高中數學的基本不等式精選(九篇)

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第1篇：高中數學的基本不等式范文

一、銜接初中不等式知識

高中不等式的教學要設置初高中數學課程的銜接，針對初中課程未涉及，課堂沒有學到但高中要運用的內容進行補充和講解，比如，一元二次不等式的解法教學。在高中數學課程安排上不局限于必修與選修的安排，有必要把解一元二次的不等式的教學從高中數學的必修五整合到必修一的教學后面，分離學習基本不等式和解不等式，讓學生提早地接觸不等式的教學，這樣既避免了必修一中復雜的、技巧性很強的不等式有關證明，還能夠保證學生后面學習函數模塊如何處理不等式的定義域、值域等問題。

下面的案例是放在高一函數不等式解法的教學中，主要服務于高中函數教學中用到的解不等式內容。例如，在進行一元二次不等式解法的講解中，教師首先要結合坐標軸和函數形式，給出一元二次方程、一元二次不等式、二次函數之間的關系，隨后，給出一元二次不等式的解答步驟，先把二次項系數化成正數，再解一元二次方程，根據一元二次方程的根，結合不等式符號的方向，寫出不等式的解集。以解不等式-3x2+6x>2為例，首先，通過觀察-3x2+6x>2不等式的形式，發現二次項系數為負數，故將其變形為二次項系數大于零的情形：3x2-6x+20，3>0，由此解得兩根是x1=3-33，x2=3+33，所以解得原不等式的解集是{x|3-33

二、注重課堂教學氛圍

筆者在實際教學中發現，很多學校由于教學時間緊張，明知不等式的教學內容非常重要，卻壓縮教學課時，把不等式的教學內容簡略地安插在函數教學中，簡單講解函數中遇到的不等式問題，使得教學效果大打折扣。從高中數學教師的視角來看現行不等式教學，首先，我們會發現不等式的課程內容比較單一，脫離實際生活，案例缺乏創新，忽視學生數學學習的培養，導致學生學習興趣下降，失去學習動力。其次，在學習過程中缺乏自主性學習，學生被動學習且方法停留在死記硬背層面，并沒有真正地做到全面考查和培養學生的目的。最后，通過多家學校不等式授課評比，我們會發現，平時的不等式課程內容繁雜且偏，學生不易理解，教師一般在教學過程中結合高考歷年考題進行總結講解，注重提分點的講解，一旦高考不等式出題方式稍有改變，學生很難做出應答。例如，解不等式x2+（a2+a）x+a3>0，對于這種含參數的不等式，學生一般可以將其等價化成不等式（x+a）（x+a2）>0。由于該不等式含有參數a，與平時的一般不等式有所區別，所以要進行分類討論。為了發揮學生學習主動性，開拓解題思維，將學生分組，進行討論解答。當-a>-a2時，當a=0時，當0

三、觀察推理論證過程

思維能力是數學學科能力的核心。因此，高中數學滲透的數學思想和養成數學思維方式能夠為以后的數學研究和邏輯思維問題提供很好的思路和捷徑，教師在傳授高中數學知識的同時更應該重視數學思想的滲透。把不等式中數學思想作為載體，對問題進行仔細觀察、比較、分析和抽象概括，學會巧妙運用類比、歸納和演繹這些方法進行推理，能夠運用準確的專業數學用語進行表述。在實際教學中，由于大多數的數學教師只注重課程內容的講述，并未做到數學思想的深入講解，使得學生缺乏培養解決問題的思路，追求死記硬背，很難在數學方面得到提高。因此，在不等式的教學中，教師要順應新課程改革的潮流，結合新課程改革的基本理念，在教學中要轉變教學觀念，同時，在不等式的教學中要重視數學思想的滲透與培養，開展探究性學習，提高創新意識，尤其要重視不等式與各個學科的聯系，加強不等式的應用。結合不等式的教學目標，巧用活用各種數學思想，通過觀察推理論證過程，培養學生的抽象思維能力，將難度問題盡量突破。例如，解答關于x的不等式：x2+（m-m2）x-m3>0，因楦錳饉研究的整體對象不適合用同一方法進行處理，這就需要化整為零，把參數m分為m>0或m

第2篇：高中數學的基本不等式范文

關鍵詞： 高中數學 常態復習課 有效性策略

高中數學在高考成績中占據很大的分量，由于數學內容大多具有抽象性和系統性，需要教師帶領學生復習。高中常態復習課的教學效率對于高中生數學知識的積累和數學能力的提高有著至關重要的作用?；诖?，本文主要闡述如何提高高中數學復習課的有效性，讓師生共同努力，為學生的高考鋪平道路。

一、把握復習重難點

1.把握復習重點

高中生應該根據教材和考試大綱確立自己的復習方向和目標，理解高中數學的重點知識，掌握常考點和易錯點。根據筆者的教學經驗，高考數學主要有如下主干內容：函數與導數；三角與向量；數列推理；解析幾何；立體幾何；不等式；概率、統計與算法等。從這幾年高考題的難易程度來看，三角函數、立體幾何、概率問題及數列推理問題都屬于重點且題目比較容易，是考生需要下工夫的主要內容。尤其是三角函數和數列推理兩個問題由于公式繁多，變形比較容易，因此這兩個部分屬于重點注意部分。筆者在講課時，以三角函數的“兩角和與差”公式為基礎延伸出不同類型題目的處理方法。而對于數列推理問題，筆者更是研究出一種以公式變形為突破口的思想方法。

2.突破復習難點

根據高考題目的難易程度而言，解析幾何、數列與不等式的綜合應用、函數導數的應用為難點。解析幾何以直線與圓、橢圓、拋物線、雙曲線的結合問題最棘手，也最讓學生頭痛。函數導數中涉及的函數與方程、不等式的綜合應用是難點內容，數列的綜合應用對學生的能力要求非常高，這些都應該是復習課的難點。

例如2014年福建省高考數學理科19，直線與雙曲線的結合問題。

已知雙曲線E：■-■=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為l■∶y=2x，l■=-2x.

（1）求雙曲線E的離心率；

（2）動直線l分別交直線l■，l■于A，B兩點（A，B分別在第一，四象限），且OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由。

二、以高考試題為目標

高三學生數學總復習的一大目標就是在高考中的良好發揮，所以平時以高考題作為標準無疑是最合適的。教師要以高考題難度及涉及面為研究對象，提高自主編寫的練習題的質量，爭取趨近于高考題目的質量。而學生需要在老師的指點下承擔更多的工作。具體說來包括以下三點。

1.總結高考題目

學生在大量研究歷年高考題目之后要學會對高考題目進行總結。很多教師都要求學生要自備錯題集，將錯題記錄并多看。這只是總結的一個方面，學生要在研究高考題目時摸透出題人的意圖，明確出題人的考核方法，更要明確各種題目中出題人所設的陷阱，將出題思路與學習重難點結合起來才能真正做好總結。

2.培養學習自主性

培養高中生自主學習的習慣，增強高中生的自主學習能力，就目前來講，還無法脫離教師的全面指導，需要老師從內因和外因兩個方面入手，給予學生自主學習的動力和信心，強化學生自主學習的效果，從而增強學生通過自主學習實現自我價值的成就感，在根本上提高學生的學習自主性。同時，加強同學間的合作交流，尤其是面臨高考的高三學子，在高中數學總復習時肯定是各有所長，所以讓學生自由結合取長補短也是一種極為重要的方法。這樣能使學生之間建立起互幫互助的關系，還能讓學生對自己的優勢更深入地進行鉆研，這無疑是高三學生復習數學的一大方法。

