數學建模思想舉例精選(九篇)

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第1篇：數學建模思想舉例范文

關鍵詞：對譯；方程；不等式；函數建模

數學模型是數學知識與數學應用的橋梁，隨著時代的不斷發展和數學教學改革的深入，更加重視數學知識與現實生活的聯系，發展學生的數學應用意識和應用能力，已成為數學教育發展的趨勢。這在《義務教育數學課程標準》（2011年版）中也有十分明確的要求。對于初中階段的學生而言，方程、不等式、函數等三大數學模型的建立和應用，必將對學生學好“數與代數”這一部分起到非常重要的作用，當然，這也是教學的重點和難點。本文談談在應用題的教學過程中，如何滲透以上三大數學建模思想和思維過程，以幫助學生步入數學模型的世界。

一、學會用字母表示數，能寫出正確的代數式是建模的基礎

分析：路程=速度×時間，所以，易得答案分別是40x，60x。

數量關系式是解決方程、不等式、函數問題的起點，如果沒有這個起點，接下來的所有問題都無法解決。所以，作為具有“公理”意義的數量關系式，必須讓學生明確其中之“理”，并牢牢記住。這一點無論如何強調都不為過。有經驗的老師都會不惜時間和精力在起點上大做文章。

二、方程（組）建模：理解方程思想，體會方程建模過程

問題2：在問題1中，如果兩車同時出發，相向而行，相遇時共行了1000千米，問相遇時間是多少？設兩車同時出發，x小時相遇。由等式：甲行的路程+乙行的路程=總路程，易得一元一次方程：40x+60x=1000。

由此可見，理解方程思想，特別是已知條件和求解對象之間的關系，體會方程建模過程，可以通過以下程序完成：

1.選擇問題中適當的未知量設為未知數（用字母表示數），

2.把與未知數相關聯的未知量用所設未知數的代數式表示出來；

3.找出問題中的等量關系，把等式中數量名詞與對應的代數式進行“對譯”即可得到方程（組）。

舉例說明：

問題3：雞兔同籠：雞兔40只，腿共100條，雞、兔各幾只？

分析：由題意可得兩個等量關系：

雞的只數+兔的只數=雞兔總只數，

雞腿條數+兔腿條數=雞兔腿總條數。

方程思想和方程思想指導下的方程建模，用方程模型思想解題是可以體會的，也是可以捉摸的。

三、不等式（組）建模：理解不等量關系，體會不等式

問題4：一個工程隊原定在10天內至少要推土100 m3，在前兩天一共完成了120 m3。由于整個工程調整工期，要求提前兩天完成挖土任務。問以后6天內平均至少要挖土多少m3？

解：設以后6天內平均每天要挖土x m3，則以后6天完成的工作量為6x m3。由題意可得，不等量關系式為：前兩天的工作量+以后6天的工作量≥總工作量。前兩天的工作量、以后6天完成的工作量、總工作量根據題意分別“譯成”120，6x，600，則得一元一次不等式：120+6x≥600。

不等式組的建模和不等式的建模道理是完全一致的，此不贅說。

由此可見，方程（組）模型與不等式（組）模型的建模和應用非常相似。不同之處是，方程是找出題中的等量關系式，不等式是找出題中的不等量關系式。

四、函數建模：理解函數思想，從變量角度看字母，體會函數建模思維過程

函數是數學中重要的基本概念之一，它揭示了現實世界中數量關系之間相互依存和變化的實質，是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型，它是解決最大（小）值問題的重要方法，也是一種重要的數學思想。有了方程和不等式建模的基礎，那么函數建模（這里指函數解析法）可以說是水到渠成。下面舉例說明。

問題5：用一長200 cm的鐵絲正好圍成一個矩形，矩形的相鄰兩邊和面積分別用x cm、y cm與S cm2表示。問x取何值時，矩形面積最大？由矩形周長公式可得到二元一次方程：2（x+y）=100，變形得y=-x+100。從變量角度看y隨x的增大而減小，是一次函數。

由上面的變化可以看出方程建模與函數建模相互關聯，方程建模是函數建模的基礎和關鍵。從變量角度看二元方程中的兩個未知數，只要方程中的一個未知數（如x）的取值與另一個未知數（如y）的取值形成單值對應關系，就可把方程變成y關于自變量x函數關系式。

第2篇：數學建模思想舉例范文

隨著數學教育的發展，通過數學建模的教學實踐，可以看到作為數學知識與數學應用橋梁的數學建模活動，對培養學生從實際中發現問題、歸結問題、建立數學模型、使用計算機和數學軟件解決實際問題的能力，起到了其他數學課程無法替代的作用；對于培養學生的獨立思考和表述數學問題和解法的能力，有其獨到之處.國際數學教育界對數學建模教學的共識和重視的程度也隨之提高，數學建模是指根據具體問題，在一定假設下找出解這個問題的數學框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程.數學模型從影響實際問題的因素是確定性還是隨機性的角度上可以分為確定性的數學模型和隨機性的數學模型.如果影響建模的主要因素是確定的，并且其中的隨機因素可以忽略，或是隨機因素的影響可以簡單地表現為平均作用，那么所建立的模型應當是確定的數學模型；相反地，如果隨機因素對實際問題的影響是主要的，不能忽略，并且在建模過程中必須考慮到，此時，建立的模型應是隨機性數學模型.本文主要討論了簡單的隨機問題中的概率模型，通過舉例說明概率基本知識在數學建模中的應用.建立概率模型的過程主要有如下特點：

1.隨機性.隨機性體現在整個概率模型的建立中，由于隨機因素對實際問題的影響不能忽略，在建模初期的模型分析與模型假設中必須考慮到隨機性的影響，在模型建立環節也會用到分析隨機問題的思想.

