高考數學必修精選(九篇)

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第1篇：高考數學必修范文

高中數學新課程改革從試點到全國已全面展開，隨著高中新課程改革的推進，甘肅省也成為其中一員.在新一輪課程改革如火如荼地進行中，很多從事數學教育的工作者積極投身到了這場改革的浪潮中.由于新教材對原有的數學知識體系進行了調整，對原有的繁難問題進行了刪減，對學生難以理解的重點內容進行了分散處理，為了讓高中新課程改革與高考有效銜接與匹配，教學中優化課堂教學結構，增強教學效果，就成為新課程標準實施的關鍵.

高中數學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高，在學生學習過程中，不論是基礎知識的形成，還是基本技能的掌握，或者是基本能力的培養，都會遇到很多疑難問題.這些疑難易錯問題，如果不及時解決，就會極大地阻礙思維的發展，從而挫傷學生的自信心.學好高中數學，在高考中取得好成績的關鍵之一是解決好學習中的疑難易錯問題，所以強化學生解決疑難、歸納整理的能力尤為重要.

通過近幾年的教學和反思，為了幫助學生有效克服學習障礙，減少學習過程中的“無用功”，確保高考時“胸中自有雄兵百萬”，也為了使數學課堂教學中教師準確把握教學重點，突破難點，詳略得當，確保較高的課堂教學效率，針對高中階段遇到的疑難和易錯問題進行總結歸納和分析，是減負增效的一種有效途徑.

目前國內中學數學教育研究關于這方面的思考相對來說較多，但以初中階段研究居多，高中階段較少.新課標背景下要求增強課改意識，轉變教學觀念，但高考升學仍然看分數，所以人們會更多地關注這些能夠直接提高成績的解題技巧、化歸演繹等，學生和教師也很重視整理和歸納疑難易錯題，但許多都很零散，不成體系，而且與新課標內容不相匹配.又因為各省所用資料各不相同，許多省份高考自主命題，符合新課標教材且甘肅考生適用的很少，至于這一課題研究最終對甘肅考生成資料性、適用性、推廣性的研究的文章也較少，為了使新課程改革與高考融合得更深入，我們很有必要對新課標人教A版高中數學必修1到必修5內容遇到的疑難和易錯問題進行系統全面的總結歸納和分析.

二、課題研究的主要內容及重、難點

學生學習中常見的錯誤主要有：1.知識性錯誤：數學概念理解錯誤，公式應用錯誤，定理、性質應用錯誤等；2.數學方法應用性錯誤：思維定性、以偏概全、審題中忽視隱含條件的數學思維等.前車之覆后車之鑒，教師授課時要強化學生數學解題過程中的錯誤警戒意識，使得課堂內容重點突出、針對性更強，使學生形成嚴謹的數學思維習慣，能有效構建數學解題過程中常見性錯誤的“錯題庫”，達到讓學生跳出題海，輕松而高效地學習數學的目的.同時針對高考中常見的易錯、易混、易忘典型題目系統地整理出來，疑難問題集中攻克，易錯問題及時糾正，學生面對高考也心中有數，手中有法，自然在高考時能考出優異成績.

三、課題研究的思路及方法

1.在課堂教學中將遇到學生不易于理解的知識點和課后學生反饋的問題，在考試中容易出錯的典型問題整理出來，經過教研討論，形成更好、更科學的授課思路，讓學生理解、接受、消化、吸收.如：

例1：（2010.天津）命題“若f（x）是奇函數，則f（-x）是奇函數”的否命題是（ ）

A.若f（x）是偶函數，則f（-x）是偶函數

B.若f（x）不是奇函數，則f（-x）不是奇函數

C.若f（-x）是奇函數，則f（x）是奇函數

D.若f（-x）不是奇函數，則f（x）不是奇函數

【解題探究】本題重點關注：（1）要求的是“否命題”而非“命題的否定”；（2）注意“奇函數”的否定對象是什么？

【規范解答】選B.因為否命題是既否定題設，又否定結論，而奇函數的否定不是偶函數，而是“不是奇函數”，所以否命題應為“若f（x）不是奇函數，則f（-x）不是奇函數”.

【誤區警示】知識性錯誤.

本題為由原命題確定否命題，在本題中易將否命題誤認為命題的否定，或將奇函數的否定誤認為是偶函數，從而導致錯選，這類問題，常見的誤區有：

（1）不能正確區分命題的否定與否命題；

（2）將條件或結論的否定搞錯.

例2：若拋物線y=ax-1上恒有關于直線x+y=0對稱的相異兩點A，B，則a的取值范圍是？搖 ？搖.

【解題探究】（1）直線AB的方程必為y=x+b，根據點A，B關于直線x+y=0對稱，用參數a表示出b，根據直線與拋物線相交于不同兩點建立關于參數a的不等式；（2）求出拋物線斜率為1的平行弦中點的軌跡方程，利用這個軌跡方程與直線x+y=0的交點在拋物線內部建立關于參數a的不等式.

【規范解答】解法一：設拋物線上的兩點為A（x，y），B（x，y），AB的方程為y=x+b，代入拋物線方程y=ax-1，得ax-x-（b+1）=0.設AB的中點為M（x，y），則x=，y=x+b=+b.由于M（x，y）在直線x+y=0上，故x+y=0，由此得b=-，此時ax-x-（b+1）=0變為ax-x-（-+1）=0.由=1+4a（-+1）>0，解得a>.故填a>.

解法二：根據點差法，不難求出拋物線y=ax-1的斜率為1的平行弦中點的軌跡方程是x=.當a>0時，y>-1；當a-1，解得a>；當a.

【誤區警示】圓錐曲線上存在不同的兩點關于某條直線對稱，試確定圓錐曲線中或者直線中的某個參數的取值范圍，這是圓錐曲線中的一個難點.化解這個難點的方法有兩種：一是利用兩點關于直線對稱的兩個條件，即這兩點的連線與對稱軸垂直和這兩點的中點在對稱軸上，寫出用參數表達的直線方程，利用直線與圓錐曲線有兩個不同的交點，由判別式大于0列出關于參數的不等式解決；二是利用圓錐曲線上與對稱軸垂直的平行弦中點的軌跡與對稱軸的交點在圓錐曲線內部，列出關于參數的不等式解決.

