數學建模常用算法精選(九篇)
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第1篇：數學建模常用算法范文
前言：數學建模，就是根據實際問題來建立數學模型，對數學模型來進行求解，然后根據結果去解決實際問題。數學模型是一種模擬，是用數學符號，數學式子，程序，圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模。在21世紀新時代下，信息技術的快速發展使得數學建模成了解決實際問題的一個重要的有效手段。
正文：自從20世紀以來，隨著科學技術的迅速發展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數學的應用越來越廣泛和深入，特別是在21世紀這個知識經濟時代，數學科學的地位會發生巨大的變化，它正在從國家經濟和科技的后備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展、數學理論與方法的不斷擴充，使得數學已經成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數學已經成為一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面。而數學建模作為數學方面的分支，在其中起到了關鍵性的作用。
談到數學建模的過程，可以分為以下幾個部分：
一.模型準備
了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數學思想來包容問題的精髓，數學思路貫穿問題的全過程，進而用數學語言來描述問題。要求符合數學理論，符合數學習慣，清晰準確。
二.模型假設
根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。
三.模型建立
在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量常量之間的數學關系，建立相應的數學結構。
四.模型計算
利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（或近似計算）。其中需要應用到一些計算工具，如matlab。
五.模型分析
對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結果進行數學上的分析。
六.模型檢驗
將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。
數學建模中比較重要的是，我們需要根據實際問題，適當調整，采取正確的數學建模方法，以較為準確地對實際問題發展的方向進行有據地預測，達到我們解決實際問題的目的，
在近些年，數學建模涉及到的實際問題有關于各個領域，包括病毒傳播問題、人口增長預測問題、衛星的導航跟蹤、環境質量的評價和預測等等，這些就能說明數學建模涉及領域之廣泛，針對這些問題我們需要采取對應的數學建模方法，采用不同的數學模型，再綜合起來分析，得出結論，這需要我們要有一定的數學基礎和掌握一些應用數學方法，以適應各種實際問題類型的研究，也應該在一些數學方法的基礎上，進行不斷地拓展和延伸，這也是在新時代下對于數學工作者的基本要求，我們對數學建模的所能達到的要求就是實現對實際問題的定性分析達到定量的程度，更能直觀地展現其中的內在關系，體現數學建模的巨大作用。
而在對數學建模中的數據處理中，我們往往采用十類算法：
一.蒙特卡羅算法
也稱統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。如粒子輸運問題。
二.數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法
比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具，而在其中有一些要用到參數估計的方法，包括矩估計、極大似然法、一致最小方差無偏估計、最小風險估計、同變估計、最小二乘法、貝葉斯估計、極大驗后法、最小風險法和極小化極大熵法。最基本的方法是最小二乘法和極大似然法。數據擬合在數學建模中常常有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關系。
三.線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題
建模競賽大多數問題屬于最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現。它尤其適用于傳統搜索方法難于解決的復雜和非線性問題，在運籌學和模糊數學中也有應用。
四.圖論算法
這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備，其中，圖論具有廣泛的應用價值,圖論可將各種復雜的工程系統和管理問題用“圖”來描述,然后用數學方法求得最優結果，圖論是解決許多工程問題中算法設計的一種有效地數學模型,便于計算分析和計算機存儲。
五.動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法
動態規劃的應用極其廣泛，包括工程技術、經濟、工業生產、軍事以及自動化控制等領域，并在背包問題、生產經營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復雜系統可靠性問題等中取得了顯著的效果。回溯算法是深度優先策略的典型應用，回溯算法就是沿著一條路向下走，如果此路不同了，則回溯到上一個分岔路，在選一條路走，一直這樣遞歸下去，直到遍歷萬所有的路徑。八皇后問題是回溯算法的一個經典問題，還有一個經典的應用場景就是迷宮問題。回溯算法是深度優先，那么分支限界法就是廣度優先的一個經典的例子。回溯法一般來說是遍歷整個解空間，獲取問題的所有解，而分支限界法則是獲取一個解。分治算法的基本思想是將一個規模為N的問題分解為K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。
這些算法是算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。
六.最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法
模擬退火算法的依據是固體物質退火過程和組合優化問題之間的相似性。物質在加熱的時候，粒子間的布朗運動增強，到達一定強度后，固體物質轉化為液態，這個時候再-進行退火，粒子熱運動減弱，并逐漸趨于有序，最后達到穩定。
“物競天擇，適者生存”，是進化論的基本思想。遺傳算法就是模擬自然界想做的事。遺傳算法可以很好地用于優化問題，若把它看作對自然過程高度理想化的模擬，更能-顯出它本身的優雅——雖然生存競爭是殘酷的。 遺傳算法以一種群體中的所有個體為對象，并利用隨機化技術指導對一個被編碼的參數空間進行高效搜索 。
神經網絡從名字就知道是對人腦的模擬。它的神經元結構，它的構成與作用方式都是在模仿人腦，但是也僅僅是粗糙的模仿，遠沒有達到完美的地步。和馮·諾依曼機不同-，神經網絡計算非數字，非精確，高度并行，并且有自學習功能。
這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現比較困難，需慎重使用。
七 .網格算法和窮舉法
對于小數據量窮舉法就是最優秀的算法，網格算法就是連續問題的枚舉。網格算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。
八.一些連續離散化方法
很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。
九.數值分析算法
在比賽中采用高級語言進行編程的話,那一些數值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、 函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用。
十.圖像處理法
賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理。
這十類算法對于數據處理有很大的幫助，甚至從其中可以發現在它們中的很多算法都是數學某些分支的延伸，可能我們不一定能掌握里面的所有算法，但是我們可以盡可能學習，相信這對我們今后的數學學習有很大的幫助，然后，就是數學模型的類別。
常見的數學模型有離散動態模型、連續動態模型、庫存模型、線性回歸模型、線性規劃模型、綜合評價模型、傳染病模型等數學模型、常微分方程模型、常微分方程的數值穩定性、人口模型、差分方程模型，這些模型都有針對性地從實際問題中抽象出來，得到這些模型的建立，我們在其中加入適當合理的簡化，但要保證能反映原型的特征，在數學模型中，我們能進行理性的分析，也能進行計算和演繹推導，我們最終都會通過實踐檢驗數學建模的正確性，加以完善和提升，在對現實對象進行建模時，人們常常對預測未來某個時刻變量的值感興趣，變量可能是人口、房地產的價值或者有一種傳染病的人數。數學模型常常能幫助人們更好的了解一種行為或者規劃未來，可以把數學模型看做一種研究特定的實際系統或者人們感興趣的行為而設計的數學結構。
例如人口增長模型：
中國是世界上人口最多的發展中國家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有資源相對不足，是我國的基本國情，人口問題一直是制約中國經濟發展的首要因素。人口數量、 質量和年齡分布直接影響一個地區的經濟發展、資源配置、社會保障、社會穩定和城市活力。 在我國現代化進程中，必須實現人口與經濟、社會、資源、環境協調發展和可持續發展， 進一步控制人口數量，提高人口質量，改善人口結構。對此，單純的人口數量控制（如已實施多年的計劃生育）不能體現人口規劃的科學性。 政府部門需要更詳細、 更系統的人口分析技術，為人口發展策略的制定提供指導和依據。長期以來，對人口年齡結構的研究僅限于粗線條的定性分析， 只能預測年齡結構分布的大致范圍，無法用于分析年齡結構的具體形態。 隨著對人口規劃精準度要求的提高，通過數學方法來定量計算各種人口指數的方法日益受到重視，這就是人口控制和預測。