2.基礎性.在概率模型中，用到的概率知識基本上是期望、方差、概率分布等基本知識，所以對這些基礎知識的全面掌握是建立概率模型的關鍵.

3.啟發性.在概率模型中，如何全面地考慮建模中的不確定因素具有探索性與啟發性，而且對這些隨機因素的考慮可以激發學生的學習興趣與創造能力.

4.可轉化性.有很多確定性模型在考慮了隨機性的影響后，都可以轉化成相應的隨機性模型.

二、概率基礎知識在數學建模中的應用

客觀世界中，事物的產生、發展變化往往具有隨機性，它的特點是條件不能完全確定結果.例如某地區的降雨量、某流水生產線上的次品數、某商場一天中顧客的流量，某射手在射擊中命中靶心的次數，等等.這就要求學生在分析和求解模型中運用隨機性的思想.在此情況下，概率知識在模型中的應用也就成為必然，而且概率知識的引入也能極大地豐富了數學建模活動中數學方法的使用.從概率模型的特點可以看出，有很多確定性的模型，當考慮了其中隨機因素的影響之后，它們都可以轉化成概率模型來求解.例如，人口模型中的指數增長模型和阻滯模型，在給定了生育率、死亡率和初始人口等數據基礎上預測了未來人口，但事實上人口的出生與死亡是隨機的，當考慮到這一點時，我們所建立的應當是隨機人口模型；再如確定性存貯模型可以轉化為隨機存貯模型等.為了更好地將概率知識應用到數學建模中，我們應當做到以下幾點：

（1）熟練地掌握概率的基本知識；

（2）全面地理解所研究的實際問題；

（3）充分地考慮到實際問題中的隨機性影響，并在建立模型過程中體現出隨機性；

（4）對所建立的模型能作出準確地檢驗.

第3篇：數學建模思想舉例范文

【關鍵詞】新課改；初中數學；建模教學

近年來，我國教育新課改不斷發展與進步，對初中數學的教學要求也不斷提高，研究有效提高初中數學課堂教學的策略至關重要。初中數學教學知識具有抽象化的特點，內容較為枯燥，傳統的教師講解教學內容、學生接受知識灌輸的教學模式已不能滿足現下初中生學習初中數學的發展需要，必須改進與完善有效的教學策略。數學建模作為數學知識在生活實踐的具體應用，在新課改下初中數學課程教學應用建模教學已是大勢所趨，是改善教學質量的有效途徑。為此，在初中數學建模教學中，教師將人類生產生活中的實際案例轉變為數學問題，引領學生通過建立數學模型解決問題，激發他們的學習興趣，而且在建模過程中可培養學生的實踐能力和創新精神，教學效果顯著提升。

一、借助數學建模降低知識難度

在初中數學建模教學中，教師需以教學對象的心理特點、認知基礎和年齡特點為突破口，先從低起點的數學模型著手，并結合新課改的教學標準適當降低知識難度，讓學生易于掌握，促使他們整體參與學習。所以，初中數學教師在具體的建模教學中，選擇和使用的素材需貼近學生的實際生活，符合他們的認知能力和學習經驗。利用這些生活現象引領學生建立數學模型，對于他們來說較為熟悉更加易于接受與掌握，從而提升教學效率。在這里以“用一次函數解決問題”教學為例，由于學生已經學習過一次函數的概念、性質、圖像和特征等知識，知道一次函數的應用十分廣泛。教師可結合實際生活中的案例設計題目：某市出租車收費標準：不超過2千米計費為8元，2千米后按2.5元/千米計費，求：車費y（元）與路程x（千米）之間的函數表達式？這對于初中生來說在現實生活中較為熟悉，利用所學知識結合生活案例建立數學模型，并列出函數式：y＝8＋2.5（x-2）（x≥2）。不過需要注意的是，在現實生活中，兩個變量之間的數量關系并不完全遵循同一個標準，應根據自變量不同的取值范圍，分別列出不同的函數表達式。

二、初中數學建模突出趣味教學

初中的心理特征與年齡特點決定喜歡接受趣味教學，能夠親手參與實踐具有活動性質，且感性思維多于理性思維的教學模式。在初中數學建模教學中，教師需以學生喜聞樂見的方式講授知識，從他們的興趣愛好著手，提升課堂教學的趣味性，使其積極參與學習，促進學生建模能力的提高。而且初中數學教材中有不少有趣的現實情境素材，教師可以此為依托展開建模教學，提高學生的學習熱情和興趣，并增強他們解決問題的能力。比如，在學習“解一元一次方程”時，教師為突出建模教學的趣味性，可利用現實生活的行程問題展開教學，借助實例幫助學生學習知識，并練習和掌握一元一次方程的解法。教師可舉例：甲、乙兩地相距480千米，一輛公共汽車與一輛轎車分別從甲、乙兩地同時出發沿公路相向而行，其中公共汽車的平均時速為40千米，轎車的平均時速為80千米，那么它們出發后多少小時在途中相遇？學生閱讀完題目之后，利用學習用具進行建模，并模擬動畫演示，設兩車出發x小時之后相遇，根據題意列出算式：40x＋80x＝480，從而得出x=4。如此，不僅可讓課堂教學突出趣味性，還能夠培養學生的建模能力。

