運籌學求最優解的方法精選(九篇)

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第1篇：運籌學求最優解的方法范文

關鍵詞：Excel軟件；物流運籌學；線性規劃

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

物流學是20世紀50年代新發展起來的一門學科。它是一門實踐性很強的綜合性學科，全面融合了經濟科學、技術科學和管理科學的內容，揭示了采購、運輸、存儲、裝卸搬運、包裝、流通加工、信息處理、客戶管理等物流各要素的內在聯系。

現在普遍認為，運籌學是近代應用數學的一個分支，主要是將生產、管理等事件中出現的一些帶有普遍性的運籌問題加以提煉，然后利用數學方法進行解決。前者提供模型，后者提供理論和方法。運籌學的思想在古代就已經產生了。敵我雙方交戰，要克敵制勝就要在了解雙方情況的基礎上，做出最優的對付對手的方法。

運籌學是在生產計劃、庫存管理、運輸問題、設備更新、中心選址等活動中廣泛運用數學方法解決其中所涉及的經濟問題的一門學科。運籌學和物流學作為一門正式的學科都始于第二次世界大戰期間，從一開始，兩者就緊密的聯系在了一起，相互滲透，相互交叉發展。與物流學科聯系最為緊密的理論有系統論、運籌學、經濟管理等。運籌學作為物流學科的理論基礎之一，其作用就是提供實現物流系統優化的技術和工具，是系統理論在物流中應用的具體表現。第二次世界大戰期間，各國都轉向快速恢復工業和發展經濟，而運籌學此時正轉向經濟活動的研究，因此極大地引起了研究者的興趣，并由此進入了各個行業和部門，獲得了長足的發展和廣泛的應用，最終形成了一套較為完整的理論，如規劃論、排隊論、庫存論等。但戰后的物流并沒有像運籌學那樣引起人們的關注，直至20世紀60年代，隨著科學技術的發展、管理科學的進步、生產方式和組織方式等的改變，物流才得以為管理界所關注。因此，相比運籌學的發展，物流學科的發展相對滯后。不過，運籌學在物流領域中的應用卻隨著物流學科的不斷成熟而日益廣泛，并形成一個獨立的學科——物流運籌學。

物流運籌學主要是研究經濟活動和軍事活動能用數量來表達的有關運用、籌劃與管理等方面的問題，根據問題的提出，通過數學的分析與運算，做出綜合的合理安排，以便經濟、有效地使用人力、物力、財力等資源。物流運籌學研究的主要問題涉及運輸與配送管理、車輛管理、物料的倉儲管理、需求管理、物流成本管理、電子商務環境下的物流管理及應用等。

1 引入Excel軟件的必要性

從目前的發展趨勢來看，現代信息技術的發展為物流管理繁榮發展提供了堅實的基礎和數據支撐，根據物流管理問題產生的背景來看，存在運輸問題、指派問題、排隊問題，庫存論等，而這些問題的產生都需要去根據實際的情況建立模型來進行求解，一般來說，以上模型的建立都是從線性規劃模型中演變出來的，都是以線性規劃模型為中心來進行派生，而使用Excel的規劃求解的選項恰恰解決了這個問題，通過模型的建立，可以充分利用Excel強大的表格計算功能，能在工作表中直觀的體現出公式，并且提供一些特殊的函數和公式，使物流管理者根據實際的情況進行選擇，并且還具有自動重復計算的功能。當物流模型建立后，只需修改單元格中的數值，工作表中所有鍵入了與此單元格有關的公式就會被重新計算，并在相應單元格中顯示出新的計算結果，這就使得決策者可以在模型中一邊對代表特定參數單元格中的數值進行修改，一邊觀察各種變量的數值變化情況，十分直觀。并使管理決策者了解并掌握復雜的運籌學模型，從而為解決實際的物流問題帶來了極大的便利。

2 物流管理問題建模的一般步驟

2.1 定義企業問題和收集相關數據

針對物流企業存在的實際問題，物流管理決策者有必要在一線的物流人員的指導下完成相關物流問題的收集，而且必須花費大量的時間來進行數據的收集、處理與匯總，并對一些數據進行遴選和再加工，使其符合客觀的經濟發展情況和企業發展的實際需要。

2.2 構建模型（一般為數學模型）來展示問題

將理論問題轉化為實際問題，用模型或者抽象化的表述，是物流管理問題解決方案的必要組成部分，如表達一些函數公式等以及圖形、表格、結構圖等模型，根據實際的問題建立數學模型是解決一些常見的物流管理問題的基礎。物流模型的建立應符合實際的需要，切忌為了建模而建模，最后得出的模型要有理論依據，并能運用到實際當中。

2.3 根據設計好的物流管理問題開發出合適的計算機程序

設計科學合理的物流模型的優勢在于它使得通過數學方法尋找問題的解決方案成為可能。這些過程往往用計算機來進行完成。因為計算過于繁復，在某些情況下，物流決策者需要編寫計算機程序，這要求管理者具有很強的計算機編程能力；而在有些情況下，我們可以借助Excel的插件（Solver）來進行模型的求解，使其復雜的管理問題簡單化和明晰化，使管理者能夠很好地看出其中的最優決策和最優方法，從而明白易懂。

2.4 測試模型，并在必要時進行修正

在物流模型的求解過程中，管理決策者需要對其模型進行仔細的檢驗和測試以保證它對實際問題進行了準確而充分的表述。所有相關的因素和相互關系是否被精確地編制到模型中，模型是否符合實際的需要等等，也就是考察模型是否具有實際意義，對模型進行二次加工有的時候也是十分必要的一個環節，修正模型，使其能夠根據客觀的實際需要變化而變化，才能稱得上一個好模型。

2.5 利用模型分析問題并提出管理建議

當進行完模型的求解后，應該根據企業的實際情況進行分析，根據計算的數據值進行匯總，并得出數據所代表的實際意義，結合客觀的實際來做出最優決策，將相關建議與測試反饋給企業的高層管理者。

3 基于Excel求解物流運籌學問題探究

3.1 問題的提出

目前，運籌學在物流管理領域中應用也是十分普遍的，并且解決了許多實際問題，取得了很好的效果。以下是總結的一些運籌學在物流領域中的應用較多的3個方面。

（1）數學規劃論

數學規劃包括線性規劃，非線性規劃、整數規劃、目標規劃和動態規劃。具體來說，線性規劃可以解決物資調運、配送和人員的分配等問題；整數規劃可以求解完成工作所需要的人數、機器設備臺數和選址等問題；動態規劃可以解決最優路徑的問題、資源分配、物流調度等問題。

