不等式在中學數學中的應用精選(九篇)
前言：一篇好文章的誕生，需要你不斷地搜集資料、整理思路，本站小編為你收集了豐富的不等式在中學數學中的應用主題范文，僅供參考，歡迎閱讀并收藏。
第1篇：不等式在中學數學中的應用范文
一、函數與方程思想
函數與方程是高中數學內容之重點,應用廣泛,是解決數學問題的有力工具,在高考中占據非常重要的地位。因此,在教學中要培養學生如何建立函數關系或構造函數,運用函數的圖像、性質去分析問題,解決問題。
例1已知x∈(0,+∞) ,求證:
根據不等式的結構特征,恰當地構造輔助函數 ,此時,若均值不等式取最值時等號不成立,常常考慮利用函數的單調性來解決。
二、分類討論思想
分類討論是數學能力培養的一個重要組成部分,在解某些數學問題時,當在整個范圍內不易解決時,往往可以將這個大范圍劃分成若干個小范圍來討論研究。分類討論只能確定一個標準,必須堅持不重不漏的原則。
例2.設a為實數,函數f(x)=2x2+(x-a)|x-a|。
(1)求f(x)的最小值;
(2)設函數h(x)=f(x),x∈(a,+∞)解不等式h(x)≥1
評注:分類討論的關鍵是要根據問題實際找到分類的標準,本題函數解析式中含有絕對值,所以首先必須分類討論去絕對值,其次在解不等式中必須對判別式進行討論,當>0時還需討論根的大小。分類時標準的確定須使任何兩類交集為空集且并集為全集, 這樣才能在解題過程中,做到分類合理, 并力求最簡。
三、數形結合思想
數與形是現實世界中客觀事物的抽象與具體的反映。數形結合思想,其實質是將代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機結合起來,通過對圖形的處理,實現代數問題幾何化,幾何問題代數化。解題時要充分進行數形轉換,借助數的邏輯推演與形的直觀特性求解,既直觀又深刻。
例3.某企業生產甲、乙兩種產品,已知生產每噸甲產品要用A原料3噸,B原料2噸;生產每噸乙產品要用A原料1噸,B原料3噸,銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元,每噸乙產品可獲得利潤3萬元。該企業在一個生產周期內消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.那么該企業可獲得最大利潤是多少?
作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標,經驗證知;
當x=3,y=5時可獲得最大利潤為27萬元。
評注:本題從實際情境中抽象出二元一次不等式組模型,用平面區域表示二元一次不等式組,使學生從中體會到數形結合思想的實質。
四、轉化或化歸思想
等價轉化是把復雜、生疏的問題轉化為簡單、熟悉的問題的一種重要的思想方法。諸如代數中的恒等變形,幾何中的圖形變換等都是化歸思想的具體運用。等價轉化要求轉化后的結果仍為原問題的結果,因此在轉化過程中前因后果必須是充分必要的。在數學操作中實施等價轉化時,我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則,運用轉化或化歸,可以化難為易,駕輕就熟,有利于培養學生思維的針對性和靈活性。
例4.當x∈R時,不等式m+cos2x
第2篇：不等式在中學數學中的應用范文
關鍵詞：函數與方程思想，中學數學，應用
一、前言
在中學數學的學習過程中，函數與方程思想是其中的重要組成部分，而且是非常復雜難學的部分。但是，對函數與方程思想的學習對學生在實際學習中是非常重要的，它不僅有助于培養和提離學生分析問題的能力，還能提高學生的綜合能力和想象力。
二、函數與方程思想的概述
1.函數思想
把某個變化過程中的一些相互制約的變量用函數關系表達出來，并研究這些量間的相互制約關系，最后解決問題，這就是函數思想；
2.應用函數思想解題
確立變量之間的函數關系是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：
2.1根據題意建立變量之間的函數關系式。把問題轉化為相應的函數問題；
2.2根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題；
2.3方程思想：在某變化過程中，往往需要根據一些要求。確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們。這就是方程思想。
3.函數思想
所謂函數思想，不僅僅是使用函數的方法來研究和解決函數的問題，它的精髓是運用函數分析問題、解決問題的觀點、方法，是通過構造函數關系，使用函數方法來解決問題的思想。
函數思想的運用指的是運用建立變量之間的聯系的方法來思考問題和解決問題。函數思想是數學從常量數學轉到變量數學的樞紐，它能使數學有效地揭示事物運動變化的規律，反映事物之間的聯系。它具有凝聚數學概念和命題、原則和方法的能力，使教學內容達到更高層次的和諧與統一，是高中數學教學的主線、重點和難點，也是高考中的熱點問題。
三、函數與方程思想在中學數學中應用
1.函數思想在方程、不等式知識當中的應用
事實上，代數式可以看作帶有變量的函數表達式。求代數式的值就是求特定的函數值；方程實際上就是求已知函數滿足一定條件的變數值，使在該變數值上已知函數有某個預先指定的值，特別是函數值為零時的自變量的值：不等式可以視為求函數的誤差估計；如此―來，就把方程和不等式都統一到函數的范疇中，體現了數學的統一性。一元二次方程，一元二次不等式均可看作是研究二次函數和二次三項式的特殊情況。下面的例題更加說明了函數知識在解算式、不等式以及方程時的重要作用。
解析： 這是一道通過構造函數來求算式的值的問題，如何通過對題中所給的式子的形式的研究，巧妙地構造函數，從而使看似復雜的問題得到解決，是本題的關鍵。
不等式問題是中學數學中的一個難點，有些不等式采用常規的方法難以解決，若能夠根據不等式的結構特征，喚起聯想，巧妙地構造函數，將不等式問題轉化成為函數的問題，借助函數的有關性質，常能使問題獲得簡捷明了的解決。