第2篇：高考數學必修范文

【關鍵詞】高考；數學；學習對策

數學是人類最重要的基礎知識，高考數學出題要有利于中學生數學學習和國家選拔合格人才。我國高考數學試題立足于注重基礎知識和基礎技能，強調知識靈活應用[1，2]。數學基礎知識點很多，而高考試卷容量有限，故不同時間、不同區域的高考試卷各有側重點和命題特點[3-5]。中學生在學好數學基礎知識的基礎上，也需根據歷年的命題特點，采取有針對性地有策略地學習方法，力爭在來年的高考數學中考出優異成績[6，7]。論文針對陜西省高考數學自主命題來，尤其是近三年的試題，分析了不同時期和不同試題類型的特性，并提出了有利于掌握基礎和基本使用技能的數學學習策略。

一、高考試題分題型解讀及體會

陜西新課程高考數學自主命題從2010年開始，經歷2011年至2013年的漸變，形成了有利于中學數學教學和高校選拔人才的原則。總體來說，2011年陜西數學考題反映了數學本質，彰顯數學思想，強化思維量，控制運算量，突出綜合性。試題以全新的面貌融入新課改的理念，試題無論是在結構方面，還是在背景的設計方面，都進行了大膽的改革和探索，有利于高校人才的選拔。2012年陜西高考數試題著重體現新考綱和新課標，選擇題、填空題和解答題即不偏也不怪，三個層次各自梯度不同，整套試題梯度適當，能客觀地考查出學生的知識水平和數學能力。2013年陜西高考數試題的特征是：平和穩健，試題的綜合性略有降低，運算量適度，難度與2012年相當，試卷整體緊扣教材。綜合試卷中的各種題型，形成了清晰的題型特征：

1、選擇和填空題。共15道小題，大多難度較小，一般有3個左右難題，題目內容覆蓋高中主要知識點，考查學生靈活應用知識的解題能力，占分75分。如何快速準確解答好選擇和填空題，是數學取得高分的關鍵。課堂學習時應注意以下幾點：（1）要對考試說明中的知識點進行全面復習，不可遺漏。如2011年考查了復數的模、冪函數和線性回歸，2012年考查了統計中的中位數等知識，2013年考查了程序語言，這些知識點在復課過程中都容易被忽視。（2）要讓學生掌握選擇和填空題的解法，并靈活運用。選擇和填空題的解法主要有：直接法，數形結合法，排除驗證法，特殊化法，構造法等。數學家希爾伯特說過：在解決數學問題時，特別化比一般化更重要。因此對于較難的選擇題不妨讓學生嘗試用特殊化法去解決，往往會得到意想不到的效果。（3）要重視數學應用題教學。由于陜西省高考數學“考試說明”中明確要求學生要有數學應用意識，因此陜西省每年高考試題都會在小題中體現。（4）2013年陜西省數學試題中選做題難度有加大的趨勢，三個題都比較難，這應該引起復課重視。

2、三角函數一般是高考第一道大題，難度不大，重點是要提高學生做題準確率。考查的主要題型有：三角最值與圖像、性質結合，三角最值與向量結合，三角最值與正余弦定理結合。

3、立體幾何考查的是三視圖，平行與垂直。相對來說，解答題文科主要考查面積與體積計算，理科則考查夾角問題，且難度有增大的趨勢。距離問題盡管在一些模擬試題當中能夠見到，但從陜西省高考數學試題“考試說明”看考查的可能性不大。

4、數列重點考查等差數列、等比數列及求和問題。三年中有兩年出了證明題，今年數列試題第二問讓學生證明一個數列不是等比數列，部分學生竟然想不到反證法，這說明證明題是學生弱點，應該引起重視。

5、概率主要考查學生數學閱讀理解能力和審題能力，是中等偏難的試題。這幾年陜西重點考查了以下題型：概率與排列組合的結合，概率與統計的結合，互斥事件與獨立事件的概率，二項分布與幾何分布。學習時應重點訓練以上題型，并注重培養審題能力和思維的嚴密性。

6、解析幾何高考主要考查橢圓與拋物線知識，求軌跡問題以及直線與圓錐曲線的位置關系。對于雙曲線問題，掌握最基本知識即可。盡管這幾年解析幾何比前幾年難度有所降低，但由于現在學生運算能力普遍較差，要全面正確回答仍有較大困難。近三年來陜西試題有兩年考查了求軌跡問題，但在平時學習時，部分學生在這里花費的精力不多，應該引起足夠重視。

7、導數與函數一般是高考最后一道大題，采取三問式。一般學生可以完成前兩問，第三問難度比較大，大多數學生難以回答準確。和大多數地區一樣，陜西省近幾年導數題主要由以下問題組合而成：（1）利用導數求極值、最值單調區間；（2）利用導數幾何意義求切線方程及參數值；（3）利用導數解決恒成立問題中參數的取值范圍；（4）利用導數求解方程的根、函數零點、曲線交點問題；（5）利用導數證明不等式或比較大小。

二、2014年高考的學習對策

根據陜西省近幾年高考數學命題規律和各種題型的特點，從多年來高中數學教學經驗出發，針對2014年的陜西高考數學，提出如下學習對策：

1、深入研究陜西省高考數學“考試說明”，弄清哪些知識點需要了解，哪些知識需要理解和掌握，只有把“考試說明”反復閱讀，牢記在心，才能減少復課的盲目性，提高復課效率。比如2013年高考試題中的反函數，程序語言就屬于了解內容，大多數老師和學生沒有重視，從而影響了答卷。

2、堅持抓好“三基”，重視數學思想方法滲透，這是提高數學成績的關鍵。對支撐數學學科的主干知識，如函數、數列、導數、不等式、解析幾何、立體幾何、概率與統計要做重點復習。發揮學生學習的主導地位，精選題目，及時補救學生數學學習中的存在問題。教師講評時，注意考點和數學思想方法，通過一題多解，多題一解，讓學生真正將題目內容學透、學活。中學數學思想方法主要有：“函數和方程的思想，數形結合思想，分類與整合思想，化歸與轉化思想，特殊與一般思想”。

3、教師要引導學生扎扎實實做一定數量的題，提高學生動手、動腦能力。人常說，問題是數學的心臟，解題是數學的靈魂。當學生動手做題到一定量后，思維能力、運算能力、運算速度和準確率都得到提高。然而，一部分學生，特別是文科學生只喜歡背和記，不愛動手，對數學的學習只停留在知識層面，沒有轉化成能力。

4、加大選擇題、填空題的訓練力度。通過方法講解和定時訓練，讓學生真正將選擇題、填空題的解法學活，從而提高解題的速度和準確率。

5、學習過程中一定要重視課本。以前有些高考試題是從課本中的題目改編而成，而近三年的陜西數學試題每年都有課本中的原題。如選自課本中例題作為解答題的有：余弦定理的證明，三垂線定理的證明，數列求和公式的證明。也有選自課本中習題的，2012年理科13題（在北師大版選修2-1第76頁），2013年理科第3題（在必修4第106頁）等。遺憾的是，學生答卷調查顯示部分學生反而回答不好來自課本中例題或習題的高考題目。因此，把課本丟到一邊，整天捧著復習資料做題的復課方法需要改革了。新教材中有很多典型的題目，教師可以挑選教材中適當的題型，引導學生去做，并根據學生做題情況進行答疑解惑，把課本復習真正落到實處。

三、結語

總之，高考數學的命題首先注重基礎知識，同時也強度基本技能的靈活應用。學生和教師都要以教材為基礎，充分理解和參透教材的主干內容，適當參考資料，并遵循歷年來試題的總體規律和各種題型的特點，統籌知識領悟和能力培養，爭取全面準確掌握高考數學需要的知識和技能。