（2）存貯論

存貯論又稱作庫存論，主要是研究物資庫存策略的理論，即確定合理的庫存量、補貨頻率和一次補貨量。常見的庫存控制模型包括確定型的和隨機型的儲存模型，其中確定型的又包括不允許缺貨、一次性補貨、連續補貨、一次性補貨；允許缺貨、連續補貨；隨機型的存儲模型又分為離散型等模型。

（3）圖（網絡）論

自從20世紀50年代以后，圖論廣泛的應用于解決工程系統和管理問題，人們將復雜的問題用圖與網絡進行描述簡化后再求解，最明顯的應用就是運輸問題、物流節點間的物資調運和車輛調度時運輸路線的選擇問題、配送中心的送貨問題、逆向物流中產品的回收問題等。通過圖論中的最小生成樹、最短路、最大流、最小費用等知識，可以求得運輸所需時間最少或者運輸路線最短或費用最省的路線。

3.2 案例分析與研究

鑒于篇幅所限，在這里僅研究有關運輸問題和網絡規劃等方面來進行舉例。

（1）運輸問題

運輸問題屬于線性規劃的范疇，之所以被稱為運輸問題，主要是因為它的許多應用都涉及確定如何最優的方案運輸貨物，如何確定合理的運輸線路來達到運輸成本最小化。

Q公司是一家生產食品罐頭的公司，它收購新鮮蔬菜并在食品罐頭廠加工成罐頭，然后再把這些罐頭食品分銷到各地，根據以下的數據，建立模型，設計出最優的運輸計劃，以使總成本最小。

采用Excel 軟件進行計算的步驟：

第一步：定義問題與單元格，首先確定為運輸問題，然后定義單元格。

第二步：輸入模型部分（包括決策變量、目標函數、約束條件）。

1）確定每個決策變量所對應的單元格的位置。

2）選擇某一單元格內輸入目標函數的公式。

3）選一個單元格輸入公式，計算每個約束條件左邊的值。

4）選一個單元格輸入公式，計算每個約束條件右邊的值。

第三步：求最優解。

1）安裝“規劃求解”工具。在“當前加載宏”的復選框中選中“規劃求解”， 單擊“確定”按鈕后返回， Excel“工具”菜單中就出現“規劃求解”選項。

2）選擇“工具”菜單。

3）選擇“規劃求解”選項。

4）在“規劃求解參數”中設置參數，選擇“最小值”，再輸入“約束條件”。

5）“選項”中選擇“線性規劃”和“假定非負”，單擊“求解”。

6）選擇“保存”。

由圖1中計算結果可知，最優的配送方案應該是：從1工廠配送20個單位和55個單位的產品分別給B和D倉庫；從2工廠配送80個單位和45個單位的產品分別給A和B倉庫；從3工廠配送70個單位和30個單位的產品分別給C和D倉庫。該方案所需總運輸成本最小， 最小值為152 535美元。

（2）網絡最優化問題

網絡在各種實際問題中以各種各樣的形式存在。交通、電子和通訊網絡深入到日常生活的方方面面，網絡規劃也廣泛的應用于物流管理領域、運輸問題，物流節點的貨物的調運以及逆向物流的回收，合理運輸線路的確定以及合理的運輸量的確定。網絡優化包括最小決策樹、最大流，最短路，最小費用最大流等問題。

X配送公司有兩個工廠生產產品，這些產品需要運到兩個倉庫里。下面是一些具體的信息，并根據以下信息設計出合理的配送計劃，使得總成本最小。

在計算網絡問題時，要堅持一種思想，那就是計算每個節點產生的凈流量（流出量減去流入量）。

由圖2中計算結果可知，最優產品配送方案應該是：從F1配送30單位和50單位的物資到W1和DC；從F2配送30單位和40單位的物資到DC和W2；配送中心DC配送30和50單位的物資到W1和W2，該方案所需總運輸成本最小，最小值為110 000美元。

通過以上兩個物流管理方面的案例，我們可以看出Excel在物流運籌學的教學中發揮著巨大的作用，通過建立數學的模型，運用規劃求解的選項，添加約束條件和必要的條件，最后得出最優的解決方案。但其基本的思想只有一個，那就是線性規劃的最優化思想，它是解決所有物流運籌學問題的主線。但必須看到該軟件的局限性，那就是當模型存在有多個最優解時，Excel只能選擇其中的一個結果。

參考文獻：

[1] 唐永洪. 基于物流運籌學的運輸優化決策問題解決方案[J]. 物流技術，2008，27（9）：84—86.

[2] 李艷. 利用運籌學模型在物流企業中解決實際問題[J]. 淮南職業技術學院學報，2008，8（1）：95—98.

第2篇：運籌學求最優解的方法范文

Abstract： Multi-objective decision method is a kind of decision analysis method from the mid 1970s. The method has been widely used in population， environment， education， energy， traffic， economic management， and other fields. This paper uses the Lexicographic Method of Multi-objective decision method and makes some researches on the multi-objective problem using the excel solver tool and an example to illustrate.

關鍵詞： Excel規劃求解；多目標規劃；分層序列法

Key words： Excel solver；Multi-objective Programming；The Lexicographic Method

中圖分類號：TP31 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2013）21-0204-02

0 引言

Excel中的規劃求解工具只能對單目標的問題進行求解。當遇到多目標問題時，可以把多目標問題先轉化為單目標問題，然后求解。常用的方法是線性加權和分層序列法。文章主要以分層序列法為例。

1 多目標決策的分層序列法

分層序列法就是將所有目標按其重要性程度依次排序，先求出第一個重要目標的最優解，然后在保證前一個目標最優解的前提下依次求下一個目標的最優解，一直求到最后一個為止。

設有m個目標，其重要性序列為f1（x），f2（x），f1（x）…，fm（x）。首先對第一個目標求最優，并找出所有最優解的集合記為R0，然后在R0內求第二個目標最優解，記這時的最優解集合為R1，如此等等一直到求出第m個目標的最優解x0，其模型如下：

f1（x）0=■f1（x） f2（x）0=■f2（x）

fm（x）0=■fm（x）

該解法的前提是R0，R1，R2，…，Rm-1非空，同時R0，R1，R2，…，Rm-2都不能只有一個元素，否則很難進行下去。

當R為緊致集，函數f1（x），f2（x），f1（x）…，fm（x）都是上半連續，則按下式定義的集求解。

R■■={x|fk（x）=■fk（u）；x∈R■■}

k=1，2，3，…，m，其中R■■=R都非空，R■■是非空。故有最優解，而且是共同的最優解。

2 應用Excel規劃求解工作進行多目標規劃問題求解

例題1：某生產制造企業生產A、B兩種產品，兩種產品各生產一個單位需要3個工時和7個工時，用電量為4千瓦和5千瓦，原材料9噸和4噸。公司可供應的工時為300個，可供的用電量分別為250千瓦，可提供的原材料也為420噸。兩種產品的單位利潤分別為20元和25元。試求在優先考慮總利潤最大，其次考慮總工時最小的情況下，最優的生產量。