三、全局性把握并串聯知識點

全局性把握講解知識點是教師面臨的巨大挑戰。在學生參與數學總復習時，就不能僅僅把數學課當成復習課，要讓學生體會到學到了新的東西而不是一直在復習學過的知識。這就要求老師將課程安排得科學合理，將知識點串聯起來，應用于不同題目的講解中。

如函數是高中數學中的重要部分，在復習時可以函數為主線，串聯方程、不等式、數列、平面幾何、立體幾何、解析幾何等其他知識點，使之形成知識網絡，達到“以綱帶目，綱舉目張”的目的，加深學生對函數自身概念、性質的理解，達到與其他知識的融會貫通，擴大知識面，從而培養和提高學生分析問題、解決問題的能力。復習中也可以精選的高考試題為主線，對高考試題進行有序梳理，通過類比、分析、歸納等途徑，鞏固學生的邏輯思維，提高學生的反思能力。如“基本不等式”的教學中，可以分別選擇：（1）若對任意x>0，■≤a恒成立，求a的取值范圍；（2）已知函數F（x）=|lgx|，若a

四、學會舉一反三

在具體的數學復習課應用中，首先學生應積極歸納自己學過及發現的新規律，對其進行更深層次的理解和應用，實現對其的有效整合。比如對函數y=logax的性質的理解，學生可以經過畫圖像對其加強記憶。此外，還要注意對數學知識的分類總結與歸納，如《立體幾何》中面與面、面與線及線與線之間的關系理解，可組織學生展開積極討論，并由教師指導將其討論的重點放在角與距離及平行與垂直的關系方面，逐步將其繪制成一種體系或網絡，以此為線索進行后續的相關學習，進而提高學生的綜合應用能力；其次要學會歸納題型，新時期我們應該摒棄大量做題從而掌握數學方法的思想，數學題太多，“題海戰術”既累又沒重點，遠不如學生對類型題的歸納總結有效果，如對數列通項公式的求法，學生就沒有必要對這種類型的題不加選擇地大做特做，只需針對各種類型的題做一兩道，并及時總結方法和相關類型即可。在此基礎上形成對類型題“模式”的強化，然后進行舉一反三，加以靈活應用，碰到相似類型題即可迎刃而解。不但提高了做題效率，更是促進了學生綜合數學能力的提高，實現了數學復習課有效性的提高。

五、結語

數學是一門具有系統性和抽象性的應用型基礎學科，是在學生學過的基礎上對其進行積極有效的復習，對于學生對基礎知識和基本技能的掌握等有著至關重要的作用。高中數學的復習課是高三學生將所學數學知識融會貫通的必要路徑，也是學生從量變到質變的飛躍。因此，在高中數學復習中，教師必須積極采取措施，提高高中數學常態復習課的有效性。

參考文獻：

第3篇：高中數學的基本不等式范文

【關鍵詞】高中數學；探究式教學；變式教學

數學教學中發現，很多學生在思考問題時經常受一些條條框框的束縛，思維廣度不夠，經常陷入題海之中，得不到主動發展，不利于學生數學能力的提高。在高中數學教學中，運用變式教學，引導學生思維的發展，通過不斷的“變”，讓學生在不同的背景下探求知識間的內在聯系，使學生思維的高度一步步的提升。

一、變式教學的要求

數學變式教學首先要有針對性，如在概念教學時候，可以針對概念進行變式。在習題課時針對章節內容適當滲透數學思想方法，對重要題型進行變式，達到歸類總結的作用。在復習課時進行橫向聯系，縱向比較的變式。其次，變式教學要具有適用性。要根據教材要求，以及學生的接受程度，對題目進行適當的變式，變式要具有啟發性，要講究創新，這樣有助于激發學生的數學興趣，在探究中完成變式教學。

二、變式教學要突出“概念的內涵和外延”

數學概念是發展學生數學思維的要素，數學概念具有發展性，只有正確的理解和掌握了數學概念，才能有效地解決數學問題。變式教學是促進學生迅速、準確的掌握數學概念的重要途徑。對于有些數學概念，可能需要多層次的理解，這就需要教師設置多層次的變式，為學生分層理解設置好臺階。

案例1 “函數的單調性”的概念

基本概念 一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，區間I？哿A，若任意x1x2∈I，當x1

變式1 若存在x1x2∈I，當x1f（x2），則y=f（x）在區間I上不是單調增函數。

點評：非概念變式，有助于明確概念的外延。

變式2 函數y=f（x）在區間I上是單調增函數，若x1

點評：概念的非標準變式，加深對概念本質的認識。

變式3 函數y=f（x）在區間I上是單調增函數，若f（x1）

點評：變式2是由自變量到函數值，學生對函數值到自變量會產生自然的思考。此變式可謂是“更上一層樓”，對學生的思維能力要求較高，更可以對概念的理解產生深刻的影響。

三、變式教學要突出教材的地位

在高中教學中，教材是具有權威性和示范性的。變式教學要以經典習題為生長點，結合課本的習題，做到有源可溯，從而創造性的使用教材。特別是高三的復習課，應該充分挖掘教材中習題價值，使高三復習事半功倍。

古希臘著名數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中給出過一個結論：到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓。

數學語言：點A，B為兩定點，動點P滿足PA=λPB，當λ=1時，動點P的軌跡為直線；當λ≠1時，動點P的軌跡為圓，并稱之為阿波羅尼斯圓。

這個結論在蘇教版的高中數學教材上并沒有提及，但是在習題中，涉及到這個圓的問題卻有很多，如果教師能夠及時給出這個結論，勢必會在教學起到良好的效果。

點評：案例2是“阿波羅尼斯圓”中最基本問題，考查了用解析法探求軌跡問題，體現了解析幾何的魅力。經過化簡可以得到軌跡方程為（x+1）2+y2=4，其軌跡是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓。

改變案例2中的設問，可將試題設計成一道填空題。

變式4 （2013年江蘇高考）在平面直角坐標系xoy中，點A（0，3）直線l：y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在l上。

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使得MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍。

點評：這道題目的第2問中M點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，得出M點的軌跡方程后，M點還在圓C上，這樣此問題就轉化為兩個圓有公共點的問題。

變式5 已知點A（0，1），B（1，0），C（t，0），點D是直線AC上的動點，若AD≤2BD恒成立，求最小正整數t的值。

點評：將結論中的PA=λPB這個條件改為PA≥λPB（或PA≤λPB）且λ≠1，點P的軌跡又會變為圓內或圓外的部分，和直線結合，又會考查直線與圓的位置關系。

對教材習題進行恰當的變化，讓學生在“變”與“不變”中感悟數學的本質，發現數學規律；幫助學生在復雜的題目面前，能夠迅速的抽絲剝繭，探究本質，尋找到恰當的方法。

四、變式教學要突出“思維的螺旋式發展”

變式教學的目的之一是訓練學生的數學思維，提高數學能力，這就要求變式教學要由淺入深，具有一定的螺旋上升的空間。在高一高二教學變式中要重視基礎，不能所有問題全部拋出，走出“高一學生當高三教”的誤區，這樣學生的能力就會得到不斷的提升。

基本不等式的應用在江蘇高考中屬于C級要求，是高考重點考查內容。在基本不等式的概念教學中，要強調基本不等式成立的三個條件：正、定、等。

點評：“等”這個條件是學生做題中最容易忽視的一個。此題等號取不到，需要再結合函數的單調性來解決。

這三個變式，層層遞進，螺旋上升，其本質就是對基本不等式的使用條件有完整的認識。這三個變式還考查了學生類比推理的能力，有利于學生思維能力的進一步提升。

五、變式教學要突出“生本課堂”

新課程標準提出了“生本課堂”的理念，要求課堂教學要以學生的發展為本。要實現這一目標，在課堂教學時就必須要貼近學生，從學生的“最近發展區”入手。變式教學即是如此。

點評：這道題如果利用等差數列的通項公式和求和公式代入，就會得到a1，d與A，B，進而得出A，B之間的關系。從這個角度講，這道考查的也是定義及性質的應用，屬于基礎題。但大部分同學是采取的賦值法，對取特殊值來解決，這種方法也非常好，可惜很多同學繞在方程組里，沒有找到最終的關系。

變式教學可以讓教師引導學生從“變”的現象中發現數學“不變”的本質和規律，幫助學生將所學知識融會貫通，讓學生在變化中領略數學的樂趣?？傊抡n標下，教師要不斷更新觀念，做到因材施教，不斷完善和創新變式教學，幫助學生探究思維的培養，為學生學好數學打下堅實的基礎。

【參考文獻】

第4篇：高中數學的基本不等式范文

關鍵詞： 發散思維 發散點 高中數學教學 數量關系

“數學是思維的體操”.發散思維是具有多個思維指向、多種思維角度并能發現多種解答或結果的思維方式.在數學學習中，發散思維表現為依據定義、定理、公式和已知條件，思維朝著各種可能的方向擴散前進，不局限于既定模式，從不同的角度尋找解決問題的各種可能途徑.

