高二數學導數的概念精選(九篇)

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第1篇：高二數學導數的概念范文

20世紀80年代，西方數學教育提出“非形式化的數學教學”口號，主張中學數學擺脫形式化的束縛，主張聯系學生的日常生活實踐，增加數學問題的趣味，要把微積分內容呈現為學生易接受的“教育形態”.國內2002年進行的課改，不再把導數作為一種極限規則來處理，而是把平均變化率放在了高中微積分內容的開始.由此帶來的爭議頗多，最集中的就是認為這樣的安排違背了數學科學的邏輯體系.

基于以上背景，本文選擇高中導數教學為課題，對同一位老師執教的兩個平行班，采用不同的教學方法講授導數內容進行比較.前者先介紹極限再講導數概念，后者采用“舍棄極限”講導數，為導數教學設計、提高效率以及對學生學習的科學評價做出了有益的探索.

一、導數課堂教學比較分析的實驗設計

1.實驗設計

（1）實驗目的

了解掌握兩種不同的教學模式下，學生對導數教學內容的接受、掌握情況.

（2）實驗樣本

選取揚州市某學校高二年級一名數學老師T執教的兩個平行班作為被試對象.實驗時間為2012年11月4日—2012年11月6日.

（3）使用教材

①普通高中課程標準實驗教科書選修1-1；

②全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）《數學》第三冊（選修2）.

（4）實驗變量

自變量：引入導數的兩種教學方式；

因變量：兩種教材下導數概念的教學效果；

無關變量的控制：兩個班的學生整體水平基本一致，由同一名教師T任教.

2.實驗說明

聽課資料的收集，主要采取MP3錄音和手機錄像的形式，錄下了課堂教學全過程.同時做了現場筆記，記下教師教學活動和學生反應情況，以“SS”表示全班學生或部分學生，用“S”表示單個學生，依次發言的學生按順序稱為“S1”、“S2”，依次類推.

課后，對各課堂錄像（包括錄音）進行文本整理，把課堂中教師和學生的對話變成文字，在文字記錄的基礎上，用編碼、類屬分析的方法整理、分析資料.

二、兩種導數課堂教學模式

1.傳統教學方法

（1）課堂記錄整理

片段：當xx0時函數f（x）的極限

T以二次函數y=x2為例列表，并畫出函數圖像.

……

T：同學們，特別要注意的是只有當從左右兩側趨近于2結果一致時，我們才說函數的極限存在，為了更好地說明這個問題，下面介紹函數的左右極限.

接下來的過程，學生的反應比較沉悶，成了老師的一言堂，偶爾有些聲音附和，應該也是些成績較好的學生.

（2）課堂教學分析

學生僅僅通過圖像和圖表理解概念，缺少多種表現形式之間建立有助于發展意義理解的聯系.學生對求極限值的回答都很好.從課后訪談看來，學生普遍認為求數列極限值、函數極限值不難，但是感覺極限沒多大用處；對“極限與x是否取無定義的點無關”并沒有深入思考，感覺比較模糊.

課堂成為練習極限運算的訓練場.課堂上，學生參與的積極性并不是很高.學生對函數極限的理解明顯次于對數列極限的理解，學生對單側極限、0[]0型極限的解釋是非常模糊的，但他們碰到類似問題有辦法做，他們認為記住一些求極限的法則和原則就可以了.

2.“舍棄極限”講導數的教學模式

（1）課堂記錄整理

……

S1：B，C之間更陡.

T：好的.那么，我們如何量化曲線的陡峭程度呢？我們再看看這幾張圖，其中一張是同學們特別感興趣的巨人姚明的身高生長快慢圖.（列舉大量的學生熟悉的生活實例，如：姚明身高變化圖、過山車等）

T：誰來說說這些圖上哪段曲線最陡？（學生非常專心和感興趣）

……

T：下面請同學們自己也來舉舉例子，然后用平均變化率的知識來分析分析.（學生的參與度很高）

（2）課堂教學分析

在建立平均變化率概念時，教師強調的是學生的“求同”探索，并且借助了多媒體向學生展示了更多的問題實例，試圖讓學生發現平均變化率定義形式上的共同點，整堂課呈現出三個特征：

①創設了問題情境，該任務的布置有助于發展學生對平均變化率的理解.

②要求“發現各實例的共同點”，暗示學生可以從數學知識函數和斜率入手總結歸納概念，而這一方法與隱含的平均變化率概念有密切聯系.

③學生需要某種程度的認知努力，才能更好地理解平均變化率.

T教師整體的教學結構在“概念理解”，是比較符合新課程標準的要求和教材的編寫意圖的.通過大量實例讓學生經歷概念的建立過程，讓學生了解導數產生的背景.在引入平均變化率概念時，教師T采用以問題為背景，按照“問題情境建立模型解釋、應用與拓展”的程序，讓學生經歷數學建模的過程.其中問題情境選擇以生活中的實例為線索.在大量實例的基礎上以“氣溫曲線圖”為例著重分析，從數學外部轉化到數學內部，與學生已有的數學基礎“斜率”建立聯系，再以相同方式分析其他實例，以總結歸納的方法，發現概念的共性，具有“求同性”的特點.在平均變化率的練習階段，T教師通過練習讓學生熟悉求平均變化率的一般步驟.另外，他還考慮到學生解題會受到問題背景和表征方式的影響，給出了一些例題，加深學生的理解.所以這個階段不是純粹的“機械操作”.

第2篇：高二數學導數的概念范文

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）11B-0061-01

數學課程標準指出：教材是學生學習活動的基本線索，是實施教學、實現課程目標的重要資源。立足教材，根據其內容特點進行妥善處理和深入挖掘，引領學生從新的角度、新的視點，更好地去了解知識間的聯系，認識知識的本質，有利于提高學生的能力，培養學生的創新意識。

一、立足教材，領會教材編寫意圖，深化學生的認識

教材的主干知識構成教材內容的基本框架結構。教材中一些有關核心數學概念和重要數學思想的內容深度是循序漸進、螺旋式上升的。這樣做能讓學生有反復接觸的機會，以保證學生獲得必需的數學基礎知識；通過展示數學概念、結論的形成過程，促使學生領悟數學的本質；通過對學生進行數學推理訓練，提高他們的數學思維能力，使他們形成用數學的思想和方法來思考和處理問題的習慣。所以教師要領會教材的編寫意圖，從整體上把握教材中的基礎知識、基本方法、數學思想，這樣才能在教學中做到有的放矢，抓住關鍵，突破難點。

例如對于函數的單調性，在高一是通過定義去理解，在高二用導數去研究，在高三則要依據高考要求對這部分內容進行綜合應用。所以我們在教學中，應注意每個階段對教學內容的處理。在高一時，應著重讓學生理解定義，用定義去判斷或證明一些簡單函數的單調性，而不要過分強調變形的技巧，或者做一些難度過大的學習考查，因為到高二時會有導數這個比較好的工具可用。在高二用導數處理單調性問題時，除要求學生掌握最基本的方法外，還應考慮到高考對這一部分內容的要求，可根據學生實際，增添含字母的單調性問題等。到高三復習時我們應把函數的單調性問題進行歸納整理，使學生形成這部分內容的知識網絡及解題模式。類似這些問題，都需要對教材做整體把握，進行適當的處理。

二、挖掘教材，提煉歸納數學思想方法，提高學生的能力

數學思想方法是數學知識的精髓，是對數學本質的認識和對數學學習的指導。近年來，高考越來越重視數學思想方法方面的考查。挖掘教材，提煉蘊含其中的數學思想方法，使學生學會分析問題和解決問題，是把數學學習與培養能力、發展智力結合起來的關鍵。

例如在高中數學（必修五）第三章線性規劃的教學中，除要讓學生掌握線性約束條件下求線性目標函數最值的步驟外，還要讓學生借助線性目標函數的幾何意義，準確理解線性目標函數在y軸上的截距與函數最值之間的關系，會以數學語言表述運用數形結合得到求解線性規劃問題的過程。通過引導學生抓住目標函數z=f（x，y）中z的幾何意義， 如z=中z的幾何意義就是點A（x，y）與原點連線的斜率， z= 中z的幾何意義為點A（x，y）與點B（x0，y0）連線的斜率，z=x2+y2中z的幾何意義為點A（x，y）與原點的距離的平方，z=（x-a）2+（y-b）2中z的幾何意義為點A（x，y）與點C（a，b）的距離的平方等，進而提出非線性約束條件下求目標函數的最值問題，并通過歸納總結，讓學生體會數形結合的思想和方法。這也正是我們學習線性規劃的落腳點。

