數學思想精選(九篇)
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第1篇：數學思想范文
數學思想是指人們對數學理論和內容的本質認識，是分析處理和解決數學問題的根本方法，也是對數學規律的理性認識。數學方法是數學思想的具體化形式，是分析處理和解決問題的策略。實質上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為思想方法。數學思想方法的自覺運用會使我們運算簡潔、推理機敏，是提高數學能力的必由之路。常見的數學四大思想為：函數與方程、轉化與化歸、分類與討論、數形結合。
數學新課程標準（修訂稿）總體目標中明確提出：“讓學生獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。基礎知識和基本技能固然重要，但是對學生的后續學習，生活和工作長期起作用的并使其終身受益的是數學思想方法。小學數學教學的根本任務是全面提高學生的素質，其中最重要的是培養學生的創新精神和思維品質。而數學思想方法既是培養學生的創新精神和學生思維品質的關鍵，又是數學的靈魂和精髓。在小學數學課堂教學中滲透思想方法，有利于促進數學發展，有利于促進教育教學改革，有利于培養學生的數學能力，有利于培養學生的創新精神和實踐能力。
數學思想是宏觀的，它更具有普遍的指導意義。而數學方法是微觀的，它是解決數學問題的直接具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。但由于小學數學內容比較簡單，知識最為基礎，所以隱藏的思想和方法很難截然分開，更多的反映在聯系方面，其本質往往是一致的。如常用的分類思想和分類方法，集合思想和交集方法，在本質上都是相通的，所以小學數學通常把數學思想和方法看成一個整體概念，即小學數學思想方法。
對小學數學各個年級各個版本各冊教材進行梳理，小學階段可滲透的思想方法有：對應思想方法、假設思想方法、比較思想方法、符號化思想方法、類比思想方法、轉化思想方法、分類思想方法、集合思想方法、數形結合思想方法、統計思想方法、極限思想方法、代換思想方法、可逆思想方法、數學模型思想方法等。
在小學數學中，數學思想方法給出了解決問題的方向，給出了解決問題的策略。這就需要教師挖掘、提煉隱含于教材的思想方法，納入到教學目標。有目的、有計劃、有步驟地精心設計教學過程，有效地滲透數學思想方法。
用數學思想理解數學概念的內容，培養學生準確理解概念的能力。如在講解概念時，數行結合，化抽象為具體，結合圖形加深理解。在二年級上冊教學倍的認識時，學生較難理解，利用線段圖，幫助學生從直觀到抽象，學生學起來輕松自如。在小數的意義教學中對0.3的理解，出示一張正方形白紙讓學生表示出來，再通過畫數軸表示，多讓學生評評說說，充分發表自己的想法，讓學生在不斷的探索中，借助圖形自主構建小數的意義，接著借助大量的直觀模型，使學生對小數的認識層層遞進，使學生的思維經歷由具體到抽象的過程。通過數形結合，讓抽象的數量關系、思考路徑形象地外顯，非常直觀，易于學生理解。
用數學思想方法推導公式的形成，如平面圖形的面積和立體圖形體積公式。培養學生的思維，在公式的教學中不要過早給出結論。引導學生參與結論的探索、發現，研究結論形成的過程及應用的條件，領悟它的知識關系，培養學生從特殊到一般、類比、化歸、轉化、等量代換的數學思想。如對平行四邊形的面積的教學，讓學生初步運用轉化的方法推導出平行四邊形面積公式，把平行四邊形轉化成為長方形，并分析長方形面積與平行四邊形的關系，再從長方形的面積計算公式推出平行四邊形的面積計算公式，在教學過程中先巧設情境，鋪墊引入，激發學生進一步探討平行四邊形的面積計算方法的求知欲望。再合作探索，遷移創造，讓學生通過動手操作，剪、拼、擺等把平行四邊形轉化為長方形，并把自己的發現表述出來，動腦思考長方形與平行四邊形有什么關系，長方形的長與平行四邊形的底有什么關系，長方形的寬與平行四邊形的高有什么關系，在這個環節中，學生動手操作、合作交流，主動地去探索和發現平行四邊形的面積的計算方法，交流時學生說明剪拼方法、各部分間的關系，互相提問并解答，在生生交流中學生理解平行四邊形與拼成的長方形間的內在聯系，既加深了對新知的理解，也培養了學生的語言表達能力、思維能力及提出問題的能力和解決問題的能力。最后層層遞進，拓展深化，練習設計由淺入深，涵蓋了不同角度的問題，不但使學生在練習中思維得以發展，創新素質得到錘煉。
第2篇：數學思想范文
函數方程思想就是用函數、方程的觀點和方法處理變量或未知數之間的關系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數學思想。
函數思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數關系表達出來，并研究這些量間的相互制約關系，最后解決問題，這就是函數思想；
應用函數思想解題，確立變量之間的函數關系是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據題意建立變量之間的函數關系式，把問題轉化為相應的函數問題；（2）根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題；（3）方程思想：在某變化過程中，往往需要根據一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；