人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災害、環境、社會、經濟等諸多因素影響和制約的共同結果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統具有明顯的灰色性， 適宜采用灰色模型去發掘和認識原始時間序列綜合灰色量所包含的內在規律。灰色預測模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點是單數列預測，在形式上只用被預測對象的自身序列建立模型，根據其自身數列本身的特性進行建模、預測，與其相關的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，對灰色量進行預測，不必拼湊數據不準、關系不清、變化不明的參數，而是從自身的序列中尋找信息建立模型，發現和認識內在規律進行預測。
基于以上思想我們建立了灰色預測模型：
灰色建模的思路是：從序列角度剖析微分方程，是了解其構成的主要條件，然后對近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對序列而言（一般指有限序列）只能獲得有限差異信息，因此，用序列建立微分方程模型，實質上是用有限差異信息建立一個無限差異信息模型。
在灰色預測模型中，與起相關的因素并沒有直接參與，但如果考慮到直接影響人口增長的因素， 例如出生率、死亡率、 遷入遷出人口數等，根據具體的數據進行計算， 則可以根據年齡移算理論，從某一時點的某年齡組人數推算一年或多年后年齡相應增長一歲或增長多歲的人口數。在這個人口數的基礎上減去相應年齡的死亡人數， 就可以得到未來某年齡組的實際人口數。對于0 歲的新生人口， 則需要通過生育率作重新計算。當社會經濟條件變化不大時， 各年齡組死亡率比較穩定， 相應活到下一年齡組的比例即存活率也基本上穩定不變。 因而可以根據現有的分性別年齡組存活率推算未來各相應年齡組的人數。
通過這樣的實例就能很細致地說明數學建模的方法應用，數學模型方法是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數學方法。它是將研究的某種事物系統，采用數學形式化語言把該系統的特征和數量關系，抽象出一種數學結構的方法，這種數學結構就叫數學模型。一般地，一個實際問題系統的數學模型是抽象的數學表達式，如代數方程、微分方程、差分方程、積分方程、邏輯關系式，甚至是一個計算機的程序等等。由這種表達式算得某些變量的變化規律， 與實際問題系統中相應特征的變化規律相符。一個實際系統的數學模型，就是對其中某些特征的變化規律作出最精煉的概括。
數學模型為人們解決現實問題提供了十分有效和足夠精確的工具， 在現實生活中， 我們經常用模型的思想來認識和改造世界，模型是針對原型而言的，是人們為了一定的目的對原型進行的一個抽象。
隨著科學技術的快速發展，數學在自然科學、社會科學、工程技術與現代化管理等方面獲得越來越廣泛而深入的應用， 尤其是在經濟發展方面， 數學建模也有很重要的作用。 數學模型這個詞匯越來越多地出現在現代人的生產、工作和社會活動中，從而使人們逐漸認識到建立數學模型的重要性。數學模型就是要用數學的語言、方法去近似地刻畫實際，是由數字、字母或其他數學符號組成的，描述現實對象數量規律的數學公式、 圖形或算法。也可以這樣描述：對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，做出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模的作用在21實際毋庸置疑，我們通過不斷學習數學建可以掌握解決實際問題的強大武器。
參考文獻：數學建模方法與案例，張萬龍，等編著，國防工業出版社（2014）.
第2篇：數學建模常用算法范文
關鍵詞：數值計算方法；數學建模；必要性；途徑
中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）24-0047-02
隨著計算機的飛速發展，幾乎所有學科都走向定量化和精確化，從而產生了一系列計算性的學科分支，如《計算物理》、《計算化學》、《計算生物學》、《計算地質學》、《計算氣象學》和《計算材料學》等，而《計算數學》中的數值計算方法則是解決“計算”問題的橋梁和工具。因此掌握數值計算方法的基本理論及其應用對理工科大學生從事專業研究具有重要意義。那么如何加強學生對計算方法思想的領悟？如何增強學生運用計算方法思想解決實際問題的能力？在計算方法教學中融入數學建模思想是值得我們認真思考的問題，也是解決學與用關系的一個非常有意義的嘗試。筆者參加了山東省精品課程數值計算方法的建設，又結合近幾年的教學體會，提出以下幾點認識。
一、數學建模思想融入數值計算方法教學的必要性
1.傳統數值計算方法教學的不足之處。值計算方法，也稱數值分析或計算方法，是專門研究各種數學問題的數值解法（近似解法），包括方法的構造和求解過程的理論分析。課程中有大量的、冗長的計算公式，所涵蓋的知識面寬，各部分內容自成體系，因而給人的感覺是條塊分割嚴重，邏輯性、連貫性不強。在傳統的數值計算方法教學中，主要是講解定義、公式推導和大量的計算方法等。很多學生在學習的過程中甚至考試結束之后仍然不知道自己所學的算法能在什么地方應用，導致學生學習目的性模糊，學習興趣減少，因此加強培養學生的數學建模能力具有十分重要的意義。
2.數學建模思想在數值計算方法教學中的作用。所謂數學建模[1]，就是將某一領域或部門的某一實際問題，通過做一些必要的簡化和假設，明確變量和參數，并依據某種“規律”，運用適當的數學理論，建立變量和參數間的一個明確的數學關系式，這個數學關系式即為數學模型，建立這個數學模型的過程即為數學建模。建立實際問題數學模型的過程如下[2]：實際問題建立數學模型求解模型檢驗模型結果修改模型再求解模型（可循環多次）實際問題的合理結果。在這個過程中，只有一小部分模型能解析求解，大部分數學模型只能數值求解。這就要用到數值計算方法課程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、曲線擬合法、方程迭代求解法、共軛梯度法等，這就啟發我們將數學建模的思想融人計算方法的教學中，提供數值方法實際應用的源泉，體現數值方法的價值和意義，使數學教學不再是無源之水，無本之木，不再顯得那么空洞，從而把以往教學中常見的“要我學”真正地變成“我要學”。
二、數學建模思想融人數值計算方法教學的途徑
將數學建模的思想融人數值計算方法教學中是很有必要的，但具體如何融入呢？結合教育的實際，筆者提出以下幾點建議。
1.原則。課堂教學的主要內容和地位而言，數值算法是課堂教學的主要內容，數學建模僅作為一種教學方法而存在，是學生認知的一種途徑，它為數值計算方法教學服務，是教學工作的一種延伸和補充，處于從屬地位。數值計算方法為主，數學建模為輔，二者不能平分秋色，更不能本末倒置。因此，數學建模思想滲透到數值計算方法教學中的量不能超過一個度，否則，數值計算方法課就會變成數學建模課。
2.在解決應用問題的講解中滲透數學建模的思想與方法。值計算方法中的數值方法都有很強的實際應用背景，每一種方法都直接或間接與工程應用有關。教學中通過對實際應用背景的描述，可以激發學生的學習欲望和探究心理，從而對學習內容及過程產生強烈的興趣和需要。這就要求授課教師了解其他相關學科課程，讓學生知道所學的知識在不同領域的應用。例如：在信息技術中的圖像重建、圖像放大過程中為避免圖像失真、扭曲而增加的插值補點，建筑工程的外觀設計，天文觀測數據、地理信息數據的處理，社會經濟現象的統計分析等方面，插值技術的應用是不可或缺的；在實驗數據處理問題中，曲線擬合得到廣泛應用；在汽車、飛機等的外型設計過程中，樣條技術的引入使其外型設計越來越光滑、美觀。
3.數學實驗中滲透數學建模的思想與方法。機環節是數值計算方法這門課程重要的組成部分，也是檢驗學生理解授課內容好壞的“試金石”。授課教師可以結合實際和所學數值算法設計一些綜合性的問題，讓學生去解答。學生通過查閱資料，認真研究，建立模型，設計算法，編程上機，調試運行，得出結果。這個過程既提高了學生編程上機能力，對所學算法有了更深刻的理解，而且對提高學生應用所學的計算方法知識解決實際問題的能力也有很大幫助。
4.在案例教學中滲透數學建模的思想與方法。案例教學[3]，就是在課堂教學中，以具體案例作為教學內容，通過具體問題的建模范例，介紹數學建模的思想方法。所選教學案例要盡可能結合學生所學專業，并且涉及相應數值算法而又能體現數學建模思想。這樣既使學生掌握了數學建模的方法，又使學生深刻體會到數學是解決實際問題的銳利武器。下面具體舉一個例子給予說明。例：三次樣條插值案例．在工程技術和數學應用中經常遇到這樣一類數據處理問題：在平面上給定了一組有序的離散點列，要求用一條光滑曲線把這些點按次序連接起來。解：傳統的設計方法是工程技術人員常常用一條富有彈性的均勻細木條，讓它們依次經過離散數據點，然后用“壓鐵”在若干點處壓住，在其他地方讓它自由彎曲，然后沿細木條畫出一條光滑曲線，形象的稱為樣條曲線
在力學上，通常均勻細木條可以看作彈性細梁，壓鐵看作是作用在梁上的集中載荷，“樣條曲線”就模擬為彈性細梁在外加集中載荷作用下的彎曲變形曲線。設細梁剛度系數是A，彎矩為M，樣條曲線的曲率為k（x）。由力學知識：Ak（x）=M（x），M（x）是線性函數，k（x）=■當 時（即小撓度的情況），上述微分方程簡化為Ay"（x）=M（x），y（4）（x）=0因此，“樣條曲線”在每個子區間可近似認為是三次多項式。通過此數學建模案例可以讓學生體會三次樣條的基本特征：分段三次光滑，整體二次光滑。
總之，在數值計算方法教學中融入數學建模思想，不但搭建起數值計算方法知識與應用的橋梁，而且使得數值計算方法知識得以加強、應用領域得以拓廣，在推進素質教育和培養創新能力上將會發揮重要的作用。
參考文獻：
[1]丁素珍，王濤，佟紹成.高等數學課程教學中融入數學建模思想的研究與實踐[J].遼寧工業大學學報，2008，10（1）：133-135.