三、超越教材，拓展學生的視野，培養學生的創新意識

在深入挖掘知識內涵的同時，拓展學生的視野，為學生創造性地解決問題提供條件，是培養學生創新意識的主要途徑。新課程改革提倡數學教學是一種反思性與實驗性教學。為了能早日走進新課程，教師應以主動的姿態，學習新的理論，探究新的領域，用研究者的眼光審視教材，分析教學實踐中的各種問題，總結新的經驗，從而使教材能更好地服務教學。高中數學新教材的編寫就很注意便于教師創設問題情境，調動學生的學習興趣，章前圖的解說、章前引言的實際問題和與之相關的閱讀材料、聯系實際的例題和習題均可用作創設問題情境的材料。如果把這些素材用現代教學手段進行適當加工，就能獲得更好的教學效果。

對一些學生學過的知識，可以引導學生從不同的角度，或站在新的高度去重新認識，這不僅能加深學生對知識的理解，還有利于培養學生的創新意識。

例如概率中的一些公式，可以用集合的語言加以闡述。

典型的概率計算公式

P（A）=可以理解為P（A）=。

概率的加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）可以理解為

P（A∪B）==

。

互斥事件概率的加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）可以這樣理解：因為A、B互斥，所以A∩B=，rad（AB）=0，P（AB）=0 ，P（A∪B）=P（A）+P（B）。

對立事件的概率公式P（[A] ）=1-P（A）可以理解為P（[A] ）=。

這樣借助集合的知識來理解概率的有關內容，運用集合的思想來解決概率問題可以使復雜問題變得簡明、易懂。

第3篇：高二數學導數的概念范文

關鍵詞：新課程；高中數學；建模教學

一、引言

高中數學新課程標準強調培養學生的數學應用意識，力求讓學生深切體會到數學在解決實際問題中的作用以及與其他學科之間的關系。加強高中數學的教學研究，不僅僅是社會發展的一個重要需求，更是新課程改革中數學教學目標的要求，是探索素質教育的一條途徑。而“數學建模”教學方式能很好地滿足新課改的要求，能夠成為課程教學改革的重要突破點。

二、數學建模教學的概述

1.數學模型的內涵

數學模型是指借助于數學語言對現實世界進行的一種描述，具體而言，就是針對現實世界的某一個特定對象，采用抽象且簡化的數學結構進行表現。其中，數學結構可能是各種概念、公式以及算法等。從狹義上分析，數學模型只是反映特定問題的結構。

而數學模型的特征主要有抽象性、準確性以及演繹性等。其中抽象性是指數學模型對原則進行了要素形式化處理，對本質進行了概括性簡化；而準確性是指借助于數學語言的嚴密性對演繹推理奠定基礎。

2.數學建模的內涵

數學建模是數學的一種思考方法，主要是借助心智活動明確現象特征，常以符號加以表示。本文研究的數學建模主要涉及七個階段，分別是：模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗以及模型應用。

數學建模的基本原則是：具備較高的精度，一定要將現象本質的關系以及規律均加以充分描述；注重簡化，避免因為繁瑣而造成求解困難；數學理論依據要充分，涉及的公式以及圖表必須合理；模型所描述的系統應具備很好的操控性，這樣可以方便對數學模型進行檢驗以及修改。

三、新課程背景下高中數學建模教學的開展

高中數學建模必須要與高中數學知識相同步，同時應充分考慮到高中生的特點。只有選擇了合適的數學建模型課題才能更好地完成教學過程，并進一步提高教學質量。下面重點探討一下高中數學建模教學的開展流程。

1.簡單建模教學

簡單建模環節主要是針對高一學生，目的是為了激發學生的學習興趣，并不斷增強學生的數學應用意識。這一環節中，教師可以針對具體的教學內容，注重學生分析及推理能力的培養，可以選擇一些典型實例，指導學生共同參與數學建模的建立，該環節可能使用的教學知識點有：集合、函數、等差數列、不等式、指數函數以及三角函數等。

2.典型案例建模教學

典型案例建模教學主要是針對高二學生。因為高二學生已經對數學基本知識點有了一定的掌握，可以獨立解決一些簡單的數學應用問題，需進一步滲透學習的知識點有：圓錐曲線、導數、坐標系以及概念等。

3.綜合建模教學

綜合建模教學環節主要針對高二下學期以及高三的學生。一般情況下，教師只需要給出問題的一般情景以及基本要求，要求學生根據這些情況及基本要求收集信息，甚至需要自行假定與設計一些已知條件，提出多種多樣的解決方案，進而得出或繁或簡的結論。學生可分小組或獨立進行設計和建模活動。就某一問題的建模展開充分的討論。

四、總結

高中數學建模課并不是傳統意義上的數學課，而是引導學生“學著用數學”。目前，對于數學模型還不存在現成的普遍適用的準則以及方法，需要通過教師的經驗見解以及有效措施，才能建立并優化數學建模教學流程。對于高中生而言，有效的數學建模思想可以幫助他們學會用數學方法解決實際相關問題，這也為他們今后進一步學習打下良好的基礎。

總之，高中學生蘊藏著極為豐富和巨大的創造力，關鍵是我們的教育能否為他們提供適合他們發展的氛圍環境和舞臺，能否為他們提供更多發揮其創造性的機會。隨著課程改革的進一步深化及高考選拔制度的改進，形成和發展學生的數學應用意識必將成為全社會的共識，數學建模教學在培養學生動手實踐能力、合作交流能力、探究能力、微型科研能力方面的作用也越來越明顯。

參考文獻：

第4篇：高二數學導數的概念范文

20世紀80年代，那時我還是初中生，當時輔導數理化的刊物并不多，我手頭上的零花錢也很少，但求知若渴的我卻喜歡閱讀課外書籍和輔導數理化的資料，由于《中學生數理化》價廉物美，每期大概只有幾毛錢，而且質量高，印刷精美，因此就成了我首選的刊物，那時，《中學生數理化》只有初中版和高中版兩個版本，我初中三年訂的是《中學生數理化》初中版，而高中三年則訂的是《中學生數理化》高中版，每當空閑時，我就看《中學生數理化》中介紹的解題規律和技巧，并靈活運用于平時的解題中，因此在數理化考試中屢屢取得佳績，記得上高二時，我參加了江蘇省奧數選拔賽，在集訓期間，我把《中學生數理化》每一期上的數學題目一條不落地做了下來，并與其他同學一起探討其中的解題方法和技巧，從中獲益匪淺，最終取得了競賽二等獎，至今對《中學生數理化》雜志還感激不盡，記得當時有一期《中學生數理化》上卷首語有“學好數理化，走遍天下都不怕”這樣一句話，現在回想起這句話，對重視高科技發展的今天，仍然適用。

后來，我走上講臺，開始從事物理教學工作，當學生向我咨詢訂閱什么報刊對自己的數理化學習最有益時，面對全國各地紛繁眾多的輔導數理化的報刊，我向他們推薦了《中學生數理化》，當學生拿著散發著油墨芳香的《中學生數理化》雜志問我問題時，我如同見到了多年不遇的老朋友，是那樣的親切，通讀《中學生數理化》中考版和八年級物理版，其中的精彩欄目隨處可見，如“重點考點”欄目對每一章的重點、考點進行辨析和講解，對概念作深入淺出的講解，為物理課堂教學和學生們的課前預習作了目標指引和思路導航，“思路方法”欄目注重以例題為載體，教給學生解題的思路與方法，或是教給學生某種物理方法的應用，或是教給學生解決某些特殊問題的妙招，以幫助學生準確快速地解答問題，培養學生解決實際問題的能力，“新題賞析”欄目則以與本期知識有關的最新中考題為載體，讓學生認識中考，更好地把握中考試題的方向和難度，同時重視對由教材中的插圖、信息、習題等轉化來的中考題進行分析講解，目的是從教材走向中考，從中考回歸教材……

在《中學生數理化》的引領下，我的學生對數理化的學習興趣日趨濃厚，且成績突出，我在教學之余，在《中學生數理化》雜志刊登的優秀文章感染下，也常常寫下一些自己在物理教學方面的心得，當時，我想，作為全國優秀科技期刊的《中學生數理化》一般都刊登名師、學者的文章，我作為一名普通的物理教師，要想將自己在物理教學中的心得刊登在雜志上應該是一種奢望吧，但是，我還是想試一試，于是我將《聚焦中考“非典”題》一文郵寄給姜明長老師，熱情的姜老師一收到我的稿件立刻就通過電話與我聯系，認為我的文章貼近生活、選題新穎，稍加修改、潤色即可刊登，這也成了我寫稿生涯最難忘的一次成功投稿經歷，在姜明長和程哲兩位老師的悉心指導下，我的40多篇拙作在《中學生數理化》上發表，我的學生閱讀《中學生數理化》發現我的名字時，非常興奮，學習數理化的熱情更加高漲，從而也帶動了我對物理課堂教學的探索，提升了我的物理教學水平，

感謝《中學生數理化》，是她伴隨著我和我的學生們一起成長。

第5篇：高二數學導數的概念范文

一、基礎復習，重在“全”；在“全”的基礎上，突出重點

1.立足課本，全面覆蓋知識點

課本是一切知識的來源與基礎，也是歷年高考命題的依據；課本中結論，定理與性質，都是學習數學非常重要的基礎.近幾年，以課本定義內容為原型而命制的題目不在少數，因此在復習過程中，強調課本的重要性是有必要的.