函數與方程是兩個有著密切聯系的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數的知識和方法解決，很多函數的問題也需要用方程的方法的支援，函數與方程之間的辯證關系，形成了函數方程思想。
二 、數形結合思想
數形結合是中學數學中四種重要思想方法之一，對于所研究的代數問題，有時可研究其對應幾何的性質使問題得以解決（以形助數）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應圖形的數量關系使問題得以解決（以數助形），這種解決問題的方法稱之為數形結合。
數形結合與數形轉化的目的是為了發揮形的生動性和直觀性，發揮數的思路的規范性與嚴密性，兩者相輔相成，揚長避短。
恩格斯是這樣來定義數學的：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學”。這就是說：數形結合是數學的本質特征，宇宙間萬事萬物無不是數和形的和諧的統一。因此，數學學習中突出數形結合思想正是充分把握住了數學的精髓和靈魂。
數形結合的本質是：幾何圖形的性質反映了數量關系，數量關系決定了幾何圖形的性質。
華羅庚先生曾指出：“數缺性時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”數形結合作為一種數學思想方法的應用大致分為兩種情形：或借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助于形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系。
把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關于這個方面的考查（即用代數方法研究幾何問題）。而以形為手段的數形結合在高考客觀題中體現。
我們要抓住以下幾點數形結合的解題要領：
（1） 對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；
（2） 對于研究函數、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數的圖象求解（函數的零點，頂點是關鍵點），作好知識的遷移與綜合運用；
（3） 對于以下類型的問題需要注意： 可分別通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+y2=1上的點 及余弦定理進行轉化達到解題目的。
三、 分類討論的數學思想
分類討論是一種重要的數學思想方法，當問題的對象不能進行統一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結果，最終綜合各類結果得到整個問題的解答。 有關分類討論的數學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：
（1）涉及的數學概念是分類討論的；
（2）運用的數學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；
（3）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；
（4）數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導致不同的結果的；
（5）較復雜或非常規的數學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。
分類討論是一種邏輯方法，在中學數學中有極廣泛的應用。根據不同標準可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標準出發，做到不重復，不遺漏 ，包含各種情況，同時要有利于問題研究。
第3篇：數學思想范文
一、端正滲透思想更新教育觀念
縱觀數學教學的現狀，應該看到，應試教育向素質教育轉軌的過程中，確實有很多弄潮兒站到了波峰浪尖，但也仍有一些數學課基本上還是在應試教育的慣性下運行，對素質教育只是形式上的“搖旗吶喊”，而行動上卻留戀應試教育“按兵不動”，缺乏戰略眼光，因而至今仍被困惑在無邊的題海之中。
究竟如何走出題海，擺脫那種勞民傷財的大運動量的機械訓練呢？我們認為：堅持滲透數學思想和方法，更新教育觀念是根本。要充分發掘教材中的知識點和典型例題中所蘊含的數學思想和方法，依靠數學思想指導數學思維，盡量暴露思維的全過程，展示數學方法的運用，大膽探索，會一題明一路，以少勝多，這才是走出題海誤區，真正實現教育轉軌的新途徑。
二、明確數學思想和方法的豐富內涵
所謂數學思想就是對數學知識和方法的本質及規律的理性認識，它是數學思維的結晶和概括，是解決數學問題的靈魂和根本策略。而數學方法則是數學思想的具體表現形式，是實現數學思想的手段和重要工具。數學思想和數學方法之間歷來就沒有嚴格的界限，只是在操作和運用過程中根據其特征和傾向性，分為數學思想和數學方法。一般說來，數學思想帶有理論特征，如符號化思想，集合對應思想，轉化思想等。而數學方法則具有實踐傾向，如消元法、換元法、配方法、待定系數法等。因此數學思想具有抽象性，數學方法具有操作性。數學思想和數學方法合在一起，稱為數學思想方法。