[2]曾國斌.試論數學建模與高等數學教學[J].湖南理工學院學報（自然科學版），2008，21（3）：92-94.
[3]何莉.在高等數學教學中培養學生數學建模能力[J].科教文匯，2008，68.
第3篇：數學建模常用算法范文
（1.中國91055部隊，浙江 臺州 318500；2.中國91576部隊，浙江 寧波 315021）
【摘 要】綜合保障的實踐表明，保障任務的核心問題就是如何維護復雜裝備的系統可靠度和運行可用度。可用度建模是解決這些問題的前提，隨著新理論的不斷涌現，對建模關鍵技術的研究越來越深入。分析了可用度模型的分類和建模過程中遇到的關鍵技術，論述了系統結構、壽命分布、使用維修等條件對可用度建模過程中的影響，并對建模方法的適應性進行了初步的探討。
關鍵詞 可用度；建模方法；馬爾科夫；更新過程
作為衡量裝備戰備完好與任務持續能力的重要參數——系統可用度，長期以來一直受到裝備研制部門和裝備使用部門的高度重視，它的優點在于其綜合性很強，把裝備的可靠性、維修性、測試性和保障性等設計特性綜合為軍方所關心的使用參數。[1-3]解決系統可用度問題的前提是建模，本文研究的目的就是提出一個可用度建模方法的框架，為深入研究打下基礎。
1 建模方法分類
可用度的數學模型可以大致分為概率模型和統計模型兩類：概率模型和統計模型。概率模型是指，從系統結構出發及部件的壽命分布、修理時間分布等等有關的信息出發，來推斷出與系統壽命有關的可靠性數量指標，進一步可討論系統的最優設計、使用維修策略等。其中概率模型根據系統相關時間的概率分布的不同又分為微積分模型、馬爾科夫模型和更新過程模型。統計模型是指，從觀察數據出發，對部件或系統的壽命、可靠性指標等進行估計和檢驗。
隨著相關領域的發展，可用度的數學模型出現一類綜合類模型，包括：基于離散事件的模型、基于神經網絡的模型和基于遺傳算法的模型等。可用度建模方法分類如圖1所示。
2 模型研究
2.1 概率模型
1）微積分模型
主要根據基本的數學機理和單元可用度的內涵，依靠微積分的運算方法解算系統的可用度。設單元的故障概率密度函數為f（t），修復概率密度函數g（t），則其故障頻率w（t），修復頻率v（t）以及不可用度Q（t）的計算公式如下：
式中：f1（t）表示單元在t=0時刻是正常條件下故障概率密度函數；f2（t）表示單元在t=0時刻是被修復條件下故障概率密度函數。
此方法適用于服從任意分布的部件，針對可修復部件的可用度計算模型，采用逐次逼近方法，求解可用性指標的第二類Volterra積分方程，如式（5）所示。
這種積分模型適用于n中取m系統的平均穩態可用性，如核電廠的散熱系統等。
2）馬爾科夫模型
當系統的各組成部件的壽命、維修時間等相關時間均遵從指數分布，且部件失效和修復相互獨立，只要適當定義系統的狀態，總可以用馬爾科夫過程來描述，這樣的可修系統稱為馬爾科夫可修系統。
以n個不同單元組成的串聯系統為例，馬爾科夫模型如下，第i個單元的故障率為?姿i，維修率為ui。只要一個單元故障，系統就故障，進行維修，系統地狀態集合為S={0，1，2，…，n}，其中系統正常工作狀態集合為W={0}，系統故障狀態集合為F={1，2，…，n}，系統狀態概率向量表示為X={x0，x1，…，xn}，系統狀態轉移圖如圖2所示。
馬爾科夫模型適用于系統穩態可用度的研究中，被廣泛應用于對互聯計算機通信網絡，雷達等復雜電子系統的建模。
3）更新過程模型
其中，Ai（t）表示系統可用度。gi（t）是定義在[0，∞]上的非負、在任何有限區間上的有界函數，在計算可用度時，通常這個函數是不同裝備服從任意分布的維修，壽命，保障延誤的時間。
馬爾科夫更新模型的建模流程：
（1）模型假設，構建服從一般分布的各統計量；
（2）系統狀態轉移關系確定；
（3）半馬爾科夫表達式確立，并對相應的概率進行Laplace-Stieltjes變換；
（4）構建馬爾科夫更新方程組，根據極限定理及洛比達法則求解系統穩態可用度，系統的瞬時可用度可根據更新方程組直接拉氏反變換求得。
馬爾科夫更新模型適用于估算通用性的系統效能，武器系統的可用性及備件更換方面等。其優點在于能適應各種分布類型的問題求解，不足之處是計算過于繁瑣。
2.2 統計模型
現場數據統計方面的研究主要是按照可用度的定義，對歷史數據或仿真數據進行研究，運用數理統計的基本理論與方法得到的相應結論，即統計規律意義上的裝備可用度的估計值或置信區間。
這里我們重點介紹蒙特卡洛仿真方法。對于復雜可修系統或者壽命或維修時間不遵從指數分布的系統的可用度分析，經常還需要借助仿真技術來實現，蒙特卡洛（Monte Carlo）仿真是常用的仿真技術。
蒙特卡洛仿真的步驟：
（1）構造或描述概率過程；
（2）實現從已知概率分布抽樣；
（3）建立各種估計量。
蒙特卡洛仿真方法一般不單獨使用，它一般有模型條件的限制和輸入數據的要求。根據一般可用性仿真的要求，建立了仿真方法的一般流程示意圖，如圖4所示。
統計方法通過歷史數據或仿真數據，只能獲得系統可用度的估計值或置信區間，無法獲得系統準確的瞬時可用度。并且這種統計意義下的系統瞬時可用度根本無法反映系統瞬時可用度波動的內在機理，不利于研究的展開。但是，統計方法卻可以作為模型有效性驗證的重要工具。
2.3 綜合類模型
隨著相關領域的發展，離散事件、神經網絡和遺傳算法等模型被廣泛的應用于可用度的s建模領域。文獻[4]建立了對預防性維修的單部件離散可修系統的瞬時可用度模型，利用概率分析的方法詳細討論了系統正常、修復性維修和預防性維修3個狀態之間的轉移關系。文獻[5]利用神經網絡學習能力強，分布式，并行性和非線性的特點，結合裝備可用度的計算要求，建立預測模型，通過訓練及預測結果，確定網絡模型結構。文獻[6]針對部件壽命服從非指數分布，維修屬于非馬爾科夫過程的復雜設備為對象，以系統可用度為優化目標，以預防性維修周期為優化變量，基于蒙特卡洛和遺傳算法研究預防性維修策略的優化問題，建立了設備可用度的優化模型，并將遺傳算法中的個體進化搜索用于維修策略優化。同時，粒子群算法也被應用于可用度的建模中。
2.4 模型的適應性
表1是對各種模型適應性的分析，經過研究得出每一種建模方法適用于可用度建模的類型、考慮因素和應用領域。
3 總結
在可用度建模過程中，由于各種原因，往往遇到很多困難，本文的研究提出了一套較為完整的可用度建模方法，全面的分析了各種方法的適用條件和考慮因素，為復雜系統的可用度建模提供了依據，為設計和保障具有高可用性的裝備提供了技術支持。
參考文獻
［1］Machere Y， Koehn P， Sparrow D．Improving reliability and operational availability of military systems[C]// IEEE Aerospace Conference.2005，3489-3957.