那么怎樣在復習中“立足課本”呢？我的做法是：結合復習進度，全面通讀和重點講解課本.具體來說，是一個章節（一個主干知識）復習時，遵循先課本，后教輔，再練習的過程.如在復習《直線和圓的方程》這一章時，我讓學生先閱讀課本，了解復習內容.在這個基礎上，我再給學生整理、歸納知識點，構建知識網絡，講解課本中的部分有價值的例題和習題（通常是體現數學思想方法、具有通性通法或有一定難度的），并補充相應的例題和習題.這樣由基礎復習過渡到綜合訓練，同時對于成績較差的同學，不但能鞏固基礎知識，使他們能解決容易和中檔題目，而且能提高其自信心.對于成績較好的學生來說，由于基礎復習全面而牢固，再通過老師補充例題的講解和課后練習的鞏固，也取得了更大的提高.

如對于問題：已知直線`直線L過點P(-1,2),且與以點A(-2,-3)、B(3,0)為端點的線段相交,求直線L的斜率k的取值范圍.我提供了3種不同解法分別是：（1）利用直線的傾斜角與斜率的關系，采用正切函數的圖像討論，同時附帶復習了正切函數的圖像與性質；（2）直線的交點法，牽涉到了簡單分式不等式的解法；（3）線性規劃的“直線定界，特殊點定域”法.這樣不斷充實和完善，知識網絡就不斷地形成和鞏固.

2.注意所選復習資料對知識點的覆蓋面，力爭做到“全”而“精”

高三復習，老師會為學生選擇一本復習資料.怎樣選擇和使用好復習資料呢？我的選擇依據是知識點覆蓋全面和體例完整（知識點歸納、例題有分析講解、習題精練）.在使用的過程中，刪除過于技巧性和記憶性的內容（如《數列》中S奇和S偶的關系等），以及較難和繁的例題、習題，這樣做的目的在于保證學生的精力用于數學核心知識的學習，使學生注重知識的生成和公式性質的推導過程，而不是單純的識記，同時在一輪復習中不限于繁難習題的求解之中，確保復習的有效性和重點.

3.使學生熟悉課本知識結構，將所學知識體系條理化、網絡化

一輪復習，不是高中三年知識的簡單重復，而是要使學生在進一步熟悉知識的同時，對不同知識進行橫向的聯系，對相同的知識能進行縱向的加深和對比.因此，對主干知識應做到深化、細化、強化；對零散知識點做到條理化、系統化、綜合化.如《函數》部分，高一學習函數的基本概念和性質，高三學習導數及其應用，復習過程中，就應該有所側重：定義域、奇偶性周期性等以高一內容為主，而單調性最值等則以導數為主，值域則兩者兼顧.

4.小循環，常“回頭”

高中數學知識點多，而且有些內容似乎沒有聯系.但經過比較我們發現，在數學學習和解題中，有些知識點和方法經常用到.如換元法，數形結合法，化歸思想等.復習過程中，經常將這些較多使用的知識點小結一下，不斷重復，會加深學生的理解，進而在解題中得到應用.

如數形結合法，在函數中有這樣的習題：“求關于x的方程lgx-sinx=0的解的個數”，而在解析幾何中有這樣的習題“已知不等式1-x2＜x+a在［-1,1］上恒成立，求a的取值范圍”.這樣在兩個章節中的習題，但他們都使用了相同的解法，我們在復習中，進行對比、小結，對學生掌握這種解法是有好處的.

像這樣的例子還有很多，如果我們在教學過程中能夠經常“回頭看”，進行小結，復習的效率將會大大的提高.

第6篇：高二數學導數的概念范文

關鍵詞：2014年遼寧省高考；數學試題；分析；啟示

一、總體評價

2014年遼寧省高考數學試題在充分尊重學生的差異性、多樣性和發展性的基礎上，以新穎的視角，創新的手法進行精心的設計和藝術化的“剪裁”，彰顯多元化、多層次、多維度以及具有時代性和前瞻性的命題特色，試題高度體現“以人為本”核心理念的價值取向。本試卷很好地堅持了“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，試卷中絕大多數題目采用熟悉的背景材料，常規的設問方式，基本的解題方法，與平時的高中數學教學匹配度高。從考試性質上審視這份試卷，它有利于高中數學教學和課程改革，有利于高校選拔有學習潛能的新生。總體來講，2014年遼寧高考數學試題具有較高的信度、效度、必要的區分度和適當的靈活度，是一份可圈可點的試卷。

二、試題特點

（一）考查全面，突出主干

2014年遼寧省高考數學試題在重點考查基礎知識的前提下，支撐學科知識體系的主干內容如函數與導數、數列、三角函數、立體幾何、解析幾何、概率與統計等重點知識在試卷中占主導地位。統計數據（具體見表1和表2）表明，文、理科試卷的知識覆蓋面均達80%以上。試題有效地檢測了學生是否具備進一步學習所必備的基礎知識和基本技能，使得對高中數學主體內容的考查達到了必要的深度，有利于減輕學生的負擔，同時體現以問題為背景，以知識為載體，以方法為依托，在“平凡中見真奇，樸實中考素養”的高考數學命題意圖。

表1 2014遼寧高考數學文科試卷考查知識與分值分布表

表2 2014遼寧高考數學理科試卷考查知識與分值分布表

（二）考查知識聯系，在知識交匯處命題

“數學學科命題要從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡交匯點設計試題，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度”。根據這一要求，2014年數學試題命題者注意在知識的交匯點設計試題，通過知識的聯系、滲透和綜合運用，考查考生的思維能力。例如：文科試卷第9題，理科卷第8題，是指數函數與數列的交匯；文、理科試卷第17題是平面向量與三角函數的交匯；理科試卷第19題是空間向量與空間圖形的交匯；文、理科試卷第20題是以解析幾何為背景材料的試題，涉及了解析幾何與平面幾何、函數、不等式、三角函數的交匯；文、理科試卷第20題，以解析幾何為背景，有效融入了不等式的應用；文、理科試卷第21題，打破傳統模式，以導數為主要工具，將三角函數和對數函數完美融合在試題背景中。這類題的綜合性強，難度較大，基本作為壓軸題出現，主要考查考生靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。

（三）強調能力立意，側重理性思維

數學是一門思維科學，提高學生的思維能力，發展學生的思維水平，是數學教育的重要任務之一。2014年遼寧高考數學試題從多個角度考查了學生的數學能力：空間想象能力（文、理卷4、7、19題），如文、理卷第7題對三視圖進行了考察，考生不僅需要有三視圖的知識，還要有一定的空間想象能力；抽象概括能力（理12題），主要從數學語言、數學模式與數學模型兩方面對抽象概括能力進行考查，需要考生能讀懂題目中的文字語言和符號語言，并能把數學符號語言轉化為圖形語言，結合圖象解決問題；推理論證能力（文21題、理21題）需要考生既具有良好的觀察、聯想、想象等直觀發現能力，又要具備探索、演繹和論證的抽象思維能力；運算求解能力（文、理卷17題）、數據處理能力（文、理卷18題）要求考生會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷，強調數據處理能力是高中數學新課程給高考帶來的一個變化（文、理科數學能力立意考查具體統計數據見表3）。

表3 2014年遼寧高考數學文、理科能力考查統計表

（四）注重數學基本思想的考查

2014年遼寧高考數學試卷在考查數學基礎知識和基本技能的基礎上，尤其在把握概念的本質屬性和運用數學思想方面提出了較高的要求。例如：（1）文、理科試卷第7題，利用幾何體的三視圖來求幾何體體積，此題處理時可以借助熟悉的正方體，從正方體中尋找幾何體，這考查了化歸與轉化的思想。（2）文科卷第16題，理科卷第11題，當x∈[-2，1]時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是？分析：用變量x的不同取值作為分類的標準，采取分離參數法（常規方法），一邊是參數，另一邊是關于x的函數，再利用恒成立問題的思想方法和利用導數法求函數最值，最終求出參數的范圍。這兩道題主要考查函數單調性的綜合運用及分類討論的思想。在以往的高考題中也能找尋到這種題型的影子。例如：2008年江蘇省高考數學試題第14題，設函數f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實數a的值為？從以上分析不難看出，數學思想既是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的催化劑。提煉問題本身所蘊涵的數學思想，并能運用它們解決問題，常能起到事半功倍的效果。（3）文、理卷第15題，已知橢圓c：[x29]+[y24]=1，點M與C的焦點不重合，若點M關于C的焦點的對稱點分別為A、B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|AM|=？此題處理時有兩種方案：第一，可以讓M點選取為一個特殊點，比如短軸頂點，考察特殊與一般的思想。第二，對比2013年遼寧文科試卷第11題和第15題，理科試卷第15題，彼此共性在于把握圓錐曲線的定義，將問題轉化到曲線上任意點到兩個焦點的距離問題，實現了對核心知識的考察，體現了命題者著眼基礎，立足核心與本質的指導思想（文、理科數學思想考查具體統計數據見表4）