不同的數學思想和方法并不是彼此孤立，互不聯系的，較低層次的數學思想和方法經過抽象、概括便可以上升為較高層次的數學思想和方法，而較高層次的數學思想和方法則對較低層次的數學思想和方法有著指導意義，其往往是通過較低層次的思想方法來實現自身的運用價值。低層次是高層次的基礎，高層次是低層次的升級。
三、強化滲透意識
在教學過程中，數學的思想和方法應該占有中心的地位，“占有把數學大綱中所有的、為數很多的概念，所有的題目和章節聯結成一個統一的學科的核心地位。”這就是要突出數學思想和方法的滲透，強化滲透意識。這既是數學教學改革的需要，也是新時期素質教育對每一位數學教師提出的新要求。素質教育要求：“不僅要使學生掌握一定的知識技能，而且還要達到領悟數學思想，掌握數學方法，提高數學素養的目的。”而數學思想和方法又常常蘊含于教材之中，這就要求教師在吃透教材的基礎上去領悟隱含于教材的字里行間的數學思想和方法。一方面要明確數學思想和方法是數學素養的重要組成部分，另一方面又需要有一個全新而強烈地滲透數學思想方法的意識。
四、制定滲透目標
依據現行教材內容和教學大綱的要求，制訂不同層次的滲透目標，是保證數學思想和方法滲透的前提。現行教材中數學思想和方法，寓于知識的發生，發展和運用過程之中，而且不是每一種數學思想和方法都能象消元法、換元法、配方法那樣，達到在某一階段就能掌握運用的程度。有的數學思想方法貫穿初等數學的始終，必須分級分層制定目標。以在方程（組）的教學中滲透化歸思想和方法為例，在初一年級時，可讓學生知道在一定條件下把未知轉化為已知，把新知識轉化為已掌握的舊知識來解決的思想和方法；到了初二年級，可根據化歸思想的導向功能，鼓勵學生按一定的模式去探索運用；初三年級，已基本掌握了化歸的思想和方法，并有了一定的運用基礎和經驗，可鼓勵學生大膽開拓，創造運用。實際教學中也確實有一些學生能夠把多種數學思想和方法綜合運用于解決數學問題之中，這種水平正是我們走出題海所迫切需要的，它既是素質教育的要求，也本文的最終目的。
五、遵循滲透原則
我們所講的滲透是把教材中的本身數學思想和方法與數學對象有機地聯系起來，在新舊知識的學習運用中滲透，而不是有意去添加思想方法的內容，更不是片面強調數學思想和方法的概念，其目的是讓學生在潛移默化中去領悟。運用并逐步內化為思維品質。因而滲透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具體、由特殊到一般的滲透原則，使認識過程返樸歸真。讓學生以探索者的姿態出現，在自覺的狀態下，參與知識的形成和規律的揭示過程。那么學生所獲取的就不僅僅是知識，更重要的是在思維探索的過程中領悟、運用、內化了數學的思想和方法。
六、探索并掌握滲透的途徑
數學的思想和方法是數學中最本質、最驚彩、最具有數學價值的東西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的數學思想和方法都呈隱蔽式，需要教師在數學教學中，乃至數學課外活動中探索選擇適當的途徑進行滲透。
1．在知識的形成過程中滲透
對數學而言，知識的形成過程實際上也是數學思想和方法的發生過程。大綱明確提出：“數學教學，不僅需要教給學生數學知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程。”這一思維過程就是思想方法。傳授學生以數學思想，教給學生以數學方法，既是大綱的要求，也是走出題海的需要。因此必須把握教學過程中進行數學思想和方法滲透的契機。如概念的形成過程，結論的推導過程等，都是向學生滲透數學思想和方法，訓練思維，培養能力的極好機會。
2．在問題的解決過程中滲透
數學的思想和方法存在于問題的解決過程中，數學問題的步步轉化無不遵循著數學思想方法的指導。數學的思想和方法在解決數學問題的過程中占有舉足輕重的地位。教學大綱明確指出：“要加強對解題的正確指導，要引導學生從解題的思想和方法上作必要的概括”，這就是新教材的新思想。其實數學問題的解決過程就是用“不變”的數學思想和方法去解決不斷“變換”的數學命題，這既是滲透的目的，也是實現走出題海的重要環節。滲透數學思想和方法，不僅可以加快和優化問題解決的過程，而且還可以達到，會一題而明一路，通一類的效果，打破那種一把鑰匙開一把鎖的呆板模式，擺脫了應試教育下題海戰的束縛。通過滲透，盡量讓學生達到對數學思想和方法內化的境界，提高獨立獲取知識的能力和獨立解決問題的能力，此時的思維無疑具有創造性的品質。如化歸的數學思想是解決問題的一種基本思路，在整個初等方程及其它知識點的教學中，可以反復滲透和運用。
3．在復習小結中滲透
小結和復習是數學教學的重要環節，而應試教育下的數學小結和復習課常常是陷入無邊的題海，使得師生在枯燥的題海中進行著過量而機械的習題訓練，其結果是精疲力盡，茫然四顧，收獲甚少。如何提高小結、復習課的效果呢？我們的做法是：遵循數學大綱的要求。緊扣教材的知識結構，及時滲透相關的數學思想和數學方法。在數學思想的科學指導下，靈活運用數學方法，突破題海戰的模式，優化小結、復習課的教學。在章節小結、復習的數學教學中，我們注意從縱橫兩個方面，總結復習數學思想與方法，使師生都能體驗到領悟數學思想，運用數學方法，提高訓練效果，減輕師生負擔，走出題海誤區的輕松愉悅之感。
4．在數學講座等教學活動中滲透
第4篇：數學思想范文
一、數形結合思想
數形結合多指以形助數,即以圖形或圖像之關系反映相應的代數關系,并解決有關代數問題。,函數的圖像直觀的顯示函數的性質，借助于圖像來研究、解決有關函數的問題是數形結合應用得一個重要方面。再解不等式、判斷方程是否有解、解的個數及二次方程根的分布問題時，我們往往構造函數，利用函數的圖像解題。這種方法使用的主動性和熟練性,集中表現出學生的數學意識和潛質,反映了數學的簡練性和趣味性。