三、初中數學建模注重思想方法

數學建模屬于一種思想方法，在新課改下初中數學課程教學中，教師不僅要幫助學生掌握數學理論知識，還應傳授他們學習方法，使其掌握學習數學知識的技巧。所以，建模教學應注重思想方法的傳授，讓學生真正掌握建模技巧、形成建模能力。因此，初中數學教師在兼顧知識教學的同時，應注重對學生能力的培養，增強他們的建模意識和能力，在學習過程中善于使用建模思想，并運用建模解決實際問題，真正實現學以致用。例如，教師可將二次函數與矩形相關知識結合在一起，設計題目：用長度為56米的鐵絲網圍成一個矩形養兔場，設矩形的一個邊長為x米，面積為y平方米，那么當x為何值時，y的值最大？圍成養兔場的最大面積是多少？然后，教師可指導學生利用建模思想解題，根據題意矩形的一邊為x米，則其鄰邊為（56÷2-x）米，即為（28-x）米，得出函數式y=x（28-x）=-（x-14）2＋196，因-1＜0，當y=196時，x=14時，所圍的矩形面積最大。這道題目主要考察學生利用二次函數解決矩形面積最值的問題，教師應引領他們主動使用建模思想來分析和解決問題，培養其動手能力掌握建模技巧。

四、總結

在初中數學教學活動中引入建模教學，是培養學生學習興趣和創造性思維能力的有效舉措，教師需充分發揮建模教學的優勢和作用，讓學生知道建模思想的重要性，進而發展他們的思維能力、學習能力和應用能力。

參考文獻

[1]莫美珍.淺論初中數學教學中的函數建模思想[J].考試周刊,2016,70:63-64.

[2]趙媛媛.“數學建模”在初中數學應用題中的應用[J].新課程(中學),2014,01:31.

第4篇：數學建模思想舉例范文

一、新疆地方高校數學建模的發展現狀

（一）低年級大學生對數學建模知識認識欠缺

大學數學是理工類院校的重要基礎課程，對專業課程起到了不可或缺的支撐作用，大學數學課程理論性強，新疆地方高校的學生本身學習起來就比較吃力，教師教學中更是無暇講述和普及數學建模的思想和方法，所以相當一部分學生感到數學建模既神秘又高不可攀。

（二）新疆地方高校學生數學基礎薄弱，大學數學課程的教學和專業學習存在脫節

受地域限制，新疆地方高校學生大部分來自于新疆各地州，包括漢、維、哈、柯、蒙等少數民族，數學基礎參差不齊，相比較內地高校數學基礎水平存在一定差距，學生學習數學興趣不高，缺乏主動性，疲于應付考試，因此參加數學建模競賽學生的比例比較低，導致理論知識與專業應用嚴重脫節，直接影響理工類專業學生的專業能力和培養質量。

（三）數學教學過程中，疏于數學教學建模思想和方法的滲透和培養

數學教學中滲透數學建模的思想和方法，要求授課教師不僅要有扎實的數學功底，而且還要有廣博的知識面和豐富的數學建模經驗。但實際教學中，由于課時的緊缺和教師專業方向的限制，完全僅限于所授課程知識的講解，忽視了滲透數學建模的思想和方法對學學數學課程的促進作用，尤其忽視其對數學理論知識和專業知識的貫通作用。

（四）新疆地方高校對數學建模教學的重視和投入有待提高

自2012年以來，大部分新疆地方高校開始向應用型高校轉型，工、農、醫等應用型學科專業便成為各新疆地方高校的發展重點，在資金有限的狀況下，數學類等基礎學科便面臨一個尷尬的境地，尤其是對數學建模的教育教學熱情有所退卻。但筆者以為，越是在向應用型高校轉型之際，加強對數學類基礎學科的投入，尤其重視數學建模思想和方法的滲透才能保障應用型學科高質量發展和新疆地方高校向應用型高校順利轉型。

二、新疆地方高校大學數學教學中融入數學建模思想和方法的建議與思考

（一）根據學生層次合理調整教學內容的側重點

新疆地方高校大學生的多民族性、數學基礎不等性特點對大學數學授課老師的經驗水平提出更高要求，不但要了解學生的知識水平、民族學生的思維方式，還需要清楚中學數學的授課內容和欠缺知識點。根據本人近年民族教學的體會，結合學生入學成績和知識層次教學中將新疆地方高校學生分為三個層次：1.“民考民”和“雙語”學生，該層次學生入學成績相對較低，漢語言水平不高，并且數學基礎較差，該層次學生在大學數學授課中應側重于對中學數學知識的補充和鞏固，否則大學數學的知識和理論學生是無法理解的，而對大學數學的知識點就要側重于基本概念、基本定理、基本方法的掌握與理解，那么對該層次學生進行數學建模思想和方法的融入，就要選擇部分中學知識點和大學數學中較易理解掌握的知識點典型例題由淺入深，循序漸進的進行講授。2.“民考漢”學生，該層次漢語言水平非常好，入學成績也不錯，與漢族學生混合編班，數學基礎相比較同班漢族學生還是有差距，但該部分學生學習努力、態度端正，是任課教師需要重視的團體，可以偶爾選擇晚自習輔導時間或其他時間對他們進行專門輔導，選擇一些典型例題，由淺入深的進行數學建模的思想和方法的培養，從而也能激發他們的學習積極性，使之逐步趕超同班漢族同學。3.其他學生，新疆地方高校該層次學生主要來自于新疆各地州，入學成績一般，數學知識差別不大，但基礎知識還需要補充，個別的知識點，部分學生中學就沒有學過，例如：參數方程、極坐標方程，反三角函數等知識點，但這些內容在大學數學教學中卻是比較重要的知識點。