表4 2014年遼寧高考數學文、理科數學思想考查

統計表

（五）側重選拔，尊重差異

2014年遼寧高考數學試卷中不乏解法開放的試題，選拔功能突出，具有較高的信度、效度與區分度，能夠使一些優秀學生脫穎而出。試題既有“直觀感知、操作確認”，又有“度量計算、思辨論證”。問題設置簡潔明了，思維層次逐步提升，解題思路開放多樣，充分尊重學生在學習數學方面的差異，力求使得不同思維方式、思維層次的學生都能得到科學的評價，例如理10、19、20題，文19、20題等都有多種解法，考生可根據自己的思維習慣，以不同的思考角度探索解決問題的方法，實現“殊途同歸”。（1）理科試卷第10題，已知點A（12，3）在拋物線C：y2=2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為？此題研究直線與圓錐曲線的位置關系，考生可以利用判別式來確定切點，也可借助題目中切點在第一象限的已知條件，將曲線方程化為y=[8x]，利用導數方法求出切點。試題的設置關注到了不同考生的最近思維發展區，有效地考查了考生思維的差異性。（2）文、理科試卷第20題，在處理已知中三角形面積最小時，有的考生會先設出直線方程，進而利用點到線距離來確定直線與圓相切位置關系，最后將面積表示成函數模型，進而求得最值及此時的p點。也有的考生會將變量建立為∠pox=α，將面積表示為[12]?[1sinα]?[1cosα]，接著利用三角公式化簡就很容易得出p點位置。此題考查動直線與圓的位置關系，我們知道解析幾何問題突出坐標化思想，而方程思想則是坐標化思想的核心，文、理卷第20題很好地體現了解析幾何處理問題的強大工具性。由此可見，不同層次的考生會選擇不同的解題思路，但計算量及解題所耗時間差異很大，這對高校分層選拔提供了有效的平臺，正好也體現了高考的選拔功能，區分度在這上面也有所體現了。

（六）適度創新，亮點突出

2014年遼寧高考數學試題不乏研究型、探索型、開放型的試題，命題人精心設計考查數學主體內容，體現數學素養的題目，完美闡明了高考數學試題中命制創新試題的意義、方式、內容和題型。例如文、理科卷第16題和理科卷第12題：（1）已知定義在[0，1]上的函數f（x）滿足：①f（0）=f（1）=0；②對所有x，y∈[0，1]且x≠y，有|f（x）-f（y）|

（七）文理有別，體現差異

根據文理科數學教學不同的要求，理科側重考查抽象概括、理性思辨能力，文科側重考查形象直觀、具體應用能力。對比2013年遼寧高考文理試題，今年的高考試題根據對文、理科學生考察要求的不同，加大了文理差異。2013年文理相同客觀題13道，主觀題2道以及選做題。2014年文理相同客觀題11道，主觀題1道以及選做題，同時增加了3道姊妹題。（見表5）

表5 2014年遼寧高考數學文、理科數學比較表

三、對教學及復習的啟示

（一）夯實學生基礎，精心構建知識網絡。

2014年遼寧高考數學試卷中，函數、數列、不等式、三角、立體幾何、解析幾何和概率統計仍然是考查的主要內容，在這些基礎知識的網絡交匯點處設計試題是對考生綜合能力考查的好題。因此，高三數學復習課的教學不應只是把所學過的數學知識簡單地重復一遍，而是要幫助學生不斷地建構知識網絡，以完善學生的認知結構。由于在高一、高二學習新課的時候，受知識能力的限制，不少內容的獲得往往是分散的，缺乏必要的深度和高度，而高三學生的視野相比高一、高二較為開闊，對于原來的知識點可能有新的理解、新的發現、新的感悟。教師要注重回歸教材，但又不能拘泥于教材，應該站在高中數學知識整體的高度重新審視教材，使學生的大腦呈現的不再是一大堆公式、定義、定理等，而是清清楚楚的幾張知識網絡圖。這樣，學生在高考時，就能快速地確定解題思路，迅速調集頭腦中儲存的信息，快速通過選擇、組織，使知識在解決問題時彰顯本領。

（二）注重思維方式，挖掘典型例習題的潛在價值

縱觀2014年遼寧高考數學試卷，體現了以知識為載體，以方法為依托，以能力考查為目的的新課程理念。這也給今后的考生及教師傳達一種思想，要淡化特殊技巧，不必將精力花在鉆研偏題怪題和過于煩瑣、運算量太大的題目上，而應重視基本思想方法的靈活運用，所以教學中例題的選擇一定要恰當，強調解題的通性通法，倡導舉一反三，而對于個別題目的特技應少講。由于課本例習題一般都具有典型性、代表性、示范性、遷移性，它們或是滲透某些數學方法，或體現某種數學思想，或提供某些重要結論，所以我們要充分認識例習題本身蘊含的潛在價值，加強課本例習題的改編、變形、延伸、拓展，多歸納總結，提高“做一道題會做一類題”的能力，善于觀察題目，分析題目，反思題目，注重回歸課本，跳出題海。

（三）重視閱讀理解，培養數學表達能力

閱讀理解與學生的自主學習相對應，而數學表達則讓學生更好地通向理性思維。縱觀近幾年遼寧高考數學試卷，無論是從符號、圖表、數學公式，還是行文敘述、新定義情景等問題，對學生在準確理解、恰當表達方面要求較高。鑒于此，教師需在平時的教學中有針對性地培養學生的數學素養和正確的學習習慣。教師在數學知識的教學中，要善于從不同的視角用不同數學語言加以表述，引導學生加以理解，把形式化的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態，去揭示數學知識的本質。此外，解析幾何題目的運算量一般比較大，而且大多帶有很多字母，因此運算能力差導致運算出錯常常會對解題造成很大影響，教師在教學中應重視學生運算能力的培養，并鍛煉學生的耐心與毅力。

（四）強化探究意識，培養創新思維

隨著高考改革的不斷深入，通過研究型、探索型、開放型的試題考查學生的創新意識已成為數學學科的命題特色和發展方向。只有善于思考、具有一定的創新精神的考生，才能最終脫穎而出。教師需在平時的教學中，對知識深究細探，盡量少用幾十年不變的陳題，從資料中多涉獵新題，以探索性的問題為切入點，采用不同的方法尋找解決問題的線索，通過新題歸納解題的思維方法，激發頭腦的思維風暴，同時關注題型的多向發展，重視橫縱聯系，拓展思維方法，加強多元交匯，培養創新意識。

[參 考 文 獻]

第7篇：高二數學導數的概念范文

關鍵詞：高中藝體生；數學學習策略；高效

一、藝體生高考現狀分析

（1）藝體生不同于文化生，部分學生選擇藝體是出于興趣，但更多的是因為文化課（尤其是數學）成績不好，為了能上大學不得不選擇對文化課成績要求較低的藝體專業。

（2）藝體生的錯誤認識。藝體生往往認為：只要普通高校藝術類專業招生省級統考（以下簡稱“省統考”）先有個很好的專業成績及校考時取得好的名次，自己就能上理想的大學，認識不到文化課也很重要。

（3）通過對藝體復讀生的調查，反映最多的幾個問題：①多數考生抱有僥幸心理，覺得藝考文化課分數要求低，專業課考完之后再學也不遲，錯過了高三第一輪系統復習的黃金時間；②藝體生返校后學校文化班（部分學校是文化、藝術混編，即文化兼報藝術類考生）已進入二輪復習階段，大部分時間是做試卷。藝體生基礎差，在做卷子的過程中，越做越不會，越做越沒有信心；③沒有專門針對藝體生高考文化課復習資料，文化班使用的高考復習資料普遍偏難，不適合藝體生使用。

二、藝體班復習時間分配

筆者將藝體班的高考復致可分為四個階段。

第一階段：高二下學期、高三的9月份。這一階段與文科班的一輪復習基本同步，但藝體生的精力大部分放在即將到來的省統考上，缺乏足夠的基礎訓練。建議在專業備考的同時，堅持每天安排一定的時間進行數學基礎知識限時訓練，切實鞏固復習成果。堅持第一階段的復習，放緩步伐，切實牢固掌握：函數概念與基本初等函數、導數、三角函數等知識，為第三階段復習減輕負擔。