例1已知關于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩根一個大于1，另一個小于1，求實數k的取值范圍。
分析：若直接利用求根公式解答此題，則要解復雜的無理不等式組，如果從函數觀點出發，令f(x)=2kx2-2x-3k-2，則由根的分布情況當k>0時函數的圖像只能如圖所示：
對應條件是k>0且f(1)
同理當k0。
解：令f(x)=2kx2-2x-3k-2，分析函數圖像知為使方程f(x)=0的兩根一個大于1，另一個小于1，只需
k>0且f(1)
解得k>0或k
評注：本題是一個利用函數圖像解決方程根的分布問題的典型例題，一般地，關于根的分布問題，均可引入函數，由函數圖像的特征構造解法，使問題得到巧妙解決。
二、轉化和化歸思想
在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想稱為轉化思想。體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程。化歸與轉化的一般原則是：①化歸目標簡單化原則；②和諧統一性原則（化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨于和諧，在量、形、關系方面趨于統一的方向進行，使問題的條件與結論表現得更均勻和恰當。）；③具體化原則；④標準形式化原則（將待解問題在形式上向該類問題的標準形式化歸。標準形式是指已經建立起來的數學模式。
三、分類討論思想
分類討論思想就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象內部問題區分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。在解決含參數的二次函數問題時會涉及到分類討論的思想，特別是研究含參數的二次函數的最值和單調性及應用等問題上，一般需要分類討論的思想方法。
例2：已知函數f(x)=ax2+(2a-1)x-3在區間[-1.5,2]上的最大值為1，求實數a的值。
解：a=0時，f(x)=-x-3,在[-1.5,2]上不能取得1，故a≠0.1-2a
f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的對稱軸方程為x0=―――,2a
(1)令f（-1,5）=1解得，a=-10/3
此時x0=-23/20∈[-1.5,2],
因為a>0,f(x0)最大，所以f（-1,5）=1不合適。
（2）令f(2)=1，解得a=3/4，此時x0=-1/3∈[-1.5,2]，
因為a=3/4>0，所以f(2)最大合適。
（3）令f(x0)=1，解得a=1/2（-3±2√2），驗證后知只有a=1/2(-3-2√2)才合適。
第5篇：數學思想范文
目前初中階段，主要數學思想方法有：數形結合的思想、分類討論的思想、化歸的思想、轉化思想、歸納思想、類比的思想、函數的思想、方程與函數的思想方法等。提高學生的數學素質，指導學生學習數學方法，毋用置疑，必須指導學生緊緊抓住掌握數學思想方法。
1、數形結合的思想
在數學學習過程中能將抽象的數學語言與直觀的集合圖形有機的結合起來，是抽象思維與形象思維相結合，往往使我們很快找到問題解決途徑和解題過程。華羅庚教授公開多次講：“數形結合無限好，割裂分開萬事休。”我們在教學中適當的進行滲透，在講函數時數形結合的思想就是很好的例子。還有在講無理數時，就采用數形結合的思想，在數軸上把無理數表示出來，給學生以直觀感覺。在學習乘方時，學生很難想象216有多大，就舉一個例子，說把一張紙厚0.12毫米對折，折16次，你說有多高？學生大多認為沒有多高，但是經過計算以后，學生吃驚的發現竟有2層樓的高度，數形結合培養了學生的數感。
2、轉化和化歸思想
轉化的思想是把未知的問題轉化為已知的問題，把繁瑣的問題轉化為簡單的問題，把生疏的問題轉化為熟悉的問題。化歸就是把有待解決的為題轉化歸結為熟悉的或已解決過的問題，從而求得問題解決的方法和思想。學生在學習過程中已經積累了一些數學經驗和知識，遇到-些需要解決的問題轉化為已學習過的知識來解決。如：要求解二元一次方程，學生已經學習過一元一次方程，是否轉化為一元一次方程來解決，如何運用一元一次方程呢？就是降次，找到解決問題的途徑。學次函數時，讓學生利用已有的二元一次方程的標準型和一次函數的定義，總結歸納出二次函數的標準型，這就運用了轉化和化歸的思想。
3、類比的思想
類比是以比較為基礎，它能揭示數學對象之間的規律。通過同一類的問題，想到相應學過的問題，通過對比來學習新知識。如：在學次函數時，就可以聯想到學習過的一次函數及反比例函數的定義和性質，根據它們的定義方式和性質的由來，二次函數的定義和性質也就應運而生了；再如學習因式分解是就可以聯想到小學學過的分解質因數，3×11=33，3和11就是33的因數，（a+b）（a-b）=a2-b2，，a+b、a-b就是a2-b2的因式，學生通過對比也就明白了其中的道理。
4、函數與方程思想
第6篇：數學思想范文
一、對數學思想方法的認識
在方法與思想之間沒有嚴格的界限.人們習慣上把那些具體的，操作性較強的方法稱為思想.中學數學思想方法可分為三種類型：
一是操作性較強的辦法稱之為技巧型方法.如換元法、待定系數法、錯位相減法、參數法等.它們與知識并行共生，其特點與解題緊密聯系，具體而便于操作.