傳統的教學模式注重傳授知識，忽略了對學生思維能力的培養.單調、陳舊的教學方法局限了學生的思維能力，導致學生思考問題片面，解決問題手法單一，產生思維的惰性和封閉性，缺乏創新意識.教師應努力把課堂變成訓練學生發散思維，培養其思維能力的場所.

恩格斯指出：“數學是數量的科學.”數學的對象主要是客觀世界的數量關系和空間形式.數量關系貫穿于數學問題始終.要學好數學必須掌握數學中大量的數量關系，因此可以以數量關系為發散點培養學生發散思維能力.

一、以函數數量關系為發散點，培養學生的發散思維能力

人們運用函數來描述客觀世界中普遍存在的某一數量關系，函數關系表現的是變量間嚴格的確定性的數量關系，我們可以函數數量關系為發散點，培養學生的發散思維能力.

例：已知a，b≥0且a+b=1，求a■+b■的最值.

分析：對于二元或多元函數的最值問題，我們常通過換元法化二元或多元為一元函數解決.本題我們把a■+b■轉化為一元二次式，以二次函數數量關系為發散點探求a■+b■的取值范圍，根據二次函數的圖像與性質易知二次函數的最值.

解法一和解法二，都是以函數數量關系為發散點求最值，只是選用的函數數量關系不同而已，教師通過引導、啟發學生主動思考、運用函數數量關系為發散點，合理聯想，有效培養了學生的發散思維能力.

二、以隱含在優美對稱中的數量關系為發散點，培養學生的發散思維能力

完成解法二后，我們再次回歸題目，很多同學直覺感受到了題目的對稱美.對稱性是數學美的最重要的特征，充分發掘題目的對稱美，讓學生發現隱含在優美對稱中的數量關系，以此為發散點得到解法三.

從隱含在優美對稱中的數量關系入手，將換元結果進行了簡化，從而得到一種簡潔優美的解法.在教學中，更要注意引導學生利用對稱美解決問題，進行數學創新，增強學生的發散思維能力.

三、以不等式的數量關系為發散點，培養學生的發散思維能力

由條件a、b≥0且a+b=1，有同學聯想到基本不等式，含有兩個變量的最值問題，有時候可以用基本不等式解決，于是嘗試從不等式的數量關系入手，解決本題.

以上解題過程中，挖掘題目中隱含的多種數量關系，以數量關系為發散點，從不同角度探究多種途徑解決問題，培養了學生的發散思維能力.

參考文獻：

[1]陳致宇，陳世權.認知思維的模糊性問題[J].模糊系統與數學，2002，16（1）：1-6.

[2]杜家棟，張玲麗.論數學的本質[J].中學數學研究，2004（1）.

第5篇：高中數學的基本不等式范文

1必修模塊的教學順序問題

《普通高中數學課程標準（實驗）》對必修個模塊的教學順序沒有作明確規定，必修個模塊的教學順序問題是高中數學教材試驗必須研究確定的在教材實驗中也出現了一些突出的問題，如某些地區連續三年按照不同的模塊順序（1234，1243，1423）進行教學對模塊順序，老師們發表了許多意見

江蘇省常州市教育局教研室孫福明指出：按照常規理解，教材必修1-應該是有順序的，而且這種順序應該體現編者的整體意圖和編者對高中數學的整體認識，但《課程標準》制訂組提出以數學1為基礎，其余4個模塊在不影響相關聯系和知識準備的條件下，學?？梢愿鶕W生的選擇和本校的具體情況進行安排，原則上沒有順序要求縱觀各地的教學順序，幾乎都回歸到老教材原有的以學科體系為主的順序，例如有些地方教學順序是必修1423，有些地方是必修1423等在教材體系方面，知識塊的前后位置不盡妥當，給教學帶來了不便，如三角知識安排在必修4及必修講授，但必修2立體幾何及平面解析幾何中都要用到三角知識；解三角形后移導致必修2中的立體幾何中對一般三角形的計算不能進行同時高一物理學科也必須用三角知識

為了解決必修個模塊的教學順序問題，許多老師作了深入的研究下面先考察個必修模塊的教學內容及教學內容之間的聯系

《數學1》包括集合、函數概念、冪函數、指數函數、對數函數，以及函數的應用集合是高中數學的基礎知識，為后續教學內容準備了集合語言和思考問題的觀點，為從集合、對應語言描述函數概念提供了準備（函數作為兩個數集之間的映射）；函數概念是基本而重要的概念，是學習某些具體函數的基礎冪函數、指數函數、對數函數是三類應用廣泛的基本初等函數

《數學2》包括立體幾何初步、解析幾何初步立體幾何初步部分，根據《課程標準》，要首先利用實物模型、計算機軟件觀察大量的空間圖形，認識基本幾何體及其簡單組合體的結構特征，能畫出空間圖形的三視圖、直觀圖，了解一些常見幾何體的表面積和體積的計算公式，學習點、線、面之間的位置關系解析幾何初步部分，根據《課程標準》，內容包括直線與方程、圓與方程以及空間直角坐標系的初步知識這些內容涉及直線、平面之間的垂直、平行，直線的傾斜角和斜率等有關圖形相互關系的討論，此前就必須準備有關角和三角函數的知識，立體幾何中有一些空間圖形計算問題會涉及三角函數和解三角形的知識

《數學3》包括算法初步、統計和概率的部分內容相對而言，老師們對算法、統計、概率的內容較為生疏，算法內容對于計算機知識也有一定的要求

《數學4》包括任意角的三角函數概念、平面向量、三角恒等變形其中三角部分內容包括三角函數概念、三角誘導公式，同角三角函數之間的關系，三角函數圖象，以及三角恒等變換等，為涉及角的問題準備了工具，應該安排在有關涉及角的知識教學之前；此模塊另一章內容是平面向量，涉及向量之間夾角的討論，應該安排在所需要的角的知識之后

《數學》包括解三角形、數列、不等式的初步知識解三角形知識需要有《數學4》中三角函數作基礎，數列內容主要包括等差數列和等比數列的內容，對于預備知識要求不高，但應該從函數的觀點去認識，不等式部分含有線性規劃內容，需要有《數學2》中直線方程的知識作準備