第二階段：高三的12月中旬至次年的2月底。此前（9月底至12月上旬）因省統考，大部分學校幾乎暫停文化課的教學，供藝體生全力以赴備戰專業統考。12月上旬省統考結束后學生開始返校復習，但仍有相當多的考生要準備藝術校考，在班級安心上課的學生不多，復習只能斷斷續續進行，可以說這一階段的復習形同虛設，建議重新鞏固第一階段的復習成果。

第三階段：3月初至5月底。是藝體生最關鍵的100天，絕大部分藝體生已經過了藝考關，開始拼命學習文化課。因為藝體班重在夯實基礎，所以這一階段沒必要跟著文科班走二輪、三輪復習，而應獨立進行復習。建議復習分四個過程：再次一輪復習―基礎訓練―專題訓練―做綜合試卷。再次一輪復習一定要有，這樣才能構建相對完整的知識體系，了解重點考點，查漏補缺，也是為了照顧大部分學生，但要盡可能快，最遲4月中旬結束（有了第一階段的扎實復習，完全可以做到）。3月底開始要逐漸加進基礎訓練，將知識轉化為解題能力，5月初結束。4月下旬到5月上旬進行專題復習，以期藝體生在高考解答題上也能有一定收獲。雖然對藝體生而言解答題相對于填空題綜合性更強難度更大，但這并不意味著我們不能通過復習有所收獲。在三角向量、立體幾何這些難度不高的題上還是大有作為的，同時對于難度較高的解析幾何、數列、導數，也力爭在解答題較容易的第一小題上有所突破。課堂上切忌老師一講到底，強調師生互動、講練結合。鼓勵學生積極動腦思考動手演練，最后教師進行歸納與總結，使學生掌握解決同一類問題的常用方法和步驟。從5月中旬開始做綜合模擬試卷，目的是通過做考卷，檢驗我們前期工作的成效，提高學生適應高考能力和實戰水平。為了使模擬訓練更具有針對性，試題來源于對江蘇近四年高考卷或省內大市的模擬卷進行整合，考試利用兩節連堂進行。對閱卷的要求就是要及時，通常是在下一次上課前完成閱卷和試卷分析工作，找出學生的問題所在。這樣評卷時就可以根據分析的結果做到有的放矢，既節省時間，又提高效率。

第四階段：6月初僅有的一周。工作重點是設法調節好學生的狀態，以便他們能在高考中把自己現有水平充分發揮出來。這一階段建議做好兩項工作：

一是心理調節。盡量給他們創造一個輕松的環境，肯定他們的進步和能力，使他們能以一個平和的心態去參加高考；二是知識調節。由于這時學生的水平、能力已經定型，所以考前只需查漏補缺，讓學生把復習資料按順序瀏覽一遍，找出那些模糊不清的東西，最后再鞏固一下。

總之，藝體班的數學教學需要教師對藝體生有一個正確的認識，需要教師認真細致地研究，需要教師全身心地投入，相信只要我們有強烈的責任心，就一定能把藝體生的高考數學成績提到一個更高的水平。

參考文獻：

[1]許 東，敬瑞霞.再探社會新階層思想政治工作實踐路徑[J].黑河學刊，2011，172（11）：69―70.

第8篇：高二數學導數的概念范文

【關鍵詞】數字化校園；網絡資源；高效教學

隨著信息技術的飛速發展，教育信息化的未來發展趨勢是建設數字化校園。我校《數字化校園環境下，開發優質校本資源，實施高效教學的研究》為江蘇省現代教育技術2010年度立項課題，經過幾年的努力，我校現已建成門戶網站、資源網站和信息化管理平臺等多種功能于一身的數字化整體平臺。作為課題實驗的參與者，經過一年來的實驗深深感受到數字化校園為師生自由全面發展提供了更多的空間和機會，從教與學的實際需求出發，師生運用數字化資源進行教學活動在我校已經成為一種習以為常的事情。新課程標準下的課堂提倡是高效教學，高效教學基本要求是注重學生的知識、能力和情感等方面素質的全面發展，核心要素是加強師生相互溝通和交流，使學生積極地、目的明確地、主動熱情地參與到教學活動中來，下面我們結合課題實驗的體會對數字化校園環境下，高中數學如何實施高效教學作一些思考，與大家交流探討。

一、借用網絡多媒體，激發學習興趣

隨著現代教育技術的發展，利用多媒體技術輔助課堂在教學中已經逐漸地被廣泛應用，它具有傳統教學手段所沒有的趣味性、直觀性，充分體現數學源于實踐，源于生活，從而激發學生學習數學興趣，調動學生學習數學的積極性，主動性。愛因斯坦說“興趣是最好的老師”。通過運用Flash、幾何畫板等軟件來制作課件，可以變抽象的高深的數學知識以直觀化、具體化展現在學生面前，賦數學予靈活性，使枯燥的知識“活”起來，自然地也使學生從心理上愿意接近它，以至接受它，到最終熱愛它，從而激發學生學習數學的興趣，探求數學知識的愿望，產生發現數學真理的靈感。例如，網絡資源中有很多軟件制作出的聲形并茂的動畫或者實物場景畫面經過恰當整合(簡單的如超級鏈接)后作為課前引入創設情境素材，可以激發學生積極主動地參與探究問題的全過程，如在上《橢圓及其標準方程》的第一節課時，超級鏈接我國第二顆栽人飛船“神洲六號”繞地球旋轉運行的畫面，然后在網絡上整合類似Flas，最后動手運用幾何畫板抽象出飛船運行軌跡圖(課前準備好)，讓學生形成對橢圓的感性認識，感受到在生活實踐中數學是有用的、數學就在我們身邊，增強數學的應用意識。

二、利用網絡資源，促進預習效果

在新一輪的課改中，數學教師將由知識的傳授者逐步轉變為教學活動的組織者、指導者、參與者和研究者，而學生將成為學習的真正主人，其本質是自主學習，就是在教師講授新知識之前，學生獨立地閱讀有關的材料，并適當做好閱讀筆記，認真完成課本作業。我們學校提倡的教學模式是“先學后教”，教師編制導學案，在課前發給學生作為預習作業，特別是在新授課中利用教材中的概念、定義、定理或公式等，設置開放性問題，讓學生先自學整理，成為課堂中積極討論發言的材料。要想讓學生知道一個概念、定義的由來，一個定理、公式的推導及應用等，僅靠教師在課堂中講解是不夠的，僅靠學生討論效率又不高，我們在預習作業中設置一些開放性問題，可以讓學生上網站，利用網絡資源查找資料，到課堂中積極討論發言。例如，編制對數的概念的導學案時，可以設置對數是如何產生的?讓學生上網搜索了解關于對數的發展史方面知識，激發學生學習對數的熱情；編制余弦定理的導學案時，可以設置余弦定理有哪些推導方法?讓學生利用網絡資源查找資料，激發學生參與課堂討論的積極性，等等，這樣待準備好預習作業，學生已不自覺地投入本課時內容之中，不但促進學生參與課堂討論的熱情，而且大大提高了預習作業效果。

三、利用網絡多媒體，增強備課效率

數學網站的資源豐富，有些可以直接使用，有的不適合于直接使用，需要經過優化、改進才能更好地服務于課堂教學過程。對于數學課件的制作，如果完全靠自己獨立地運用Flash、幾何畫板等軟件來制作課件，不但會耗費大量的時間、而且效果也不一定好，因此，我們利用網絡資源下載作為編寫課件“腳本”，然后調整、修改。我們學校采用的備課模式是“五備”：自備――主備――共備――再備――終備(自備，就是要求教師在集體備課之前，自行鉆研教材，找準重點難點，設計教學環節，寫出書面教案。主備，就是每次備課都要明確一位主備教師，深入鉆研，寫出備課詳案，在集體備課時試講，展示課堂過程，突出重點難點，或提出研討的問題。共備，就是在主備教師試講后，大家集體討論，設計出教學共案――導學案和預習作業。再備，就是要求老師在集體研討的基礎上，有針對性地對自己的教學設計進行最后一次課前個性化加工，使得本班教學更有效。終備，就是教學反思，是教師對本節課的課堂教學情況的總結和評價，是下節課高效教學的前提，是教師不斷提高教學技能的必由之路。)在自備過程中，可以利用利用網絡資源查找資料，自己整理加工，寫出書面教案；在共備過程中，備課組所有成員到學校網絡備課活動中心，先從學校學科教學資源網站下載主備人教案，然后聽主備人利用多媒體(電腦、投影儀等)進行說上課，在主備人試講后，大家結合自備利用多媒體進行集體討論交流觀點，最后由主備人設計出教學共案――導學案和反饋練習，同時將備課資料及時的放到學科教學資源網站，讓備課組成員資源共享。在編制課時反饋練習時，如果一味使用自己過去準備好的陳題，就跟不上新課標訓練對習題提出的新要求，如果自己重新一道道選題、編題，又要耗掉不少時間，因此可以從網站上搜索本課時內容的習題，然后進行刪減、增補、變式及改編，即整合網站群資源上的陳題及改編題共同形成課時反饋練習，這樣既承續了網站群上必要的典型習題，又通過改編題、變式題發展和豐富了網站群資源，更重要的是極大提高了備課效率和課堂教學質量，節省了教師自己寶貴時間。