二是邏輯型思想方法，包括類比、歸納、演繹、分析、 綜合、抽象、概括等.這些方法具有確定的邏輯結構，是普遍適用的推理論證模式，需要教師有意識、有目的地從數學中去發掘，并對學生進行訓練和培養.
三是全局型的數學思想方法，如公式方法、坐標方法、極限方法、模型方法等，它們較多地帶有思想觀點的屬性.它們揭示的是數學中極其普遍的想法，為數學的發展起著指引方向的作用，這些方法雖不像技巧型的方法那樣具體，卻牽動著數學發展的全局或為新科學誕生起著指導的作用.
這三類方法相輔相成，共同促進著數學的發展.我認為這三類學習方法的掌握，能促進學生思維的發展，強化學生的數學能力，并帶動學生整個文化素質的提高.因而，把數學思想方法的訓練貫穿于中學數學教學是非常必要的.
二、在教學過程中滲透數學思想
數學思想方法具有高度的概括性，因而應用的范圍極廣，同一個數學思想方法可以在不同的教學階段或不同的知識領域中重復出現.因此，教師應密切結合教材，在傳授知識的同時有機地滲透數學方法，在適當的時機加以明確，并在總結階段或專題復習階段給予系統的整理、滲透.
對數學而言，知識的發生過程實際上也是數學思想方法的產生過程，因此，必須把握好數學思想方法的滲透時機.如概念的形成、結論的推導方法的思考過程，都是滲透數學思想方法的好時機.
1.滲透轉化化歸的思想
化歸思想的實質是化未知為已知，使新知識向舊知識（已知的知識）轉化的思想方法，具有普遍意義，掌握了它就能居高臨下的指導思維活動的開展.特別是在解析幾何的教學過程中通常是以有關概念的定義、定式（公式、法則）和定法著手進行思考分析，運用常規思路，會出現解題過程復雜甚至難以處理的局面.
2.分類思想，訓練思維的目的性、條理性
分類思想在數學中也很普遍，如代數中有數、式、方程、不等式、函數等內容的分類，幾何中有圖形的分類等，分類思想滲透到概念、定義、定理的證明、法則的推導和具體問題的總結，善于運用分類討論的思想有助于他們對知識的加深認識和理解消化，從而掌握其本質規律.
例如，在講“向量”時，平行向量可分為同向向量或反向向量，用向量法推導正弦定理時，可通過對銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三種情形分別討論而獲得.
3.滲透數形結合的思想
數與形是數學研究的兩類基本對象，它們既有密切聯系，又有各自的特點.數形結合的思想方法，就是充分利用形的直觀性和數的規范性，通過數與形的聯系轉化來研究數學對象和解決數學問題.