2.函數思想在數列知識當中的應用
數列的通項公式和前項和公式都可以看成 n的函數，也可以看成方程或方程組，比如等差數列的通項公式，可以看一次函數，而其求和公式可看成是二次函數，因此，許多數列問題可以用函數與方程的思想進行分析，加以解決。
3.函數思想在三角知識當中的應用
三角函數是高中教學的重要內容，是解決數學問題的重要工具，是聯系代數與幾何的紐帶和橋梁，且與高等數學密切相關。三角函數是函數部分的延伸和深化，它既有一般函數的特征（定義域、值域、對應關系、奇偶性、單調性等），同時又兼顧自身的鮮明的特點（如周期性等），尤其在處理三角問題時“變”的因素始終貫穿前后。用運動變化的觀點分析和研究具體問題中的數量關系是它的一大特色。變中求勝是解決三角問題的一條原則。
4.函數思想在解析幾何中的應用
從廣義的角度看，曲線可以看作是由點組成的集合：一個二元方程的解可以做點的坐標，因此二次方程的解集也描述了一個點集。方程與曲線之間的對應關系的確立，進一步把“曲線”與“方程”之間的數行關系辯證的統一起來，從而為我們用坐標法去研究幾何圖形問題奠定了重要的理論基礎。
在解析幾何中常遇到動態型的問題。在變化過程中，存在兩個變量，我們常常把某一個看做自變量，另一個看做自變量的函數，通過明確函數的解析式，利用函數思想來研究和處理問題。
解析： 解析幾何的選擇題和填空題可優先選用數形結合的方法來解，但也不是萬能的方法。用數形結合法解本題時，畫出圖像后會發現，當a0時，圓與拋物線的關系由于畫的是草圖，則不易直觀判斷，還是應代數的方法來解決。本題解法所體現的函數（方程）思想是從設動點坐標，列方程和不等式開始的。通過消參得到不等式，對這個不等式解集范圍的研究轉化為二次函數對稱軸的位置，最后求得a的取值范圍。
5.運用函數、方程思想解決相關的應用問題
函數與方程思想作為中學數學中的一種重要的數學思想，是高考所要考察的熱點之一。從近幾年高考應用題來看，對于此類問題，一般從以下幾方面考慮：
5.1閱讀理解材料，這一步要達到的目標是：讀懂題目所敘述的實際問題 的意義，領悟其中的數學本質，接受題目所約定的臨時定義，理順題目中的量與量的位置關系、數量關系，對照平時掌握的數學模型，把實際問題抽象為數學問題。
5.2建立函數關系：根據5.1的分析，把實際問題“用字母、運算符號、關系符號”表達出來，建立起函數或方程關系。
5.3討論變量的性質：根據5.2所建立的函數關系，即函數模型，結合題目要求，討論模型的有關性質，獲得目標明確、有針對性的理論參數值。
5.4作出問題的結論：根據35.所獲得的理論參數值，結合題目要求作出合乎題意的相應的結論。
四、結語
在中學數學中，函數與方程是其中的核心知識，函數和方程概念是中學數學中的一個非常重要的部分，對數學的學習有著非常重要的作用。因此，在數學的教學中，要強調函數和方程思想的重要性，提高學生的綜合能力，從而達到素質教育的根本要求。
參考文獻
[1]陳婷，劉玉勝，李曼生 函數與方程思想在中學數學中的運用[J] 《數學教學研究》 -2011年12期-
[2]胡慧芳 談新課標下函數思想在中學數學中的應用[J] 《成才之路》 -2011年9期-
第3篇：不等式在中學數學中的應用范文
人們常有一種片面的觀點，認為高校里所學的專業知識在中學數學中幾乎無用，其理由是從初等數學到高等數學，在研究問題和處理問題的方式上存在著較大的區別．其實這是一種誤解，正因為有這樣的區別，才使我們從中學數學的解題思維定式中走出來，用一種更深遠的眼光來看中學數學問題．
高等代數不僅是初等數學的延拓，也是現代數學的基礎，只有很好的掌握高等代數的基礎知識才能適應數學發展和教材改革．高等代數知識在開闊視野，指導中學解題等方面的作用尤為突出．下面就來探討一些高等代數知識在中學數學解題中的應用．
2 線性相關[1]在中學數學解題中的應用
初等數學中的某些問題看起來比較復雜，甚至難以下手，但用線性相關的方法卻顯得比較簡單，通過從多方面多角度的思考能提高分析問題解決問題的能力．
2.1 求代數式的取值范圍
初等數學中某些線性相關問題，若采用一般的初等解題方法不相關地去看待，則會使計算繁難，且容易出錯;利用高等數學中線性相關的思想方法來處理，則會使問題簡單明了，易于解決．
運用線性相關知識研究函數性質的問題，研究對象常以復合函數的形式出現，解決這一類型的問題往往采用新舊結合，或以新方法解決舊問題．
2.3 解決某些二元不定方程
例3 利有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，購乙7件，丙1件，共需315元，若
購甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，現購甲、乙、丙各1件，共需多少元？
答: 甲乙丙各購1件，共需105元．
3 行列式在中學數學解題中的應用
中學數學中有很多題涉及到了對一些因式的分解，雖然中學數學中有很多方法可以解決．但對于某些問題如果構造與之對應的行列式，然后用行列式的性質去解決，會起到事半功倍的效果．
3.1 應用于因式分解
從上面兩個例子可以看出，解此類數學問題的關鍵是構造行列式，以行列式為橋梁，把原型變形為不同的行列式，再利用行列式的性質加以解題．
4 矩陣應用于數列問題
利用矩陣的性質和定理，可以很好的解決某些數列問題．
在此例題中引入矩陣作為工具使用了矩陣的性質，輕而易舉地求出了通項公式．
5 柯西施瓦茲不等式在解中學不等式中的應用
從上例可知，使用柯西—施瓦茲不等式重要的是構造一個合適的歐氏空間，特別是構造內積運算，并找到兩個合適的向量．
6 結束語
第4篇：不等式在中學數學中的應用范文
導數的思想方法和基本理論有著廣泛的應用，除對中學數學有重要的指導作用外，也能在中學數學的許多問題上起到居高臨下和以簡化繁的作用。看如何運用導數解決中學數學中相關問題：如函數單調性、最值等函數問題；在掌握導數的相關概念的基礎上應用導數作出特殊函數的圖象；應用導數解題的一般方法證明某些不等式的成立和解決數列的有關問題，再根據導數所具有的幾何意義對切線相關問題及平行問題等幾何問題進行了一些探討，并最終運用導數解決實際問題中的最值；甚至在解決應用問題，物理問題，經濟學問題有起到了舉足輕重的作用！