（二）在大學數學的日常教學中，改進教學方法和教學手段，有針對性的融入數學建模的思想和方法

能夠適時選擇授課知識點，針對學生所學專業講述新課，同時融入數學建模思想和方法，例如：在“高等數學”第六章定積分的應用章節中，講授利用“微元法”解決做功、水壓力、引力等問題時，對物理學和工程類相關專業講述數學建模思想和方法便是不錯選擇。例如：蓄水池抽水問題（如圖1，圖2）上圖便是實際授課中課件，完全是定積分的內容，但這些例題具有非常典型的數學建模思想和方法，（1）題目符合實際生活問題，具有數學建模題型特點，完全是生活中的問題；（2）具有理工科專業特點，屬于做功和熱能問題；（3）解題過程本質就是數學建模的思想和方法，分析問題，建立數學模型，確定解題方法，給出結果，分析結果。只需經常性通過類似問題的講解，使學生理解數學建模的主要過程：模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗和模型應用，學生不僅掌握數學建模思想和方法，而且認識到大學數學對于專業課學習的重要性[1]。大學數學教學中滲透數學建模思想和方法，歸納起來應注意以下幾點：（1）要循序漸進，由簡單到復雜，逐步滲透。（2）應選擇密切聯系學生專業、易接受、有趣味性、實用性的數學建模內容。（3）在教學中列舉建模案例時，僅僅是讓學生學習數學建模思想和方法的初步、舉例等少而精，忌大而冷，否則會沖擊了大學數學理論知識的學習，因為沒有扎實的理論知識，也談不上應用。（4）大學數學教學中，恰當的處理好理論與應用的關系，應該清楚理論和應用是相輔相成的。扎實的理論是靈活應用的基礎，而廣泛的應用又促進對理論的深刻理解[2]。

（三）組織鼓勵各專業學生參加大學生數學建模競賽，培養創新型人才

為了廣泛開展數學建模活動，促進學風建設，提高學生學習興趣和創新能力，自2007年開始，我校開始組織學生參加“全國大學生數學建模競賽”，經過近十年的學習與摸索，形成了我校特色的大學生數學建模競賽培訓模式，經大學數學任課老師推薦和動員，不同專業學生報名后，培訓工作分為三個步驟進行：每年4月至6月的建模競賽初級培訓、暑期集訓和賽前強化。三個階段培訓內容均以數學知識模塊化，分別由相應專業方向老師進行包干培訓。知識模塊主要分為初等數學模塊、運籌學模塊、概率統計模塊、方程模塊等。初級培訓階段主要培訓理論知識，補充鞏固不同專業學生大學數學理論知識；暑期集訓階段主要講述不同模塊的典型例題，促進理論知識的理解和靈活應用；賽前強化主要是選例題，讓學生自己實踐練習，進行賽前仿真模擬比賽。對參加過“全國大學生數學建模競賽”的學生，我們經過統計發現：（1）參加過該競賽培訓和實踐比賽的學生，在各自專業的學習過程中，專業課知識學習能力和應用能力明顯高于其他同學，尤其畢業論文和設計的完成質量高于其他同學；（2）參加過該比賽的學生在此后的學習熱情明顯高漲，萌生繼續深造提高的愿望，并且開始主動備戰參加考研，考研成功率也高于其他同學；（3）該比賽中的各類生活科研問題，也激發了學生的創新性。大學生數學建模競賽中的賽題大都為生活和科技中的熱門問題和前沿科學問題，具有一定的科研前瞻性，經過該競賽的洗禮，激發了這些參賽同學的創新能力，很多同學在比賽后仍繼續研究比賽中的該問題，并把問題作為自己的畢業論文和畢業設計，并能高質量的完成，甚至有同學以此為出發點，申報了“大學生創新創業訓練計劃項目”，鍛煉了大學生的科研能力和創新能力。結語隨著社會的發展、科技的進步，數學已經不再是抽象的理論，其應用已深入到人類生活的各個方面，科學技術數學化、數學應用普及化已成為一種趨勢，許多自然科學的理論研究實際就是數學研究，就是數學建模以及數學理論的探討。一個國家的國民素質，很大程度上是體現在其數學素質上，數學是思維的體操，數學是科學的研究工具，數學建模是架于數學理論和實際問題之間的橋梁[3]。數學建模活動的開展促進了新疆地方高校的學風建設，提高了新疆大學生的綜合素質。我校的數學建模組織活動、日常教學中的數學建模思想的滲透手段、規范的數學建模管理、方式多樣的培訓方案、學生參與的科研活動等已然逐步形成了新疆地方高校的數學建模思想和方法的滲透模式。新疆地方高校的特殊性也給新疆地方高校的教學模式提出了挑戰，如何根據自身的特點搞好數學建模教學工作，是一項具有探索性的實踐研究，本文僅是一個初步研究，還有很多問題需要深入的思考和實踐。

作者:劉福國 馬燕 單位:昌吉學院數學系 昌吉市回民小學

參考文獻：

［1］晁增福，邢小寧.將數學建模融入大學數學教育的研究與實踐［J］.ConferenceonCreativeEducation.2012:1136-1138.