我們看到，在以上的教學內容中，集合屬于最基礎的概念；函數建立在集合概念基礎上，實際上是兩個數集之間的特殊對應關系；三角函數是一類特殊函數，涉及的圖形極其單純，就是任意角；向量就概念本身而言，也是非常簡單，但需要討論向量之間的關系，如兩個向量的和、差、數量積等，就要涉及向量之間的夾角，所以應該安排在學習三角函數的內容之后；立體幾何與解析幾何的內容都必須討論幾何圖形互相之間的位置關系，可以用三角函數和向量的工具；解三角形建立在兩個定理基礎上，必須在三角函數之后，并可應用于立體幾何與解析幾何的一些問題中；線性規劃以直線方程的知識為前提，必須安排在解析幾何初步之后；其他的內容（數列、不等式、算法、統計、概率）所需要的知識準備不多，可以相對比較靈活地安排在不同的位置，當然也會使能夠解決的問題范圍有所變化從上可知，個必修模塊之間有圖1所示的邏輯結構關系：

圖1

根據以上分析，如果按照必修模塊1234的順序進行教學，《數學2》教學涉及斜率、討論垂直、平行相互關系，需要三角函數的知識，就應該在需要的知識準備不夠時加以補充；另外，《數學3》的難點內容相對靠前了，而且把《數學1》、《數學4》和《數學》中一些聯系比較密切的內容分隔開了普遍認為，這不算是一種很理想的教學安排，隨著試驗的延續，許多試驗區不再采用此教學順序

必修個模塊的教學，比較好的順序是1423按照1423的模塊順序，在教完《數學1》后緊接著教學《數學4》、《數學》，從教學內容的聯系性看，可使函數相關的基礎知識內容相對比較集中；《數學4》提前，可以為后續內容（如《數學2》立體幾何初步，解析幾何初步，《數學》的解三角形）需要應用三角函數作好準備《數學》的另外兩章內容（“數列”和“不等式”）教學要求不高，學習難度也不大，安排在比較靠前的位置，有利于學生聯系函數知識，從函數的觀點來認識數列和不等式不等式是高中數學基礎中的基礎，在其他數學問題中有廣泛的應用《數學》中解三角形的知識是解決《數學2》中立體幾何的某些問題的必備知識，也為學習物理等創造條件但《數學》不等式中的線性規劃部分應該安排在《數學2》直線方程內容之后教學；《數學2》后移，適當縮短與后續課程中有關聯的知識的時間；《數學3》算法的內容一直沒有正式作為高中數學課程的內容，許多老師對于算法內容比較生疏統計和概率的內容對于老師也相對比較生疏教學時間后移，有助于老師有較充裕的時間用于對其內容的熟悉，也有利于學生對于知識的理解和掌握從試驗的情況看，大多數教師對這種順序是認同的

從參照現行大綱高中數學教科書相關內容的體系安排來看必修1423的教學順序安排，《全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）·數學》（必修）的各章內容依次是“集合與簡易邏輯，函數，數列，三角函數，平面向量，不等式，直線和圓的方程，圓錐曲線方程，排列、組合與二項式定理，概率，直線平面簡單幾何體，”這與以上必修模塊按必修數學1423的順序比較接近，說明這是一種比較穩妥的安排

當然，按照1423的順序，《數學3》放在個模塊最后，產生的一個突出問題是對于《課程標準》提出的要把算法思想貫穿在整個課程中的設想不能很好地落實，應該在后續的教學中設法加以彌補鑒于此，有意見認為可以調整最后的2、3模塊順序，按照必修數學1432的順序進行教學，這也是一種值得考慮的方案當然，也可以考慮把算法的基本內容提前教學來解決此問題

2模塊化教材結構問題

除了模塊順序的選擇問題以外，老師們還對改變高中課程的模塊化設置和調整教學內容安排體系提出了意見

江蘇省常州市教育局教研室孫福明指出：模塊教學難以使青年教師系統、整體、有一定高度地把握教材，客觀上影響青年教師培養模塊教學關注了一般學生的學習狀態，但對優秀學生來說，淺嘗輒止則會影響他們思維品質的提高，對這部分學有余力的學生來講，他們希望對知識有一個深刻的認識和系統的理解，所以模塊教學對這部分學生來講是不利的建議課標組能否適當調整模塊之間的知識順序，兼顧到數學學科的體系特點和學生的認知特點，使兩方面和諧起來，能使高一高二年級有一定的層次性

廣東省深圳外國語學校謝增生指出：高中教材亟待解決的一個問題是模塊教學與知識體系問題：模塊教學要求小步走，螺旋式上升，使知識體系被打亂，一種知識分成幾個不同部分，分散于不同模塊，不成體系，導致跳躍式地講授知識，許多工具性的內容后置或被刪除，如集合、函數中都用到的一元二次不等式的知識，要到《數學》才出現螺旋式上升與新課程倡導的積極主動、勇于探索的學習方式存在不和諧之處應該調整順序，完善學科知識體系使教材內容符合學生的認知規律該校還針對新課標下高中數學教材內容結構問題調整了內容順序，提出了一個教學實施計劃方案，具有一定的參考價值

安徽省原巢湖市教育局教研室張永超也指出：不等式、三角函數等都是數學學習的基本工具，以前的大綱及其配套教材是將解一元二次不等式放在初中，或放在高一起始階段學習的，但是《課標》卻將解一元二次不等式與簡單的線性規劃、均值不等式集中在一起，安排在《數學》中，這不便于函數、集合知識的教學在《數學2》中，解析幾何內容只涉及到圓與方程，而雙曲線、橢圓與拋物線的定義、標準方程和幾何性質等內容卻被安排在選修系列1、選修系列2中，因此只要求取得高中畢業學分而不參加高考的學生，則難以學到圓錐曲線的相關知識，對這些學生數學素養的培養十分不利《課標》在《數學2》平面解析幾何初步中列出了有關空間直角坐標系的內容，不僅與章節名稱不符，而且這里的空間直角坐標系與選修2-1中“空間中的向量與立體幾何”相關內容相隔太遠，也屬知識割裂的表現

由于一個模塊的課時限制，為了符合模塊的課時要求，就導致教材內容結構的邏輯性大大降低，這與數學學科邏輯嚴密性和數學教材系統性的突出特點不相符合，從而影響教與學可以設想，如果再進一步把模塊課時統一減少，就將對教材內容的安排增加更多的困難，從而更加影響教材內容的系統性和邏輯性

中學數學傳統教學內容中如初等代數、三角函數、立體幾何、解析幾何和概率統計的基礎知識是高中學生應該掌握的數學基礎知識，這些內容應該作為高中數學的必修內容，按這些內容的邏輯關系安排這些學科分支的教材內容，并考慮教學內容之間的互相聯系，必修內容是否就不必再設置模塊，而是按照過去大綱教材一樣按學期確定教學內容在確定了必修內容以后的其他內容，如微積分的初步知識及目前的一些選修模塊和專題的教學內容，則可作為選修課程這樣，既保證了課程的靈活性和選擇性，又兼顧了數學課程的必要的邏輯性和系統性，而教學內容的學分可根據相應教學內容的分量等因素加以確定

3映射、函數、反函數的教學

函數概念是高中數學極其重要的概念，映射與函數的安排順序、反函數概念的教學要求問題是新高中數學課程教學研究和討論較多的兩個問題

安徽省蕭縣教育局教研室吳仲奇指出：關于函數與映射概念的處理，新教材是先給出函數后再給出映射概念，即由特殊到一般在教學中，就這兩個概念作了對比試驗，結果發現，先講函數定義的班級，普遍反映對定義中的“f”表示對應關系理解不清，而先講映射后講函數的班級，對函數概念的理解要好得多因此，這兩個概念在邏輯上的順序和學生接受這兩個概念難易順序并不一致，另外，對函數概念新教材上給出的就是映射觀點下的定義，從這方面看，也應是先講映射為宜

在教材實驗回訪、調研中老師也反映：高一數學有的知識點太簡單，如冪函數，應用很廣，但僅講一頁半；反函數的內容目前沒有講清；新課標實驗教材對于反函數概念講得不夠完整，應該完整講述反函數的定義域、值域、對應關系等，現在概念沒有講清，學生常對于概念提出許多問題，不好回答廣州市執信中學劉仕森校長探訪了一些學生，特別是學習困難生，他們認為越講不清，他們的負擔越重，他們希望學得更明白一些，不知其理，反而學得辛苦