1 用導數求函數的切線
例：求曲線y=xx-2過點(1，－1)處的切線方程。
分析：根據導數的幾何意義求解。
函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0， y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0， y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0) ，相應的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。
2 用導數判斷函數的單調性
已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，a∈R．
(Ⅰ)當a＝－3時，求證：f(x)在R上是減函數；
(Ⅱ)如果對x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，求實數a的取值范圍．
分析：利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導數f′(x)；（3）在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)
解：(Ⅰ)當a＝－3時，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1，
f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，f(x)在R上是減函數．
(Ⅱ)x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，即x∈R不等式3ax2＋6x－1≤4x恒成立，
x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立．當a＝0時，x∈R 2x－1≤0不恒成立；
當a＜0時，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立，即2X＝4＋12a≤0， a≤-13
當a＞0時，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0不恒成立．綜上，a的取值范圍是（-∞，-13）
3 用導數求函數的極值
設函數f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．
(Ⅰ)討論f(x)的單調性；
(Ⅱ)求f(x)在區間［-13，14］的最大值和最小值．
析：先求f′(x)= 0的所有實數根；再對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側，導函數f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右側符號不變，則f(x0)不是極值
解：f(x)的定義域為（-32，+∞）。
(Ⅰ)f′(x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3=2（2x+1）（x+1）2x+3。
當-32＜x＜-1時，f′(x)＞0；當-1＜x＜-12時，f′(x)＜0；當x＞-12時，f′(x)＞0；
從而，f(x)分別在區間（-32，-1），（-12，+∞）單調增加，在區間（-1，-12）單調減少．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在區間［-34，14］的最小值為f（-12）=1n2+14.又f（-34）-f（14）=1n32+916-1n72-116=1n37+12=12（1-1n496）＜0，所以f(x)在區間［-34，14］的最大值為f（14）=116+1n72。
4 導數在不等式證明問題中的應用
不等式的證明常與函數、導數等內容綜合，特別是利用導數證明不等式，體現了導數的工具性。在高中數學學習以及歷屆高考試題中，我們常遇到一些不等式的證明，很難找到切入點。這時我們不妨轉換角度，從所證不等式的結構和特點出發，構造一個新的函數，借助導數確定函數的單調性，利用單調性實現問題，從而使不等式得到證明。
用導數方法證明不等式，步驟一般是：構造可導函數研究所構造函數的單調性或最值轉化為不等關系得出結論。
一般地，若f（x）、g（x）在［a，b］連續，在（a，b）上可導，要證明f（x）>g（x），同理，若f（x）、g（x）在［a，b］連續，在（a，b）上可導，要證明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以構造函數F（x）=f（x）-g（x），如果F′（x）0，即證明了f（x）>g（x）。
5 導數在物理問題的應用
導數在高中數學中，應用問題是一顆璀璨的“明珠”，可謂常考常新，縱觀近幾年的各地高考數學試卷應用問題仍然受到命題者的青睞.其中它與導數的綜合，更是一曲優美的“交響樂”，成為高考中的“新寵”.以導數為背景的應用題，由于它們在知識上具有綜合性，題型上具有新穎性，解題時需要開動學者的發散性思維！另外，在物理學中，經濟學中導數的應用也相當的廣泛，比如工程上很多實際的問題都會有相關應用，求水壩斜面的壓強等等，考慮到微分的思想，需要積分類的都會用到導數的思想。
6 導數在經濟學中的應用
如需求彈性：設需求函數Q=f(P), 這里P表示產品的價格. 于是, 可具體定義該產品在價格為P時的需求彈性如下：
n=n(P)=1imQ/QP/P=1imQP•=PQ=P•f′(P)f(P)，當P很小時， 有n=P•f′(P)f(P)≈Pf(P)•QP，故需求彈性n近似地表示在價格為P時, 價格變動1%, 需求量將變化n%, 通常也略去"近似"二字.