［2］徐廷學．導彈武器系統的使用可用度[J]．航空科學技術，2000，3：34-35.
［3］單志偉．裝備綜合保障工程[M]．國防工業出版社．2007，4-5.
［4］楊懿，王立超，鄒云．考慮預防性維修的離散時間單部件系統的可用度模型[J]．航空學報，2009，30（1）：67-69.
［5］段志勇，張彤，等．基于BP神經網絡的飛機完好率建模研究[J]．航空計算技術，2007，37（3）：37-40.
第4篇：數學建模常用算法范文
將基于圖形和基于語言的設計方法結合起來最能準確描述DSP系統。DSP建模軟件行業專家The MathWorks提供了一種稱為Simulink的時序精度的圖形化設計環境和一種稱為MATLAB的數學建模語言，從而滿足了這種二分法。 Simulink非常適合DSP設計的“系統”方面，包括輸入輸出接口和存儲器數據流的控制與同步。Simulink還以模塊集的形式提供了一個豐富的預定義DSP算法集，可以用來構建DSP系統。不過，對于專用算法的建模來說，Simulink并非總是最有效的開發環境。它不必要地增加了設計人員考慮時序精度的負擔，并且強制用圖形模塊集而非簡明的文本表達式來構建底層的算術運算和數組操作。
有些DSP算法開發人員發現MATLAB語言最能滿足他們喜歡的開發方式。MATLAB具有針對信號處理、通信和小波處理的1000多種內置函數和工具箱擴展，為復雜算法的開發和調試提供了豐富且易用的環境。 Simulink利用一個嵌入式MATLAB模塊將這兩種建模環境統一起來，該模塊允許MATLAB模型在Simulink內部仿真，再通過Real-Time Workshop編譯成C代碼后在DSP處理器上實現。
Xilinx System Generator for DSP是一種廣泛公認的高效工具，用于在FPGA中創建DSP設計。SystemGanerator for DSP提供了基于Simulink的圖形環境和Xilinx DSP核的預定義模塊集，這同時滿足了系統架構設計師和硬件設計人員的需要，前者需要把組件集成到設計中，而后者需要優化實現。不過，System Generatorfor DSP缺少對基于MATLAB的設計流程的支持。
DSP硬件系統
System Generator for DSP非常適合DSP系統建模，它不僅包括核心DSP算法，還包括針對外部總線、存儲器讀寫訪問、系統數據同步和整體系統控制的同步接口。System Generatorfor DSP提供了面向控制的模塊(如MicroBlazeTM處理器)，還提供了用于實現DSP系統同步的各個寄存器、延時器和存儲器模塊(如圖1所示)。
自定制DSP算法
任何DSP系統的核心都是算法。算法與系統的區別在于所產生的輸出是基于給定輸入集的函數，與時鐘或硬件無關。這可以由以下簡單公式表示：
y=f(x)
我們可以分別在FPGA、DSP處理器和軟件上執行一種MATLAB定義的算法，它們對時序精度的理解各不相同。
算法的這種特有性質具有兩大好處。
首先，算法開發人員完全不用顧及硬件實現細節，可以只專心于算法功能。正因為如此，今天在DSP中使用的算法估計有90％都是首先作為MATLAB模型出現的，即使設計流程表明它們此后還要重新實現Simulink圖或System Generatorfor DSP圖。用一個簡單的MATLAB語句就可以計算4×1 024數據矩陣的快速傅里葉變換(FFT)，不必考慮基數、擴展性、緩沖或有效信號的同步，如下所示：
y=fft(data，1024)
其次，在建立算法模型時，給定的輸出集總是對應于給定的輸入集；因此，不必在生成的硬件中解決同步問題。這就使算法具有可通過AccelDSP這樣的綜合工具進行調度的固有“可調度”性。由于硬件要求，可能需要使用多個時鐘周期來計算一個輸出(如資源共享MAC FIR濾波器的情形)，但這種操作卻非常適合AccelDSP綜合工具的自動流程。加入一個簡單的硬件握手接口即可為集成到整個系統敞開方便之門，如圖2所示。
AccelDSP和System Generator工具一起使用
A cc eDSP綜合工具可依據浮點MATLAB模型生成System GeneratorIP模塊，從而使System Generator forDSP能夠支持DSP系統和算法兩種建模方法。這樣可以產生與用嵌入式MATLAB模塊功能相似的FPGA設計流程(見圖3)。我們可以用Xilinx DSP模塊集實現系統設計，而用浮點MATLAB實現算法設計。用AccelDSP綜合工具創建的System Generator IP模塊是具有時序精度特點的定點模塊。
卡爾曼濾波器示例
我們來看一種用MATLAB編寫的高級算法，使用AccelDSP綜合工具進行綜合，然后將算法集成到Syst emGenerator模型中。卡爾曼濾波器是一種特殊類型的自適應遞歸濾波器，非常適合將多個有噪聲的信號合并成一個較清晰的信號。卡爾曼濾波器以對象(如由地面雷達跟蹤的商用飛機)的數學模型開始，使用該模型預測未來行為。然后，濾波器使用實測信號(如返回到雷達接收器的飛機特征信號)定時校正預。
以下是一個卡爾曼濾波器的MATLABM文件。該算法定義矩陣R和I，這兩個矩陣描述了實測信號和預測行為的統計數據。算法的后九行是前向預測代碼和自我校正代碼。
像加減這類常用運算符是在A或P_cap這類數組上運算，無須像C語言所要求的那樣編寫循環語句。二維數組自動以矩陣相乘，無須任何特別注釋。
MATLAB運算符(如矩陣轉置)可以使MATLAB代碼短小易讀。而像矩陣求逆這類復雜運算可以用MATLAB豐富的線性代數功能完成。雖然可以將這種算法構建成框圖，但這樣做很容易使算法結構在MATLAB中顯得費解。有了AccelDSP綜合工具，就可以用AccelWare IP工具套件將復雜的MATLAB工具箱和內置函數(如卡爾曼濾波器示例中使用的矩陣求逆)直接賦予硬件。這些工具套件提供多種矩陣求逆方法。核的選擇取決于矩陣的大小、結構和值。
我們再回到卡爾曼濾波器示例，最適宜的方法是使用AccelWare QR矩陣求逆核。AccelWare核是依據MATLAB語法生成的，可有多種硬件實現架構，這些架構允許用戶對設計進行速度、面積、功耗和噪聲優化。為了使用AccelWare功能，需要對代碼進行以下小修改：
用AccelDS P綜合工具綜合MATLAB可以使用AccelDSP綜合工具進行浮點仿真，以建立一個基準來參考。然后將設計轉換成定點，以便進行定點效果仿真。有諸多功能可以幫助分析這些效果和定點設計(如飽和與四舍五入)。數據位寬的增長可以用戶控制的方式自動傳播到整個設計中。這種算法設計瀏覽過程可以幫助您獲得理想的量化結果，此量化結果能夠在控制上溢出／下溢出的同時盡量縮小位寬，以便盡早在硅片面積與性能指針之間進行權衡。一旦確定了適宜的量化結果，使用AccelDSP綜合工具的下一步就是為Xilinx目標器件生成RTL。可以通過使用表1所列綜合指令來規定硬件含義。使用這些指令可以規范基于硬件的設計瀏覽，使設計小組能夠進一步提高結果質量。在綜合RTL時，AccelDSP綜合工具評估和調度整個算法，并且在可能時進行邊界優化。
AccelDSP工具在整個流程中都保持始終如一的驗證環境，這是因為使用了自校驗式測試平臺，即使用MATLAB定點設計時生成的輸入／輸出向量來驗證生成的RTL。AccelDSP綜合工具還會報告卡爾曼濾波器的流量和延時量，這是衡量設計是否滿足指標以及生成時序精度的SystemGenerator模型所必需的。生成System Generator模型