第5篇：數學建模思想舉例范文

要引導學生用分析、比較、綜合、猜想、驗證、概括等思維方法自主構建數學模型。數學建模的目的不僅僅是獲得數學結論，更重要的是在建模的過程中促進知識的內化、思想的升華。這就需要建模的策略，下面談談個人的一些想法：

一、激發建模的興趣可以事半功倍

在數學建模過程中教師要善于調動學生主動建模的積極性，千萬不能對學生不合理的歸納、不恰當的抽象以及不合常情的假設加以批評和指責，恰恰相反，要抓住他們閃光的地方加以表揚、鼓勵，并通過適度的引導和點撥使學生對實際問題的簡化更加恰當。

例如在《加法交換律》一課中所提供的問題情境是學生在生活中常見的旅行問題的場景，根據問題求“李叔叔今天一共騎了多少千米”，從而得出兩個加法算式。在這兩個加法算式中學生初步感受了可以列成等式的模型。這一次是學生第一次感受從兩個加法算式到一個等式的抽象過程，也是學生對“加法交換律”第一次建模的感知過程。

光憑一個等式并不能抽象出加法交換律，所以我又讓學生通過舉例來驗證這個規律的確是存在的，并且還適當地找一找有沒有反面的例子。在這個過程中不僅是讓學生更好地理解，更重要的是從中感受模型思想“個別――猜想――驗證――結論。”

二、精選問題，創設情境

數學模型都具有現實的生活背景，這是構建模型的基礎和解決實際問題的需要。

如構建“平均數”模型時，可以創設這樣的情境：6名男生一組，8名女生一組，進行跳繩游戲比賽，哪個組的跳繩水平高一些？學生提出了一些解決的方法，如比較每組的總分、比較每組中的最好成績等，但都遭到了否決（初步建模失敗）。這時需要尋求一種新的策略，于是構建“平均數”的模型成為學生的需求，同時也揭示了模型存在的背景與適用的條件。

三、組織躍進，抽象本質，完成模型的構建

具體生動的情境或問題只是為學生數學模型的建構提供了可能，如果忽視了從具體到抽象的有效組織，那就無法建模。

如《植樹問題》中，引導學生用分析、比較、綜合、猜想、驗證、概括等思維方法自主構建數學模型。數學建模的目的不僅僅是獲得數學結論，更重要的是在建模的過程中促進知識的內化、思想的升華。在得出“植樹棵數=間隔數+1”后，教師引導學生討論：“如果小路總長100米，每隔4米種1棵樹，共有多少個間隔？可植樹多少棵？”“如果間隔數是50個，要栽樹多少棵？如果間隔數是n個，可以植樹多少棵？”“如果學校的這段小路長度改變了，其他條件不變，‘棵數=間隔數+1’的規律還能成立嗎？為什么棵數不是等于間隔數而是等于“間隔數+1”呢？”這樣，引導學生解釋模型，能促進學生進一步理解模型“植樹棵數=間隔數+1”，從而構建起真正的數學認識，完成從物理模型到直觀的數學模型再到抽象的數學模型的建構過程。

四、重視思想，提煉方法，優化建模的過程

不管是數學概念的建立、數學規律的發現還是數學問題的解決，核心問題都在于數學思想方法的運用，它是數學模型的靈魂。

在《植樹問題》中引導學生利用抽象出的模型解決實際問題：建立“棵數=間隔數+1”的模型后，可讓學生完成類似的練習：“廣場上的大鐘5時敲響5下，8秒鐘敲完。12時敲響l2下，需要多長時間？”“5路公共汽車行駛路線全長l2千米，相鄰兩站之間的距離都是1千米，一共有幾個車站？”在應用模型的過程中，不能讓學生簡單地套模型，而應引導學生展示解決問題的思維程序，并對程序的各個部分進行剖析，進一步加深學生對數學模型的理解，促進模型的內化。

五、回歸生活，變換情境，拓展模型的外延

從具體的問題經歷抽象提煉的過程，初步構建起相應的數學模型，還要組織學生將數學模型還原為具體的數學直觀或可感的數學現實，使已經構建的數學模型不斷得以擴充和提升。

第6篇：數學建模思想舉例范文

就數學而言，我們生活的每一刻、每一處都離不開數學和數學思想.廣袤的世界、繁雜的社會現象，從事物的外形構造到內部功能，從邏輯思維到世界觀的形成，每一個環節都滲透著、充斥著數學思想方法.

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果.數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識.主要有：建模思想、數形結合思想、統計思想、比較思想、變換思想、分類討論思想、類比思想、歸納推理思想、隱含條件思想、圖形運動思想、化歸與轉化思想、方程與函數思想等.