參考文獻：

[1] 薛紅霞； 常磊； 常偉興；2013年高考數學試卷總體評價及2014年高考復習對策[J]. 中國數學教育， 2013（Z4）。

[2] 趙思林； 翁凱慶；高考數學命題“能力立意”的問題與對策[J]. 數學教育學報，2013（04）。

[3] 朱恒元. 星垂平野闊 月涌大江流――2012年全國各地高考數學試題的特點和啟示[J]. 中國數學教育. 2012（Z4）。

[4] 田春梅. 2010年遼寧高考數學試題統計與能力測試分析[J]. 中國數學教育。2011（06）。

[5] 張曉斌； 熊軍；2012年重慶高考數學試題特點與命題建議[J]. 中國數學教育， 2012（24）。

[6] 石泉. 堅持能力立意 貼近學生實際――2011年浙江省數學高考卷評析與啟示[J]. 中學教研（數學）. 2012（02）。

[7] 朱恒元. 活水源流隨處滿 東風花柳逐時新――2011年全國各地高考數學試題的特點掃描和動向探微[J]. 中國數學教育. 2011（Z4）。

作者簡介：

第3篇：高考數學必修范文

高考真題 （2012年高考湖南文科卷第17題）某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.

已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.

（Ⅰ）確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；

（Ⅱ）求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.（將頻率視為概率）

教材原題 （人教A版高中數學教材必修3第123頁第3題）李老師在某大學連續三年主講經濟學院的高等數學，右表是李老師這門課三年來的考試成績分布.某同學將研修李老師的高等數學課，用已有的信息估計他得到60分以上的概率.

解答過程 （解法1）記A為事件“某同學高等數學考試成績在60分以上”，A1，A2，A3 ，A4分別表示事件“該同學成績在90分（含）以上”， “該同學成績在80～89分”， “該同學成績在70～79分”， “該同學成績在60～69分”.頻率接近于概率，我們可以用頻率去估演變過程 近年來，高考概率題大都以圖表的形式展示出來，豐富的信息隱藏在圖表中.考生只有讀懂圖表，才能準確、快捷地完成解答.有的同學讀不懂題意，一頭霧水，殊不知圖表型概率題不但源于生活，也源于我們的教材.這道高考題將教材的背景題移花接木，改頭換面，并對考查的知識面進行拓寬.

改造1：變換命題背景，將教材原題中的成績分布問題改造為購物結算時間問題.

改造2：增設已知條件，與教材原題相比，不但有購物件數和相應的人數，還增加了結算時間，如此改造后，豐富了問題的情景，也增加了思考的維度和層次.

改造3：增設了未知量，將教材原題的條件隱蔽化、間接化，加大了對思維的考查力度.

改造4：教材原題的考查方向相對單一，改造后的高考題不但考查互斥事件的概率問題，還考查頻率、頻數及樣本平均數的計算等統計知識，立足于知識交匯點處對教材原題進行改造拓展，體現了高考命題“源于教材，又高于教材”的理念，突出高考試題的選拔性.

另外，教材原題還可以進行如下改造拓展.

改造5：改變已知條件中信息的呈現方式，可將等候結算的時間再細分出0.5分鐘這一檔，將題中信息以直方圖的形式呈現出來，要求考生根據頻率分布直方圖進行求解.這樣信息量更大，考查知識點更多，對能力要求更高.這一類型的問題也是當前高考概率題的考查方向之一，應當引起考生的高度重視.

改造6：改變設問的方式.（Ⅰ）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數學期望；（Ⅱ）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.于是我們得到2012年高考湖南理科卷第17題.其解答過程如下.

第4篇：高考數學必修范文

1 試卷的總體分析

1 .1 試卷內容分析

表一 基礎知識的考查分布

表中數據表明，試卷合理地借助交匯，從而在不刻意追求知識點覆蓋面的情況下，較為全面的考查了高中數學的全部重要內容.

表二 數學能力的考查分布

試卷較好地體現了“能力立意”的命題指導思想，全面地考查了《課標》要求的數學基本能力，全面考查了考生的數學素養和數學思維能力，并為考生提供了展示能力的空間和機會.

表三 數學思想的考查分布

表中數據表明，試卷重視數學思想方法的考查，將中學常見的數學思想方法融入試題，根據考生對數學思想方法的靈活運用程度，較為有效地區分了考生的數學能力.

1 .2試卷特點分析

與前三年相比，今年試卷在題量、題型等方面保持穩定的同時，逐步適度體現對思維過程和分析能力的要求，注重雙基、體現新意，平和不乏新奇，探索彰顯活力.

1 .2 .1立足平穩發展，規避常規模式

表四 2 0 0 9 ~2 0 1 2年高考數學福建卷文科解答題內容位置統計

表四列舉的內容表明，試卷的結構與前三年相比整體不變，仍然堅持對基礎知識、數學能力、數學思想方法的考查.由表四可知，解答題在全面考查支撐高中數學框架的主體內容的同時，內容位置靈活變動，設問方式豐富多樣，突出體現了規避試卷題序“模式化”.

試卷中試題背景的新探索、試題題型的新構造、考查形式的新設計等使得高考試題“常考常新”.同樣是考查分段函數的相關知識，第9題將分段函數建立在符號函數與狄利克雷（Dirichlet ）函數之上，使得試題更有內涵；第18題第（Ⅰ）問線性回歸方程的考查，改變了回歸分析未納入高考試題的格局；第20題三角函數歸納、推廣、證明的題型設置，突破了三角解答題多年來形成的設計模式，體現了命題者的匠心.

1 .2 .2鼓勵理性思考，展示數學魅力

“理解基本的數學概念，數學結論的本質，了解概念產生的背景，體會其中所蘊含的數學思想和方法”這既是高中數學課程的目標，也是數學教學的目標.2 0 1 2年福建省高考數學文科試題較好地體現了這一目標.

試卷重視對數學思想方法和數學能力的考查，特別對推理論證能力以及應用意識的要求更高，試卷寬角度、多視點、有層次地考查了考生的數學理性思維能力，數學學習潛能和數學素養.

第1 2題利用數形結合思想有機地將函數性質與函數導數結合在一起，對原函數的等價轉換是學生理性思考的關鍵所在；第1 9題將空間最小距離和的問題化歸為平面問題，體現了距離的本質；第2 2題更是融合了四大數學思想方法，數學味道濃厚.

1 .2 .3關注知識交匯，提升試題內涵

正如德國數學家希爾伯特所說:“數學，它的生命力在于各部分之間的聯系.”一份好的數學試卷必須站在學科的整體高度，在知識網絡交匯處設置試題，從而達到一定的深度.不難看出，2 0 1 2年高考數學文科試題很好地體現了這個命題思路，知識點被巧妙的嫁接融合成一體，不僅使知識、思想方法、能力考查的覆蓋面得到拓寬，且試題的內涵也進一步得到豐富.