成功完成RTL驗證之后，即可通過單擊“Generate Systam Generator”圖標來為設計生成System Generator模型。AccelDSP工具產生一個可支持仿真和RTL代碼的System Generator IP模塊。
此時，設計流程過渡到Sy stem Generator for DSP，其中可以在Simulink庫瀏覽器中使用卡爾曼濾波器的新模塊，只需選擇卡爾曼濾波器模塊，然后將其拖入到目標環境中，便可將AccelDSP生成的卡爾曼濾波器集成到System Generator設計中。
第5篇：數學建模常用算法范文
關鍵詞：信息與計算科學；學習方法
信息與計算科學專業涉及科目較多，交叉課程也比較多，如何高效學習筆者認為應從兩方面做起：一是對課內專業知識的積累；二是對課外創新項目實踐。學好課內專業基礎理論知識是搞好課外創新實驗項目的基礎和前提；反之，創新實驗項目是對課內所學專業知識的具體實踐和運用。
一、學好課內專業知識的方法
對于課內專業知識的積累來說，比如數學分析、高等代數、概率論與數理統計、常微分方程、數理方程、信息論、數據庫、計算機圖形學、計算機程序設計等，要想最大限度地提高效益和收獲知識，在課堂上必須培養卓有成效地聽課和記筆記這一基本習慣，并且在課后及時認真復習。
（一）高效率聽課。聽課是整個理學學科學習過程鏈條上的中心環節，是獲取書本知識的主要陣地。竭盡全力地聽好教師的課堂講授，是贏得優異學習成績的重要基礎和必要條件。要想聽課效率較高，就必須在聽課前要有充分的準備。 首先，充分復習前一節課的內容。課程內容前后章節具有連貫性，銜接性和穿插性。只有對前一節課的基本概念、定理、方法深刻理解和牢固掌握，才能在聽后一節課時具有堅實的基礎，從而從容不迫、左右逢源。其次，預習好本節課即將講授的內容。聽課前認真預習本節課即將講授的內容，標記出自己的疑難點，使自己在聽課時一目了然，心中有數，胸有成竹，從而更加清醒主動，全面周到，富有成效。
（二）高效率筆記。記筆記可以儲備資料，積累素材。尤其是對于我們信息與計算科學這一理論性很強的專業來說，記筆記可以為課后復習、考前應試和將來深入鉆研，儲備充足的資料、積累豐富的素材。 記筆記有助于聽課時集中注意力。專心致志地詳細記筆記，就會高度注意聽取教師講述的每句話語和在黑板上書寫的每段文字、每個公式，從而就顧不上走神去想其它事情，也不會被外界干擾所吸引而轉移注意力。
（三）課后及時高效復習
學過的課內理論知識如果不科學而有效地進行復習，就可能很快被遺忘。要牢固掌握，形成能力，復習必須有章可循。首先，課后應該及時回憶 學過的新知識，如同“過電影”。及時復習是一種積極主動的習慣，須高度集中注意力，把學過的知識在頭腦中“再現”一遍，從而鞏固所學知識。其次，要想牢固掌握所學知識，必須經常定期復習。即使是復習過的內容仍須定期鞏固，但是復習的次數應隨時間的增長而逐步減小，間隔也可以逐漸拉長。從時間安排上，可以當天鞏固新知識，每周進行周小結，每月進行階段性總結，期末進行全面系統的總復習。每單元進行知識梳理，每章節進行知識歸納總結，必須把相關知識串聯在一起，構建知識結構，形成知識網絡，達到對知識的整體掌握。
二、搞好課外創新項目的實踐
（一）培養創新實踐意識和能力。首先，作為信息與計算科學的學生，要對創新實踐項目充滿濃厚的興趣，要敢于實踐，勇于創新，在解決實際問題中提高自己的創新實踐能力。課余時間，要積極聽取本專業學術相關的專題講座，擴大自己的視野，使自己獲得相對多的信息量，更加深入地了解信息與計算科學的發展前景。 其次，我們可以到本學院的實驗基地，練習使用matlab、sas或lingo軟件編寫相關程序解決工程作圖，實驗數據或時間序列等擬合、插值問題。也可以根據自己的興趣、愛好設計一些短小精悍的算法，編寫一些C、C++、Java小程序，以提高計算機編程解決實際小型實際問題的能力，為參加校級或省級ACM程序設計大賽和計算機綜合技能大賽打下堅實的基礎。
（二）積極參加數學建模競賽。積極參加數學建模競賽是搞好課外創新項目實踐的關鍵，參賽應注意以下兩點：
1.數學建模競賽要用到數學知識，但與純數學競賽不同；用到計算機，甚至離不開計算機，但卻不是純粹的計算機競賽。它涉及物理、化學、生物、醫學、電子、農業、管理等各學科、各領域的知識，但也不是這些學科、領域里的純知識競賽。它要用到各方面的綜合的知識。參賽選手不只是要有各方面的知識，還要駕馭這些知識，應用這些知識處理實際問題的能力。
2.盡量熟悉數學建模的常用方法：數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法；線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題；動態規劃、分治算法、分支定界等計算機算法；模擬退火法、神經網絡、遺傳算法，螞蟻群算法，免疫算法；數值分析算法 ；網格算法和窮舉法；圖象處理算法等。不一定要求這些方法都弄透弄懂，但至少要了解，遇到具體實際問題時要有意識的去運用。
參考文獻：
第6篇：數學建模常用算法范文
【關鍵詞】數學建模教材改革教學目標創新能力
【中圖分類號】G642【文獻標識碼】A【文章編號】1006-9682(2010)3-0026-02
一、數學建模的教學
1.數學建模的教學現狀
數學建模在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視,國內外越來越多的大學正在進行數學建模課程的教學和參加開放性的數學建模競賽,數學建模教學和競賽已是高等院校的教學改革和培養高層次的科技人才的一個重要方面,努力探索更有效的數學建模教學法和培養面向21世紀的人才的新思路是我們的重要任務。
全國有600多所學校開設了數學建模課程,有200多所學校只開設了數學建模講座,有200多所學校增設了數學建模競賽培訓課。每年全國有30個省市(包括港澳)1000多所學校,15000多個隊參加數學建模競賽,參加人數45000人,是目前高校學生最大的課外活動。
2.存在的問題
數學建模方面的教材舉不勝舉,每部教材都有其各自的特點。然而與此同時,很多教材也存在一些問題,一些教材在內容上安排不當,與其他課程缺乏系統的匹配和整合。在數學建模的求解技巧方面下了功夫,但卻忽略了模型建立的過程,忽略了多學科的橫向交叉聯系,一些內容與其他內容有重疊現象。這樣做的后果,不僅使學生喪失了學習的熱情和興趣,而且重要的是學生解決實際問題的能力得不到應有的鍛煉與提高。本問卷調查的目的是想通過問卷調查了解高等院校在進行數學建模教學和數學建模競賽培訓時,重點進行了哪些內容的教學?還需要增加哪些內容?介于數學建模教材比較多,我們以趙靜、但琦編寫的《數學建模與數學實驗》教材為基礎,為配合數學建模教學研究項目,筆者調查了我國部分高等院校對該教材使用的相關情況,對結果進行分析和研究,提出了相應對策,旨在為本教材內容改革提供一些參考數據。
二、數學建模教材講授情況
此次調查的內容主要包括:哪些學校使用了我們的教材,教學過程中使用參考資料情況,講授中主講哪些內容,以及建模競賽獲獎情況等方面。調查采用問卷的形式,通過向各高校發送E-mail進行,本次調查共發送問卷120份,收回問卷72份。現對調查結果分析如下:
1.課程開設情況
在回收的問卷中,學校層次大多是普通院校(92%)。調查結果顯示,有83%的院校采用了我們的教材,其中使用第三版的占58%,另外17%的作為參考資料使用(見表1)。表明我們的教材反應良好,被多所學校數學建模與數學實驗課程或大學生數學建模競賽輔導作為教材選用,且使用最新版次的居多。