解：該問題的求解目標有兩個：總利潤最大，總工時最小。

第一步：根據題意建立數學模型。

設A、B產品的生產量分別為x1、x2，其數學模型如下：

max z1=20x1+25x2 min z2=3x1+7x2

約束條件3x1+7x2？燮3004x1+5x2？燮2509x1+4x2？燮420x1，x2？叟0

第二步：建立Excel計算模型。

假設A、B兩種產品的初始產量為1，單元格數據計算結果都保留整數。在運用sum函數的數組運算公式時，公式輸完后不能直接按enter鍵，否則出現“#value”，需要同時按ctrl+shift+enter，才能顯示出計算結果。多目標規劃單元格公式和多目標規劃模型分別如圖1和圖2。

第三步：啟動規劃求解工具求解利潤最大。

首先點“工具”——“規劃求解”，彈出“規劃求解參數”窗口，按圖3進行設置。

然后點“求解”按鈕，在彈出窗口中選擇“保存規劃求解結果”，可得總利潤最大時的結果如圖4。

第四步：在保持利潤最大的條件下，求解總工時最小。

此時利潤最大值等于1250元，可以作為求解總工時最小的約束條件。求解總工時最小的“規劃求解參數“設置如圖5。

同理可得最終結果如圖6。

通過以上計算可以看出，在滿足約束條件下，最大利潤為1250元，最小工時為251個，此時A產品產量為38，B產品產量為20。

3 結論

Excel規劃求解工具不僅可以處理線性規劃問題，而且也可以處理非線性規劃問題。其作為常用的數據處理軟件，應用于手工計算比較復雜的多目標規劃問題中具有簡單、方便、實用的特點。

參考文獻：

[1]胡運權主編，郭耀煌副主編.運籌學教程（第3版）[M].清華大學出版社，2008.10.

第3篇：運籌學求最優解的方法范文

關鍵詞：體育教學；運動專項；科學管理；優化組合

中圖分類號：G807．4 文獻標識碼：A 文章編號：1007―3612(2006)10―1404―02

高校體育教學是有計劃、有目的進行的教育活動，運用合理、有效、科學化的管理，是推動高校體育教學改革和整體水平提高的一個重要手段。在高校體育教學中，學生自主學習、選修、選項教學已是發展之必然。

l　研究對象與方法

1．1　研究對象　根據對上海電機學院、楊浦校區體育教研室全體教師的專項教學能力，在具體的教學安排上進行最優化組合分析研究。

1．2　研究方法

1．2．1　觀察統計法 采用多年來對教師實際教學能力的分析，對教師本身所具備的“一專多能”的“專”，對能勝任專項教學技能情況進行統計。

1．2．2　調查訪問法　對實際教學效果，有關學生及教師進行調查、訪問。

1．2．3　文獻資料法 查閱相關文獻資料，運用科學管理方法，對資料進行概括、分析和綜述。

2　結果與分析

2．1　學生選項調查分析　學校高年級(三、四)學生在教學上以學生自主選項為教學形式，根據學生的自主選項及學校運動場地器材等條件，共8個運動項目供學生選擇。以運動項目組成教學班，根據學生的身體素質條件和運動技能水平，將所有選項學生分成若干教學班，組織開展教學。以2003學年為例，共有1109名學生參與自主選項體育教學(表1)。

說明：健身既為武術與田徑的組合教學，具有一定意義上的保健形式。田徑主要以健身長跑為主。

2．2　教師的教學能力情況分析　運動技能的學習和掌握，受到多種因素的影響和制約。但教師的主導作用將是影響學生運動技能形式的重要因素。學生在逐漸形成運動技能的過程中，教師合理安排動作技術形成的教學順序，優化組合教學過程，加速運動技能的形成，將對其所選運動項目產生更大的興趣。為學生終身體育意識奠定了一定的基礎。同時，隨著教學改革的不斷深入，素質教育的全面推行，要求課程教育時數必須濃縮，教學質量必須提高的新形勢下，充分利用教師的“一專”，實施針時性教學顯得更為必要。對豐富運動技能教學理論，提高教學效果具有積極的現實意義。

2．3　對教學管理的更高要求 充分利用體育教師的專項技能和豐富的教學經驗開展學生選項課教學，有利于教學雙邊關系協調發展，進一步提高教學質量，通過對上海電機學院，楊浦校區的體育教師的專項教育能力排序分析(表2)后發現，教師在執行計劃時，不能使每位教師都充分發揮其教學特長，原因在于學生自主選項的要求不做改變時，教師所承擔的教學任務又相對均衡時，且學校又不能在一定時間內引進所需的教學人才時(一般學校也很難做到在不同時期內，學生對選項的差異分布)，這就對學校的體育教學管理提出了更高的要求。如何發揮教學團隊優勢，使教師與學生選項教學達到最優化組合，從管理學原理分析研究可得到結論。即管理的有效性在于充分利用各種資源，以最少的消耗，準確地實現組織目標。進一步說明運用管理理科學理論對管理領域中的人、財、物，信息資源做系統定量分析，進行優化規劃，運用優化規劃中的決策理論。運籌學是管理科學的主要內容之一，其主要著眼于人與物之間的關系，即教師的教學特長與學生興趣選項所要求的這件事，以達成滿足學生需求為前提的教師最佳教學能力的體現。

從表2中我們可以看到D、G、F、H四位教師在專項教學中產生的沖突較為嚴重。如何合理安排，發揮這個教學團隊產生最好的教學效果，就是我們將討論的優化組合。

2．4　運用運籌學基礎原理整體規劃的分配問題取得最優化的組合　1)我們將教師的專項體育教育能力排序以數字化的形式給以第一選項為8分、第二選項為7分、第三選項為6分，依次遞減。累計推出體育教師專項體育教育能力數值排序表(表3)：

2)表3的數據表我們即可運用運籌學整數規劃分配問題尋求最優解。

①最小分配問題的數學模型。一般求為最小分配問題的數學模型

有價值系數Cij構成的n階方陣C=(Cij)nxn稱為價值距陣。(距陣1)。由O―l變量Xij構成的n階方陣稱為解矩陣。再分配問題中互設價值系數非負，目標函數最大的分配的問題可化為目標函數最小的分配問題來求解，事實上，可取一個比所有Cij都大正數值。Cij=k-Cij(i.j=1\2\……、n)

于是，Cij越大對應的Cij就越小。因此，以Cij為價值系數求最大分配就等價于以Cij為價值系數求最小分配。

②分配問題解法。所謂給出一個分配方案，就是在解矩陣x中選出n個異行異列的元素取值為1，其余元素取值為O，按Cij的非負性知，0元素肯定最小。一旦從含有足夠多個O的價值矩陣C中選出n個異行異列的O，那么，只須在解矩陣中對應地代之以1，則此解必為最優解。匈牙利法正是指出一條選滿n個異行異列的O元素的途經。運用匈牙利法解矩陣如下：