從知識的角度看，第1 1題以三角函數為載體，體現與數列的交匯；從數學思想方法的角度看，第2 2題綜合了函數與方程、數形結合、化歸與轉化、分類與整合四大數學思想方法，合理增加試題的思維量；從數學能力的角度看，第2 0題實現了運算求解能力、抽象概括能力與推理論證能力的有效整合.

1 .2 .4注重問題探索，體現選拔功能

正如美國教育學家布魯納所說:“探索是數學的生命線”.探索，是數學的不變主題.今年文科數學試卷出現了不少探究性試題，讓人們感受到，數學是最古老的科學同時也是最有積極意義的科學，它永遠充滿著青春活力.

第1 6題以道路鋪設為背景，學生需要一定的推理論證能力才能得到正確的答案；第2 0題設問是開放的，需要考生自己做出判斷后得出結論，再進行論證；第2 1題以“動圓是否過定點”這一幾何問題為載體，設置探究性問題，融計算、推理于一體，綜合性和靈活性較強；第2 2題函數零點個數的探索，有效考查考生思維的發散性和嚴謹性，具有一定的區分度，體現選撥功能.

2 幾點商榷

2 .1考查權重偏差

由表一可知，試題考查的知識點權重與教學的知識點權重有所偏差.如解析幾何以及三角函數考查分值有所超出.同時，平面向量和概率統計，一個是溝通幾何、代數、三角函數等內容的橋梁，一個是研究隨機現象、刻畫現實世界的有力工具，但它們的重要性在試卷中沒有得到應有的體現.

2 .2超越必須體現

以教材中的定理、習題為基本載體命制試題，在貼近教材中提高，可以為中學實施素質教育創造寬松的環境.第2 0題改編自人教A版必修四1 3 8頁B組第3題，這種回歸教材的做法，有利于引導師生研究、進而科學地使用教材.

回歸教材是為了超越教材，這既是數學教學的必然要求，也是人才選拔的基本需要.基于高考試題的創新要求，若將其置于2 0題的位置仍需超越教材.

2 .3切題略顯冷僻

第1 9題第（Ⅱ）問將線面垂直問題的切入點建立在“螞蟻最小行程”的背景之上，在側面展開圖中考慮最小距離，這樣的試題設置讓人眼前一亮，彰顯數學本質.然而，這樣的切入點對考生而言稍顯冷僻，不易著手.

第5篇：高考數學必修范文

試卷形式保持穩定，主要體現在大綱理念、試卷結構、題目數量以及題型等方面與20**年基本相同，保證了試題年度間的連續穩定。另外在全國20**年全面推進新課程標準的大背景下，作為首批進入課程改革的實驗省，20**年的試卷在保持“穩定”的基調下，進一步加深對課程改革的滲透，既體現了知識運用的靈活性和創造性，又兼顧了試題的連續和諧與穩定發展。

一、遵循考試說明，注重基礎

試卷緊扣我省的考試說明，體現了新課程理念，貼近教學實際，從考生熟悉的基礎知識入手，無論是必修內容，還是選修內容，許多試題都屬于常規題。部分題目“源于教材，高于教材”，做足教材文章。如文、理科的選擇、填空以及解答題的入手題（17）和（18）題，均側重于中學數學學科的基礎知識和基本技能的考查，這對正確地引導中學數學教學都起到良好的促進作用。

二、考查全面，注重知識交匯點

但是，在本套試卷中還有我們經常關注的知識本次沒有涉及，是否會說明一些問題，三視圖在經歷了新課標必考的階段之后，今年沒有涉及，另外抽樣方法、頻率分布直方圖、二項式定理我們復習時認為重要的點也沒有涉及，特別是二項式定理已經連續兩年沒有涉及，這也值得我們注意。

三、注重能力立意，體現文理差異

四、重視創新意識，凸顯新課程理念

總之，20**年山東省高考數學文、理兩份試卷，均具有較高的信度、效度和有效的區分度，達到了“考基礎、考能力、考素質、考潛能”的考試目標。

（二）如果想考進大學，數學高考成績應該在120以上，特別是想考重點大學數學成績應該在130以上。

（三）答題時間：第一第二大題應該在30-40分鐘，一般不能超過45分鐘。只有這樣，才能保證后面大題有足夠的時間思考和作答。最后，無論能否做完，都要留出一些時間來復查前面做的試題。

（四）試題內容分析：

1.三角函數。試題中是一個大題一個小題。十八分左右

大題主要是考察三角函數的化簡，計算及三角函數的圖像和性質。三角函數的各種誘導公式和特殊角的三角函數值一定要記下來。特別是降次公式幾乎每年都要考到。再，就是解三角形，主要是正弦定理和余弦定理應用。

小題主要是考察三角函數的性質，比如求值，求周期，求單調區間等。

2.數列。試題中也是一個大題一個小題。十八分左右

大題主要是考察數列的通項公式及前n項和公式。如果試題難過增加最后一問就可能和不等式聯系起來。前n項和主要是裂項求和和錯位相減求和。山東高考數學試題有這樣一種現象：從新課改以來05年，所有的奇數年份重點考錯位相減求和，偶數年份重點考裂項求和。小題主要是考數列公式的應用和性質的考察。

高中數學試卷分析（二）

從今年的理科數學試卷和考生考后反饋來看，今年新課標全國高考數學試卷選擇題比去年全國新課標卷難的多，送分題相對少的多，尤其是12題，考綱上說淡化反函數的求法，平時也沒講這么深，填空題基本上與去年全國卷持平，解答題也比較常規，選答題的不等式的題第二問略難，多數學生感覺到答得不順利，所以預計今年的數學理科平均分要低于去年。試卷分析如下：

1、立足教材，緊扣考綱。

試卷中所有考題無一超綱，選擇題運算量太大。

2、突出基礎，綜合性不太強。

試卷考查了集合，復數，函數圖像，框圖語言，三視圖，數學期望，橢圓離心率，二面角等概念，第12題以知識交匯處出題。

3、著力思維，立意能力。

試卷對能力的考查全面且重點突出，特別對空間想象能力，推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及創新意識的要求更高。第17題這道題是解答題的第1題，命題者本意不想難為學生，但實際上此題的第二問確難住了很多學生。

4、體現課改，平穩過渡。

對教材新增內容的考查較全面，且難易適度，既體現了基礎知識的與時俱進又有利于新課標的平穩過渡。三道選答題，不等式的第二問，有一定的難度，學生選此題不易得滿分，因此合理地選擇也是對學生能力的較高的要求。

縱觀2012年高考數學試題，它緊扣數學考試大綱，繼承與創新并舉，基本上實現了從舊課程高考數學卷向新課程高考數學卷的平穩過渡，為新課標的教學起到了積極的引領作用。不足之處是：小題的涉及的知識點綜合性不太強，小題沒有明顯的感覺從易到難的那種梯度感。而且發現好多選擇題都可以用排除法解決，且很快，因此平時要注意培養學生的應試能力，即不光培養學生會做題，還要培養他的解題速度，這就需要求解方法的合理性，才能應對高考。

