常微分方程教學(xué)改革啟發(fā)
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摘要:本文根據(jù)普通高校常微分方程課程的教學(xué)現(xiàn)狀，對于如何學(xué)好本課程，加強(qiáng)課堂教學(xué)、促進(jìn)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)及豐富教學(xué)資源等方面作了一些初步的探討。
關(guān)鍵詞:常微分方程；教學(xué)改革；教學(xué)方法；啟發(fā)式教學(xué)
常微分方程是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修課程，是數(shù)學(xué)分析的后繼課程，同時(shí)又是幾乎所有應(yīng)用類課程的先修課程。因此，它起到一種承前啟后的作用。但是，傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往是以教師為中心，采用教師講、學(xué)生聽的單一教學(xué)模式，課程體系仍局限于對常微分方程基本理論知識的講解，忽視了常微分方程作為聯(lián)系外部世界的橋梁作用。這使得常微分方程課程的教學(xué)效果大打折扣。本文從以下幾個(gè)方面對常微分方程的教學(xué)改革進(jìn)行探討和研究。
1立志
我認(rèn)為在講授常微分方程的具體內(nèi)容之前應(yīng)要求學(xué)生明確個(gè)人的理想。古人云：“志不立無可成之事”。只有志存高遠(yuǎn)，才能激起一個(gè)人的學(xué)習(xí)斗志，也才能在遇到困難時(shí)迎難而上。同時(shí)要求學(xué)生將志向具體分解成幾個(gè)階段，將每一個(gè)階段的任務(wù)完成好了，最終的志向也就實(shí)現(xiàn)了。教師在此過程中應(yīng)將常微分方程這門課的全貌梗概性的展示給學(xué)生，讓學(xué)生充分認(rèn)識到常微分方程的重要性，并將對這門課程的學(xué)習(xí)融入到階段性的任務(wù)之中去，最終為理想的實(shí)現(xiàn)服務(wù)。對于任課教師，必須要樹立將這門課講授好的信心和決心。
2勤能補(bǔ)拙
勤奮是成就一切事業(yè)的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)常微分方程這門課程必須要付出辛勤的勞動。所以任課教師要告誡學(xué)生勤奮是學(xué)好常微分方程這門課的一大必不可少的法寶。不做一定數(shù)量的習(xí)題，數(shù)學(xué)這門課程是不可能學(xué)好的。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要持之以恒、日積月累的努力。勤奮是一切學(xué)習(xí)方法的基礎(chǔ)，缺乏了勤奮，一切的學(xué)習(xí)方法都將成為虛設(shè)。
3根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法
教學(xué)方法的不同將帶來教學(xué)效果上的很大差異。以文獻(xiàn)[1]為例，第一章講述常微分方程的基本概念、發(fā)展歷程以及它在各種不同學(xué)科中的應(yīng)用。這部分內(nèi)容可以分配給學(xué)生，讓學(xué)生課下去查閱資料、課堂上進(jìn)行討論，最后任課教師進(jìn)行點(diǎn)評和總結(jié)。這樣可以讓學(xué)生參與到教學(xué)中來，充分地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性。第二章為一階微分方程的初等解法。在這部分內(nèi)容的講解過程中，任課教師要多尋找一些現(xiàn)實(shí)生活中的具體例子，將它們穿插于具體的教學(xué)過程中，使得所學(xué)理論更加真實(shí)、直觀、富有背景感。這樣可以使學(xué)生更加明確學(xué)習(xí)目的、更加充分地調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。任課教師還可以有針對性地布置給學(xué)生一些具體的例子，讓他們用本章所學(xué)的基本理論建立數(shù)學(xué)模型，在實(shí)踐中學(xué)習(xí)理論，用所得理論指導(dǎo)實(shí)踐。第三章為一階微分方程解的存在定理。這部分內(nèi)容為常微分方程的理論核心。這部分內(nèi)容比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來普遍覺得枯燥、困難。