3　結　論

1)運用科學的管理方法能使學校在實施體育教學過程中充分調動全體教師的積極性，充分利用教師的教學能力特長，充分挖掘教師潛力，使學校體育教學的教師配備達到最優化組合，達到整個教學團隊在一定條件下的優化組合。2)從最后的結果來看，有二位教師沒被選定為最優項目，但就團隊來說這樣的分配結果具有科學依據，為團隊的最優化配合，教師能接受分配。3)由于充分發揮了體育教師在教學過程中的優勢，有利于教師對教學難點的把握，對教學質量的控制，遵循教學的規律，優選教學方法，調節教學情緒，充分利用教學的時間。

投稿日期：2005-09-15

第4篇：運籌學求最優解的方法范文

[關鍵詞] 最短路問題Kruskal算法破圈運算

引言

最短路問題是經濟管理中經常遇到的問題，如煤氣管道鋪設就是其中的一類，我們把它歸結為圖1所表示的網絡，聯結各點的線段上的數字表示它們之間的弧長。求A點到E點的最短路和最短路程。

圖1

類似這樣的問題我們稱之為最短路問題，它顯然是一個多階段決策問題。[1]、[2]、[3]均給出了遞推法，并由此導出動態規劃最優化原理。[4]中對遞推法做出改進，引入摹矩陣及其運算，得出摹矩陣表上作業法，該方法簡潔明了且易于操作，但在算法復雜性上沒有得到改善。本文給出一種類似于Kruskal求最小樹的方法來求上述最短路問題，并用以解決小型旅行售貨員問題(TSP問題)。

一、算法思想

設圖G有m條邊和n個頂點，求其最小樹的Kruskal算法的基本思路是從圖G的所有m條邊中選取n-1條權盡量小的邊，并且使得不構成回路，從而得到最小樹。受此啟發，我們也可在類似于圖1的網絡中，將所有的邊按權的大小從小到大排列并標號，權相同的邊排在一起。權最小的邊標為1號，權次小的邊標為2號，依次標為3號、4號、…

(1)先選取1號邊(可能有多條)，若這些邊構成了從A 點到E點的路，不管有一條還是多條，任取一條必是最短路。

(2)另外的情況就是，這些權最小的邊不能構成從A 點到E點的路，則再選取2號邊，和1號邊一起，我們再來考察這些邊是否構成從A 點到E點的路。若僅有一條，則必是最短路；若不只一條，則在不考慮有向邊的方向的前提下，圖中必有圈存在，這時我們采用破圈法：任取一個圈，去掉圈中權最大的邊(若權最大的邊不只一條，則任意去掉一條)，相應地就去掉了權和較大的那條路，若還有圈，則依此法類推，直到只剩下一條路，必是最短路。

(3)若在(2)中所取的邊仍不能構成從A 點到E點的路，則再選取3號邊，和前面所取的邊一起，重復(2)的工作。因為所給圖中邊數有限，所以此算法必在有限步后終止。

二、算法步驟

第一步 開始把邊按權的大小從小到大排列并標號：權最小的邊標為1號，權次小的邊標為2號，依此類推，將剩余的邊分別標為3號、4號、…（權相同的邊標號相同）置i;=1

第二步 選取i號邊，考察從A 點到E點是否存在路；

第三步 若沒有路，置i:=i+1，轉第一步；否則，轉第四步；

第四步 若僅有一條路，停止。這條路即為所求；否則，轉第五步；

第五步 破除所有的圈，轉第四步；

三、算例

例1 求圖1中從A點到E點的最短路和最短路程。

解:

說明:在圈AB1C2B2A中，去掉最長邊AB1;在圈AB2C1B3中，去掉最長邊B3C1;在圈B2C1D1C2B2中，去掉最長邊B2C2。用“×”表示去掉某條邊。至此得最短路為:AB2C1D1E，最短路程為8

例2（TSP問題） 給出距離矩陣，其中每一個元素dij表示到的距離。求從出發，經過各一次，又返回到的最短路和最短路程。

解：首先將該問題化為圖2所示的網絡圖的最短路問題，

圖2

利用本文給出的算法求解如下：

僅有一條從v1到v1的路:v1v3v4v2 ，最短路程為23。

結束語

例1和例2均選自[1]，按照[1]所使用的遞推法，解例1要做15次加法運算,以及8次比較運算，而用本文所給算法只需3次迭代，3次破圈運算。同樣用遞推法解例2要做15次加法運算,以及5次比較運算，而用本文所給算法只需2次迭代即可。由此可見，本文所給算法在算法復雜性上比遞推法要好，而且簡單易懂，也便于計算機編程實現。對于大規模的上述最短路問題，更顯示出其優越性。

參考文獻：

[1]刁在筠鄭漢鼎劉家壯等:運籌學[M]北京:高等教育出版社2001年9月第1版第180頁、第155～158頁、第160頁

[2]教材編寫組運籌學(修訂版)[M]北京:清華大學出版社.1990年1月第2版，第199～200頁

第5篇：運籌學求最優解的方法范文

關鍵詞：線性規劃；投資額；靈敏度分析

中圖分類號：F 272 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）02-0009-02

引言

投資問題主要可以劃分為兩個主要方面，一個是投資項目的組合，在多個項目中選擇效益最大的項目組合；另一個是如何將既定的資金下分配給已選擇的投資項目，即確定每個項目的投資額。有很多學者用不同的方法對第一個投資問題進行了研究，如差異系數變型模型、均衡理論模型、均值方差模型、風險價值法等等，都是用于求使期望收益最大或風險最小的最佳的投資組合，即解決如何選擇項目的問題。對第二個投資問題，研究成果很少。本文主要以某個部門的項目投資為例，在已知每個項目的投資方式、投資收益和風險和投資總額的基礎上，運用線性規劃的方法研究如何確定每個項目的投資額，以滿足投資者效益最大化或風險最小化的投資目標。

一、線性規劃模型的評價

線性規劃是運籌學的一個重要的分支，運用十分廣泛。該方法主要解決在滿足一定約束條件的基礎上，決策變量如何取值，使目標函數實現最大值的問題。線性規劃的決策變量是可控的連續變量，目標函數和約束方程都是線性的。