文科數學

今年的文科數學總體符合考綱要求，難度穩中有升，注重了知識的綜合，對運算能力的要求較高，突出對學生數學能力和數學思維的考查。試卷分析如下：

1、結構穩定、層次清晰。

2、關注通法、突出運算。

整個試卷堅持重點知識重點考查，非重點知識滲透考查的思路，強化主干知識，所涉及三角函數、函數與導數、概率與統計、解析幾何、立體幾何等模塊占全卷的80%左右。新課標中的新增內容如復數、框圖、三視圖、統計案例全面涉及，難度適中。試題關注通性通法，淡化特殊技巧，體現了以知識為載體，以方法為依托，以能力考查為目的命題要求。值得注意的是，今年的試卷對運算能力的要求有所提升，基本上沒有送分題，所以學生普遍感覺較難，得高分不易。

3、注重交匯，考查能力。

總體來看，試題題型靈活多變，綜合性強，部分題目在考查知識點上有創新，有一定難度。如第18題，體現了函數、統計、概率等知識點的交匯，閱讀量大，對審題要求高。

總的來說，試卷對能力的考查全面且突出重點，特別對空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識要求更高。預計今年我省高考文科數學的平均分較去年的全國大綱卷得分有所降。

高中數學試卷分析（三）

今年的試題總體難度較去年有所增加，試卷重點考查了高中數學的主干知識，如函數與導數、數列、三角函數、立體幾何、解析幾何、概率與統計等重點知識。其中選擇題、填空題比較平和，立足課本，注重基礎知識考察，但是解答題的難度逐步提高，尤其是文理科的第20題，第21題綜合性較強，涉及的知識較多，區分度較大。

1.選擇、填空題部分，注重基礎，難度適中。

不論文科還是理科，選擇題、填空題比較平和，立足課本，注重基礎知識考察，主要考查了集合，平面向量坐標運算，函數奇偶性，解析幾何拋物線，三角函數圖象，球與立體幾何，線性規劃，簡易邏輯，二項式，概率抽樣統計，直線與圓。

2、解答題內容豐富，考查全面。

試題幾乎涵蓋了高中數學的所有章節的知識內容，全面考查了高中階段重點內容，文理科其中有三道大題（解三角形、函數實際應用和解析幾何）是一樣的。

解三角形，考察了正弦定理，余弦定理，同角三角函數基本關系。

函數應用題，構建函數模型，考查數學分類討論思想方法。

數列題目，文科數學以等差數列，等比中項為載體，注重數列公式的應用。理科數學則是考查S_n到a_n的遞推公式，通項公式，再到求和公式。

立體幾何，湖北卷立體幾何一般都是可以用兩種方法來解決，幾何法注重考查定理而向量法側重建立坐標系，坐標運算。

函數導數大題，文科數學是由切線入手，在第二問主要考函數與方程思想，并突出考查了學生的運算能力；理科數學第一問較簡單，求函數最大值，但是第二問就考導數與不等式，綜合性很強。

解析幾何，這道題目文理科是一樣的，第一問是考動點軌跡問題的直接法，然而在第二問，加大難度，聯合考了向量數量積，面積公式等內容。

3、聯系生活，突出應用。

試卷貼近生活實際，加強了對學生數學應用意識的考查，凸顯了數學服務社會的功能。

第6篇：高考數學必修范文

目前不少教師在平時的教學和高考復習中常出現一個誤區：偏愛各類參考資料，四方搜集各種課外習題，而將課本拋在一邊，結果導致學生對課本中的概念、基本思想方法模糊不清，基本公式的來龍去脈不甚知曉，對通性通法不熟練，而一味去搞“題型分析”，去尋找“解題妙法”，在答卷時就可能去鉆牛角尖，死套“題型”硬要去用“巧妙方法”，從而導致不必要的失分.因此在基于數學本質的原則下，用好用活教材中的例題與習題，能夠較好的讓學生掌握中學數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本方法，提高學生的思維能力、運算能力、空間想象力及分析運用知識解決實際問題的能力.以下談談本人在教材例題與習題的拓展研究中的幾點做法和感受.

1.例習題的拓展是在基于數學本質的原則下，為的是讓學生更好更快地掌握數學知識，因此問題的拓展不一定要多么的深入，綜合程度也無需過高.學生易錯之處最易進行例習題的拓展.

例1“已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截的弦長為45，求直線l的方程.”（源自人教版《必修2》P127頁例2）

拓展：“已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截的弦長為8，求直線l的方程.”

拓展的意義：教材例題中，先由勾股定理，求出圓心到直線l的距離為5，然后假設直線l方程的點斜式方程，利用圓心到直線距離公式，得到一個關于斜率k的方程，求出k有兩個值，進而求出直線l的方程，有兩個答案.如果拓展后仍然沿用此法，則求出的k只有一個值，卻忽略了斜率不存在的直線x=-3也是答案之一.經過拓展，讓學生掌握在求直線的斜率之前，必須考慮斜率是否存在，培養學生思維的慎密性.

2.改變例習題中的某些條件亦是例習題拓展常見方式.

例2“過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑的畫圓，借助信息技術工具，觀察它與拋物線準線l的關系，你能得出什么結論？”（源自人教版《選修2-1》P81頁復習參考題B組第7題）

拓展：其中條件“過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F”拓展為“不過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F”.

拓展的意義：利于拓展學生的發散思維.

3.研究逆命題是否成立讓例習題拓展成為一種常態教學行為.

例3“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.”（源自人教版《選修2-1》P70頁例5）

拓展1：“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點B作直線DB平行于拋物線的對稱軸，交拋物線的準線于點D，求證：A，O，D三點共線.”

拓展2：“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點B作直線DB平行于拋物線的對稱軸，交直線AO于點D，求證：點D在拋物線的準線上.”

拓展3：已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，通過點A和拋物線頂點O的直線交拋物線的準線于點D，過點A作x軸的平行線，交拋物線的準線于點C，則CFDF.（文[1]中對此已做詳細說明論證）

拓展的意義：通過拓展，讓學生們理解“A，O，D三點共線”、“點D在拋物線的準線上”、“直線DB平行于拋物線的對稱軸”三個條件中，由其中任意兩個可以導出剩余一個.另外還可引導學生類比研究橢圓、雙曲線也有類似的性質.從而激發學生學習數學的興趣，培養學生的探索精神.

4.將例習題歸納總結，導出一般性規律.

例4（1）“點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和這到直線l：x=254的距離的比是常數45，求點M的軌跡.答案是橢圓x225+y29=1.”（源自人教版《選修2-1》P47頁例6）

（2）“點M（x，y）與定點F（5，0）的距離和這到直線l：x=165的距離的比是常數54，求點M的軌跡.答案是雙曲線x216-y29=1.”（源自人教版《選修2-1》P59頁例5）

拓展：研究定點和常數比、焦點、離心率，聯系拋物線定義，探索它們與橢圓、雙曲線、拋物線的關系.

拓展的意義：引導學生歸納出圓錐曲線的統一定義.