為了考察映射、函數、反函數的內容在相關知識體系中的作用，圖2給出與此有關的教學內容概念之間的結構圖

從映射的觀點來認識函數概念，是在初中用變量觀點認識函數基礎上的深化，映射概念也是學習后續反函數概念的基礎從中學數學教材歷史看，改革開放以后中學數學教學改革的一個重要成果是集合、映射觀點的引入和廣泛地滲透，先講映射后講函數，函數概念得到清楚的描述，學生理解沒有困難很重要的是，映射的思想比函數的思想更具有一般性，具有更廣泛的應用價值，應該在數學教學中引起重視

在這個知識框架中，映射概念是作為函數概念的推廣引入的，映射概念顯然沒有處于核心的位置，僅僅引入了概念，但在課程體系中沒有發揮應有的作用與映射相關的許多概念如一一映射、逆映射、反函數及反三角函數等初等數學的基本概念和知識都因此沒有得到重視，也同樣沒有起到應有的作用而函數概念本身已經引入了對應的語言，但對于對應的概念本身學生并不很清晰，這就導致對于函數概念準確理解的困難

新課程降低映射的教學要求值得商榷現在，新課程強調函數內容與實際的聯系，實際上，這與重視映射的教學在思想上并不矛盾，如果能夠結合起來，既重視映射概念的教學，又重視函數與實際的聯系，那么就能使函數教學達到更高的水平另外，新課程中反函數概念的教學要求大大降低實際上，反函數的概念為認識后續各類函數、關系及其性質提供理論支撐，有利于學生從聯系的觀點認識各類函數，對這樣的基本概念教學的課時投入是有價值的，教學效率是高的所以，反函數概念的教學要求有必要予以提高

4立體幾何的結構與教學要求

41內容整體結構問題

立體幾何的教學是高中數學的重要組成部分，新高中數學課程對立體幾何的教學作了重大的結構調整和教學要求的改變，立體幾何的教學問題是目前討論的又一個熱點問題在教材實驗回訪中，老師們對于立體幾何的教學提出了許多意見，意見集中在幾何體內容與點線面位置關系的先后順序、判定定理是否應該證明這兩個方面

在教材實驗回訪中，老師們反映：目前對于立體幾何中幾何體的內容講得太簡單，應該加強一些，現在只是代公式意義不大；立體幾何中面積、體積計算的內容應該靠后一些，有些基本概念（如高的概念）沒有，不好處理；立體幾何的一些定理的證明沒有，中間過程沒有，好學生不滿足；是否在教學參考中給出補充；在必修2將空間幾何體放在點線面知識的前面，按照教師用書的說法，認為這樣更符合學生的認知規律，從人認識事物來說，確實是先認識一個事物的外表，再認識它內在的本質，但是對于本章教學來講，在沒有學點、線、面知識之前，講解空間幾何體，在很多地方僅能講到表面問題，很多時候沒辦法很好地解析學生提出的問題；從學生學習的角度來講，學生因為不能知其所以然，所以學習的興趣明顯不高

新課程首先安排簡單幾何體的內容，要求利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構對于結構特征，江蘇省運河高等師范學校彭玉忠指出：所謂結構特征，就是幾何體的特征性質，換言之，即本質屬性確認幾何體的結構特征，就是揭示幾何體生成的過程和規律……由于此階段對幾何體結構特征的研究尚無理論根據，全憑觀察和操作來確認，從單一角度分析不足以使學生全面而準確地認識幾何體的結構特征

上面的結構實際上就是指多面體的棱、表面多邊形，或者旋轉體軸、母線等之間的位置關系，結構特征就是位置關系的特征、特點，實際上應該看成是幾何體概念的本質特征但是由于學生尚未學習空間直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的基本知識，包括對于描述幾何體結構特征至關重要的有關平行、垂直等概念，所以，對于空間圖形的結構特征的描述實際上是不可能真正達到的一個教學要求如第一章中對于“正投影”的定義：“在平行投影中，投影線正對著投影面時，叫做正投影，否則叫做斜投影”怎樣的投影算是正對著的，無法解釋

正如對于新高中數學課程中不等式有關內容的教學不應該先安排基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教學，然后再安排不等式基本性質的教學；也正如在平面幾何內容的教學中，不應該先安排多邊形和圓的性質的研究，然后再安排有關兩條直線相交、平行、垂直等基本關系的研究，以及三角形的基本性質的教學等等，這是讓人無法理解的，因為后者為前者作了基本知識的準備同樣，直線與平面的基本關系知識的教學，為幾何體的研究奠定了知識基礎，使幾何體

的研究可以順利推進，這是一個值得重視的問題

立體幾何部分的教學，可以首先借助信息技術和實物展示豐富的立體圖形，讓學生認識學習立體幾何知識的必要性與重要性，然后就應該轉入線、面基本元素關系的知識學習，在此基礎上，再研究幾何體的性質，當然，對于幾何體的研究的詳略程度，則應該有所選擇，有所側重，不必面面俱到，另外幾何體表面積、體積公式，從把數學也作為工具性、應用性學科的角度看，其推導則可以根據實際情況有詳有略

42判定定理的證明問題

新課程提倡合情推理與演繹推理的結合，對直線與平面平行、平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理都不加證明，只是通過操作就加以“確認”，不要求嚴格加以證明《課程標準》認為這是培養了合情推理筆者認為，這與數學的科學性要求不相符合，通過合情推理只能得到結論成立的一種猜測，結論的正確性還有待于嚴格的證明才能真正加以“確認”

此外，如果從節約課時的角度來考慮省略證明，判定定理的證明比性質定理的證明更顯得重要，因為判定定理的作用在于確定垂直或平行關系的存在，如果這種關系不能確定，就沒有什么性質可言了另外，性質定理的證明比判定定理的證明要容易得多，如直線與平面平行的性質定理，平面與平面平行的性質定理，實際上就是直線與平面平行的定義、直線與直線的平行、平面與平面平行的定義的直接應用而已，學生的理解不會存在什么困難所以，從提高學生認識能力的角度來看，對于一些不容易證明的判定定理的證明更具有必要性例如，對于直線與平面的垂直的判定定理，定理的證明條件已經完全具備了，可以很直截了當地加以證明，方法簡捷明快現在的教學安排，放棄定理的證明，又承認定理并在需要時就加以應用，定理的證明則安排到了后續選修2-1模塊的“空間向量與立體幾何”部分借助空間向量的方法來證明，相隔時間很久，學生們對定理證明的必要性也許不以為然了判定定理的探索和證明是培養學生的科學探究態度和精神的良好時機，對于怎樣從直線與平面內兩條相交直線的垂直的條件推證出此直線與平面垂直，即與平面內任何一條直線都垂直的問題，學生們一般都會有濃厚的興趣，而保護和培養這種探究精神和態度對于高中學生尤其重要平行與垂直判定定理是立體幾何中重要而基本的內容，讓學生證明這些定理，認識到定理的正確性，這比對結論不求甚解，知其然而不知其所以然而盲目加以應用要好得多著名數學家姜伯駒院士就曾經指出“沒有了嚴格的證明就沒有了數學的靈魂和數學的精華”

目前，對于空間關系的判定定理的證明安排在了數學2-1的空間向量與立體幾何部分，這對于選學1-1和1-2的學生就失去了知識的完整性，沒有機會認識這些重要的判定定理從知識結構和知識的難度上來看，空間向量和立體幾何的知識可以安排在必修課程中，讓所有的學生都學習否則，就會有很大一部分學生不會解決有關的空間問題