基本假設：

1.每種經營活動對目標函數的貢獻是一個常數；

2.每個決策變量對目標函數的和約束方程的影響是獨立于其他變量的，目標函數值是每個決策變量對目標函數貢獻的總和；

3.決策變量應取連續值；

4.所有的參數都是確定的參數，不含隨機因素。

線性規劃的標準形式：

maxZ=

st： （i=1，2，….，n）

0 （j=1，2，.…n）

二、問題的提出及解決

現在，用線性規劃方法來確定一公司某部門的不同投資項目投資額。

該部門現有資金200萬元，今后五年內考慮以下的項目投資：

項目A：從第一年到第五年每年年初都可以投資，當年末能收回本利110%；

項目B：從第一年到第四年每年年初都可以投資，次年末收回本利125%；

項目C：第三年初需要投資，到第五年末能收回本利155%，但規定最大投資額不能超過80萬元；

項目D：第二年初需要投資，到第五年末收回本利155%，但規定最大投資額不能超過100萬元。

據測定每次投資1萬元的風險指數如表一所示：

我們要解決的問題是，如何確定這些項目每年的投資額，從而使得第五年末擁有的資金的本利金額最大；為使第五年末擁有的資金的本利在330萬元的基礎上總的風險系數最小，又應該怎樣確定這些項目每年的投資額。

對該問題進行分析，可以發現它滿足線性規劃的四條基本假設。下面我們用線性規劃的方法對該問題進行求解。

1.確定變量

設i為第i年初投資于項目j的金額（單位：元），根據給定條件，將變量列于表2中。

2.約束條件

因為項目A每年都可以投資，并且當年末都能收回本息，所以該部門每年都應該把金子投出去，手中不應該有剩余的呆滯資金，因此，

第一年：該部門年初有資金200萬元，固有x1A+x1B=200；

第二年：因第一年給項目B的投資要到第二年末才能收回，所以該部門在第二年初擁有的資金僅為項目A在第一年投資額所收回的本息110%x1A，固有x2A+x2A+x2D=1.1x1A；

第三年：第三年初的資金額是從項目A第二年投資和項目B第一年投資所收回的本息總和1.1x1A+1.25x1B，固有 x3A+x3B+x3C=1.1x1A+1.25x1B；

第四年：同以上分析，可得x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；

第五年：x5A=1.1x4A+1.25x3B。

另外，對項目B，C，D的投資額的限制有

xiB≤30 （i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100

3.目標函數

要求在第五年末該部門所擁有的資金額達到最大，即目標函數最大化，則可以表示為

maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D

這樣可以得到如下的數學模型：

maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D

約束條件：x1A+x1B=200；x2A+x2B+x2D=1.1x1A；x3A+x3B+x3C=1.1x1A+

1.25x1B；x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；x5A=1.1x4A+1.25x3B；xiB≤30（i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100；xij≥0。

用“管理運籌學”軟件求得此問題的解：

x5A=33.5，x4B=30，x3C=80，x2D=100，x1A=170，x1B=30，x2A=57，x2B=30，x3A=0，x3B=20.2，x4A=7.5。

這時第五年末擁有的資金本利（即目標函數的最大值）為341.35萬元，用“管理運籌學”軟件所求的結果如圖1。

其中，x1A=x1；x2A=x2；x3A=x3；x4A=x4；x5A=x5；x1B=x6；x2B=x7；x3B=x8；x4B=x9；x3C=x10；x2D=x11

為使第五年末擁有的資金的本利在330萬的基礎上總的風險系數最小，這些項目每年的投資額的確定方法同上，只是目標函數發生了變化，多了一個約束條件，第五年擁有的資金的本利要在330萬元以上，同樣用“管理運籌學”軟件可以求得最優解和最小的風險系數。

三、靈敏度分析

利用“管理運籌學”軟件的計算結果中的對偶價格、目標函數系數范圍、常數項系數范圍，進行進靈敏度分析。

由對偶價格欄可知，第一年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.664萬元，第一年投資額為200萬元；第二年初增加或減少1萬元，將導致第五年末擁有的資金本利增加或減少1.513萬元，第二年的投資額來自第一年投資于項目A而收回的100%的本利。同樣可知，第三年初、第四年初、第五年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有的資金本利分別增加或減少1.375萬元、1.210萬元、1.1萬元。從第六個至第九個約束方程的對偶價格中可知，如果第一年、第二年、第三年、第四年項目B的投資額的限制放松或收縮1萬元指標，將導致第五年末擁有的資金的本利分別增加或減少0.055萬元、0萬元、0萬元、0.040萬元。從第十個和第十一個約束方程對偶欄可知，項目C和項目D的投資額的限制放松或收縮1萬元指標，將導致第五年末擁有的資金的本利分別增加或減少0.025萬元、0.037萬元。

由目標函數中變量系數的變化范圍可知，當x5A，x4B，x3C和x2D中的一個變量在此范圍里變化時，即項目A的第一年、項目B的第四年、項目C的第三年、項目D的第二年投資在第五年末的收回本利的百分比中的一個在次范圍里變化時，最優解保持不變。超出這個范圍就要重新建模求解。例如在這個范圍變化0≤x5≤1.12，其他的變量保持不變，那么最優解不變。當幾個系數同時變化時要用百分之一百法則來判斷，即各個變量的允許增加或減少的百分比之和，如果小于百分之百的話，最優解不變；如果大于百分之一百的話，需要重新建模求解。需要說明的是x1A，x1B，x2A，x2B，x3A，x3B，x4A的系數都為零，主要是把這些變量的投資回收本利的百分比對第五年的貢獻都體現在約束條件里，而沒體現在目標函數中，所以沒法用其目標函數的系數對其進行收回本利百分比的靈敏度分析。

以常數項變化范圍一欄可以得到保持對偶價格不變的約束條件中常數項的變化范圍，當某一個約束條件的常數項在此范圍里變化而其他約束條件的常數項不變時，對偶價格不變。例如，第一年初現有資金為190萬元，從圖1中可知，190萬元處于保持對偶價格不變的約束條件的常數項的變化范圍內，故可以從對偶計算出第五年末所擁有的資金的本利總數為 341.35-（200—190）*1.664=324.71（萬元）；同樣，當變化超過了常數項的變化范圍，需要重新建模。當幾個約束條件的常數項同時變化時，則用百分之一百法則來判斷。

第6篇：運籌學求最優解的方法范文

一、常見問題

在工程項目中，由于人們單純地要求價格，致使建筑材料的采購出現了一些問題。

1.采購部門和建筑材料供應商之間矛盾突出。過低的產品定價迫使采購部門因為單純的價格要求和供應商陷入曠日持久的討價還價。

2.施工部門和采購部門之間溝通不足。施工部門迫不及待地向采購部門索取原材料，采購人員以犧牲集體利益為代價，根本不管成本的高低，導致采購的建材成本高、質量低。

3.建筑材料供不應求。全球性建筑材料資源緊缺，導致建筑材料價格上漲，采購成本增加。

二、降低建筑材料采購成本的已有方法

成本降低的主要目的是找出并減少不必要的資金開銷部分，在不影響產品質量的前提下，有效分配、利用資金。

1.加強與供應商關系管理。通過加強與供應商的關系，使工程施工項目與供應商之間建立起相互信任的長期合作關系。通常，供應商的材料報價比其他普通關系的供應商低。

（1）施工企業通過市場資源調查、資質審核、價格談判、質量檢驗、社會信譽調查等程序優選出的合作伙伴。合作伙伴那應具備材料質量合格、價格合理、貨源穩定、售后服務有保障等特點。