例：某商品的需求函數為Q=75-P2(Q為需求量, P為價格).
(1) 求P=4時的邊際需求, 并說明其經濟意義.
(2) 求P=4時的需求彈性, 并說明其經濟意義.
(3) 當P=4時, 若價格P上漲1%, 總收益將變化百分之幾?是增加還是減少?
(4) 當P=6時, 若價格P上漲1%, 總收益將變化百分之幾?是增加還是減少?
第5篇：不等式在中學數學中的應用范文
關鍵詞：柯西不等式；應用；高中數學
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）25-137-02
在自然界中，不等量關系是普遍存在的，是最基本的數學關系，也是數學研究的重要內容，不等式在數學研究和數學應用中起著重要作用。柯西不等式是由19世紀數學家（Cauchy）在研究數學分析中的“留數”問題時發現的，柯西不等式出現中學課本中，是中學生解決一系列疑難問題的法寶。為讓學生對柯西不等式有更好的認識、了解，本文從特殊到一般的介紹柯西不等式，對柯西不等式的一般形式做證明，再給出柯西不等式在中學數學中的應用的一些典型案例。
柯西不等式――初等中學的形式
一、二維形式的柯西不等式
1、二維形式的柯西不等式
若 都是實數，則 ，當且僅當 時，等號成立。
2、柯西不等式的向量形式
設 是兩個向量，則 ，當且僅當 是零向量時，或存在實數 ，使 時，等號成立。
3、一般形式的柯西不等式
設 都是實數，則 ――（1）
當且僅當 或存在實數 ，使得 時，等號成立。
二、柯西不等式的應用
1、利用用柯西不等式證明恒等式
用柯西不等式取等號的條件或者兩邊夾逼的方法證明某些恒等式。
例1、已知 ，求證： 。
證明：由柯西不等式
當且僅當 時，等號成立。即 ，得 。
2、利用柯西不等式證明一些不等式
觀察欲證不等式的特征，結合已知條件，對照柯西不等式的標準形式，構造柯西不等式的兩組數，用柯西不等式來證明不等式，往往可以使復雜問題簡單化。
例2、已知 ，且 ，求證
證明：因為
，
利用柯西不等式證明時，關鍵是構造出柯西不等式的兩個適當數組，常用的技巧是“1”和常數的變化轉化，體現轉化化歸思想。
3、利用柯西不等式求某些函數的最值
例3、已知 ，求 的最小值。
解：
由柯西不等式： ，所以 ，
當且僅當 ，即 時，等號成立，所以 。
例4、求函數 ， 的最大值。
解：因為 ，所以 。由柯西不等式得：
，當且僅當 時，取等號。
4、利用柯西不等式解某些方程
不等式中的等號成立的時候，不等式就成了方程，由此可以利用柯西不等式取等號的充分必要條件解方程。
求方程 的解。
解：方程可變形為： ，當且僅當 時，取等號，解得 。
5、柯西不等式在解析幾何方面的應用
例6、直線 與橢圓 相切，求切點坐標 。
解：因為 所以，由柯西不等式得：
。
當且僅當 即 ，代入 ，解得 ，所以 。
6、利用柯西不等式解三角和幾何問題
例7、在半徑為 的圓內，求周長最大的內接長方形。
解析：假設出變量表示長方形的周長，得出目標函數，在利用柯西不等式求解。
解：設內接長方形 的長 、寬為 ，于是長方形 的周長 ，由柯西不等式得：
。當且僅當 ，即 時，取等號。此時寬為 即內接長方形 為正方形時，周長最大為 。
7、利用柯西不等式求參數的取值范圍
例8、已知正數 滿足 ，且不等式 恒成立，求 的取值范圍。
解析：利用柯西不等式求出最值，也即求出 的取值范圍。
解：因為
，所以 的取值范圍 。
柯西不等式在中學階段，雖然只是選講內容，但在高考中經常出現，引起了教師教學的重視。柯西不等式不僅應用于證明代數不等式，它在實數大小比較、解方程、確定參數的取值范圍、求最值及幾何不等式的證明等方面都有廣泛的應用。
運用柯西不等式的過程中，要求我們要以敏銳的思維，細致的觀察，構造出適合柯西不等式的兩組數，以便可以使用柯西不等式。這是學生拓寬知識，打開思維的鑰匙，是解決一系列問題的法寶。
參考文獻：
[1] 劉紹學.高中數學選修4―5.北京：人民教育出版社，2012.12.