下面談談數學思想在生活中的運用.

一、建模思想的運用

所謂數學建模思想，就是用數學語言把實際問題概括地表述出來的一種數學結構，它是對客觀事物的一種空間形式和數量關系的反映.它的基本結構是：把實際問題抽象為數學模型，經過演算得出數學模型的解，再推理出實際問題的解，最后回歸解決實際問題.

數學模式的構建過程，其實滲透了一種思維過程，即由生活現象引發假設進行推理論證得出一種規則和真理應用這一規則和真理.

例如，投籃球過程中最高點應該是多少米才能準確落入籃圈？有些人經過反復實驗、觀察、思考，頭腦里產生了拋物線的影像，然后利用拋物線的性質，根據個人身高和籃板到地面距離等條件，計算出拋擲最高點，以這一結論指導學生在實踐中鞏固、活動.這一過程，實際上就是運用數學建模思想解決相關實際問題的過程.

這個過程還可以動態地延伸.拿上例來說，有心人還會進一步思考：如何利用拋物線在投擲籃球的應用中，更深層次地拓展到計算“根據市場變化、消費者等條件調整商品銷售的數量，達到利潤的最大化”.為此，數學建模思想不僅僅能夠解決實際生活中的問題，還能更深層次地構建一種完整的思維體系.

二、數形結合思想的運用

數形結合在教學中就是對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答，在實際生活中就是借助圖形直觀表示出數據難以說明的問題，借助數據解決圖形無法測算和推理的問題.從這個意義上看，數形是緊密結合的，“數無形，少直觀；形無數，難入微”.依數據繪圖，可化抽象為直觀；根據圖形求數，讓實際問題更能得出更準確的數據定位.

三、化歸與轉化思想的運用

化歸與轉化的思想，就是在研究和解決數學問題時，借助某種函數性質、圖象、公式或已知條件等，通過變換，加以轉化，進而達到解決問題的目的.

化歸思想可以將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段，轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B，通過解決問題B達到解決問題A的目的.化歸的原則有化未知為已知、化繁為簡、化難為易、降維降次、標準化等.

轉化思想在于將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題.三角函數、幾何變換、因式分解、解析幾何、微積分，乃至古代數學的尺規作圖等數學理論無不滲透著轉化的思想.常見的轉化方式有：一般——特殊轉化，等價轉化，復雜——簡單轉化，數形轉化，構造轉化，聯想轉化，類比轉化等.

四、歸納推理思想的運用

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理（簡稱歸納）.

歸納推理思想在數學實踐中也有廣泛的體現.牛羊圈的柵欄，做成三角形就顯得堅固，盡管是經驗之談，沒有上升為理論，但這種思想依舊體現了“三角形具有穩定性”的數學公理.建造大型鐵塔，乃至后來的奧運場館“水立方”等建筑也運用了這一原理.由特殊實例到一般理論，由大自然現象導出科學，強化和提升的數學的生活化意識，讓我們覺得“有土、有根”，并且散發“數學就在身邊的親切感”，真正凸顯了歸納推理的作用.

第7篇：數學建模思想舉例范文

《概率論與數理統計》是一門注重理論的數學課程，在教學中讓學生掌握基本理論是必要的，但在教學過程中也不能僅僅以此作為目標。那么，一方面，在教學中我們就要做到有取有舍，基本的定理和公式要講清楚，而對于這些定理和公式的證明可以對學生降低要求，通過多舉例子，多給實際案例，讓學生學會使用這些公式和定理;另一方面，將一部分學時單獨列為實踐學時，目前數學軟件在統計領域的使用非常廣泛，比如常見的:Mtlab、SAS、SPSS等，在教學中將理論與相關數學軟件相結合，進行上機教學。讓學生通過實踐認識到本門學科在實際中如何應用，也讓學生能夠掌握一到兩門數學軟件的使用，方便他們今后專業學習。

二、結合專業，注重案例教學

在地質類專業中，很多實際問題都直接用到了《概率論與數理統計》中的內容，比如:區間估計、假設檢驗、參數估計等，都是在地質類專業教學中常用的數理統計方法。那么，我們在《概率論與數理統計》的課堂教學中就可以有的放矢地將地質類學科中的案例與數理統計中的這些方法相結合，把地質學中的實際問題當作例子在《概率論與數理統計》課堂中進行講解，地質類專業的案例在很多時候就是在具備專業背景下的統計學的應用，用這類問題來替換課本上枯燥的數學例子，一方面可以增強課堂的趣味性，提高學生的學習興趣和積極性，另一方面也為將來學生在專業課中使用概率論與數理統計知識打下基礎，幫助學生順利地完成從基礎課到專業課的自然過渡。

三、將數學建模的思想融入日常教學中

第8篇：數學建模思想舉例范文

一、在模型準備中初步感知模型思想

提出問題是數學建模的起點，有了明確問題，學生建模才能有的放矢。模型準備時，教師要根據實際問題的特征和建模目的，呈現貼近學生生活實際的學習素材，盡量做到形象具體，并引導學生對問題情境進行必要簡化，有效引導學生從實際背景中抽象出數學問題，甚至對問題作出必要和合理的猜想與假設，使學生能從熟悉的或已具備的生活經驗和知識經驗入手，為學生順利構建數學模型奠定基礎。