（2）工程施工項目管理者和材料采購部門應加強與建筑材料供應商的溝通，在互惠共贏的基礎上推進雙方的合作。

2.施工部門要對材料成本和采購管理加以控制。嚴格執行材料采購計劃，有計劃地安排材料的采購、供應、儲備。健全和完善約束機制，采用信息化管理，使企業上層領導與采購管理者信息共享，杜絕材料采購中的損公肥私現象。對工程現場進行科學管理。材料的質量由監理人員嚴格把關，材料配比、主體工程的質量由質量監督部門、質量檢測部門把關，材料的價格按照投標時規定的計取辦法計算。

三、案例分析

房地產開發的采購成本不單單是建筑材料的采購價格，還包括材料運輸費，存儲費等相關費用。本為，筆者以海南華商苑房地產開發有限公司資金浪費問題具體模型為例，對建筑材料的成本控制進行具體說明。海南華商苑房地產開發有限公司為一項工程購買鋼材，鋼材總需求為430t，與其有業務聯系的鋼材貿易公司有三家，分別為A1，A2，A3，今要把A1，A2，A3這3個鋼材貿易公司所海南師范大學數學與統計學院　符小惠　楊俊堅　劉鴻鵬生產的鋼材運往這項工程的B1，B2工地，所需運費見表1。表1　單位運價公司采用的初始運輸方案見表2。表2　假設公司的初始運輸方案因此，初始方案下總運費Z=90×50+70×50+95×100+80×50+65×100+75×80=34000（元）。1.模型的建立過程。根據以上數據，首先構建數學模型，建立線性方程組。假設從鋼材貿易公司A1，A2，A3向工地B1，B2的運輸量分別是X1，X2，X3，X4，X5，X6。根據假設的運輸條件及給出的限定條件，最小運費Zmin=90X1+70X2+95X3+80X4+65X5+75X6。約束條件s.t.為：X1+X2+X3=200，X4+X5+X6=230，X1+X4=100，X2+X5=150，X3+X6=180。2.用lingo軟件求目標函數的最優解。上述六個條件變量在lingo軟件中求解過程為：Zmin=90X1+70X2+95X3+80X4+65X5+75X6，X1+X2+X3=200，X4+X5+X6=230，X1+X4=100，X2+X5=150，X3+X6=180。end結果為：X1=50，X2=150，X3=0，X4=50，X5=0，X6=180。運費最優值為：Zmin=90×50+70×150+95×0+80×50+65×0+75×180=32500（元）。

第7篇：運籌學求最優解的方法范文

    作為世界上最古老的價格發現機制之一,拍賣進入經濟學文獻的時間卻相當晚,對拍賣最早的兩篇開創性論文分析發表于1956年和1961年。在此之前,研究拍賣問題的經濟理論文獻幾乎是空白,而此后近20年里拍賣理論的進展也相當緩慢。在很長的時間里,拍賣理論一直被視為與經濟理論主體迥異的專業化領域,它似乎只是管理科學家與運籌學家的屬地,因而不為主流經濟學家所承認。造成這種誤解的部分原因是拍賣理論最初主要由運籌學家發展起來或多發表在運籌學雜志上,而且多運用技術數學而非標準經濟學的直覺進行論證。

    突破性的進展發生于20世紀70年代末。從那時起,越來越多的博弈理論研究者意識到拍賣是一種簡單而又具有完備定義的信息不對稱經濟環境,它是分析經濟主體之間的不完全信息博弈的一個頗有價值的實例,其經濟研究前景也非常誘人。與此同時,實驗經濟學者對于可控拍賣實驗的興趣不斷高漲。在這一背景下,拍賣理論逐漸被主流經濟學家所接納,并大量運用博弈論、實驗以及經驗檢驗作為研究工具。近10年來,國際經濟學界關于拍賣問題的研究文獻如雨后春筍般地涌現出來,拍賣理論也已經作為一個專門體系進入中高級微觀經濟學的核心領域。

    本文將緊密圍繞拍賣機制的收入與配置效率的績效比較以及賣主最優拍賣機制設計這兩個方面展開分析。第二部分簡要評述了維克里的開創性貢獻;第三部分詳細分析了四種標準拍賣機制的績效以及單物品最優拍賣機制設計;第四部分則探討了各種多物品拍賣機制的績效以及多物品最優拍賣機制設計,并介紹了拍賣理論在國債拍賣與頻譜拍賣實踐中的應用與發展;最后一部分總結了拍賣理論檢驗的情況及其它前沿問題,并簡要評價了拍賣理論研究的現狀。 

    二、維克里的開創性貢獻

    勞倫斯-弗里德曼(Lawrence Friedman)于1956年提出一個求解第一價格密封投標中的最優競價策略的模型。盡管他采用的是基于決策理論的運籌學分析方法,但他已經意識到應用博弈理論分析拍賣問題的前景。事實上,弗里德曼競價模型可以被視為博弈理論拍賣模型的前兆。如果說弗里德曼是從競價者的角度來考慮最優出價戰略,那么維克里(William Vickrey)則更多地站在拍賣組織者和社會計劃者的角度分析配置效率與收入問題。維克里于1961年發表的《反投機、拍賣與競爭性密封投標》一文堪稱拍賣理論的開山之作。文中維克里首次運用博弈論處理拍賣問題并取得巨大進展,他極富預見性地提出了拍賣理論中的多數關鍵問題,從而引導了該理論的基本研究方法。這些開創性貢獻成為他獲得1996年諾貝爾經濟學獎的重要因素。

    維克里首先考慮了單物品拍賣機制。他指出,無論競買人是否對稱,英式拍賣中的每個競買人的占優戰略都是保持競價,直到價格達到自己的估價為止,估價最高的競買人將以大致等于次高估價的價格奪走拍賣品,這種配置結果顯然是帕累托有效的。在競買人對稱的荷式拍賣中,每個競買人的報價應該嚴格低于自己的估價,估價最高的競買人也必定成為贏家,因而也是帕累托有效的。但是,如果競買人非對稱,荷式拍賣的配置結果很可能是無效率的。