第7篇：數學思想范文
[關鍵詞]高等數學 數學思維 數學思想
[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）24-0076-02
高等數學教學主要的特點在于它是數學思維的教學。高等數學教學中應該注意數學思想的運用和滲透。
一、高等數學教學是數學思維的教學
高等數學教學時應該一切從思路出發，力圖讓每個學生搞清知識點間的聯系。比較重要的是抓住思維的直觀性、合理性和層次性這三個方面：
（一）數學思維的直觀性
高等數學教學一般有四種類型：淺入淺出、淺入深出、深入深出、深入淺出。最高境界是深入淺出，高等數學中不少內容較為抽象，教學中應該能把深奧的道理用非常通俗的語言來敘述，讓人一聽就懂。
（二）思維的合理性
知識的呈現應該是水到渠成的結果，而不是像變魔術那樣讓學生感到不可捉摸，更不能故作高深來顯示自己。而要做到這一點，關鍵是要知道你為什么要教這個知識？要盡可能按照人類認識事物的一般順序來啟發學生思考。
（三）思維的層次性
首先，要理清知識的層次關系。
其次，要注意啟發的層次性。啟發一般采用由遠及近的方法來進行，一開始問題可以提得比較宏觀一點，這樣可以更好地拓展學生的思維，如果學生思考有困難，可以將問題提得更具體一點，如果學生還有困難，問題還可以提得再具體一點，……，這樣逐步深入，直到學生真正理解為止。
二、用數學思想將數學知識統一起來
教師在高等數學教學中應充分滲透數學思想方法，充分發揮數學思想方法在數學教學中的指導作用、統攝作用，要用數學思想這一線索將零散的知識統一起來。讓學生學會從數學思想方法這一高度居高臨下認識高等數學的本質。
下面介紹兩種比較重要的數學思想：模式思想和轉化思想：
（一）模式思想
著名數學家、數學哲學家A.N.懷特海曾經指出：“數學是在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究的科學。人們正是通過模式這種有限的東西而達到對無限的宇宙的認識的。”
下面通過■（1+■）x=e這一重要極限（模型）的教學來具體說明高等數學教學中如何體現模型思想。
眾所周知，■（1+x）■=e，■（1+■）■=e與■（1+■）x=1這三個極限之間的區別與聯系也是很多學生常常出現混淆的地方。為了避免學生產生混淆，在教材中可以按照以下步驟來分析和掌握這三個極限的共同本質并在此基礎上建構■（1+■）x=e這一重要極限模型。
首先，提示并引導學生探究重要極限的本質特征。引導學生歸納出前兩個極限所具有的共同特征，即不管加數是x還是■，其本質都是無窮小。換句話說，就是應將學生的注意力引向判斷與1相加的到底是不是無窮小這一本質，而不應該讓學生只是無謂地糾纏，到底是x還是■這一表面現象。然后再進一步歸納出指數不管是x還是■，它始終等于這個無窮小的倒數。那么就不僅可以將公式■（1+x）■=e，■（1+■）■=e有機地統一在一起，避免犯■（1+x）■=e，■（1+■）■=e，而且可以與極限■（1+■）■=1更好地區別開來。當然，為了使學生更好地理解極限■（1+x）■=e的本質，在教學中還可以提出一些問題，如求■（1+x）■，■（1+x）■等更一般的情形來讓學生通過比較和辨別來更好的認識極限■（1+x）■=e的本質特征。
其次，在探究基礎上歸納極限特征。在學生進行探究的基礎上讓學生歸納出極限■（1+x）■=e的三個重要特征：底數與指數中都有變量；底數為1和無窮小之和；指數剛好是底數中無窮小這一加數的倒數。
最后，列出運用重要極限解題的一般步驟。首先識別所求極限是否適用于這一公式（即底數與指數中都有變量）；如果適用，則將底數化為1和無窮小之和的形式（把底數變成“1+X”的形式）；通過乘或加的方法使指數中出現的倒數■（需要注意的是如果用乘法，必須有一因式為常數）；運用公式求極限。其它有關運算。
（二）轉化思想
匈牙利著名數學家路莎·彼得在她的名著《無窮的玩藝》一書中對“化歸方法”作過描述：“數學家往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經能夠解決的問題。”高等數學教學中應該注意培養學生的轉化思想，并盡可能讓他們養成運用轉化思想解決問題的習慣。
下面以羅必塔法則的教學為例來進行說明：
我們知道，除了“■”型和“■”型的未定式外，還有“0·∞”型、“∞±∞”型、“00”型、“1∞”型、“∞0”型等類型的未定式。求解這類未定式極限的基本思想是采用轉化的數學思想方法，先將它們轉化為“■”型和“■”型這兩種基本的未定式。
例：求■xx。
在解決這道問題時，教師可以這樣啟發學生：“前面我們已經學過‘■’型和‘■’型的未定式，現在又出現了‘00’ 這是一未定式，如何來求這類未定式的極限呢？”如果學生不能想到將其轉化為“■”型或“■”型的未定式，教師可以進一步啟發學生：“可不可以將其轉化為‘■’型或‘■’型的未定式呢？”，如果學生認為可以，那么可以進一步啟發學生：“怎樣才能將‘00’型未定式轉化為‘■’型或‘■’型的未定式？”通過這樣的啟發學生應該不難想到：必須將乘方運算轉化為乘除運算，而將乘方運算轉化乘除運算的基本方法是取對數。
解：方法一：設y=xx，取對數得
lny=xlnx，
■lny=■xlnx=■■=■■=-■x=0，
然后再根據復合函數的連續性得：ln（■y）=■（lny）=0。
從而有■y=1，即■xx=1。
方法二：利用公式x=elnx將乘方運算轉化為乘除運算。
■xx=■exlnx=e■=e■=e■=e■=e0=1。
高等數學是高等教育中重要且基礎的課程之一，對高等數學理解的深入程度對大學生今后的發展常常起著至關重要的作用。同時高等數學又往往是不少大學生深感頭痛并且難以掌握的課程之一。作為高校教師，我們在考慮高等數學整體教學方案，或者考慮具體知識點的講授的合理性時，我們始終注意數學思維的教學，并且注意模式思想和轉化思想的靈活運用，則往往有事半功倍的效果。
[ 參 考 文 獻 ]
[1] 陳琦，劉儒德.當代教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，1997.