教學時，教師先出示教學掛圖，引導學生分析圖中的信息。學生很快從圖中發現每支鋼筆12元，每本練習本3元；要買4支鋼筆和5本練習本。根據圖中的信息填寫表格（表1）后，教師要求學生觀察表格中第一列的信息并說出它們的相同點，從而認識單價就是每個物品的價錢。當學生聯系生活舉例說出一些商品的單價（如包子的單價是每個2元，一瓶綠茶的單價是每瓶3元）時，教師引導學生自主讀、寫出來（2元/個，讀作2元每個，表示每個包子2元；3元/瓶，讀作3元每瓶，表示每瓶綠茶3元）；當學生了解表格中第二列信息表示商品數量、第三列信息表示商品總價（購買某種商品一共要用的錢）時，教師引導學生分別算出兩種商品各自的總價。學生為解決實際問題而認識單價、數量和總價三種數量，并在解決問題的過程中自然地產生數學問題――這三種量之間有沒有什么關系？如果有關系，有什么關系？甚至有些思維活躍的學生就會在大腦中出現這樣的猜想或假設――這里的單價和數量相乘后是不是等于總價？這樣，學生就能在計算總價的過程中為順利構建數學模型做好充分準備，同時從中初步感悟數學模型思想。

二、在模型的建立中充分感悟模型思想

模型建立的過程，往往是學生進行觀察、分析、抽象和概括的活動過程。在這個過程中，學生會使用文字或者其他數學符號嘗試表示數量關系或變化規律。換句話說，小學生的數學建模過程就是嘗試把生活情境“數學化”的過程，就是他們在數學學習過程中嘗試獲得某種帶有“模型”意義的數學結構的過程。這個過程可以在教師的適當引領下完成，也可以在學生的自主探究中完成。

研究單價、數量和總價這三種量之間的關系時，教師引導學生先仔細觀察表格，再思考兩種文具的總價各自是怎樣計算的，并嘗試用式子表示出來。學生通過想一想、說一說和寫一寫后，發現每種文具的總價都是用表中的第一個信息與第二個信息相乘的結果，即“總價=單價×數量”，并由此及彼地發現“數量=總價÷單價”和“單價=總價÷數量”，從而明白只要知道三種量中的兩種量，就能根據數量關系求出第三個量。探究速度、時間和路程三者之間的關系時，教師先出示一組信息：一列和諧號列車每小時行260千米，李冬騎自行車每分行200米。自主閱讀后，學生發現它們分別表示1時或1分（單位時間）內所行的路程，從而認識了速度。學生再聯系生活說一些常見的速度例子（如兔子每秒跑6米，小明每秒跑5米）后，學會讀寫速度（6米/秒，讀作6米每秒，表示兔子每秒跑6米；300米/分，讀作300米每分，表示小明每分行300米）、計算各自所行的路程，并填寫表格（表2），并在小組交流中發現路程都可以用“路程=速度×時間”表示，進而觸類旁通地聯想到“速度=路程÷時間”和“時間=路程÷速度”這兩個數量關系。最后，教師引導學生分組嘗試用線段圖表示這兩題的條件和問題，并討論線段圖的相同點，從中發現圖中每段表示一份，3段便是3份，問題都是求總數，從而溝通了兩個數量之間的聯系，構建統一的數學模型――每份數×份數=總數。

史寧中教授認為：“數學的本質是在認識數量的同時認識數量之間的關系。”事實上，如果我們從建模角度看這兩組數量關系，它們都屬于“乘法模型”，也就是“每份數×數量=總數”關系的具體化。它們中的第一個數量關系是學生在教師引導下的建構，第二個數量關系是學生的自主建構，扶放結合，最終形成統一的數學模型。學生在經歷建模的過程中對數學模型思想的感悟越來越充分。

三、在模型應用中靈活感悟模型思想

對小學生而言，他們進行建模的目的之一就是根據模型解決實際問題，并嘗試用結果去解釋它在現實問題中的意義，也就是模型應用。所謂模型應用，就是學生建構數學模型后嘗試把數學模型還原為具體可感知的數學現實，從而鞏固甚至靈活應用所建構的數學模型。但在應用模型解決實際問題的過程中，教師首先要引導學生理解數學模型的含義，并將模型解答與現實問題之間進行對照檢驗，并根據檢驗結果對解答進行完善和優化。這對學生靈活感悟模型思想能起到畫龍點睛的作用。

第9篇：數學建模思想舉例范文

一、聯系實際，感知數學模型

數學模型源于生活。培養小學生數學模型思想首先要充分挖掘生活中的數學原型，讓學生初步感知數學模型。教學“分段計費問題”，課前筆者引導學生搜集生活中分段計費的實例。在授課時，筆者先讓學生交流收集到的分段計費的信息。在交流中，學生談到水費、電費、出租車收費、固定電話收費等問題均涉及分段計費。在學生交流信息時，筆者繼續問：“你們能舉例具體說明如何分段計費嗎？”學生便出示了一組數據：階梯電價一檔0～200度，0.4893元/度；二檔201～400度，0.5483元/度；三檔401度以上，0.7983元/度。當學生說出這些信息后，筆者又問：“如果我家六月份用電350度，該付費多少元呢？今天我們就一起來研究分段計費問題。”這樣學生通過多種方法搜集到生活中分段計費信息，初步感知分段計費中“總費用=首段費用+后續費用”的數學模型，為數學模型的建構做好充分準備。