四、利用網絡多媒體，提高課堂效益

建構學習理論提倡的學習方法是教師指導下的、以學生為中心的學習；建構主義學習環境包含情境、協作、會話和意義建構等四大要素。我們提出數字化校園環境下，高效教學是以“以學生為中心，在整個教學過程中由教師起組織者、指導者、幫助者和促進者的作用，利用情景、協作、會話等學習環境要素充分發揮學生的主動性、積極性和創新精神，最終達到使學生有效地實現對當前所有知識的意義建構的目的。”高中數學課堂內容一般來說，概念、定理多又抽象，題目難又繁雜，這樣在平時概念、定理的教學中，若全部教學內容運用黑板書寫效率太低，耽誤許多課堂寶貴時間，造成預期計劃不能很好地完成，教學容量小，可以運用網站資源將概念主要內容、關鍵點、相關聯類似概念、

整合成PPT幻燈片的形式在課前準備好，課堂教學過程中，將重要的思路分析、解題證明步驟在黑板上板書，相關聯概念、變式練習通過準備好的PPT幻燈片逐一展示，這樣可以留給學生足夠的思考時間，深刻體會概念、定理的本質，實現教學過程的最優化。充分發揮多媒體和網絡的交互功能，實現課堂教學中多種方法的綜合運用，調動學生的多種感官參與學習，并以學生的學為中心，讓學生積極參與，自行探索，獲得親身體驗，對數學的概念與內涵有更為深入的理解，從而達到可持續發展的要求。例如，在研究三角函數y=Asin(ωx+Ф)的圖像性質時，借助于多媒體技術，讓學生自己參與，對系數A，ω，Ф賦不同的值，得到相應的圖像變化情況，然后通過分類、探索與歸納，使學生深刻理解各個系數對其圖像的影響，既增強學生對知識的聯想記憶，又促進對知識的理解，從而提高了課堂效益。

五、利用網絡多媒體，提升復習質量

高中數學知識面廣量大，為了使學生對知識的掌握達到系統化、結構化、網絡化，熟練理解掌握各種典型問題的通解通法，高一高二時經常要進行階段性復習，高三時要進行系統復習和專題復習，這些復習都需要一定數量質量的例題及其方法總結作支撐，可從網站資源中搜索下載所需要的典型例題與方法總結為基礎，進行適當修改、補充，再作抽象概括整合形成數學章節或專題的知識方法體系，在課前制作成PPT幻燈片的形式，課堂教學時結合多媒體使用，利用一題多解、一題多變、多題一解進行充分揭示，給學生恰當地設置“最近發展區”激合學生思維，拓展思維空間，這樣不但加大了復習的容量，而且提升了復習質量。例如，高三第二輪復習中關于變量范圍的專題復習中，整合網站群資源發現：高一函數值域的方法(例題就不一一羅列)有列舉法、觀察法、圖象法、反解法、換元法、判別式法等；高二有基本不等式法、線性規劃法、幾何意義法求某些代數式最值、范圍；高三有：導數法給定區間上函數值域的方法，有了這些網絡資源進行整合，這樣既提高了備課效率，又增強了高考第二輪復習中教學的針對性、有效性，既快速地復習了基本常見的方法，又更好地突出了重點方法內容，從而提升復習質量。

六、利用網絡平臺，溝通師生交流

第9篇：高二數學導數的概念范文

那么高考函數試題的難度到底有多大?本刊特做此專題,對2008年全國高考函數考查的內容進行全面界定和分析,以期幫助同學們樹立信心,學好函數知識.

一､考查函數的定義及求值問題

例1(陜西卷理科)定義在R上的函數f(x)滿足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R), f(1)=2,則f(-3)等于()

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

解析 函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R), f(1)=2,

f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=2+2+2=6.

f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)+2×2×2=6+6+8=20.

又f[4+(-3)]=f(4)+f(-3)+2×4×(-3)=f(1),

f(-3)=f(1)-f(4)+24=2-20+24=6. 故選C.

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數(難). 對于函數求值的考查,一般都涉及到函數的周期性､奇偶性等性質. 具體函數的求值問題要先求出函數解析式,再求解. 而對于抽象函數的求值問題,則先通過遞推關系式的變形,利用已知函數值進行求解,往往需要對某些變量進行適當的賦值,這是一般向特殊轉化的必要手段.

【相關鏈接】

(山東卷文科)已知f(3x)=4xlog23+233,則f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 .

解析 f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233,

f(x)=4log2x+233,

f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=(4log22+233)+(4log24+233)+(4log28+233)+…+(4log228+233)=4(1+2+3+…+8)+8×233=2008. 故填2008. (高一,)

二､考查函數定義域問題

例2(安徽卷理科)函數f(x)=的定義域為.

解析由題意得 |x-2|-1≥0,x-1>0,x-1≠1. 解得 x≥3或x≤1,x>1,x≠2. 所以x≥3.故函數的定義域為{x|x≥3}.

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數(易). 函數定義域是高考考查的重點內容,一般情況下,函數的定義域就是指使這個式子有意義的所有實數x的集合,但實際問題的定義域必須具有實際意義,對含參數的函數定義域必須對字母參數分類討論. 在一些具體函數綜合問題中,函數定義域往往具有隱蔽性,所以在研究這些問題時,必須樹立“定義域優先”的原則.

【相關鏈接】

(1) (湖北卷理科)函數f(x)=ln(+)的定義域為()

A. (-∞,-4]∪[2,+∞) B. (-4,0)∪(0,1)

C. [-4,0)∪(0,1] D. [-4,0)∪(0,1)

解析要使函數f(x)=ln(+)有意義,則

x≠0,+>0,解得-4≤x

函數f(x)=ln(+)的定義域為[-4,0)∪(0,1). 故選D. (高一,)

(2) (江西卷文科)若函數y=f(x)的定義域是[0,2],則函數g(x)=的定義域是()

A. [0,1] B. [0,1)

C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1)

解析因為函數y=f(x)的定義域是[0,2],所以,要使函數g(x)=有意義,必滿足:x-1≠0,0≤2x≤2. 解得0≤x

三､考查函數值域(最值)問題

例3(江西卷理科)若函數y=f(x)的定義域是[,3],則函數F(x)= f(x)+的值域是()

A. [,3] B. [2,]

C. [,] D. [3,]

解析因為函數y=f(x)的值域是[,3], 所以≤f(x)≤3. 又因為函數F(x)=f(x)+在區間[,1]上單調遞減,在區間[1,3]上單調遞增, 所以當f(x)=1時,函數F(x)=f(x)+取得最小值2.

又當f(x)=時,函數F(x)=f(x)+的值為;當f(x)=3時,函數F(x)=f(x)+的值為, 所以函數F(x)=f(x)+的最大值為.

故函數F(x)=f(x)+的值域是[2,].

點評本題要用到高二的知識求解,難度指數(中). 函數值域(最值)問題是高考考查頻率很高的內容,幾乎每年高考在選擇題或填空題中都會涉及到. 求函數最值問題一般需要借助于函數值域的常用方法,此類問題要注意函數定義域在求最值中的制約作用. 利用函數的單調性可以求函數的值域､最大值､最小值,而且可以達到化難為易､化繁為簡的效果.

【相關鏈接】

(1) (重慶卷文科)函數f(x)=的最大值為()

A. B. C. D. 1

解析函數f(x)=的定義域為[0,+∞).

f(x)==≤=, 當且僅當=,即當x=1時上式等號成立.

函數f(x)=的最大值為. 故選B. (高二,)

(2) (重慶卷理科)已知函數y=+的最大值為M,最小值為m,則的值為()

A. B. C. D.

解析函數y=+的定義域為{x|-3≤x≤1}.

y2=(+)2=4+2

=4+2,

當x=-1時,y2max=4+2=8,

y=2,即M=2.

當x=-3,1時,

y2min=4+2=4+2=4,

ymin=2,即m=2.

==. 故選C. (高一,)

四､考查函數圖象問題

例4(全國卷Ⅰ理科)設奇函數f(x)在(0,+∞)上為增函數,且f(1)=0,則不等式

A. (-1,0)∪(1,+∞) B. (-∞,-1)∪(0,1)

C. (-∞,-1)∪(1,+∞) D. (-1,0)∪(0,1)

解析由題意知=

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 近年來高考試題加強了對數形結合思想的考查,最明顯的是高考試卷中函數圖象考題明顯增多. 要掌握一次函數､二次函數､指數函數､對數函數的圖象和性質,在此基礎上,理解､掌握常見的圖象平移､對稱及伸縮變換,通過對圖象的識別來考查函數的性質. 函數圖象形象地顯示了函數的性質,為研究數量關系提供了“形”的直觀性,它是探求解題途徑,獲得解題方法的重要工具,通過借助于圖形的直觀性,以圖助算,就可避免繁瑣的計算. 因此,以數形結合為切入點,可化難為易.