第6篇：不等式在中學數學中的應用范文
【關鍵詞】數形結合；數軸；不等式；統計初步
數學是一門研究空間形式與數量關系的學科，而數與形是相互聯系的，數形結合思想，簡單地說就是把復雜的數學語言和簡單的圖形相結合，化抽象為直觀，化難為易。數形結合的思想，其應用包含兩點：“形”中覓“數”和“數”上構“形”。但這兩點又不是彼此獨立的，而是互相聯系的。數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在中學數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行素質教育的一個切入點和突破口。數形結合既具有數學學科的鮮明特點，又是數學研究的常用方法。縱觀這幾年來的中考試題，利用數形結合思想解題比比皆是。因此，在教學中應當培養學生逐步建立這種數形結合的思想，以期達到提高學生解決問題的能力。
數形結合是培養和發展學生的空間觀念，進行形象思維與抽象思維的交叉運用，使多種思維互相促進，和諧發展的主要形式；數形結合教學有助于培養學生靈活運用知識的能力，但是數形結合的思想方法不像有的數學知識那樣，通過幾次課的教學就可以掌握。它根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內涵。在平時的教學過程中，教師也應該向學生不斷滲透數形結合的解題思想，使學生在數學學習過程中通過觀察、類比、分析、綜合、抽象和概括，養成主動運用數形結合思想解題的意識。
數形結合的思想貫穿于中學數學教學的始終，主要體現在數軸的應用、二元一次方程的圖像解法、函數、三角函數、統計初步和圓等。它們的教學體現了數形結合思想的引入、展開和升華。在代數問題的解決中，許多數量關系的抽象概念和解析式若賦予其幾何意義，往往變得非常直觀形象，從而使問題簡單化，達到優化解題途徑的目的。這種數與形的相互轉換、相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡化，同時還可以大大拓展我們的解題思路，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解。本文將從三個方面就中學數學教學中如何滲透數形結合思想講講自己的看法。
一、實數與數軸上的點的一一對應關系所體現的數形結合思想
數軸的導入是實數體現數形結合思想的佐證。直線是無數個單獨的點構成的，而實數包含了正負實數和零。正是基于這樣的共同特點，我們將直線上無數個單獨的點用來表示實數，這時直線上就有了方向、原點與單位長度，這條直線就稱作數軸。數軸上的一個點代表一個實數，從而建立了實數與數軸上的點的一一對應關系。數軸建立后引導學生用數軸對有理數的大小進行比較，通過觀察、分析，學生得出結論。我們通常說數軸右側為正方向，對兩個數進行比較，右側的數一定大于左側的數。
二、不等式內容蘊藏的數形結合思想
在講授不等式內容時，為了加深學生對不等式解集的理解，教師需要在數軸上將不等式解集一一表示出來，使學生能直觀地看到，不等式的解有無限多個。數在數軸上一一表現出來較為簡單，而要將數集在數軸上表示出來，則又比在數軸上表示數更進了一步。歸根結底，利用數軸表示不等式解集更加直觀有效。
三、列方程解應用題中隱含的數形結合思想
對學生來說，在列方程解應用題這一內容中，較難的是根據題目給出的已知條件找到等量關系列出方程，這時候就要引導學生運用數形結合的思想方法，根據題意畫出簡單的圖形。比如：教材中的相遇問題、勞動力調配問題等。在平時的教學過程中，教師必須不斷滲透數形結合的思想方法，使學生在遇到這些問題時，能迅速產生運用數形結合思想解題的意識，依據題意畫出示意圖，幫助學生迅速找出等量關系列出方程，從而突破難點。
此外，值得注意的是，教師在教學過程中，要結合生活中的實際問題，反復滲透強化數學中的數形結合思想，使學生逐步形成數學學習中的數形結合意識，并能注意一些基本原則，如是知“形”確定“數”還是知“數”確定“形”。在探索規律的過程中，應該遵循由特殊到一般的思路進行，從而總結出相關的結論。在解決代數問題時，要想到它的圖形，從而啟發思維找到解題思路。在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀。
不難看出，在中學階段數形結合思想在解決問題時確實起到了非常重要的作用，數形結合不僅能使概念形化、使解題過程簡單化，還能幫助學生理解各種公式，發展學生的空間觀念，擴展其思維，更好地展現知識的建構過程。同時，數形結合可以使抽象復雜的數量關系通過圖形直觀地表現出來，也可以使圖形的性質，通過數量的計算、分析，使之更加完整、嚴密、準確。數與形相互轉化，依形想數可使幾何問題代數化，由數想形可使代數問題幾何化。數形結合相輔相成，既有利于開拓解題思路，又有利于發展思維能力。由此可見數形結合思想在數學中有著十分重要的地位，它是數學思想方法的核心。對于中學階段的數學而言，能否始終遵循這一思想是數學教學是否成熟的關鍵。我們每個教師在平時的教學中都應有機地滲透數形結合思想，并不斷研究滲透的策略和方法，為學生今后的學習打下堅實的基礎，提供切實的幫助。
參考文獻：
第7篇：不等式在中學數學中的應用范文
一、注重基礎知識的教學