這部分內(nèi)容在講授之前要求學(xué)生必須提前預(yù)習(xí)，任課教師可借助于多媒體將所需要用到的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論展示給學(xué)生。可先忽略嚴(yán)格的證明過程，將解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解對初值的連續(xù)性和可微性定理的證明思路講給學(xué)生。然后再對內(nèi)容細(xì)節(jié)進(jìn)行嚴(yán)格的證明。為了能夠更加直觀的向同學(xué)們講解這部分內(nèi)容，我們可以運(yùn)用Mathematica,MATLAB和Maple等數(shù)學(xué)軟件繪制圖形，這樣教學(xué)的效果將會更佳。在本章的講解結(jié)束后，可以給學(xué)生概略性的用泛函分析中的Banach不動點(diǎn)理論證明解的存在唯一性定理，開闊學(xué)生的視野。第四章為高階微分方程。高階微分方程是一階微分方程的理論推廣。它與一階微分方程理論既有聯(lián)系又有區(qū)別。這部分內(nèi)容的講解宜采用啟發(fā)式的教學(xué)方法，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同類型的高階微分方程的求解方法，并找出這些方法的區(qū)別和聯(lián)系，以及這些方法的適用范圍。第五章為線性微分方程組理論。這部分內(nèi)容將矩陣?yán)碚撏昝赖厝诤狭诉M(jìn)來。這部分內(nèi)容的理論思想和一階微分方程的基本理論思想是一樣的。學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容一定要結(jié)合一階微分方程的基本內(nèi)容去學(xué)習(xí)，即采用類比法進(jìn)行教學(xué)。第六章為非線性微分方程。這部分內(nèi)容應(yīng)用性比較強(qiáng)，任課教師可以向同學(xué)們講解各種具體的數(shù)學(xué)模型，將這部分理論內(nèi)容穿插進(jìn)去。這樣可以大大地降低這一章內(nèi)容的學(xué)習(xí)難度。
4適當(dāng)加入實(shí)驗(yàn)課程環(huán)節(jié)
現(xiàn)今信息技術(shù)高速發(fā)展，很多的常微分方程問題都可以用數(shù)學(xué)軟件求解，這大大地節(jié)省了人力、物力。因此，讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)軟件并學(xué)會以此用來求解常微分方程變得非常的必要。任課教師可根據(jù)學(xué)生的接受程度每周適當(dāng)安排學(xué)生上機(jī)，使用數(shù)學(xué)軟件解決一些基礎(chǔ)的常微分方程問題。
5科研與教學(xué)相結(jié)合
很多學(xué)生今后將從事科學(xué)研究工作。在學(xué)習(xí)常微分方程過程中有針對性地訓(xùn)練學(xué)生的科學(xué)研究能力是很有必要的。光學(xué)習(xí)書本上的基本理論是不行的，我們必須使學(xué)生學(xué)會運(yùn)用所學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)生活中的具體問題。就像一個(gè)演員不能只看戲而自己不去演戲。任課教師可以根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)提供一些科研題目讓學(xué)生去做，并給予具體的指導(dǎo)。也可以定期請國內(nèi)外的專家來學(xué)校講學(xué)，讓學(xué)生了解常微分方程方向最新的學(xué)術(shù)前沿。通過同科研專家的交流和對話，可以使學(xué)生更加了解這門課的主要意義、增強(qiáng)學(xué)生克服困難的能力。
6小結(jié)
總之，常微分方程教學(xué)必須適應(yīng)新時(shí)代的發(fā)展要求，與時(shí)俱進(jìn)。教學(xué)過程中必須結(jié)合專業(yè)培養(yǎng)模式和培養(yǎng)目標(biāo)，真正做到以學(xué)生為中心，切實(shí)提高學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力和獨(dú)立創(chuàng)新能力，任課教師要成為學(xué)生實(shí)踐能力的指導(dǎo)者和教學(xué)質(zhì)量的監(jiān)控者，讓教學(xué)服務(wù)于學(xué)生的成長。
參考文獻(xiàn)
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作者:陳林 單位:伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)分院