[2] [美]約翰·布蘭斯福特，等.程可拉等，譯.人是如何學習的[M].上海：華東師范大學出版社，2003.
第8篇：數學思想范文
【關鍵詞】初中數學 函數思想 方程思想
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）35-0143-01
一 相關概念解析
函數思想是運用運動和變化的觀點，分析研究數學中的等量關系，建立函數關系，在運用函數圖像和性質分析問題中，達到轉化問題的目的。
方程思想是以數量關系為切入點，用數學語言把問題轉化為數學模型――方程、方程組，通過求解方程、方程組轉化問題。
雖然函數思想和方程思想是兩個不同的概念，但是這兩種數學思想卻有著密切的聯系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函數y=ax2+bx+c當函數值為0時自變量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的個數就是求函數y=ax2+bx+c與函數y=dx+e圖像交點的橫坐標或交點的個數。這種緊密的關系為函數思想與方程思想在初中數學中的相互轉化提供了物質條件。
二 用函數思想解決方程問題
通過一個例題兩種不同解析方法的對比來體會用函數思想解決方程問題是否具有優越性。
一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0中m為何值時，（1）有一根大于1、另一根小于1？（2）有一正根、一負根？
方法一用韋達定理解析：因為該方程有根，所以Δ≥0，Δ=b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m+2）=4m2-12m+4≥0，
即m≤ 或m≥ 。
設x11，則x1-10則（x1-1）（x2-1）
根據韋達定理x1+x2=-b/a x1x2=c/a，則有（m+2）+2（m-1）+1
設x10，則x1x2
方法二用函數思想解析：將一元二次方程左邊看成是一個二次函數f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點。所以只需x=1時，f（x）
則有1+2（m-1）+（m+2）
將一元二次方程左邊看成是一個二次函數f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點。所以只需x=0時，f（x）
則有m+2
從兩種解析方法的比較中，不難看出：對于（1）的解析中運用函數思想解決方程問題可以大大減輕計算量，使復雜問題簡單化；對于（2）的解析中運用函數思想解決方程問題并沒有表現出很明顯的簡化效果。所以，解決方程問題我們要靈活把握，具體問題具體分析，本著化繁為簡的原則選擇合適的數學思想進行解題。
三 用方程思想解決函數問題
周末王芳騎自行車和小伙伴一起到郊外游玩。她從家出發后2小時到達目的地，游玩3小時后按原路以原速返回，王芳離家4小時40分鐘后，爸爸開車沿相同路線迎接王芳，如圖是他們離家的路程y（千米）與時間x（小時）的函數圖像。已知王芳騎車的速度為15千米/時，爸爸開車的速度為60千米/時。王芳家與游玩
地的距離是多少？爸爸出發
多長時間與王芳相遇？
根據題意可知王芳騎自
行車的速度為15千米/時，
而她到達游玩地所用時間是2小時，所以王芳家與游玩地的距離是15千米/時×2小時=30千米。
設爸爸出發后x小時與王芳相遇，根據題意，在王芳原路返回前20分鐘即1/3小時，爸爸開車出發，爸爸開車的速度為60千米/時，王芳騎車的速度為15千米/時，因此60x+15（x-1/3）=15×2。解一元一次方程求得x=7/15。
所以爸爸出發后7/15小時即爸爸出發后28分鐘與王芳相遇。
對于本題的解答，我們不能想當然地看到函數圖像就試圖求出函數的解析式。采用方程思想進行解答是把復雜的函數問題變成了簡單的一元一次方程問題和相遇問題，這樣大大降低了解題的難度。由此類行程問題看，函數思想和方程思想是一致的，它們都是以實際問題中的數量關系為切入點。而從難易程度上來說，方程思想更有利于學生接受。
在初中數學問題中，還有很多可以采用方程思想與函數思想互換方式解決的題型，我們只是希望通過本文的分析對轉化思想起到拋磚引玉的作用。希望在以后的數學教學中，能恰當地轉化思維解決復雜問題。
參考文獻
[1]柳曉燕.數學思想在初中數學應用題中的應用分析[J].中學時代，2013（14）
第9篇：數學思想范文
一、對中學數學思想的基本認識
“數學思想”作為數學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現在以及將來有名與無名的數學家；而認識的客體，則包括數學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質世界的實際作用，內部各種成果或結論之間的互相關聯和相互支持的關系等。可見，這些思想是歷代與當代數學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學材料之中，有著豐富的內容。
通常認為數學思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數學活動經驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數思想貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學效果，還有人認為中學數學內容應運用數學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數學材料的基礎上來論述數學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數學教材中起到積極的促進作用的。
關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數學觀(數學的起源與發展、數學的本能和特征、數學與現實世界的關系)，數學在科學中的文化地位，數學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數學內部各個部門之間的分流的原因與結果，各個分支發展過程中積淀下來的內容上的對立與統一的相克相生的關系等；屬于微觀結構的，則包含著對各個分支及各種體系結構定內容和方法的認識，包括對所創立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。