對教材例習題的拓展探究，還可通過改變問題背景、將不同章節問題交匯綜合等.不僅能激發學生學習數學的興趣，培養學生的探索精神，同時對提高教師自身的專業素養起著積極的促進作用.

第7篇：高考數學必修范文

關鍵詞：高考；高三復習；數學知識點；有效性

近年來，我國中學教育有了翻天覆地的大變化、大發展、大進步，全民的知識素養也有了前所未有的提高. 高三復習工作也從無到有，從有到精，發展到復習模式的標準化、系統化、完備化，形成中國中學教育的一個鮮明的特色. 現在，作為一名常年在高三指導學生數學復習工作的數學教師，都在高三數學復習計劃上執行著一個不成文但約定俗成的程序化的流程，即高三數學的一輪、二輪、三輪復習. 同時，在檢驗我們復習效果的措施上，絕大部分省市都會在幾個城市之間或者地區之間在高考前的三月、五月組織一模、二模，甚至三模考試. 我們的高三學生和高三教師經過高三這一年像上述模式化的學習和工作后，在高考結束后隨之到來的成功與成就的體驗后，又都伴隨著同一個感覺：累、枯燥. 這一負面的感受折射出我們的高三數學復習教學到底有多少是有效的，值得我們教師去研究、反思.

[?] 知識重現的有效性

現在全國有10多個省份在實施新課程改革，我們江蘇省的新課程改革已經進入到了第八屆高中學生（新高一），江蘇省的新課程下的新高考也已進行了七屆（2008年～2014年）. 數學新高考在知識內容、試卷結構、試題功能上和以往的老高考有了很大的變化和發展，但是在試卷的形制、命題的模式上并沒有發生很大的變化. 江蘇新高考中，文、理第Ⅰ卷合卷有20個試題，14個填空題、6個解答題，理科加試第Ⅱ卷，4個解答題. 本人統計了近幾年來新課改省份的數學高考試卷，發現數學高考所涉及的數學知識點細化到數量一般為80個左右，而一個高中生在高中三年的數學學習中所需要掌握的數學知識總量是多少呢？如果將我們的高中數學教材中所涉及的數學內容也細化到知識點數量，筆者粗略統計了一下，大約是800多個（不包括理科附加部分）. 從這個數據，讀者可以清晰地發現，要在一張數學高考試卷的20個試題中來全面呈現800多個數學知識點是不現實、不可能的. 因為學習的知識點與考查的知識點的比例高達10∶1. 下面，我們再來看一組數據.

高考試卷（江蘇省）的題目數量是20個恒定的. 我們的學生在高中三年中又做了多少個數學題目呢？我們可以這樣計算，一個高中生一天做10個數學題目（算是比較懶惰的學生），三年我們算學習時間1000天，那就有10000道（其實大家都知道現實情況遠遠超出這個數量）. 10000∶20=500∶1，這已經是一個很驚人的比例了.

以上兩組數據說明什么問題呢？問題就是高三復習過程中的數學知識點重現的有效性. 第一組數據說明了數學高考對所學數學內容進行知識點考查時有重點、對數學思想方法考查有傾向性.

[?] 近五年江蘇省高考試卷所涉及知識點分布的統計分析

首先，我們來分析近五年（2010～2014）江蘇省高考填空題命題所涉及數學知識點的重點方向. 讀者可以仔細閱讀這五年的試題分析，從14個填空題的知識點中對比后可以很清晰地看到，五年新高考考查的14個填空題所涉及的知識點分布是基本一致的. 新教材在教學內容上增加了概率、導數、統計、算法、復數、推理、向量七部分應用類數學的核心內容，在五年新高考中均有涉及，且在填空題中都有分布，體現出新課程理念比較注重數學應用，對于不同于以往老教材的教學內容是高考考查的必備考點. 這說明，平時我們在新課教學上就應重視這部分新增教學內容，深刻理解這部分內容并非是大學中高等數學內容的簡單下放，而是新課程所倡導的“數學生活化”、“數學應用化”、“數學大眾化”理念的推行，旨在學生在學習過程中體驗數學改造生活的作用，數學推動社會科技發展的力量.

再從解答題考查的知識點來分析，讀者不難發現解答題的命題設置還是比較穩定的，繼承了中學數學中的經典數學內容，但是，在考查解答題所需的數學工具、數學思想方法以及呈現知識點所要借助的載體上呈現出在保持穩定的前提下逐步靈活多樣的趨勢. 在同一知識模塊的考查上，命題時既考慮到知識點、數學工具、思想方法的選擇，也考慮到試題出現位置的變化，體現出新課改的命題在注意保持穩定性的同時又避免死板造成八股形制，這說明我們的課改并不是摒棄一切舊的東西，而是繼承經典，傳承發展，對于數學中經典的數學工具、數學思想還是始終滲透在我們的新課程教學中.

最后我們來看看理科學生的四十分附加分：由于附加題加試時間僅為30分鐘，命題所受的局限性會比第Ⅰ卷大，因為內容要涉及選修2系列和選修4系列的多章內容，命題確實有著很大的難度. 從知識點的分布可以看出，這五年的試題內容的選擇已經做到了選修2系列和選修4系列的全覆蓋，在難度上基本保持一致. 選做題考查基本知識，必做題考查學生的能力.

通過上述分析，第一組數據要陳述的觀點是：高三復習的本質是知識的重現，要讓學生在復習過程中逐步提高，就必須提高所復習內容知識重現的有效性，而提高這一有效性的重要方法就是我們教師要吃透考綱重點，通俗地講就是要會“押寶”，當然這里的“押寶”不是“押題”而是“押方向、押重點”，以此提高復習的有效性.

第二組數據又說明什么呢？許多高三學生都有一個錯誤的認識：我平時做過的試題高考是不會出現的. 包括我們教師本身也有這方面狹隘的理解. 而通過第二組數據，筆者要對高三學生大聲疾呼：“高考試題就是我們平時做過的試題，尤其是我們曾經做錯的題目. ”很明顯，高考的20個試題不是空中樓閣，它就來自于我們學生所付出的10000個題目，只不過，呈現知識點的載體有所變化而已. 因此，在高三復習階段，如何發揮選用例題、習題、試題的功能和有效性十分重要. 而且，要重視學生錯例的整理、再現工作，而不是盲目、簡單機械、重復地做一套又一套的模擬試卷.

[?] 時間分配的有效性

還是來看數據，高考數學應試時間是2個小時（不算理科附加），也就是說，學生在展示自身數學素養與能力高低上也就是這2小時，而我們的學生高中數學學習的時間總量是多少呢？至少1000小時，每天1小時（包括數學課的40分鐘），也算1000天吧. 學習時間：一錘定音的考試時間=500∶1，又是500∶1. 這無論對于學生還是教師來說壓力是很大的，長期的學習而積累下的成果要在2個小時內得以體現，需要合理地安排數學知識的學習時間量與復習的分配，要提高學習與復習時間的有效性. 現在，我們高中數學教學時間安排的通常做法是：高一學完必修1、3、4、5，高二學完必修2，選修系列，高三一年復習. 這樣就造成高中階段的800多個數學知識點有近600個分配在高一，而高考所涉及的數學內容在比例上有接近65%的分值是高一所學的內容. 這樣帶來的問題是，雖然我們有高三一年充裕的時間去復習，但是由于高一的教學任務過于緊迫，造成學習時間與復習時間分配的有效度不高. 高一的新授知識學生掌握并不牢固，到了復習階段使得復習與新授內容的界限很模糊，而且復習時間過長，學生容易出現疲勞感和所謂的“高原期”，降低了復習提高的效率. 因此，必須提高時間分配的有效性，應該適當減輕高一的教學任務，在新授課的時間分配上傾斜一點，壓縮一下高三的復習時間分配，這樣效果會更好.