注:表中百分數=選擇該項的院校÷問卷調查總院校數(以下表中百分數均同此公式)
回收問卷中所有院校均開設了數學建模課程,通常以必修課、選修課和培訓課的形式來開設,當然有些院校根據專業的不同,同時以兩種以上的形式來開設。經統計有50%的院校將《數學建模》作為必修課程,有75%的院校作為選修課,另外還有42%的院校開設為培訓課。其中,同時開設三種形式的院校占17%(見表2)。由此可見,數學建模課程在各個院校中都有著舉足輕重的作用。
另外在問卷中調查了選修課及培訓課課時的設置情況,統計結果如下(見表3):選修課時在30、40的院校均占33%,課時在50或60以上的院校均占17%,而培訓課40以上課時的院校占50%,25%的院校設置30課時,僅有25%的院校設置課時在20課時以下。由此看來,數學建模課程以及數學建模競賽活動受到了大多數院校的重視。
2.教材中講授內容情況
教材承載的是由教學目標所確定的內容,但不完全等同于教學內容,教材還要注意課程理論的統一性和邏輯性,兼顧人們認識事物由淺入深的規律。問卷中針對教材需要刪減或修改的章節進行了調查,結果見表4。
結果顯示:線性規劃、整數規劃、非線性規劃、微分方程、最短路問題、插值與擬合是建模競賽中的熱點問題,歷年的建模競賽試題中出現最多的便是優化問題。因此,70%以上的高校選擇這些章節作為主講內容;而50%的院校建議刪除組合數學章節,20%的院校選擇把差分方程和數據的統計描述兩章刪除;大多數高校建議修改線性回歸、MATLAB入門、動態規劃等章節;大多數高校建議把涉及到優化問題的章節合并在一章中講解;把涉及圖論問題的章節作為一章來講授;把微分方程、差分方程合并成一章(見表4)。
在問卷中關于第四版是否需要增加兩章內容:一是綜合評判(包括層次分析法;模糊綜合評判;灰色綜合評判),二是預測模型(包括灰色預測;指數平滑法;神經網絡;組合預測),經統計有95%的院校認為需要增加。最近幾年建模題型不斷有新的變化,評價和預測模型顯得異常重要。
問卷中關于本書是否還需要增加哪些軟件(如:是否需要介紹統計軟件SPSS、圖論軟件等)進行了調查,經統計有90%的院校認為不需要。其實LINGO、MATLAB兩個軟件基本可以解決數學建模里面所有模型的求解,學生掌握不了過多的內容。
三、教材內容改革方案
1.關于教材內容
教材是實現教學目標的基礎,課程知識體系最終要通過教材表現出來。《數學建模與數學實驗》[1]教材集數學知識、數學建模和數學實驗為一體,既簡要介紹一些最常用的解決問題的應用數學知識,又聯系實例介紹應用相應的數學知識建立數學模型,并用合適的數學軟件包來求解模型。本教材更注重應用數學知識以及軟件的使用,被多所學校數學建模與數學實驗課程或大學生建模競賽輔導作為教材選用。但是基于上述分析,還存在一些需要修改的地方,結合上述問卷調查情況,經多方論證,改革后的教材體系具有下述特點:
(1)在知識體系下,不僅考慮自身內容的系統性,而且要注意與其他課程的銜接和匹配。應剔除重疊部分內容,添加常用的模型。修改如下:差分方程作為微分方程的一種解法,可與之合并作為一章,僅做一個簡單介紹,并編寫matlab程序求解;線性規劃、整數線性規劃、無約束優化和非線性規劃合并為一章;最短路、匹配、旅行推銷員問題以及最大流問題四章可合并成兩章;而數據的統計描述和分析作為僅有的統計方面知識,將被保留,與線性回歸合為一章。為適應近幾年建模題型的不斷變化,增加兩章:綜合評判模型以及預測模型;刪除組合數學章節。
(2)各部分具體內容的表述與傳統教材有所不同。需改動部分主要有:①第一章作為課程的引入,應添加一些學生感興趣、較簡單的初等模型,如椅子能否放穩?商人過河等模型。而人口模型屬于微分方程模型,應放在第八章。②在線性規劃部分的例子需做斟酌,選取適當的例子,無需過多;③第八章微分方程第一節的例子,應修改為人口模型和蘭切斯特模型,這些模型涉及實際問題,以之為背景引入相關知識,更容易引發學生的興趣和熱情。
(3)每章均按模型、理論、求解、案例的格式編寫。采用問題導向型的論述模式,以實用型為主,兼顧理論系統。以實際問題為背景,引入相關概念,并建立模型,進而運行幾何或其他直觀手段說明求解的基本思想,結合例題演示求解過程,并盡可能對計算結果給予有實際意義的解釋。與此同時,理論體系的完整性,論述的嚴謹性仍給予一定程度的關注,一些重要的原理和結論要做比較深入的討論和必要的推導論證,并突出講解算法的思路脈絡。需修改的章節有:第四章整數規劃,添加用LINGO工具箱求解整數規劃,添加建模案例;第七章動態規劃,增加模型求解程序或求解實例,添加建模案例。
2.關于軟件
教材[1]選擇了LINGO和MATLAB兩個軟件,MATLAB提供了強大的求解工具包,界面清晰、操作簡單。LINGO軟件程序簡單,對求解優化問題極其有用。教材中已介紹了MATLAB入門知識,需增加LINGO入門,包括靈敏性分析等相關知識。LINGO可以求解大規模問題,有利于學生以后解決實際問題。針對我們期望的章節格式,每一模型都要有軟件求解方法或者是求解實例,因此第七章動態規劃需增加求解程序。
與我國高校的其它數學類課程相比,數學建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活,對教師和學生要求高等特點,因此,數學建模的教學本身應該是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。而教材是實現教學目標的基礎,課程知識體系最終要通過教材表現出來。科技在不斷的進步,在各個兄弟院校的相互支持、相互討論下,我們的教材也應與時俱進,不斷創新,不斷完善和提高。
參考文獻
1 趙 靜、但 琦.數學建模與數學實驗.北京:高等教育出版社,2003.6
2 姜啟源.數學模型.北京:高等教育出版社,2004.4
3 韓中庚.數學建模方法及其應用.北京:高等教育出版社,2005.4
4 朱道元.數學建模案例精選.北京:科學出版社,2005.5
5 陳理榮.數學建模導論.北京:北京郵電大學出版社,2002.8
第7篇：數學建模常用算法范文
關鍵詞：機械工程；多體系統；動力學
一、引言
多體系統是對某類客觀事物的高度抽象和總結，此類系統都是由特定的一些關節把多個零部件連接為一個整體的。因此，多體系統是指多個物體以某種特定的聯接方式相互連接構成的系統，物體既可以由剛體組成也可以由柔體組成。若多體系統當中所有物體都是剛體，那么這類系統稱為多剛體系統，若多體系統含有一個以上的柔體，那么該系統稱為柔性多體系統。多體系統動力學的根本目的是應用計算機技術進行復雜機械系統的動力學分析與仿真。多體系統動力學就是給多個剛體組成的復雜系統的運動學和動力學分析建立適宜于計算機程序求解的數學模型，并尋求高效、穩定的數值求解方法。
通過計算機求解多體系統動力學問題對傳統機構動力學分析產生了很大的影響，工程師從手工計算當中得到解放，所做的主要工作只需要依據現實情況搭建合適的動力學模型，然后交給計算機方便的求解，而且計算機還能夠對結果提供分析。對之前求解極為困難甚至無法求解的復雜機械問題，現在都可以使用計算機的計算功能方便求解。
二、多體系統動力學主要研究的領域
多體系統動力學是在上世紀七十年代才逐步引起人們關注的，多體系統動力學為某些復雜系統例如車輛工程、工業機器人、航空航天器、精密的機械工程等系統產生了很大的影響。其涉及到的領域也日益廣泛，特別是在復雜的機械工程中的地位也日益突出。隨著國內航空航天以及機械工業的快速發展，大型多體系統的應用也會越來越多。
2.1車輛工程領域