從質的方面說，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態認識與動態認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。
二、數學思想的特性和作用
數學思想是在數學的發展史上形成和發展的，它是人類對數學及其研究對象，對數學知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數學方法的本質性的認識。它表現在對數學對象的開拓之中，表現在對數學概念、命題和數學模型的分析與概括之中，還表現在新的數學方法的產生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數學思想凝聚成數學概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數學模型和數學結構，從而構成數學的知識系統與結構。在這個系統與結構中，數學思想起著統帥的作用。
(二)數學思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數學問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高。現實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統一等“事實”，都可作為數學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。
(三)數學思想富有創造性
借助于分析與歸納、類比與聯想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結構獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉化成極具規律的數學模型。從而將一種關系結構變成或映射成另一種關系結構，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉化成一筆畫問題，便是典型的一例。當時，數學家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創造的艱辛，發展頑強奮戰的個性，培養創造的精神。三、數學思想的教學功能
我國《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法”。根據這一要求，在中學數學教學中必須大力加強對數學思想和方法的教學與研究。
(一)數學思想是教材體系的靈魂
從教材的構成體系來看，整個初中數學教材所涉及的數學知識點匯成了數學結構系統的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構成的易于被發現的“明河流”，它是構成數學教材的“骨架”；另一條是由數學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構成數學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數學思想作靈魂，各種具體的數學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數學思想能將“游離”狀態的知識點(塊)凝結成優化的知識結構，有了它，數學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體。可見，數學思想是數學的內在形式，是學生獲得數學知識、發展思維能力的動力和工具。教師在教學中如能抓住數學思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創造，才能使教學見效快，收益大。
(二)數學思想是我們進行教學設計的指導思想
筆者認為，數學課堂教學設計應分三個層次進行，這便是宏觀設計、微觀設計和情境設計。無論哪個層次上的設計，其目的都在于為了讓學生“參與”到獲得和發展真理性認識的數學活動過程中去。這種設計不能只是數學認識過程中的“還原”，一定要有數學思想的飛躍和創造。這就是說，一個好的教學設計，應當是歷史上數學思想發生、發展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數概念，便是概括了變量之間關系的簡縮，也應當是滲透現代數學思想、使用現代手段實現的新的認識過程。又如高中階段的函數概念，便滲透了集合關系的思想，還可以是在現實數學基礎上的概括和延伸，這就需要搞清楚應概括怎樣的共性，如何準確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進行預測和創造，而要順利地完成這一任務，必須依靠數學思想作為指導。有了深刻的數學思想作指導，才能做出智慧熠爍的創新設計來，才能引發起學生的創造性的思維活動來。這樣的教學設計，才能適應瞬息萬變的技術革命的要求。靠一貫如此設計的課堂教學培養出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。
(三)數學思想是課堂教學質量的重要保證
數學思想性高的教學設計，是高質量進行教學的基本保證。在數學課堂教學中，教師面對的是幾十個學生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術手段的現代化，學生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問題的癥結，給出中肯的分析；才能恰當適時地運用類比聯想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復雜的問題簡單化；才能敏銳地發現學生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學生大膽地進行創造，把眾多學生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學活動中來，真正成為教學過程的主體；也才能使有一定思想的教學設計，真正變成高質量的數學教學活動過程。
有人把數學課堂教學質量理解為學生思維活動的質和量，就是學生知識結構，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數學課的教學效果。“新”指學生的思維活動要有新意，“高”指學生通過學習能形成一定高度的數學思想，“深”則指學生參與到教學活動的程度。