初中的數學內容較小學教學內容更系統和深入,涉及面更廣。因此,教師在教學中應該注重基礎知識的教學,幫助學生打下厚實的基礎,以利于學生以后的數學學習。首先應該擺正師生關系,在中國的教育當中一直強調著“師道尊嚴”。教師在課堂上一般都是居高而上,普遍都是教師在講臺上講,學生在下面埋頭“消化”教師講的知識點。教師掌握著上課的節奏,這樣學生顯得很被動。在初中不等式教學當中涉及很多的知識點,學生僅僅知道一些公式而不會運用是教學的一種失敗。基礎知識在教學當中就顯得尤為重要。不等式的解題方式多樣,內容豐富,技巧性較強并且要依據題設、題的結構特點、內在聯系、選擇適當的解題方法,就要熟悉解題中的推理思維,需要掌握相應的步驟、技巧和語言特點。而這一切都是建立在學生有夯實的基礎之上的。學生的基礎知識不扎實的話,在解不等式題時就步履維艱。
夯實的基礎來源于學生對不等式概念知識的掌握和運用,而概念的形成有一個從具體到表象再到抽象的過程。對不等式抽象概念的教學,更要關注概念的實際背景和學生對概念的掌握程度。數學的概念也是數學命題、數學推理的基礎,學生學習不等式知識點也是從概念的學習開始的。所以在不等式教學探究中教師應注重學生的基礎。
二、注重學生對知識的歸納和整理
提高初中數學不等式教學效果,首先要培養學生主動探索數學知識的精神,通過尋求不同思維達到解題效果來激發學生對數學學習的興趣。引導學生主動去對數學不等式知識進行探究,通過結合所學的數學知識來形成一個完整的知識網絡,以幫助學生完成更深入地數學知識探究。同時初中數學不等式知識點的學習對學生歸納能力提出了較高的要求。靈活使用概念能夠幫助學生熟練地運用數學知識,對不等式這一章節知識點的掌握歸納和整理進行綜合的運用從而能夠成功地解題。例如,在含有絕對值的不等式當中:解關于x的不等式2+a0時,解集是;(2)當-2≤a<0時,解集為空集;(3)當a<-2時,解集為。當學生對知識點進行歸納和整理后,學生也就不會馬失前“題”。
三、 開發學生的解題技巧,培養學生獨立思考的能力
第8篇：不等式在中學數學中的應用范文
數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領悟到數學的真諦，學會數學的思考和解決問題，并對人們學習和應用數學知識解決問題的思維活動起著指導和調控的作用。日本數學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應用數學，那么作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么業務工作，那種銘刻在人腦中的數學精神和數學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發揮重要作用。所以突出數學思想方法教學，是當代數學教育的必然要求，也是數學素質教育的重要體現，如何在中學數學教材中體現數學思想方法也是一個十分重要的問題．
2001年我國新一輪基礎教育課程改革已正式啟動,此次基礎教育數學課程改革的特點之一就是把數學思想方法作為課程體系的一條主線。已經有不少文章探討初中數學教材中的數學思想方法，但對高中數學教材中蘊含的數學思想方法探討較少。事實上，高中數學教材的改革也已經開始醞釀，目前高中普遍使用的數學教材是人教社2000年版的《全日制普通高級中學教科書（試驗修定本）•數學》（下稱普通教材），也有部分高中根據學生的情況選用了原國家教委的《中學數學實驗教材（試驗本•必修•數學）》（下稱實驗教材）。可以說在素質教育推動下，與舊數學教材相比這兩套新教材在內容、結構編排上都有了很大變化，都體現了新的數學教育觀念，而在原國家教委的《中學數學實驗教材》中尤其突出了數學思想和數學方法，體現了知識教學和能力培養的統一。本文就著重探討高中數學內容中所蘊含的數學思想方法，并對實驗教材與普通教材在數學思想方法處理方面進行比較。
二、高中數學應該滲透的主要數學思想方法
1、數學思想與數學方法
數學思想與數學方法目前尚沒有確切的定義，我們通常認為，數學思想就是“人對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想”。就中學數學知識體系而言，中學數學思想往往是數學思想中最常見、最基本、比較淺顯的內容，例如：模型思想、極限思想、統計思想、化歸思想、分類思想等。數學思想的高層次的理解，還應包括關于數學概念、理論、方法以及形態的產生與發展規律的認識，任何一個數學分支理論的建立，都是數學思想的應用與體現。
所謂數學方法，是指人們從事數學活動的程序、途徑，是實施數學思想的技術手段，也是數學思想的具體化反映。所以說，數學思想是內隱的，而數學方法是外顯的，數學思想比數學方法更深刻，更抽象地反映了數學對象間的內在聯系。由于數學是逐層抽象的，數學方法在實際運用中往往具有過程性和層次性特點，層次越低操作性越強。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數法等等。
總之，數學思想和數學方法有區別也有聯系，在解決數學問題時，總的指導思想是把問題化歸為能解決的問題，而為實現化歸，常用如一般化、特殊化、類比、歸納、恒等變形等方法，這時又常稱用化歸方法。一般來說，強調指導思想時稱數學思想，強調操作過程時稱數學方法。
