零點分段討論法精選(九篇)

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第1篇：零點分段討論法范文

一、代數中最值常見解題策略與技巧

1、配方法

主要依據完全平方項的非負性，利用恒等變形，將原代數式分組配成完全平方項與實數項和的形式即可求解最值問題.

例1：設x，y為實數，代數式2x2+y2-2xy+2x+4 的最小值為_______.

析：該代數式只需將 x2與y2-2xy 組合成完全平方， x2與2x+1組合成完全平方即可.

2、分類討論法

含絕對值的函數最值通常含有不確定因素，對于這類問題一般需要依據絕對值零點意義對其分類討論，再結合函數單調性求解最值.例2.求│x-1│+│x-2│ 的最小值.

分析：此題只需要找到絕對值零點1，2，然后分段討論利用函數單調性求解即可.

3、數形結合法

對于一些有明顯幾何意義或與幾何圖形相關聯的題，我們采用數形結合的思想往往會起到事半功倍的效果.比如例2的式子可以看成是數軸上的x到1的距離與x到2的距離的和，只有當x在1與2之間時，它們的和最小.這樣就少了像例2那樣繁瑣的討論，反而顯得明朗化、清晰化、簡單化.這種解法對于像這樣的式子" │x-1│+│x-2│+...+│x-10│求最小值"就顯得更為直觀簡單，x取值只要在5與6之間即可.但此種方法常用于一次項系數為1的，對于那些系數不為1的（系數為整數或有理數），我們通常通過提取公因數將它的系數轉化為1，再利用常規的做法即可.如對于下面的變式：

變式1：求 │2x-1│+│2x-2│的最小值.

變式2：求│x-2│+│2x+7│ 的最小值.

分析：對于變式1，一次項系數為2，故須提取整數2將原式變形為2（│x-│+│x-1│） ，再依據系數為1的絕對值函數最值法求解；對于變式2，一次項系數即含整數又含分數，故可將分數先轉化為整數，再將整數轉化為系數為1的絕對值函數.

再者，如下面的例3可以化歸為平面坐標系中"一動點到兩定點的距離和最小的幾何問題"，簡單明了.

例3：求 y=+的最小值

4、均值不等式法

形如a2+b2≥2ab（a，b∈R） 的均值不等式，一方面可以應用有明顯不等式形式的代數式、分式中，如求 （x2++4）的最小值，一方面在幾何面積最值求解中也有應用，如2011陜西中考填空題第16題，在構造輔助線平移線段中出現直角三角形，且直角邊未知，斜邊已知時，這時我們可以利用勾股定理表示三邊關系，此時出現兩個未知量平方和的關系，要求兩個未知量積的最值即可用均值不等式.

5、函數模型

函數模型一方面在實際的應用題型中應用廣泛，主要是一些盈利、分配、用料最省等問題，解決這類題先要分清題中已知量與未知量，將實際問題轉化為代數問題，找準等量關系，列出函數關系式，再利用函數的相關性質求解.另一方面它在幾何面積最值中也有應用，通常是先通過構造，利用相似或解直角三角形將圖形面積用二次函數表示，再在實際變量限制范圍內利用函數單調性取最值即可.

二、幾何最值問題解題策略與技巧

幾何最值問題，主要以簡單的幾何模型為依托，通過化歸思想，化繁為簡，化動為定，結合軸對稱變換、平移變換，巧用特定圖形的性質來解決.

1、平面幾何中最值問題

平面幾何最值，最簡單的模型是"兩條線段差最大，和最小"問題，其特點是"一定直線-兩定點-一動點"，在解決三角形、四邊形、圓中線段、周長、面積最值問題時，可利用圖形本身的性質以及幾何變換將其轉化為簡單的幾何模型求解即可.特別的在圓中會用到"過圓內一點的弦中，垂直于該點所在直徑的弦最短"求最小值。

2、立體幾何中最值問題

立體幾何中最值通常是曲面上兩點間的距離，解決這類問題，我們往往是化曲為直，將立體圖形沿側棱某一條線展開成平面圖形，依據"兩點之間，直線段最短"，構建直角三角形，運用勾股定理計算即可.如2012山東青島中考填空題第14題：

如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 ___cm.

分析：將圓柱玻璃杯沿A點豎直剖開展成一個長為18cm，寬為12cm的長方形，此時點A（螞蟻）、C（蜂蜜）相當兩個定點，要確定一動點P使得螞蟻在曲面上到達蜂蜜的距離最短，這時該題已轉化為"兩定一動，線段和最小問題"，只需利用軸對稱的性質在平面里確定點P，構造輔助線成直角三角形，用勾股定理求解即可.