43其他問題

三垂線定理（及逆定理）給出了一種判定平面內一條直線與平面的斜線（或斜線的射影）垂直的方法，解決了一類重要的問題，具有廣泛應用新課程把它安排到了選修2-1，在一個例題中證明了此結論，但沒有相應的鞏固和應用性的訓練，導致此定理的地位下降了，作用減弱了

新課程要求以長方體模型為載體直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系，使得空間位置關系的討論背景過于單一，簡單乏味，不能反映現實空間問題背景的豐富性，對于具體空間關系問題的實際背景針對性并非最佳這樣的引導也許并不妥當

極限概念和微積分初步的教學

新課程對微積分初步知識的教學作了重大的改革，加強導數與積分應用的教學另外，重要的改革是在不講極限概念的基礎上講導數和積分等概念對此，也有不同的意見

華南師范大學數學系黃志達指出：微積分基礎下放到中學，已有幾次反復在新課程中，“新的突破”就是不講極限也能講導數，“極限”兩個字在中學課本里已經取消，只講平均變化率和瞬時變化率之間的關系，舉了大量的諸如成本邊際、利潤邊際的實例……極限的概念并不難理解，中學里要用到的簡單極限就更容易被理解接受，不給嚴格的定義，粗淺的定義也可以，何苦去割斷體系弄巧成拙呢？

山東省臨沭一中王峰晨指出：極限內容的刪除給學生學習以及更深地理解數學帶來不便，極限是一種重要的數學思想，是看問題的態度怎么能說要理解好導數就要刪去產生導數的極限呢？極限是學習導數必需的，不應該成為學習導數的障礙

山東聊城大學房元霞、宋寶和通過教學實驗得到結論：極限是學生學習導數的關鍵和難點；教師對無極限的導數表現出不適應

為分析極限概念的地位和教學價值，圖4給出下面的通常所說的微積分初步內容概念的結構框架圖

如果有人問有哪一個概念是基本而重要的、自始至終貫穿于微積分內容和數學分析學科的，答案是極限的概念微積分和數學分析幾乎可以看成是一門研究“極限論”的學科微積分初步知識中一些最重要的概念如導數、連續函數、定積分概念都直接建立于極限概念之上，新課程中不講極限的概念，以上內容不容易講清楚，也不太好描述重要的是，極限思想是一種重要的數學思想，不講極限概念本身，也就很難把握極限的思想實際上，在后續許多內容的教學中，極限的符號廣泛使用，沒有極限的語言使教學顯得很不自然，很別扭

圖4

山東省聊城大學房元霞、宋寶和認為：微積分中的重要概念都是用極限定義的，導數也不例外，講導數想避開極限是不可能的……與其若隱若現、馬馬虎虎，倒不如尊重學生的認知基礎，把函數極限的知識提出來，當然表現形式上要自然流暢，淡化形式，重在極限思想的描述

在高中數學中安排一點微積分初步知識的教學是有一定價值的，但是，微積分本身是數學的一個重要分支，其內容相當豐富就對大多數學生的普遍性教學要求而言，在中學階段不可能講授系統的微積分知識，在中學數學課程中應該考慮中學生的年齡特點，控制教學的要求和難度而極限概念作為必要的基本概念，在微積分初步中占有不可替代的重要地位，應該在這部分內容的教學中予以重視，至于怎么講法，必須考慮教學時數的限制過去曾經引入比較嚴格的極限概念的教學，還包括了數列極限和函數極限的內容這是一種講法，這種講法對于牢固建立極限概念和思想當然是有利的，不足之處是在極限概念上花費較多的教學課時另外也可考慮通過一些學生容易接受和理解的數列極限的例子，讓學生學習直觀的極限概念（一般地是在無限地變化中無限趨近于定值），建立不夠嚴密但對于后續概念（如導數、連續函數、定積分等）的教學必要的極限觀念另外，從我國中學數學教學經驗看，只要方法得當，讓高中學生掌握比較嚴格的極限概念也是可能的這就要在教學中貫徹因材施教的原則，只要可能，不妨讓一部分學生學習比較嚴格的極限概念，而不必強制性地統一限定和降低教學要求

另外，高中微積分初步中導數和定積分的教學主要著眼于它們的應用價值，由于課時的限制，內容不能太多當然，在結構中必要的內容還應該重視，如目前教材教學中不定積分的內容就有必要充實、加強，否則，對于后續定積分教學的順利進行就會有影響另外，一定要限定所涉及的初等函數的范圍，只能讓學生在高中階段初步接觸微積分的思想

6初中數學和高中數學的銜接

新課程對于許多教學內容的教學要求作了調整，因此也引起了初中數學和高中數學教學銜接上的一些問題

（1）義務教育數學課程標準對于配方法的要求降低，但配方在數學中起重要作用，應該加強；

（2）乘法公式目前初中只有平方差公式和完全平方公式，沒有立方和與立方差公式，與此相關的分解因式也降低了要求，而在高中數學教學中，研究函數的單調性、解方程、解不等式、三角恒等變換等許多方面都需要應用這些乘法公式，在初中的教學要求應該提高；另外，從學科教學的角度看，乘法公式也是數學的基礎知識，應該予以充實；

（3）多項式相乘初中限制在一次式相乘，為后續的高中數學教學帶來困難，例如二項式定理及其相關內容的教學，在初中的要求應該適當提高，應該去掉限制，當然，對于相應運算內容的基礎訓練應該把握適當的度；

（4）初中根式的運算（根號內含字母的）比較薄弱，特別是分母有理化已不作要求，使高中的代數恒等變形和求圓錐曲線的標準方程產生困難；

（）解二元二次方程組的知識在高中解析幾何中有重要應用，如討論圓錐曲線、函數圖象交點問題中經常用到；

（6）初中只要求會求有理數的絕對值，規定絕對值符號內不含字母，影響了高中數學中一些問題的順利進行

解決這些問題有兩種途徑，一是目前先編寫供高中學生使用的銜接教材，二是今后進一步修訂初、高中數學教學要求

7內容多課時緊的矛盾

新高中數學課程實施以來，學生學習負擔過重是一個相當突出的問題，這是《課程標準》修訂中應該引起重視的

安徽省蕭縣教育局教研室吳仲奇指出：新課程實施中課時較少，給課程目標的實現帶來挑戰新教材必修1基本上是一節內容一個課時，如果遵循課標的課時安排，幾乎堂堂是新內容，這樣容易造成學生對所學知識淺嘗輒止……由于課時減少，弱化了習題課的功能，既影響學生雙基的形成，又影響了過程與方法、情感態度和價值觀目標的實現

浙江省臺州市黃巖區教育局教研室洪秀滿指出：新高中數學課程存在內容多、要求高、課時少的問題，如對新課程集合內容的教學要求和課時情況作分析，發現目前教材比過去大綱教材的內容多了2項，但課時卻從過去的6課時減為現在的4課時，使教學出現困難，欲速而不達，并希望對《課程標準》作修訂

浙江省教研室張金良、杭州中學朱成萬指出：調查表明， 有00%的教師認為工作負擔加重， 440%的教師認為工作負擔有些加重， 兩項之和占94%；

00%的教師認為學生負擔加重， 413%的教師認為學生負擔有些加重，兩項之和為913%

華南師范大學數學系彭上觀指出：內容多，課時少是學生反映最強烈的問題.調查發現，83%的學生認為老師講課速度快，學習跟不上，沒有時間理解和消化所學習的內容.有必要適當調整部分教學內容，如在高一第一學期開設的數學課程不宜過多，……，讓學生對高中的數學學習有一個適應的過程，以實現初高中的平穩過渡.