2、高中數學應該滲透的主要數學思想方法
中學數學教育大綱中明確指出數學基礎知識是指：數學中的的概念、性質、法則、公式、公理、定理及由數學基礎內容反映出來的數學思想方法。可見數學思想方法是數學基礎知識的內容，而這些數學思想方法是融合在數學概念、定理、公式、法則、定義之中的。
在初中數學中，主要數學思想有分類思想、集合對應思想、等量思想、函數思想、數形結合思想、統計思想和轉化思想。與之對應的數學方法有理論形成的方法，如觀察、類比、實驗、歸納、一般化、抽象化等方法，還有解決問題的具體方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待定系數、分析、綜合等方法。這些數學思想與方法，在義務教材的編寫中被突出的顯現出來。
在高中數學教材中，一方面以抽象性更強的高中數學知識為載體，從更高層次延續初中涉及的那些數學思想方法的學習應用，如函數與映射思想、分類思想、集合對應思想、數形結合思想、統計思想和化歸思想等。另一方面，結合高中數學知識，介紹了一些新的數學思想方法，如向量思想、極限思想，微積分方法等。
因為其中一些數學思想方法都介紹很多了，這里只談一下初等微積分的基本思想方法。無窮的方法，即極限思想方法是初等微積分的基本思想方法，所謂極限思想（方法）是用聯系變動的觀點，把考察的對象（例如圓面積、變速運動物體的瞬時速度、曲邊梯形面積等）看作是某對象（內接正n邊形的面積、勻速運動的物體的速度，小矩形面積之和）在無限變化過程中變化結果的思想（方法），它出發于對過程無限變化的考察，而這種考察總是與過程的某一特定的、有限的、暫時的結果有關，因此它體現了“從在限中找到無限，從暫時中找到永久，并且使之確定起來”（恩格斯語）的一種運動辨證思想，它不僅包括極限過程，而且又完成了極限過程。縱觀微積分的全部內容，極限思想方法及其理論貫穿始終，是微積分的基礎
三、普通教材與實驗教材在數學思想方法處理方面的比較
普通高中教育是與九年義務教育相銜接的高一層次基礎教育，在數學教材的編寫上，必須要注意培養學生的創新精神、實踐能力和終身學習的能力。與舊教材相比，新的數學教材開始重視滲透數學思想方法，那么高中現行使用的普通教材與實驗教材在數學思想方法處理方面有何異同呢？因為內容太多，下面只能粗略的作一比較。
1、相同之處在于
普通教材與實驗教材都多將數學思想方法的展示，融合在數學的定義、定理、例題中。例如集合的思想，就是通過集合的定義“把某些指定的對象集在一起就成為一個集合”，及通過用集合語言來表述問題，體現了集合思想方法來處理數學問題的直觀性，深刻性，簡潔性。對非常重要的數學思想方法也采用單獨介紹的方式，如普通教材與實驗教材都將歸納法列為一節，詳細學習。
2、不同之處在于
（1）有些在普通教材中隱含方式出現的數學思想方法，在實驗教材中被明確的指出來，并用以指導相關數學知識的展開。
關于數學方法
我們舉不等式證明方法的例子。實驗教材在不等式一章第三節“證明不等式”中詳細講述了不等式證明的方法，比較法、綜合法、分析法、反證法。普通教材中雖然也在不等式一章，列出第三節“不等式的證明”介紹比較法、綜合法、分析法，但對方法的分析不夠透徹，更象是為了解釋例題。比如在綜合法的介紹中，普通教材只講：“有時我們可以用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。”而在實驗教材更準確更詳細的介紹：“依據不等式的基本性質和已知的不等式，正確運用邏輯推理規律，逐步推導出所要證明的不等式的方法，稱為綜合法。綜合法實質上是“由因導果”的直接論證，其要點是：四已知性質、定理、出發，逐步導出其“必要條件”，直到最后的“必要條件”是所證的不等式為止”。分析法的介紹也是這樣，在實驗教材中給出了分析法實質是“執果索因”的說明，這樣學生能清楚的領會綜合法、分析法的要義，會證不等式的同時學會了綜合法和分析法，而不僅是能證明幾個不等式。
關于數學思想
在實驗教材第一冊（下）研究性課題“函數學思想及其應用”中，明確提出“把一個看上去不是明顯的函數問題，通過、或者構造一個新函數，利用研究函數的性質和圖象，解決給出的問題，就是函數思想”，并舉例用函數思想解決最值問題、方程、不等式問題，及一些實際應用的問題。其實普通教材在講函數時也在用運動、變化的觀點，分析研究具體問題中的數量關系，通過函數形式把這種數量關系進行刻劃并加以研究，但從未提函數思想方法。雖然實驗教材中只是以研究性課題的形式，對函數思想作以介紹和應用探討，可這已經是一種重視數學思想方法的信號，隨著今后素質教育的推進，和實踐經驗的積累，我想數學思想方法在數學教材中會有更明確的介紹。我們舉向量的例子。
（2）實驗教材中還增加了一些數學思想方法的介紹。
關于數學方法
普通教材在第一冊第三章“數列”中只介紹了數列的概念、等差等比數列及其求和，而在實驗教材第二冊（下）的第十章“數列”中增加了第四節“數列應用舉例”介紹了作差，將某些復雜數列轉化為等差等比數列的方法。這在潛移默化中也滲透了轉化的思想。又如在第一冊（上）中，增加了研究性課題“待定系數法的原理、方法及初步應用”，閱讀材料“插值公式與實驗公式”，雖然不是作為正式章節，但也體現了對數學思想方法的重視。再如數學歸納法普通教材介紹的相當簡略，而實驗教材詳細介紹了什么是歸納法，歸納法的結論是否一定正確，什么是數學歸納法歸納起始命題等問題，還舉了大量例子，切實注重讓學生真正理解方法。