五､考查求函數解析式問題

例5(上海卷理科)設函數 f(x)是定義在R上的奇函數. 若當x∈ (0,+∞)時, f(x)=lgx,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是 .

解析 f(x)是定義在R上的奇函數,且當x∈(0,+∞)時, f(x)=lgx.

當x∈(-∞,0)時, f(x)=-lg(-x).

f(x)>0, x>0,lgx>0或x0 x>1或-1

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 求函數的解析式,要注意所求解析式的定義域,要在相關定義域下通過化抽象為具體的方法,把問題轉化.

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(全國卷Ⅰ理科)若函數y=f(x-1)的圖象與函數y=ln+1的圖象關于直線y=x對稱,則f(x)=()

A. e2x-1 B. e2x C. e2x+1 D. e2x+2

解析 函數y=f(x-1)的圖象與函數y=ln+1的圖象關于直線y=x對稱,

函數y=f(x-1)與函數y=ln+1互為反函數, y-1=e2(x-1),

函數y=f(x-1)=e2(x-1), f(x)=e2x. 故選B. (高一,)

六､考查抽象函數的奇偶性問題

例6(重慶卷理科)若定義在R上的函數f(x)滿足:對任意x1,x∈R有f(x1+x)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的是()

A. f(x)為奇函數 B. f(x)為偶函數

C. f(x)+1為奇函數 D. f(x)+1為偶函數

解析令x1=x2=0,得f(0)=2f(0)+1f(0)=-1.

又x1=-x2, 得f(x1-x1)=f(x1)+f(-x1)+1, 即f(0)=f(x1)+f(-x1)+1,

[f(x1)+1]+[f(-x1)+1]=0,即f(x)+1為奇函數. 故選C.

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 此題主要考查函數奇偶性. 我們把未給出具體解析式的函數稱為抽象函數,由于這種表現形式的抽象性,使得直接求解思路難尋,但通過賦予恰當的數值,經過運算與推理,不難得出結論.

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(安徽卷理科)若函數f(x)､g(x)分別為R上的奇函數､偶函數,且滿足 f(x)-g(x)=ex,則有()

A. f(2)

C. f(2)

解析 函數f(x)､g(x)分別為R上的奇函數､偶函數, f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=e-x,即f(x)+g(x)=-e-x. 聯立f(x)-g(x)=ex,f(x)+g(x)=-e-x, 解得f(x)=(ex-e-x),g(x)=-(e-x+ex). f(2)=(e2-e-2)=, f(3)=(e3-e-3)=, g(0)=-(e-0+e0)=-1. 又因為-1

七､考查函數周期性問題

例7(四川卷理科)設定義在R上的函數f(x)滿足f(x)?f(x+2)=13,若f(1)=2,則f(99)=()

A. 13 B. 2 C. D.

解析 f(1)=2, f(x)?f(x+2)=13, f(1)?f(1+2)=13,即f(3)=.又 f(x+2)?f(x+4)=13, f(x)=f(x+4),即函數y=f(x)是以4為周期的函數, f(99)=f(4×24+3)=f(3)=. 故選C.

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 本題主要考查函數的周期性知識,同時考查考生的理解和推理能力,求解時應首先判斷出是周期函數. 對于函數f(x)而言,若f(x+T)=f(x),則說f(x)的周期為T,一般在三角函數中應用較多.

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(湖北卷文科)已知f(x)在R上是奇函數,且滿足f(x+4)=f(x),當x∈(0,2)時, f(x)=2x2,則f(7)=()

A. -2 B. 2 C. -98 D. 98

解析 f(x)在R上是奇函數, f(-x)=-f(x). f(x)滿足f(x+4)=f(x), f(x)是周期為4的周期函數. 又當x∈(0,2)時, f(x)=2x2, f(7)=f(7-2×4)=f(-1)=-f(1)=-2×12=-2. 故選A. (高一,)

八､考查原函數與反函數的關系問題

例8(陜西卷理科)已知函數f(x)=2x+3, f -1(x)是f(x)的反函數,若mn=16(m,n∈R+),則 f -1(m)+f -1(n)的值為()

A. -2 B. 1 C. 4 D. 10

解析由原函數與其反函數的關系得2x+3?2y+3=16,即2x+3?2y+3=22?22,所以x=y=-1,因此有 f -1(m)+ f -1(n)=-2. 故選A.

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 由于原函數的定義域和值域分別是其反函數的值域和定義域,因此,反函數的定義域不能僅由其解析式來求,而應該是原函數的值域. 此例主要是考查利用原函數與其反函數的關系解題,可以避開求反函數的麻煩,提高解題速度.

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(1) (北京卷文科)函數f(x)=(x-1)2+1(x

A. f -1(x)=1+(x>1) B. f -1(x)=1-(x>1)

C. f -1(x)=1+(x≥1)D. f -1(x)=1-(x≥1)

解析由f(x)=(x-1)2+1(x

f -1(x)=1-. 再由x1, f(x)>1,

f -1(x)=1-(x>1).故選B. (高一,)

(2) (遼寧卷理科)函數y=x+1,x

.

解析當x

當x≥0時,y=ex≥1, x=lny, y=lnx, 反函數為y=lnx,x≥1.

故函數y=x+1,x

九､考查函數單調性問題

例9(廣東卷理科)設k∈R,函數f(x)=, x

解析F(x)=f(x)-kx=-kx, x

F′(x)=-k, x

(1) 當x

①當k≤0時,函數F(x)在(-∞,1)上是增函數.

②當k>0時,令F′(x)=0,得x=1-.

函數F′(x)在(-∞,1)上是增函數,

函數F(x)在(-∞,1-)上,F′(x)0.

故函數F(x)在(-∞,1-)上是減函數,在(1-,1)上是增函數.

(2) 當x≥1時,F(x)=--kx, F′(x)=--k.

①當k>0時,F′(x)

②當k≤0時,令F′(x)=0,得x=1+,由于F′(x)在(1,+∞)上為增函數,則在區間(1,1+)上,F′(x)0.

故函數F(x)在(1,1+)上是減函數,在(1+,+∞)上是增函數.

綜上可知,當k>0時,函數F(x)在(1,+∞)和(-∞,1-)上是減函數,在(1-,1)上是增函數.

當k≤0時,函數F(x)在(1,1+)上是減函數,函數F(x)在(-∞,1)和(1+,+∞)上是增函數.

點評本題要用到高三的知識才能求解,難度指數. 本題在考查函數單調性的同時,側重考查分類討論思想在解題中的靈活應用. 因為要判斷函數單調性,就必須先確定參數a的取值情況,就a=0和a≠0分別討論. 函數單調性是高考熱點問題之一,在歷年的高考試題中,考查或利用函數單調性的試題屢見不鮮,既可以考查用定義判斷函數的單調性,用反例否定函數不是單調函數,求單調區間等問題,又可以考查利用函數的單調性求應用題中的最值問題.

十､考查分段函數問題

例10(天津卷理科)已知函數f(x)=-x+1,x

A. {x|-1≤x≤-1}B. {x|x≤1}

C. {x|x≤-1} D. {x|--1≤x≤-1}

解析當x+1

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 在處理分段函數問題時,要注意每段函數的定義域,然后注意求問題的并集.

十一､考查對數函數問題

例11(天津卷理科)設a>1,若存在一個常數c使得對于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]滿足方程logax+logay=c,這時a的取值的集合為.

解析由方程logax+logay=c得y=.

又x∈[a,2a]且a>1,所以y∈[ac-1,ac-1].

對于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2],

[ac-1,ac-1][a,a2],即ac-1≥a,ac-1≤a2,

c-1≥loga2a,c-1≤2.

而滿足條件的常數c僅有一個,因此有loga2a=2,解得a=2.

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 本題主要考查對數函數的單調性和簡單的對數方程的解法,在解題時,一定要注意不同的底,對數函數有不同的單調性. 函數最值是函數的主要內容,它在數學各個分支及實際問題中有著廣泛的應用,特別是基本初等函數(二次函數､指數函數､對數函數)的最值問題,多年來一直是常考不衰的熱點內容之一.

十二､考查函數圖象問題

例12(遼寧卷理科)將函數y=2x+1的圖象按向量a平移得到函數y= 2x+1的圖象,則()

A. a=(-1,-1) B. a=(1,-1) C. a=(1,1) D. a=(-1,1)

解析將函數y=2x+1的圖象向左平移1個單位得到函數y=2x+1+1的圖象,再向下平移1個單位得到函數y=2x+1的圖象,即將函數y=2x+1的圖象按向量a=(-1,-1)平移得到函數y=2x+1的圖象. 故選A.