[?] 考前模擬的有效性

第8篇：高考數學必修范文

關鍵詞： 高考數學全面研究 高效復習 命題走向

一、分析試題特點

（一）對非主干知識考查。

（1）集合――四省都有一道考題，占分約5分，是一道容易題，都是考查集合的概念和集合的運算，并且都是放在第一題位置；（2）算法――四省都有一道考題，占分約五分，考查的都是流程圖，要求的都是輸出結果；（3）概率――三省有考題，只有海南無，三省考查的都是古典概率，江蘇考了一道填空題，而廣東卷第十七題考了概率統計大題，山東第十九題考了概率大題；（4）統計――四省都有考題只是考查的知識點有所不同，江蘇考查的是頻率分布直方圖，廣東卷考查的是分層抽樣及線性相關關系，山東卷考查的是平均數方差；（5）復數――三省有考題，只有廣東無，三省考查的都是復數的除法運算；（6）簡易邏輯――廣東卷山東卷都有考題，其他兩省無。且兩省考的都是充要條件問題。

注意：集合、算法、概率、統計、復數、簡易邏輯是基礎知識點。但江蘇卷又有其個性化特點，體現在兩個方面：一是命題、邏輯、量詞、類比推理書寫不方便，一般出現在填空題中；二是算法、概率、復數、統計、直方圖、莖葉圖、方差、均值輪流考，不考難題。

（二）對主干知識的考查。重點知識模塊是命題重點，注重在知識網絡交匯處命題。

1.函數知識――是歷年考試重點和熱點，結合四省試卷分析，函數部分考查的是如下兩個方面。（1）基本函數，分段函數，以及函數y=x+a/x（a＞0）定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性與最值問題；（2）函數的建模問題（江蘇卷14題）。能夠注重數學的應用意識和創新意識的考查，應用所學的數學知識和思想方法，構造數學模型，將一些簡單的實際問題轉化為數學問題，并加以解決；⑶函數綜合題給出函數解析式（含參函數）主要考查分類討論問題，主要以一二次函數、冪函數、指數函數、對數函數組合（海南卷第21題，山東卷第21題，廣東卷第20題）。注意：要特別關注海南、廣東函數綜合題，它們都是含參函數。但還要注意的是對江蘇卷來說函數綜合題不考抽象函數，不與導數結合，尤其是不考導數證明，不必在此知識點上練量習題。

2.立體幾何――四省都有一道或兩道題。巧的是四省所考大題都是一證一算。

3.直線與圓――四省都只有一道小題，考查的都是直線與圓的位置關系。

4.三角――四省都有兩道或者三道考題，占分約20分：（1）三角函數周期公式及通過三角函數基本關系式，三角函數圖像與性質及圖像的平移變換；（2）正余弦定理的應用（江蘇卷第13題，廣東卷第13題，山東卷第15題）；（3）兩角和差正弦、余弦、正切公式（江蘇卷第17題，海南卷第10題）。

5.平面向量――四省均有一道考題，屬中低檔題：（1）考查平面向量基本概念和運算以及坐標運算（江蘇卷第15題，廣東卷第5題）；（2）考查平面向量的數量積公式（山東卷第12題，海南卷第2題）。注意：三角、向量尤其是解三角形是命題的熱點，如加大難度涉及中線、高、角平分線。

6.數列――四省都有一道考題，結合四省試卷分析數列中有如下三個重點題型：（1）等差數列通項公式及前n項求和公式，（山東卷第18題，海南卷第17題），等比數列通項公式以及前n項求和公式（江蘇卷第8題，廣東卷第4題）；（2）已知Sn與an關系，（江蘇卷第19題的第1小題）；（3）數列中常用的求和方法及數列與不等式綜合題（江蘇卷第18題，山東卷第18題）。注意：江蘇卷上把函數數列放在后兩題，這是江蘇卷獨有的特點。

7.不等式――江蘇卷考了三道題，而其他三省均考一道題：（1）考查一元二次不等式，基本不等式。（江蘇卷第11題，第19題。山東卷第14題）；（2）線性規劃問題。（廣東卷第19題，海南省第11題）。注意：線性規劃問題實質上研究的就是用最少的錢創造最大的經濟效益問題。一元二次不等式、基本不等式對江蘇卷來說是兩個C級要求的知識點，是高考必考的知識點。

8.圓錐曲線――四省均有一道或者兩道題，考查的主要有如下兩種類型：（1）會求橢圓、拋物線、雙曲線的離心率（廣東卷第7題）及標準方程（山東卷第9題）；（2）直線與橢圓相交問題，巧的是江蘇、山東、海南所考大題都是直線與橢圓相交問題。注意：考綱中，直線與圓是C級，橢圓是B級，既是重點又是難點。

9.導數――四省都有一道或兩道題，結合四省試卷分析，導數部分重點考查如下三個題型：（1）導數幾何意義（四省都有考題），利用導數法求高次函數及非基本函數單調區間及最值問題，（山東卷第18題）；（2）利用導數法，討論含參函數單調性及最值問題，（山東卷第21題的第2小題）。注意：因高校教師熟悉導數，利用導數研究導數性質，歷來都是命題重點和熱點。

二、對2010屆江蘇高三數學復習的反思

高三數學復習出現的主要問題有：（1）不重視對《考試說明》的研究；（2）不重視課本上典型例題、習題的研究，例如：2010年江蘇卷第17題，本題的原型就是蘇教版數學必修5第11頁的第3題；（3）不重視糾錯，只一味地講新題，其實糾錯有時比講幾道新題更有效；（4）落實三基不到位；（5）過早講解練習中的難題，不重視審題習慣的培養，追求面面俱到，重點不突出，學生參與少，課堂效率低下。

三、對2011年江蘇數學復習的啟示

對四個新課標區試卷分析之后，對我們來年的復習有諸多啟示，可以提高教學的針對性，對于江蘇卷未出現而又有要求的知識點，如線性規劃問題，充要條件問題等要引起高度重視。對于出現的創新題要好好研究培養學生的探究能力。具體強調如下幾點。