二、自主建構，形成數學模型

自主探索、動手操作、合作交流是數學學習的重要方式，是建構數學模型的重要方法。數學教學中，要讓學生經歷數學模型的建構過程，引導學生經歷觀察、思考、分析、抽象、概括等過程，逐步形成數學模型，從而有效地建構數學模型。

1. 自主探索中建模。

自主探索是學生建模的關鍵。學生只有通過自主探索，才能充分經歷建模過程，牢固掌握數學知識，培養數學能力，提高數學素養。教學“植樹問題”例1：同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？教學中，筆者先引導學生嘗試完成例題，學生的方法大致有3種，方法1：100÷5=20（棵）；方法2：100÷5-1=19（棵）；方法3：100÷5+1=21（棵）。大部分學生是第一種做法。到底哪一種答案正確？接著，筆者引導學生嘗試畫圖分析。學生開始動手畫圖，感覺要畫很多，比較繁瑣。此時筆者又問：“有什么好辦法呢？”引導學生用“以小探大”的方法去探究，也就是從簡單問題中尋找規律，用發現的規律去解決復雜問題。假設路長只有5米，可以怎么栽？棵數和間隔數有什么關系？10米呢？15米呢？從中你發現什么規律？學生在畫圖、觀察、思考、交流中發現在兩端都栽的情況下“棵數=間隔數+1”的數學模型。再利用這個數學模型嘗試解決例題。學生通過嘗試解題、自然生疑、自主解疑、再遇困惑、以小探大、建立模型、應用模型，這樣層層深入地自主探究，逐步建立植樹問題中兩端都栽“棵數=間隔數+1”的數學模型。

2. 動手操作中建模。

數學教學中，要引導學生動手實踐，讓學生在動手操作中建立數學模型。在教學“平行四邊形面積”時，要引導學生動手操作，把平行四邊形剪拼成長方形，觀察拼成的長方形長、寬、面積與原平行四邊形底、高、面積之間的關系，從而發現“平行四邊形的面積=底×高”這個數學模型。通過動手操作，學生深刻地經歷建模過程，有效地培養學生動手操作能力和建立數學模型的能力。

3. 在模擬演示中建模。

在數學學習中，有些題目的數量關系較為抽象，而小學生的思維發展的基本特點是以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。但是這種抽象邏輯思維很大程度上仍然是直接與感性經驗相聯系的，仍然具有相當程度的具體形象性。所以抽象的數學需要進行直觀的模擬演示，才能更加有效地建立起數學模型。教學“相遇問題”時，如何建立“路程=速度和×相遇時間”這個數學模型呢？在讀題之后，先引導學生說出：從題中獲取哪些數學信息？要求什么問題？接著，請兩位學生上臺模擬演示，讓學生在演示中理解兩地、同時、相向、相遇的實際含義，然后深入思考甲速度、乙速度、相遇時間、路程之間的關系，讓學生在模擬、觀察、思考、交流中建立“路程=速度和×相遇時間”或“路程=甲車所行路程+乙車所行路程”這樣的數學模型。

4. 合作交流中建模。

合作交流是數學建模的重要環節，學生通過自主探究、動手操作或模擬演示、觀察思考，逐漸把現實情境中的問題抽象成數學問題，并形成自己獨特的見解，從而初步形成朦朧的數學模型。接著教師要引導學生進行合作交流，學生在交流中，才能取長補短，建立清晰的數學模型。

三、拓展應用，鞏固數學模型

學生通過自主探究、動手實踐、合作交流建立數學模型，教師還要引導學生進一步拓展、豐富數學模型，同時要加強數學模型的應用，進一步鞏固。

1. 加強聯系，拓展數學模型。

每一個數學模型必有許多與之對應的原型。教學中我們從一種原型中探究出數學模型后，應當充分挖掘與之相對應的各種原型，學生才會觸類旁通，靈活運用模型解決問題。就如當學生建立起“植樹問題”中三N情況（兩端都栽、一端栽一端不栽、兩端都不栽）棵數和間隔數之間的數學模型后，我們可以出示鋸木頭問題：把一根粗細均勻的木料鋸成5段，每鋸一次要用3分鐘，一共要用幾分鐘？引導學生找出鋸成的段數和鋸的次數之間的關系，從鋸的段數找到鋸的次數，再用“所鋸次數×每鋸下一段用的時間”得到總時間。這實際上就是植樹問題中兩端都不栽“棵數=間隔數-1”模型拓展成“所鋸次數=段數-1”。教學中只有不斷拓展數學模型，逐步學會將紛繁復雜的現實事物抽象概括為同一數學結構，逐步體驗并掌握數學建模思想，才能有效培養學生的抽象概括能力，建構數學模型的能力，從而提高學生的數學素養。

2. 加強實踐，應用數學模型。

在實踐中應用數學模型，不但能鞏固數學模型，同時還能有效地培養學生的運用意識，提高數學素養。當學生建立起“長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2”這個數學模型后，要布置學生量一量房間或教室墻面的大小。學生建立起“長方體的體積=長×寬×高”這個數學模型后，要布置學生回家測量冰箱的體積。學生在一次又一次的數學實踐中鞏固數學模型，發展應用意識。