)整教學(xué)方法，企業(yè)參與人才培養(yǎng)的全過(guò)程，校內(nèi)外教學(xué)資源合理配置、專兼職教師相互支撐，構(gòu)成一種特定的成長(zhǎng)路徑。二是“訂單式”模式，即依據(jù)用人訂單，確定企業(yè)所需人才需要哪些能力，圍繞這些能力確定需要開(kāi)設(shè)什么課（教什么）、用何種教學(xué)技術(shù)（怎么教）。這種定向培養(yǎng)構(gòu)成了另一種成長(zhǎng)路徑。學(xué)生畢業(yè)后可直接上崗就業(yè)，是這類成長(zhǎng)路徑的優(yōu)勢(shì)。

三、依托校企合作平臺(tái)，強(qiáng)化核心課程建設(shè)

確定一門(mén)或幾門(mén)專業(yè)核心課程，減少專業(yè)課的數(shù)量，降低專業(yè)課的剛性，通過(guò)對(duì)核心課程的深度學(xué)習(xí)，帶動(dòng)學(xué)生對(duì)專業(yè)知識(shí)和專業(yè)技能的理解和運(yùn)用，這是近年來(lái)專業(yè)建設(shè)中的新嘗試。依托校企合作平臺(tái)，整合學(xué)校和企業(yè)的相關(guān)教學(xué)資源，特別是企業(yè)文化和研發(fā)項(xiàng)目，專職教師與兼職教師聯(lián)手，對(duì)于專業(yè)核心課程的確定與強(qiáng)化教學(xué)，有可能取得新突破。

四、依托校企合作平臺(tái)，強(qiáng)化專業(yè)群建設(shè)

專業(yè)群有利于人才、技術(shù)和文化在校企之間雙向流轉(zhuǎn)、交融，因而有益于應(yīng)用技能型人才培養(yǎng)。如，美術(shù)學(xué)院和航空學(xué)院，聯(lián)手安陽(yáng)攬羽模型公司圍繞航模的研發(fā)與應(yīng)用開(kāi)展的此類探索，不但有可能提高學(xué)生的常規(guī)專業(yè)水平，而且有可能提升學(xué)生在航空模型運(yùn)動(dòng)領(lǐng)域里的職業(yè)能力與素養(yǎng)。又如，會(huì)同安陽(yáng)城市規(guī)劃設(shè)計(jì)院，建工學(xué)院的城鄉(xiāng)規(guī)劃專業(yè)與美術(shù)學(xué)院的環(huán)境藝術(shù)設(shè)計(jì)專業(yè)共同打造中的城鄉(xiāng)規(guī)劃設(shè)計(jì)，可以提升兩專業(yè)服務(wù)安陽(yáng)城鎮(zhèn)化建設(shè)的能力。顯然，利用校企合作平臺(tái)，尋求相關(guān)專業(yè)間交叉、融合的支撐點(diǎn)，是有意義的專業(yè)特色建設(shè)新探索。

五、依托校企合作平臺(tái)，強(qiáng)化第二課堂建設(shè)

研究結(jié)果證明，學(xué)生參與權(quán)威性技能大賽，有助于提升創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)業(yè)能力；學(xué)生獲取權(quán)威性職業(yè)資格證書(shū)，有助于拉近專業(yè)學(xué)習(xí)與職業(yè)發(fā)展的距離。筆者所在校的學(xué)生在數(shù)學(xué)建模、沙盤(pán)模擬經(jīng)營(yíng)、英語(yǔ)辯論等全國(guó)大學(xué)生賽事中均有不俗的表現(xiàn)，獲取會(huì)計(jì)證、教師資格證、網(wǎng)絡(luò)工程師等有影響的職業(yè)資格證書(shū)的數(shù)量逐年遞增。若圍繞權(quán)威性技能大賽，從參賽選題、設(shè)計(jì)方案到研發(fā)過(guò)程，充分契合企業(yè)需求，充分利用企業(yè)條件（包括研究經(jīng)費(fèi)），就能顯著提升學(xué)生參與技能大賽的興趣與水平；若能同企業(yè)充分合作，學(xué)生就可能獲得飛機(jī)駕駛執(zhí)照、航空設(shè)備維修及機(jī)電維修資格證一類更具影響力的職業(yè)資格。顯然，依托開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室和實(shí)踐教學(xué)基地，強(qiáng)化第二課堂教學(xué)（包括學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)）效果，專職教師和兼職教師各司其職、分工合作，共同輔助學(xué)生提升專業(yè)技能和職業(yè)素養(yǎng)，也是極有價(jià)值的特色專業(yè)建設(shè)探索。另外，加強(qiáng)校企合作平臺(tái)建設(shè)，可以給高校帶來(lái)多方面益處：一是可以豐富教學(xué)內(nèi)容，改善教學(xué)方法，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力；二是可以促進(jìn)學(xué)產(chǎn)研結(jié)合，給學(xué)校、企業(yè)、政府、學(xué)生等多方面帶來(lái)共贏。