（一）要認真研究新課標、教學要求和考試說明，提高教學針對性。

要準確把握考試說明中各知識點能力要求，對A、B兩級的知識點要舍得花時間、花精力。

（二）夯實基礎，關注通性通法。

“夯實基礎，提高能力”是復習教學永恒的主題；要重視課本作用，在基礎知識、基本方法和基本能力上教學多下功夫；要認真理解，反復推敲高中各知識點的涵義；對容易混淆的知識，要幫助學生仔細辨識、區別，逐步建立與高中數學結構相適應的思考方法；要及時歸納，總結各種通性通法，提高運用能力；要注意數學思想方法的訓練，尤其是函數與方程的思想，數形結合的思想和分類討論的思想，要突出培養綜合解題能力。

第9篇：高考數學必修范文

【關鍵詞】分段函數 高考

分段函數一直是高考命題的熱點，縱觀近年來的高考數學試題，我們發現其綜合性越來越強，本文結合2012年與2013年高考題歸納常用的解法，分析試題的變化。

一、分段函數與求值

所謂分段函數，即在定義域內不同部分上，有不同的解析表達式。顯然，求分段函數的函數值重在考查分段函數的概念。

例1.（江西12年），設函數， 則

A. B.3 C. D.

解： = ，選D

這類題型是求分段函數函數值的經典題型，一般來說求函數值的題型難度不大，首先應確定自變量在定義域中所在的范圍，然后按相應的對應法則求值。近年來的高考在這類求值題型中，變化較大，首先出現的是求函數f[f（a）]值，再次出現已知f（x）=a求自變量x的值，如（北京文2009年）已知函數 若f（x）=2，則x =________.這兩年又出現求系數或者綜合其他知識求值。

例2.（江蘇12年），設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，在區間[-1，1]上， 其中a，bR.若，

則a+3b的值為.

解：f（x）周期為2，故f（-1）=f（1），

即 ，解得a=2，b=-4，所以a=3b=-10

此題綜合函數的周期，得出f（-1）=f（1）， 是關鍵，考查了分段函數、函數周期以及方程思想。

例3.（陜西13年），設函數 ， 則當x>0時，f[f（x）]表達式的展開式中常數項為

（A）-20 （B） 20 （C）-15 （D） 15

解：當x>0時， ，其展開式常數項為

，選A

本題考查了分段函數與二項式定理。

二、分段函數與奇偶性

例4.（山東13年），已知函數f（x）為奇函數，且當x>0時，

f（x）=x2+ ，則f（-1）=（ ）

（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2

解法1：函數f（x）為奇函數， ，選A

解法2：當x0，故

又函數f（x）為奇函數，f（-x）=-f（x）

所以當x

例5.（四川13年），已知f（x）是定義域為R的偶函數，當x≥0時，f（x）=x2-4x，那么，不等式f（x+2）

解：當x≥0時，由f（x）=x2-4x

又因為f（x）是定義域為R的偶函數，所以f（x）

而f（x+2）是把f（x）的圖像向左平移得到，

f（x+2）

三、分段函數與圖像

分段函數作圖題的一般解法：分段函數有幾段它的圖像就由幾條曲線組成，作圖的關鍵就是根據每段函數的定義區間和表達式在同一坐標系中作出其圖像，作圖時要注意每段曲線端點的虛實，而且橫坐標相同的地方不能有兩個以上的點。

例6.（天津12年），已知函數

的圖象與函數y=kx-2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________.

解 ，

圖像如右圖。

函數y=kx-2的圖像直線

恒過定點B（0，-2），

且A（1，-2），

C（-1，0），D（1，2），

，

，

，

由圖像可知

k （0，1） （1，4） .

含絕對值的函數一般都可化為分段函數，結合圖形可求函數的值域或有關參數的值。

四、分段函數與不等式

分段函數本身蘊含著分類討論與數形結合的重要數學思想方法，而解不等式有時又伴隨著參數的問題，這也會用到分類討論與數形結合思想。如果把分段函數與不等式相結合將能更好地體現這一思想方法。

例7.（天津13年），已知函數f（x）=x（1+a〡x〡）. 設關于x的不等式f（x+a）

（A） （B）

（C）

（D）

解：f（x）=x（1+a|x|）

=

若不等式f（x+a）

則在區間 上，函數y=f（x+a）的圖象應在函數y=f（x）的圖象的下邊.

（1）當a=0時，

顯然不符合條件.

（2）當a>0時，

畫出函數y=f（x）

和y=f（x+a）

的圖象大致

如右圖.

由圖可知，當a>0時，y=f（x+a）的圖象在y=f（x）圖象的上邊，故a>0不符合條件.

（3）當a

由圖可知，若f（x+a）

只需 即可，

則有

整理，得a2-a-1

a

五、分段函數與極限、導數

例8（四川12年）函數 在x=3處的極限是（ ）

A、不存在 B、等于6

C、等于3 D、等于0

解：分段函數在x=3處不是無限靠近同一個值，故不存在極限。選A

本題考查極限的定義。對于分段函數，掌握好定義域的范圍是關鍵。

例9（四川13年）已知函數 ，其中a是實數.設A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））為該函數圖象上的兩點，且x1

1.指出函數f（x）的單調區間；

2.若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x2

3.若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍.

解：（1）函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，-1），單調遞增區間為[-1，0），（0，+∞）.

（2）由導數的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f′（x1），點B處的切線斜率為f′（x2），故當點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f′（x1）f′（x2）=-1.

當x

因為x1

所以2x1+20.

因此x2-x1= [-（2x1+2）+2x2+2]

≥ =1.

（當且僅當-（2x1+2）=2x2+2=1，即x1=- 且x2=- 時等號成立）

所以，函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，有x2-x1≥1.

（3）當x10時，f′（x1）≠f′（x2），故x1

當x1

當x2>0時，函數f（x）的圖象在點（x2，f（x2））處的切線方程為

y-ln x2= （x-x2），即y= ·x+ln x2-1.

兩切線重合的充要條件是

①

②

由①及x1

由①②得，

a=ln x2+ -l=

令t= ，則0

設h（t）= t2-t-ln t（0

則h′（t）= t-1- =

所以h（t）（0

則h（t）>h（2）=-ln2-1，

所以a>-ln 2-1.

而當t∈（0，2）且t趨近于0時，h（t）無限增大.

所以a的取值范圍是（-ln 2-1，+∞）.

故當函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是（-ln 2-1，+∞）.

本題考查基本函數的性質、導數的應用、基本不等式、直線位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程、分類討論、轉化與化歸等數學思想，綜合性較強，屬于難題。

根據近兩年全國各地的高考試卷可以發現，對于分段函數的考查大部分是在小題中出現，主要考查函數的相關知識及性質。在求解定義域、值域、最值、單調性、奇偶性等問題時若能畫出其大致圖像，往往會達到事倍功半的效果；對方程、不等式等問題可用數形結合思想、等價轉化思想、分類討論思想及函數思想來解，可使問題得到大大簡化，效果明顯。

【參考文獻】

1.人民教育出版社編著：普通高中課程標準實驗教科書A版·數學必修，2007.5.

2.韋金香：盤點高考中的分段函數問題，中學教學參考，2010.28.

3.彭俊昌：分段函數的研究性學習，中學數學，2011.11.