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 函數圖象類試題,其求解策略是充分挖掘圖象信息,運用數形結合思想來解決問題.

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(1) (山東卷理科)函數y=lncosx-

AB CD

解析令y=lnu,u=cosx-

(2) (北京卷文科)如圖,動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上,過點P作垂直于平面BB1D1D的直線,與正方體表面相交于M,N. 設BP=x,MN=y,則函數y=f(x)的圖象大致是()

A B C D

解析過對角線BD1作平面BB1D1D的垂面,設該垂面與AA1､CC1的交點分別為E､F,則E､F分別為AA1､CC1的中點,所以當動點P在對角線BD1上移動時,M､N則在菱形EBFD1上移動.

設∠D1BF=α(0

y=2xtanα.

當BD

y=2(BD1-x)tanα.

y=2xtanα,0

故函數y=f(x)的圖象大致是B. (高二,)

十三､考查指數函數的綜合問題

例13(上海卷理科)已知函數f(x)=2x-.

(1) 若f(x)=2,求x的值;

(2) 若2t f(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數m的取值范圍.

解析(1) 當x0, x=log(1+).

(2) 當t∈[1,2]時, 2t(22t-)+m(2t-)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).

22t-1>0, m≥-(22t+1). t∈[1,2], -(1+22t)∈[-17,-5].

故m的取值范圍是[-5,+∞).

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 此類問題以函數為依托,綜合指數函數､方程､不等式知識設計試題,題型設計新穎,別具一格,知識渾然一體,較好地體現了知識的整體性和綜合性,能突出對解決問題的方法及解決問題的能力的考查.

十四､考查絕對值不等式與函數綜合問題

例14(海南卷理科)已知函數f(x)=|x-8|-|x-4|.

(Ⅰ) 作出函數y=f(x)的圖象;

(Ⅱ) 解不等式|x-8|-|x-4|>2.

解析(Ⅰ) f(x)=4,x≤4,-2x+12,48.

圖象如下:

(Ⅱ) 不等式|x-8|-|x-4|>2,即f(x)>2,由-2x+12=2得x=5.

由函數f(x)圖象可知,原不等式的解集為{x|x

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 本題考查了絕對值的意義､分段函數及其圖象､函數最值和不等式等知識,考查分類與整合的思想方法和數形結合的解題技巧. 分段函數是自變量在不同的取值范圍內,其對應法則也不同的函數. 分段函數不是幾個函數,而是一個函數.

十五､考查函數應用問題

例15(江蘇卷理科)如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A､B及CD的中點P處. AB=20 km,BC=10 km. 為了處理這三家工廠的污水,現要在矩形區域上(含邊界),且與A､B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設三條排污管道AO､BO､PO. 記鋪設管道的總長度為y km.

(1) 按下列要求建立函數關系式:

(i) 設∠BAD=θ(rad),將y表示成θ的函數;

(ii) 設OP=x km,將y表示成x的函數;

(2) 請你選用(1)中的一個函數關系式,確定污水處理廠的位置,使鋪設的污水管道的總長度最短.

解析(1)延長PO交AB于點Q,則AQ=10 km.

(i) 設∠BAO=θ(rad),則AO=,OQ=10tanθ,

則PO=10-10tanθ. 顯然有0≤θ≤,則

y=+10-10tanθ=+10(0≤θ≤).

(ii) 設OA=x km, 則OQ=(10≤x≤10).

所以y=2x+10-(10≤x≤10).

(2) 若選(i),則y′==.

令y′=0,解得θ=. 經進一步研究知,當且僅當θ=時,y取最小值 10+10. 即當∠BAO=時,三條排污管道的總長度最短,最短長度為(10+10) km.

若選(ii),則y′=2+. 令y′=0,解得x=.

經進一步研究知,當且僅當x=時,y取最小值10+10.

故當OA=時,三條排污管道的總長度最短,為(10+10) km.

點評本題要用高三的知識來求解,難度指數. 近幾年來,高考試題帶動了一大批“以實際問題為背景,以函數模型為載體”的應用題問世,解此類問題,建立函數模型是關鍵. 函數應用性問題,題源豐富,內容深刻,解法靈活多樣,是歷年高考應用性問題的一個熱點. 解此題,正確理解增長率是關鍵.

十六､考查三個二次問題

例16(湖北卷理科)已知函數f(x)=x2+2x+a, f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a､b為常數,則方程f(ax+b)=0的解集為 .

解析 f(bx)=(bx)2+2bx+a=9x2-6x+2, b2=9,2b=-6,a=2, b=-3,a=2.

f(ax+b)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x2-8x+5.

又Δ=82-4×4×5=-16

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數為. 二次函數､二次不等式､二次方程是高中數學的重要內容,它把中學數學各個分支緊緊地聯系在一起. 以“三個二次”為載體,綜合二次函數､二次不等式､二次方程交叉匯合處為主干,構筑成知識網絡型代數推理題,在高考試題出現的頻率相當高.

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(湖北卷理科)水庫的蓄水量隨時間而變化,現用t表示時間,以月為單位,年初為起點,根據歷年數據,某水庫的蓄水量(單位:億立方米)關于t的近似函數關系式為

V(t)=(-t2+14t-40)e+50,0

解析① 當0

又0

② 當10

又10

綜上得0

十七､考查函數與方程問題

例17(上海卷理科)方程x2+x-1=0的解可視為函數y=x+的與函數y=的圖象交點的橫坐標. 若方程x4+ax-4=0的各個實根x,x,…,xk(k≤4)所對應的點(xi,)(i=1,2,…,k)均在直線y=x的同側,則實數a的取值范圍是.

解析方程x4+ax-4=0的根可看做函數y=x3+a與函數y=的圖象交點的橫坐標,且交點在y=x的同側.

函數y=與y=x的交點為(2,2),(-2,-2).

若函數y=x3+a也經過(2,2),即2=23+a,則a=-6,此時y=x3+a與y=圖象交點,一個在y=x上,一個在y=x下方.

同理,若函數y=x3+a也經過(-2,-2),即-2=(-2)3+a,則a=6,此時y=x3+a與y=圖象交點,一個在y=x上,一個在y=x上方.

由數形結合知,y=x3+a與y=圖象交點在y=x的同側,則a>6或a

點評本題用高一的知識就可以求解,難度指數. 函數與方程是兩個不同的概念,但它們之間有著密切的聯系,一個函數若有解析表達式,那么這個表達式就可看做一個方程,這樣,許多函數的問題可以用方程的方法來解決. 也就是說,對于函數y=f(x),當y=0時,就轉化為方程 f(x)=0;反之,也可以把函數式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函數與方程這種相互轉化的關系十分重要.

十八､考查函數的多向綜合問題

例18(安徽卷理科)設函數f(x)=(x>0且x≠1).

(Ⅰ) 求函數f(x)的單調區間;

(Ⅱ) 已知2>xa對任意x∈(0,1)成立,求實數a的取值范圍.

解析(Ⅰ) f′(x)=-. 若f′(x)=0,則x=.

列表如下:

所以f(x)的單調增區間為(0,),單調減區間為(,1)和(1,+∞).

(Ⅱ) 在2>xa兩邊取對數,得ln2>alnx. 由于x∈(0,1),所以>. ①

由(Ⅰ)的結果知,當x∈(0,1)時,f(x)≤f()=-e.

為使①式對任意求x∈(0,1)成立,當且僅當>-e,即a>-eln2為所求范圍.

點評本題要用高三的知識來求解,難度指數. 本題主要考查導數的概念和計算､利用導數研究函數的單調性､利用單調性求最值以及不等式的性質.

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(遼寧卷理科)設函數f(x)=-lnx+ ln(x+1).

(Ⅰ) 求f(x)的單調區間和極值;

(Ⅱ) 是否存在實數a,使得關于x的不等式f(x)≥a的解集為(0,+∞)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,試說明理由.

解析(Ⅰ) f′(x)=--+=-.

當x∈(0,1)時, f′(x)>0,x∈(1,+∞)時, f′(x)

(Ⅱ) (i)當a≤0時,由于

f(x)==>0,

故關于x的不等式 f(x)≥a的解集為(0,+∞).

(ii)當a>0時,由f(x)=+ln(1+)知f(2n)=+ln(1+),其中n為正整數. 且有ln(1+)

又n≥2時, =-log2(e-1),n0>+1,且n0≥2,則f(2)=+ln(1+)0時, 關于x的不等式f(x)≥a的解集不是(0,+∞).

綜合(i)(ii)知,存在a,使得關于x的不等式f(x)≥a的解集為(0,+∞),且a的取值范圍為(-∞,0].