江蘇省運河高等師范學校彭玉忠指出：新課程文、理兩類的基礎型的總課時都分別超過原課程文、理科的總課時，提高型的超過的就更多了不僅如此，新課程設定的課時比原課程課時的容量大據統計，在新課程必修模塊的180課時中，有163課時是原課程中的內容，而這些內容在原課程中約占203課時，由上可見，新課程的內容總量比原課程有較大幅度的增加

從教科書的篇幅看，目前教材必修課五本書（180課時）的篇幅比原高中數學必修課四本書（280課時）的篇幅還大從實驗的情況看，學生負擔過重，影響學生對于數學知識的理解和掌握，導致了學生對于數學學習的興趣下降

適當增加教學課時是解決課時緊的矛盾的有效辦法，在實際教學和《課程標準》修訂中應該考慮增加必修課的教學時間

另外，可以考慮刪去一些相對次要的教學內容（這些內容不屬于數學基礎內容）和一些重復設置的教學內容，如立體幾何中的中心投影、量詞、框圖、三視圖，與初中重復的一些統計等內容

8內容體系的其他問題

對《課程標準》不同模塊的內容安排，老師們還提出其他方面的意見和建議

在教材回訪時教師們指出：簡易邏輯的知識，應是學生基本數學修養的一個重要部分，應該貫穿整個高中數學，現在被挪至選修內容中，令人遺憾；四種命題的知識應該在高中開始階段教給學生，而且結合集合中的并集、交集、補集關系講解或、且、非，學生也易于掌握

在《數學2》中，第2章《平面解析幾何初步》中安排了“空間直角坐標系”，這與整章的標題不吻合實際上把這節內容移至選修2-1第3章“空間中的向量與立體幾何”應更妥當

《課程標準》對于不等式的知識非常重視，指出不等關系與相等關系是同樣重要的數量關系，專門安排了一個不等式選講的選修專題不等式內容是基本的數學知識，而且是工具性的，應該提前學習，但不必在不等式證明上花費太多的時間，而是應該教給學生不等式的一些基本知識，如不等式的基本性質和常見不等式，如絕對值不等式的性質，均值不等式（可以給出一般形式的均值不等式），就能加強不等式知識的應用價值

第6篇：高中數學的基本不等式范文

編者按：最值問題遍及高中數學的所有知識點，綜合性強，是高考的必考內容.同時，最值問題可以將各種知識作為背景來進行考查，形式多樣，不容易被考生所掌握.如果考生從最值問題的常見類型、求解策略以及解答時的易錯點三個角度來備考并加以掌握，其實最值問題也沒想象中那么難.

近幾年高考中的最值問題，在考查內容上，涉及的知識點廣泛，如求函數的值域，求數列中的最大項或最小項，求數學應用問題中有關用料最省、成本最低、利潤最大等問題；在解題方法上，求最值的方法有很多，如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數的性質法、數形結合法等.

1.二次函數的最值

求解二次函數的最值一般是先配方，再借助二次函數的圖像解答.數學中的很多最值問題最后常轉化為二次函數的最值問題來求解.

例1 （2008年高考重慶理科卷）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為

難度系數 0.70

解 選C.

小結 二次函數的最值問題是其他很多最值問題（如三角函數、數列、解析幾何、應用性最值問題）的基礎.最值問題要特別強調“定義域優先”的原則，本題實質上是求給定區間內的二次函數的值域問題.

2.導數法求最值

導數的引入為函數最值的求解開辟了一條新路，我們通常用導數法求函數的最值要比用初等方法簡便得多，因此導數法求最值也是一種不可忽視的方法.

設函數在上連續，在上可導，求的最大值與最小值的步驟如下：

①求函數在內的極值；

②將函數的各極值與， 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

例2 （2011年高考江西理科卷）設上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；

（2）當在上的最小值為，求在該區間上的最大值.

難度系數 0.60

解 （1）解答過程省略.

（2）令，可得兩根所以在和上單調遞減，在上單調遞增.

當時，有，所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區間上的最大值為

小結 本題主要考查函數與導數的基礎知識.導數是研究函數單調性及最值的有效工具.

3.均值不等式求最值

均值不等式：若，則當且僅當時等號成立.應用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.

例3 （2012年高考湖南理科卷）已知兩條直線 和l1與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點A，B ，l2與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當m 變化時，的最小值為

難度系數 0.55

解 由題意得選B.

小結 本題除了考查考生對對數函數圖像的理解外，還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時應注意將配湊成的形式，再利用基本不等式進行求解.

4.輔助角型三角函數最值

求函數y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉化為求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函數的有界性可求.

例4 （2011年高考新課標理科卷）在則AB+2BC的最大值為 .

難度系數 0.65

解 最大值為2

小結 本題考查正弦定理的應用及三角函數的性質和公式的應用，熟練運用化一公式并利用函數的有界性處理是解答問題的關鍵.

不等式的恒成立問題

不等式的恒成立問題常轉化為函數的最值問題來求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函數的最小值為0，其中

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若對任意的有成立，求實數k的最小值；

（Ⅲ）證明難度系數 0.50

解 （Ⅰ）據題意可知函數 的定義域為由當x變化時的變化情況如下表：

因此， f（x）在x=1-a處取得最小值.由題意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.

（Ⅱ），取，有，故不合題意.當時，令，即，于是

令，得

①當時， 在上恒成立，因此在上單調遞減.從而對任意的，總有，即在上恒成立.故符合題意.

②當時，對于，故在上單調遞增.因此，當取時，，即不成立.故不合題意.

綜上可知，k的最小值為.

（Ⅲ）證明過程省略.

第7篇：高中數學的基本不等式范文

曾經有人說過：小學數學是運算，初中數學是解題，高中數學是思想，大學數學是創造?？梢?，高中數學教學過程中數學思想的滲透是教學的重中之重。知識是人們在改造世界的實踐中所獲得的認識和經驗的總和，它是人類文化的核心內容，在數學學科中許多豐富多彩的內容反映了哪些共同的，帶本質性的東西？這就是數學思想方法，它們是知識中奠基性的成分，是人們獲得概念、法則、性質、公式、公理、定理等所必不可少的，是知識的核心，也是數學文化的“重中之重”。學生在問題面前如何對知識和運用這些知識的途徑進行選擇，使得完成解決問題達到多快好省，則是一項超越知識本身的心理活動，而數學思想方法卻能使之到達這一目標。

一、高中數學課程對數學思想方法的體現

高中數學大綱指出：“會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點，能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質”。高中數學教學內容精選于那些現代社會生活，生產和科學技術中有著廣泛應用的知識，這也要求我們從紛繁復雜、五彩繽紛的現代生活、生產中提煉出具有指導意義的數學思想。豐富的數學思想對培養學生的思維習慣和研究方法具有十分重要的作用，日本著名數學教育家燦國藏曾說過：“不管他們從事什么業務工作，惟有深深銘刻頭腦中的數學精神，數學思想方法，研究方法，推理方法和著眼點，卻隨時隨地發生作用，使他們終身受益?！?/p>

縱觀初、高中數學教材和數學課程標準，無不體現以下數學思想：符號化與變元思想方法，函數與方程的思想方法，數形結合與分離的思想方法，分類討論的思想方法，化歸與轉化的思想方法，歸納、猜想、論證的思想方法，主元的思想方法，對稱性的思想方法，有限與無限逼近的思想方法，系統與統計的思想方法等。數學思想是對數學知識內容和所用方法的本質認識，是從某些具體數學的認識和理解過程中提煉出來的一些觀點，具有一般意義和相對穩定的特征，如果學生掌握數學思想方法就能觸類旁通、舉一反三，這將極大的促進學生的數學認知結構的發展和完善。就能在發展學生的數學能力方面發揮出一種方法論的功能，也就是說，學習基本數學思想方法是形成和發展數學能力的基礎。