上個世紀八十年代后期，多體系統理論和方法逐漸在汽車領域得到了應用。這標志著汽車多體系統向新的層次發展，其中許多有益的工作值得借鑒。例如：把車身處理為柔性體，離散化過程采用集中質量法，并考慮轉動慣量的影響，將計算結果同有限元分析的方法進行比較；采用子結構的分析技術，車身為主結構，懸架系統處理為子結構。采用模態綜合技術用自由度較少的模態坐標描述車身變形。懸架子結構用物理坐標表示，通過約束條件把整個系統組裝起來聯合求解。多體系統動力學可以有效的完成對整車及各零部件的性能分析和結構設計。
2.2航空航天領域
柔性多體系統動力學在航空航天當中是現今一個非常活躍的研究領域，該方法對航天器的預測能力的準確性和計算效率都很突出。包括在航天器的天線、太陽帆板的展開、反射鏡的展開和重定位，航天器、機械臂的振動抑制控制，航天器的姿態控制等都有應用。
2.3機器人領域
機器人是十分典型的多體系統，機器人是自由度較多、結構復雜的多體系統，其傳統的結構是由剛性座、大小臂以及三個腕關節構成的剛性多體系統，可以直接利用系統動力學方程進行求解。但是隨著機器人構件不斷的輕質化和柔性化，利用傳統剛性機器人對其進行建模，不能很好的解決柔性機器人其動力學問題，因此對柔性機器人系統的多體動力學建模和仿真已經成為一個十分熱門的問題。
2.4機械數控機床誤差補償領域
工作精度是數控機床重要技術指標之一，歷來倍受重視。提高精度有兩種基本方法，即誤差避免和誤差補償。前者通過設計和制造盡量減小誤差，設備造價將大幅上升。后者對誤差修正，如補償得當，工作精度可能超過母機。采用多體系統運動學理論，建立數控機床的全誤差模型效果十分明顯。
三、機械工程中多體系統動力學建模時的基本問題
3.1 坐標系的選擇問題
在解決復雜機械系統問題時，選用合適的坐標系，往往能簡化問題。所以在機械工程多提系統建模時第一個問題往往是采用什么樣的坐標系。建立坐標系的方法主要包括：局部坐標方法，在每一個物體上建立一個局部坐標，這種方法能方便的建立每一個物體的動力學模型，是當前比較常用的方法。另一種是絕對坐標方法，整個系統使用統一的坐標系來表示，這種方法計算效率較低，目前很少采用。
3.2 對柔性體進行離散問題
柔性系統從本質上可以看作是自由度無限多的系統，不滿足計算機進行數值計算的需求，所以一定要對柔性系統進行離散，常用的方法包括：有限元方法、假設模態法和有限段方法等。有限元法和模態分析兩種方法相結合是目前應用較多的方法，該方法是把系統的物理坐標轉化為模態坐標，如此一來系統的自由度的數目便大大的降低了。
3.3 多體系統模型的選擇問題
在解決由多個物體組成的復雜機械系統動力學分析問題時，主要方法包括：矢量力學法，Newton-Euler（N/E）方法，隔離體分析，分析力學以及Lagrange方程等這幾種方法構成了多體系統建模的主要內容，可以根據上述方法建立系統的數學模型，再借助計算機數值分析技術進行求解。
3.4 動力學方程數值算法問題
多體系統的動力學方程構成的系數矩陣是一個高度非線性矩陣，所以不論是方程初始條件或者參數兩者中任何一個的微小變化都有可能使仿真結果有較大偏差甚至不能收斂。計算誤差的積累也會導致仿真結果的不準確。針對以上問題至今沒有十分理想的解決辦法。目前人們在仿真時還都是采用傳統的數值積分方法，如四階Runge-Kutta法、Gear法、Newmark法等。
四、機械工程中多體系統動力學求解的一般過程
任何一個機械工程系統，其求解的一般過程都是從對幾何模型通過物理建模得到動力學物理模型，在經過對物理模型進行計算機求解，然后才得到系統的分析結果，求解的一般過程如圖1所示。
機械工程當中多體系統動力學的分析主要有建模與求解這兩個步驟。建模包括系統的物理建模與數學建模，多體系統的物理建模指的是通過分析幾何模型和簡化建立相應物理模型。數學建模指的是對物理模型進行數學轉化得到數學模型，多體系統的幾何模型可由幾何造型此模塊來進行建造，或者通過其他軟件建立在進行導入。通過在幾何模型上施加約束以及外力等模型要素，建立起相應物理模型。在物理建模的過程當中，有時候也應用計算機進行自動建模，建立系統的運動方程，再由運動學方程構成系數矩陣，從而得到系統的數學模型。然后根據情況利用求解器中的動力學算法，進行迭代求解，最后得到多體系統的分析結果。若結果不理想，可以對求解結果再重新分析，如此反復，一直到得到比價理想的結果。
在多體系統動力學建模和求解的過程當中，還有一個問題是值得注意的，即初值的相容性，這是在多體系統求解前需要首要解決的問題，初值選擇的好壞直接影響著問題能否解決。針對于比較簡單的問題，初值的相容性比較容易保證，但是針對復雜的機械多體系統，一定要有初值相容性的處理算法。
五、總結
多體動力學在機械工程領域，特別是航空、航天、數控技術、機器人、機構、車輛等行業已 經得到應用，并受到有關專家的高度重視。該方法已經是機械工程中產品設計和性能優化的必要手段。其不但能實現產品的虛擬設計，而且能預測產品的動態特性，以達到最優的設計結果。隨著先進的制造技術迅速發展， 多體系統動力學的影響也越來越大。不但能作為設計優化、制造生產的有力工具，而且也已成為機械工程快速發展技術的支撐。
參考文獻
[1]劉又午，吳洪濤.多體系統理論在機構運動分析中的應用.機械工程學報，
1993，29（ 3）：104-1
[2]吳洪濤.建立多剛體系統動力學方程的等價性.天津大學學報，1993，26（3）：27～34
[3]Huston R L，Passerello CE.Multibody Structural Dynamics Including Transl ation Between the puters and Structures，1980，11：713-720
[4]吳洪濤，熊有倫.機械工程中的多體系統動力學問題[J].中國機械工程，2000，11（6）：608-610
第8篇：數學建模常用算法范文
關鍵詞： 數值分析 課程教學 教學改革
“數值分析”又稱“數值計算方法”，是研究如何利用計算工具（如計算機）求解數學問題數值解的一門科學，因此數值分析隨著計算工具的發展而發展。它與傳統的數學課程有明顯的區別，它與概念、邏輯推理及各類問題求解的數學技巧相對而言不如先前數學課程那么重要，對具體問題求解方法的構造及利用數學理論對各類算法的收斂性和穩定性分析是課程的研究核心。根據這門課程的特點及授課對象的差異，本文提出了課程教學改革的思路。
一、更新觀念、改革課程內容
在理、工科數學類科目教學體系中，“數值分析”是一門重要的課程，理工科學生在各自專業學習中面臨各種專業問題需要建立數學模型求解，復雜的數學模型往往得不到解析解，那么如何求解？數值分析正好為他們提供了解決思路，因此能夠激發學生進一步學習數學、應用數學的意識和興趣，同時也能培養學生的創新思維和創新能力。
《數值分析》課程教學內容多，公式復雜，推導繁瑣，而學時少，教師不可能對每個知識點講解透徹，且算法實現對編程能力的要求較高，因此不少學生由于“掌握不了”容易厭學[1]。筆者認為根據學生不同專業、不同院校可以選擇符合自己特色的教材。該課程授課對象主要有兩類：一類是理科學生，他們學習的目標是不僅要會“使用”算法，還要會“創造”算法。另一類是工科學生，他們學習這門課程的目的主要是“使用”算法。由于這兩個專業群體學習的目標不同，教材的內容、體系及側重點應有差別。理科生學習時需要“研究”算法，學得相對精細點，學時不夠，因此在學習內容的選取上可以刪去一些在后續課程中將會學到的內容，比如常微分方程數值解。針對學生編程基礎薄弱，可選用基于MATLAB的數值分析教材[2]，由于MATLAB編程簡潔、數據處理方便，具有強大的數值計算功能，即使不具備較強編程能力的學生，學習這種教材也不至于為算法實現而發愁，為提高數值分析課程的教學質量創造了良好的條件。筆者認為基于MATLAB的數值分析教材符合創新性實踐教學的要求。當然對于編程能力強的部分理科學生來說，學習C語言等高級語言的教材有利于加深對算法思想的理解。