    維克里還相當精辟地分析并指出,荷式拍賣與第一價格密封拍賣在戰略上是完全等價的,因為競買人在兩種情形中所面臨的局勢完全相同。在此基礎上,維克里獨創性地提出了英式拍賣的密封等價形式--第二價格密封拍賣(又稱維克里拍賣)。這種拍賣最顯著的特征是每個競買人的占優戰略都是按其真實支付意愿出價("說真話"),這種拍賣機制顯然是激勵相容的。由于拍賣品最終歸于支付意愿最高的競買人之手,它也是一種具有帕累托效率的配置機制。

    維克里最重要的貢獻在于,他針對競買人對稱的情形證明,荷式拍賣與英式拍賣所產生的期望價格相同。結合戰略等價關系,實際上意味著四種標準拍賣機制給賣主帶來的平均收入相等。這就是著名的"收入等價定理"(Revenue Equivalence Theorem, RET),該定理是整個拍賣理論研究的起點。但是,維克里也注意到,荷式拍賣中盈利方差要小于英式拍賣,這意味風險厭惡的賣主更愿意選擇前者。他還明確指出,競買人合謀以及拍賣人敗德可能成為密封拍賣的致命劣勢。

    維克里(1962)還將單個物品的拍賣推廣到多個相同物品的拍賣,他針對每個競買人最多購買一個單位(單位需求)的簡單情形提出并簡要分析了幾種同步與序貫拍賣機制。在1962年的《拍賣與競價博弈》一文中,維克里再次運用博弈理論詳細分析了三種同步密封的多物品拍賣機制的績效。遺憾的是,維克里所提出的這些重要問題在當時并未引起經濟學者們的足夠重視,在此后近20年里拍賣理論幾無重大進展。20世紀70年代末,拍賣經濟理論的發展終于姍姍來臨。

    三、基準模型與單物品拍賣分析

    對拍賣機制的績效分析往往從包含以下重要假定的框架入手:(1)單物品拍賣。(2)所有競買人和賣主都是風險中性的。(3)所有競買人是對稱的,其估價服從同一概率分析。(4)拍賣品具有獨立的私人價值。換言之,每個競買人僅憑所掌握的私人信息就可以精確地對拍賣品估價,即使知道了所有其他人的估價信息也不會改變自己的估價。(5)最終支付額僅僅取決于報價額。(6)競買人之間是非合作博弈。(7)賣主就是拍賣人,不存在交易費用。上述拍賣模型通常被稱為"基準模型"(Benchmark Model)或"私人價值模型"。這些假定在現實中未必完全滿足,但它們是拍賣績效分析的理想基準,隨后將逐步放松或替代這些假定,向真實世界逼近。

    1.收入等價定理與最優拍賣機制

    1981年,Myerson、Riley和Samuelson幾乎同時證明了維克里關于各種標準拍賣機制的期望收入等價這一結論的一般性。假定數量既定的眾多風險中性的潛在買主中的每個人都獨立地獲得對拍賣品的私人估價,且這些估價服從一個共同的、嚴格遞增的非原子分布,那么任何具有以下特征的拍賣機制都將產生同樣的期望收入(并導致每個競買人按自己估價的某個函數支付相同的期望金額):(1)擁有最高信號的競買人總是贏家;(2)任何擁有最低可行估價的競買人的期望剩余為零。這個結論是令人驚訝的,因為它意味著賣主選擇四種標準拍賣方式中的哪一種都無關緊要!

    由此引出了一個更為根本的問題:在所有可能的拍賣機制中,賣主最優的選擇是哪一種?Myerson(1981)借助于"顯示原理"將最優機制的搜尋范圍縮小到激勵相容性直接機制上,并將最優拍賣機制問題轉化為一個雙重約束下的線性規劃問題:即在參與約束和激勵相容約束下求賣主的最大期望剩余。沿著這一思路證明,可以將最優拍賣機制概括為兩套規則:(1)配置規則:要求每個競買人報告自己的估價,賣主計算相應的邊際收益,然后將拍賣品授予邊際收益最高者,除非最高邊際收益低于賣主自己的估價(邊際成本)。若所有邊際收益都低于賣主自己的估價,賣主將保留拍賣品。(2)支付規則:贏家支付的金額既非他的邊際收益亦非他的報告估價,而是使其邊際收益等于或高于所有競爭對手的邊際收益以及賣主邊際成本的最低估價。

    因此,最優拍賣機制實質上將第二價格拍賣的思想與第三級壟斷價格歧視的思想結合起來了。在基準模型中,若估價越高的競買人的邊際收益也越高(正則性),則所有設置了最優保留估價的標準拍賣機制都是最優的。但是,最優拍賣機制的配置結果有可能是無效率的。首先,其中隱含著邊際收益最高者的估價高于賣主估價但賣主保留拍賣品的可能。其次,在競買人非對稱的情況下,估價最高者的邊際收益未必最高。排除這兩種可能,那么收入最優拍賣也是帕累托最優的。 

    2.標準拍賣制度的選擇

    根據RET,各種拍賣形式除了制度細節之外并無差別,這與實踐中英式拍賣和第一價格密封折賣明顯更受青睞的現實形成鮮明對比。我們將會看到當基準模型中的假設被放松以后,RET就隨之失靈,某些拍賣制度的優勢就體現出來了,拍賣理論的解釋能力則因此增強。

    (1)風險厭惡

    一旦放棄買賣雙方都為風險中性的假設,第一價格拍賣(FPA)就具有了某種收入優勢。可以證明,無論競買人服從何種估價分布,FPA中的均衡價格都二階隨機占優于第二價格拍賣(FPA)中的均衡價格。因此,厭惡風險的賣主更愿意選擇FPA。考慮賣主為風險中性而競買人厭惡風險的情形:在SPA中,競買人的均衡報價戰略不會因風險厭惡而改變,因而期望價格不受影響。在FPA中,風險厭惡的競買人更愿意適當提高報價以確保獲勝并獲取正利潤,因而對估價的削減要小于風險中性競買人。根據RET,賣主同樣更愿意選擇FPA。

    總體而言,競買人對風險的厭惡態度有利于賣主。但是,FPA并非最優的拍賣機制,風險中性的賣主還可以充分利用它在風險承受方面的比較優勢獲得最大收入。比如,他可以提高低報價的風險實現鼓勵高報價的目的。競買人風險厭惡情況下的最優拍賣機制要比風險中性時復雜得多,比如要補貼失敗的高價競買人并懲罰低價競買人。此外,賣主還可以通過隱瞞競買人數量的方式(即引入數量不確定性)提高期望價格。

第8篇：運籌學求最優解的方法范文

關鍵詞：線性規劃；影子價格；方向導數；資源配置

中圖分類號：F0 文獻標志碼： A 文章編號：1673-291X（2011）07-0012-02

引言

影子價格是運籌學、管理學和經濟學中的一個重要概念。在實際計算中采用一般偏向求導法或者單純形表可以衡量資源的影子價格。但是，長期生產所對應的影子價格的論述較為罕見。本項研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對偶函數的極點值著手，利用Akgulm所提出的影子價格方向導數定義，計算短、長期生產所對應的影子價格。