二、課堂教學中的思想方法滲透

課堂教學是學生獲取知識最直接的手段，在教學中滲透思想方法是必要的。在方程與函數的教學中，將實際問題抽象出概念和模型，從而促進學生的數學建模思想方法，感受符號化思想等。例如：現在各地列車都在提速，但是并非速度越快列車的流通量（單位時間內通過的列車數量）越大，火車運行時兩列車的距離（前一列車的車尾到后一列車的車頭的距離稱為車距）與速度的平方成正比，據經驗，當速度為V0時，車距必須為P0，問速度為多大時，列車流通量最大。

分析：這是一個實際問題，在研究些問題首先要引入符號，流通量Q、車速V、列車長為L，而后建立數學模型：單位時間內通過的列車數量：Q= ，據題意：P0=KV 則K= 當車速為V時，車距為P=KV2= V2，故Q= 即當且僅當 Q最大。用純粹的數學知識來解決貼近生活的實際問題，把數學思想方法遷移到生活中，讓學生體驗數學思想方法的作用。

再如：在平面向量加減法的教學中，就要注意與物理中矢量加減法的類比，平面向量的坐標運算與直角坐標系的類比；基本不等式形成的歸納與總結中所體現的化歸思想及對不等式證明中應用的綜合法、分析法、比較法、反證法、放縮法、代換法等數學方法的展示；在三角函數中“1”轉化為分sin2α+cos2α，tan（π/4+kπ）， tanα? cotα以及誘導公式、和差角公式、倍角公式等形成與推導中體現的轉化思想、符號化思想、整體代入思想的滲透，對y=Asin（wx+φ）的整體化思想，數形結合思想，函數與方程思想的介紹與展示；立體幾何中平行轉化、垂直轉化、空間向量轉化、球的體積與表面積的無限逼近思想方法；概率統計中的分類，統計思想，微積分的有限逼近與無限逼近，符號化、集合等思想的體現，比比皆是，俯拾可得。在數學中要處處時時地滲透。

第8篇：高中數學的基本不等式范文

一、不等式的本質理解及不等式的工具性作用

首先，我們研究兩個實數α，b的和、積、平方和中任兩者間的不等關系（如圖1）.

其次，上述不等式主要起工具性作用――求最值問題，特別是在用基本不等式 函求最值時，應遵循“一正、二定、三等”的原則.對于求最值問題的常用工具，應當清楚：一是利用函數的單調性（主要處理一元問題）；二是利用不等式（主要處理二元問題，同時亦可處理部分一元問題），

同樣，解一元二次不等式問題應同時關注函數、方程問題，注意三者間的內在聯系（如圖2），彼此相互轉化，往往能使問題迎刃而解.

二、解不等式問題的基本方法與簡解

1.抓住題根，萬變不離其宗

一些不等式問題實質上是源于同一個題根，只是以不同的形式呈現，而且出現的頻率比較高，下面的例子甚是經典.

常規方法的基本思路是消元，將二元問題轉化為一元問題，再利用基本不等式求解，當然亦可以用函數的方法求解，譬如求導研究單調性，判別式法等；簡單方法抓住代數式的結構特點，構造利用基本不等式求解的數式形式，進而達到簡解的效果.這種題經過基本訓練，很容易就掌握其解題方法，若將該題以其他形式給出呢？你能否很快識別題根，尋找到簡解呢？

由此可見，通過線性代換可以將此類問題轉化為題根問題，并加以簡解.

2.判別式法――解決一類不等式問題的利器

判別式法應用廣泛，不僅適用于求值域問題，還適用于求最值問題，由于在具體問題中，不少解題者的應用意識淡薄和模式識別能力不強，因此，這一重要方法的應用頻率并不高，值得我們關注的是判別式法在解決一些問題時比其他方法更顯簡便.

3.注重利用函數、方程、不等式間的內在聯系，簡化問題

函數、方程、不等式之間有著密切的內在聯系，在解決某一問題時，往往需要借助化歸將問題巧妙地轉化，從而獲得簡解.

（2012年高考江蘇卷第13題）已知函數f（x）=x2+ αx+b（α，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）

法一 由一元二次不等式f（x）

，又函數f（x）=x2+αx+b （α，b∈R）的值域為[O，+∞），故α2-4b =O，所以實數f的值為9.

法二 考慮到函數f（x）=x2+αx+b（α，b∈R）是由最簡單的二次函數g（x）=x2經過平移變換獲得的（如圖4），則f（x）

法一沒有局限于不等式本身，而是將不等式問題化歸為方程問題；法二更是將不等式問題轉化為簡單的函數圖象問題，解答十分精巧，簡便.

下面這道題頗有難度，但若換個視角看一元二次不等式解起來倒是不難.

設o

由①②利用線性規劃知識可得，l

第9篇：高中數學的基本不等式范文

關鍵詞： 不等式章節 高中生學習品質 培養策略

俗話說，習慣成自然，功到自然成。教學活動的目的，不僅僅是“解疑釋惑”，向學生傳授知識內容和技能，更重要的是“教人求真”，向學生傳授做人的道理，讓他們“學做真人”。教學實踐證明，學生學會學習的技能，掌握學習的方法，提高學習的品質，能夠對學習效能、學習習慣的提升和養成起到促進和推動作用，并使學生終身受益。新課程標準的全面貫徹落實，培養學生良好的學習品質和素養，成為重要的教學目標。因此，教師應將培養學生良好的學習品質作為新課改下有效教學活動的首要任務。不等式章節是刻畫現實世界中不等關系的數學模型，是解決許多實際問題的重要“工具”。高中生通過對一元二次不等式、二元一次不等式（組）和基本不等式的研究和學習，學習品質得到有效鍛煉和樹立。下面我對不等式章節教學中學生良好學習品質的培養進行探討。

一、利用不等式章節內容的廣泛應用性，培養高中生能動積極的學習態度。

“態度決定一切”。積極向上的學習態度，是學生學好數學知識、解決數學問題的重要前提和思想保證。高中生處在人生發展的決定性階段，良好學習態度的樹立有助于學生更好適應社會，展示才能。不等式章節是解決許多數學問題的重要工具，在現實生活中有著廣泛應用，這就為培養高中生積極主動的學習意識，端正高中生的學習態度，打下了基礎，提供了條件。如在二元一次不等式組的教學活動中，通過對該節知識內容的分析，可以發現，二元一次不等式組是解決實際問題的重要數學模型，也是刻畫區域解決簡單線性規劃問題的工具。因此，教師可以在新知教學活動中設置“有糧食和石油兩種物資，可用輪船和飛機兩種方式進行運輸，每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果分別為300t、250t和150t、100t，現在想要在一天內完成運輸2000t糧食和1500t石油的任務，安排的輪船的艘數x和飛機的架數y應滿足什么條件？”現實問題，讓學生感知該節知識點的應用性和學習掌握知識內容的現實意義，從而學習意識更強，學習態度更好。

二、發揮不等式章節案例的能力發展性，培養高中生探索創新的向上精神。

學習探知的“道路”充滿了“荊棘”和“坎坷”，需要保持克難求進、勇于創新的積極向上的精神，這也有助于高中生探索創新、克難求進的良好學習精神的培養。在不等式章節案例解答過程中，需要用到的數學知識較多，規律性問題較多，同時與初中知識有著密切的聯系，學生在解答不等式問題案例時，需要認清問題案例內涵、找出問題條件之間的深刻聯系，進行嚴密的邏輯推理，構建嚴謹的知識網絡體系，這一過程中，高中生的探索實踐能力和創新思維能力能夠得到有效鍛煉，逐步樹立探索創新精神。

解得，t≤-2或t=0或t≥2.

t的取值范圍是{t|t≤-2或t=0或t≥2}.