二、課程教學方法和教學手段的創新
學生是學習的主體，教師是教學活動的引導者、組織者，因此應充分發揮學生的主體作用。傳統的教學模式是教師在課堂上講授，學生被動接受，“滿堂灌”的教學模式，教師往往費力不討好。數值分析的教學目的不僅讓學生掌握算法的基本思想、基本方法和基本原理，還通過這門課程的學習提高學生數學素養，注重培養學生舉一反三的能力。因此，在教學內容的講解上要有所側重，以主帶次，在有限的學時里講清每一個主題，突出講授典型的、具有代表性并能體現其思想方法的常用算法和理論；對那些原理相近的內容不求面面俱到，可以精心設計教學提綱加以引導和提示，并且開發網絡教學平臺，把教學資源于網絡平臺，讓學生利用這一平臺以小組為單位課后討論自學完成。數值分析課程教學可以貫徹“少而精”的原則，達到創新教學的目的。
課堂教學應激發學生的興趣，在教學方式上，力求講清每一個主題的實際背景、目的和算法設計的出發點，通過對實際應用背景的描述，激發學生的學習欲望。不少學生在前期數學學習中感到困惑：數學到底有什么用？以實際問題為出發點，讓學生真切地體會到學習數值分析課程的意義所在。其次，充分調動學生的積極性和主動性，啟發學生進行獨立思考，帶領學生分析算法的適用范圍、優缺點，啟發學生對算法進行改進。讓學生明白任何一種算法都有局限性，有值得改進的地方，在課程學習中激發學生的科研興趣。針對某一個知識點，要求學生課前查閱資料認真預習，讓一些學生像老師備課一樣精心準備，并上臺講解。學生經過查閱資料、獨立思考這一主動學習過程提高興趣，感受到成功的喜悅，增強自信，由對這門課程最初的“害怕”逐步變為“喜愛”，也通過這一知識點的學習掌握學習方法。我們在信息與計算科學專業學生中進行這方面的嘗試，實踐證明通過這種以點帶面的學習，大大調動了他們的主動性和積極性。
三、重視實踐環節的教學和改革
傳統的課程教學重理論、輕實踐，而《數值分析》是一門實踐性很強的課程，學習這門課程時，應該將重點放在掌握數值分析的基本理論和思想及與結合計算機解決實際問題上，所以必須重視《數值分析》的實踐教學。
實踐教學環節可以分為兩大類：一類是課堂實驗，另一類是與工程實際背景相關聯的數學問題的求解，比如數學建模競賽、與學生專業領域相關的問題求解。對于課堂實驗，教師應編寫實驗指導書，鼓勵學生分組討論，讓學生通過實驗進一步體會算法思想，掌握算法精髓。比如學習用Newton迭代法解非線性方程時，要求初值比較接近真實解，這時引導學生實驗時選擇不同的初值進行比較，并歸納結論；由于實際問題是不知道真實解，難以滿足初值要求，因此對算法進行改進，提出了下山牛頓法，這一過程讓學生在實驗中自己感受，印象會深刻得多。對于工程實際問題的求解，可以引導學生分析全國大學生數學建模競賽歷屆試題，并將數值分析課程中的逼近思想，如插值法、最小二乘法、曲線擬合等方法用于求解中，我們必須將數學建模的思想融入數值分析的教學中。對于學生專業領域中的數學問題可引導學生分組討論，自己設計算法方案。通過實踐環節的教學，讓學生真正體會到學有所用，同時激發他們的學習熱情和科研興趣。
參考文獻：
第9篇：數學建模常用算法范文
關鍵詞 模態數據;有限元;模型修正
中圖分類號TU317 文獻標識碼A 文章編號 1674-6708(2010)31-0189-02
0 引言
有限元模型修正是一門正在興起的學科,近幾年來,人們漸漸發現它在很多科學領域中發揮了越來越重要的作用,特別是在結構動力學、工程技術、信號處理和電子振蕩等領域,有限元模型修正指的是關于動力系統模型的設計、構造和修正。在工程技術領域里,要解決工程中普遍存在的振動問題,首先就必須建立結構的動力學模型。一般的建模方法有理論建模和實驗建模兩種,而理論建模工程上常用有限元方法。模型修正的目的是用實測數據校正不精確的分析模型,而這些數據像固有的頻率、阻尼比和振型等,一般是通過振動測試得到的。根據實測的模態數據修正模型分析得到質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣,縮小有限元模型與實測模型之間的誤差,改善有限元模型[1]。
1 模型修正方法
假設由有限元方法計算得到近似的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為,根據實際測量得到的低階頻率和相應的振型,一般情況下二次束的特征值和特征向量跟實際的頻率和振型存在著一定的誤差。模型修正方法是利用實測模態數據對質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣進行修正,使修正后的質量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K滿足譜約束條件[3]。
設低階頻率和相應的振型分別為:
改寫成矩陣形式如下:
,
其中
。
一般的模型修正問題可表述如下:
給定,以及模態數據,求矩陣,使得
這里Sn表示n階實對稱矩陣,M>0表示對稱正定矩陣,C1,C2為兩個正的參數。
對于阻尼結構動力系統,如果以質量矩陣作為不變的參考基準,即取M=Ma,那么就可以直接修正阻尼矩陣和剛度矩陣[2]。在實際問題中,往往要求質量矩陣M是對稱正定矩陣,我們可以先修正質量矩陣Ma,取,這里表示所有實對稱正定矩陣的集合,表示Ma在上的投影,即
.
于是,我們以修正后的質量矩陣為參考基,同時修正阻尼矩陣和剛度矩陣,使得罰函數最小。
原問題等價為:
其中N為任意對稱正定矩陣(一般地,取),μ是權重參數。
2 算法
給定模態數據以及,以下是求M,C和K的步驟:
步驟1 令.
步驟2 對Ma作譜分解:,其中是正交矩陣,
。
當時
當時
再計算,其中。
步驟3 對作分解:
步驟4 計算
。
步驟5 解關于x的方程Gx=b,其中
步驟6 計算,
。
其中。
在計算,
,
。
步驟7 最后計算矩陣C和K:
3 數值實例
已知某個具有6自由度的有限元結構振動系統,其分析質量、阻尼、剛度矩陣分別為:
實際測得一組不完備振動頻率,寫成矩陣形式如下:
相應振型向量構成的振型矩陣:
取,由上面的算法求得模型修正問題的解為
從實例的計算結果可以看出,修正后的質量、阻尼、剛度矩陣跟原來的矩陣很接近,問題的解是唯一存在的,算法具有可靠性。
參考文獻
[1] Zheng-jian Bai,Delin Chu and Defeng Sun,A Dual Optimization Approach to Inverse Quadratic Eigenvalue Problem with partial Eigenstructure. SIAMJ. Sci. Comput [J],29(2007):2531-2561.
[2]M.I.Friswell,D.J.Inman and D.F.Pilkey,The direct updating and stiffness matrices. AIAA Journal[J],1988,36(3):491-493.
[3]戴華.一類二次特征值逆問題[J].南京大學學報半年刊,1988,5(1):132-140.
[4]梁俊平,盧琳璋.二次特征值逆問題的中心斜對稱解及其最佳逼近[J].福建師范大學學報,1980(2):169-176.