一、問題的提出

影子價格與線性規劃對偶理論淵源極深，考慮如下一對線性規劃問題，原規劃問題（1）。

maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）

maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）

如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T為對偶規劃（2）的最優解，則最優值z*可看做是資源量bi（i=1，2，…，m）的一個函數，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），對bi求右向偏導數即為y*i：

y*i=，i=1，2，…，m（4）

顯然，此影子價格僅對應于一個短期生產問題，其前提是其他資源數量保持不變，一般通過單純形法求得。

考慮一個生產運作問題。設某工廠利用K、L兩種資源生產甲、乙兩種產品，資源要素量、產品的單位價格及可耗用的資源總量（如表1所示）：

表1 生產有關數據表

對于上述問題，為確定最優資源配置計劃，以收益為目標函數，以可耗資源為約束，構造線性規劃問題（5）。

max3x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）

利用單純形法對問題（5）求解，結果（如表2所示）。

表2初始線性規劃的最優單純形

根據表2，推斷資源K的影子價格為，資源L的影子價格為。

但是，如果我們對資源K、L的數量同時進行調整的長期生產問題，上述計算方法難以確定資源影子價格，需要引進新的定義方式與計算方法。

二、影子價格的長期劃分與計算

本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產最優值函數的極點解進行分析，通過Akgulm的方向導數進而確定長期多資源變化的影子價格。

Akgulm定義了函數Z*（b1，…，bm）在資源組合點B處沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的導數：

Duz*（b）=limt0+ （6）

為資源組合u的影子價格。利用凸分析的一個結論，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通過（7）式我們可以求得多種資源變化時的影子價格，我們稱之為資源的組合影子價格。

三、長期資源調整的計算示例

對于例題，原規劃問題的對偶可行域的極點有三個，分別為（0，3）（，）（2，0），于是在短期生產范圍內，給定b1=600不變，僅b2發生變化，即此時資源組合點B沿單位方向（0，1）方向發生變化：

=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1

（7）

在長期范圍內，多種資源甚至所有資源投入都可進行調整，資源可以就任何方向進行調整。比如，假設當前要素組合沿單位方向=，進行調整，由于最優對偶解單一，此時資源組合的影子價格如下：

Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）

結論

實際生產總表現出某種時期特性，不同時期特性下的影子價格定義方式、估計方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動對收益的影響，采用收益函數對該要素的右向偏導數即可。如果給定時間范圍內涉及到至少兩種以上生產要素的調整，則需采用方向導數方能測度投入要素對收益函數的影響，唯有如此才能根據影子價格合理指導資源配置。

參考文獻：

[1]劉舒燕.關于資源影子價格不唯一性問題的討論[J].運籌與管理，2001，(2)：33-36.

[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.

[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.

[4]周永華，陳新，劉建斌，鄭芳英.影子價格及其經濟意義[J].浙江理工大學學報，2006，(3)：145-150.

The Definition and Calculation of Shadow Price in the Long and Short Term

ZHENG Shan-shui

（Guangzhou Institute of Railway Technical，Guangzhou 510430，China）

第9篇：運籌學求最優解的方法范文

關鍵詞：線性規劃教學；原因；分析

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）17-080-1

線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，在組織社會化生產，經營管理活動中，我們經常碰到最優決策的實際問題。高中數學蘇教版教材必修5中安排了這一內容。下面就來談談學生在這一節中的疑惑。

例已知ABC的三邊長a，b，c滿足b+c≤2a，c+a≤2b，求ba的取值范圍。

生說：后面的比值是求可行域中的點（a，b）與原點構成的直線的斜率，但是可行域怎么畫呢？

師說：這道題目很多同學都束手無策。變量c是很多學生的疑惑，它的值不知道，而且也不適合代入特殊值求解。那想想我們已經有的工具是什么呢？

生說：會畫二元一次不等式組表示的平面區域，會用圖解法解線性目標函數的最優解。

師說：那我們想想剛才的想法不能解決問題時，我們再回到問題的本源，現在的三元多了，要是二元是不是就好了，那怎么變成二元呢？再想想要求的是ba，該怎么做呢？

生說：除以a試試吧。

變式：如果求cb的取值范圍呢？

解析：cb=yx，由圖可知求解的問題是可行域中的點和原點構成的直線的斜率的范圍[0，1]。

對學生產生疑惑的原因再分析：

1.學生在初步學習了不等關系后，對于用不等關系來說明最值，缺乏嚴謹性，沒有考慮到位。

2.對于線性規劃中較為困難的整點問題，因為所要追尋的最優解不是邊界上的點，而區域中的整點個數比較多，學生會有些茫然。

3.問題中學生的疑惑是因為先將待求的值視為斜率，所以這樣使得問題就沒辦法解決了，真是到了“車到山前疑無路”的時候。錯誤源于我們做題中這種先入為主的思想有時會阻礙我們前進，這時，我們就要換個思路，想想已有的知識儲備，怎么把問題轉化到原有的知識儲備上來。此時經過引導，終于帶領學生體會到“柳暗花明又一村”。

對學生在解題中的疑惑和錯解的再認識：

1.解決問題，是一種源于生活上，并置于特定情景中的數學問題。學生解決問題的能力真不是一朝一夕就能完成的，面對這一教材，我思考的是作為教師應該如何培養學生解決問題的意識，在學生出現困惑的時候，我們要分析他們的思維起點及認知的基礎在哪里呢？先要聽學生的學習體會，不論是對的，錯的，要讓學生勇敢地表達自己的想法。在長期的教學中，我們知道，作為老師，不怕學生有問題，有疑惑，就怕學生提不出任何問題，只有思考的人，好學的人，他才會有問題。所以只要他有問題，就說明他在思考，可能在問題解決的路上，也許就快得到答案，也許誤入歧途，需要我們引導。錯誤只有被理解、被認識后才能體現它的價值，也只有這時“失敗才會是成功之母”。

2.由最近發展區理論知，學生的認知是逐步提高的過程。學生經常在探究的過程當中在解決問題的過程中出現問題和錯誤，首先要尊重學生的認知差異。在教學中講授知識的過程應該是帶著學生走向知識，而不是傳統的帶著知識走向學生。這二者的重要區別在于前者是學生本位，更為注重學習的過程；而后者以知識為本位，注重學習的結果。學生出現錯誤是成長過程中必然的經歷，教師應該以一顆寬容的心來對待。教師的責任并不僅僅在于避免錯誤的發生，還在于當錯誤發生時能夠挖掘錯誤的價值，使錯誤轉變為學生成長的契機，成為教師教學的資源。