關于數學思想
實驗教材中對向量，解析幾何的處理體現了將向量思想，幾何代數化思想的引入，并用這些數學思想方法來統領相關數學知識的介紹。實驗教材在第六章“平面向量”開首就講：“代數學的基本思想方法是運用運算律去系統地解答各種類型的代數問題；幾何學研究探索的內容是空間圖形的性質。……在這一章中，我們首先要把表達“一點相對另一點的位置”的量定義為一種新型的基本幾何量……我們稱之為向量，……這樣，我們就可以用代數的方法研究平面圖形性質，把各種各樣的幾何問題用向量運算的方法來解答。再看普通教材第五章“平面向量”的前提介紹：“……，位移是一個既有大小又有方向的量，這種量就是我們本章報要研究的向量。向量是數學中的重要概念之一。向量和數一樣也能進行運算，而且用向量的有關知識更新還能有效地解決數學、物理、等學科中的很多問題。這一章里，我們將學習向量的概念、運算及其簡單的應用。”顯然實驗教材是從數學思想方法的高度來引入向量，這也使后面內容的學習可以以此為線索，體現了知識的內在統一。實驗教材在第六章“平面向量”之后，緊接著設置了第七章“直線和圓”，從第七章的內容提要中我們看出這樣設計是有良苦用心的。內容提要如下：“人們對于事物的認識和理解，總是要經過逐步深化的過程和不斷推進的階段。對于空間的認識和理解，就是先有實驗幾何，然后推進到推理幾何，理推進到解析幾何。在第六章，我們引進了平面向量，并且建立了向量的基本運算結構，把平面圖形的基本性質轉化為得量的運算和運算律，從而奠定了空間結構代數化的基礎；再通過向量及其運算的坐標表示，實現了從推理幾何到解析幾何的轉折。解析幾何是用坐標方法研究圖形，基本思想是通過坐標系，把點與坐標、曲線與方程等聯系起來，從而達到形與數的結合，把幾何問題轉化為代數問題進行研究和解決。”并且在后面直線的方程、直線的位置關系點到直線的距離幾節中都自然而然的延續了向量的思想和方法，使直線的學習連慣、完整、深刻。而普通教材將第一冊（下）的第五章設為“平面向量”，在第二冊（上）的第七章才設置“直線和圓的方程”，中間隔了不等式一章，并且在內容上，也沒有將向量與直線方程聯系起來，關于法向量、點直線點法式方程都沒有講，只是隨后設置了“向量與直線”的閱讀材料簡單介紹法向量、直線間的位置關系。
四、重視數學思想方法，深化數學教材改革
1、在知識發生過程中滲透數學思想方法
這主要是指定義、定理公式的教學。一是不簡單下定義。數學的概念既是數學思維基礎，又是數學思維的結果。概念教學不應簡單地給出定義，而是應引導學生感受或領悟隱含于概念形成之中的數學思想方法。二是定理公式介紹中不過早下結論，可能的話展示定理公式的形成過程，給教師、學生留有參與結論的探索、發現和推導過程的機會。
2、在解決問題方法的探索中激活數學思想方法
①注重解題思路的數學思想方法分析。在例題、定理證明活動中，揭示其中隱含的數學思維過程，才能有效地培養和發展學生的數學思想方法。如運用類比、歸納、猜想等思想，發現定理的結論，學會用化歸思想指導探索論證途徑等。
②增強解題的數學思想方法指導。解題的思維過程都離不開數學思想的指導，可以說，數學思想指導是開通解題途徑的金鑰匙。將解題過程從數學思想高度進行提煉和反思，并從理論高度敘述數學思想方法，對學生真正理解掌握數學思想方法，產生廣泛遷移有重要意義。3、在知識的總結歸納過程中概括數學思想方法，以數學思想方法為主線貫穿相關知識
概括數學思想方法可以從某個概念、定理、公式和問題教學中縱橫歸納，反過來也可以以數學思想方法統領相關知識，
總之，數學思想方法是數學的靈魂和精髓，我們在中學數學教材中，應努力體現數學思想方法，不失時機的向學生滲透數學思想方法，學生方能在運用數學解決問題自覺運用數學思想方法分析問題、解決問題，這也是素質教育的要求。
摘要：數學思想方法是數學的靈魂和精髓，如何在中學數學教材中體現數學思想方法，不失時機的向學生滲透數學思想方法是一個十分重要的問題。本文著重探討高中數學內容中所蘊含的數學思想方法，并對實驗教材與普通教材在數學思想方法處理方面進行比較。通過比較我們看到，《中學數學實驗教材》中更突出了數學思想和數學方法，體現了知識教學和能力培養的統一。并且我們必須重視數學思想方法，深化數學教材改革，讓學生學會用數學思想方法分析問題、解決問題，切實實現素質教育的要求。
關鍵詞：數學思想方法，數學教材
參考文獻：
王傳增初中數學教學中的數學思想方法教教學與管理2001年4月
李艷秋發揮義務教材特點，培養學生數學素教育實踐與研究2002年8月
曹才翰章建躍數學教育心理學北京師范大學出版社2001
章建躍朱文方中學數學教學心理學北京教育出版社2001年7月
第9篇：不等式在中學數學中的應用范文
一、引言
自笛卡爾創造了平面直角坐標系，數形結合的思想就得到了突飛猛進的發展。數學家華羅庚曾就說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔家分家萬事休。”數形結合是重要的數學思想，有極大的探索研究空間。本文將通過實際的案例分析，展示出數形結合這一思想在中學數學中的廣泛應用。
二、數形結合思想在中學數學解題中的應用
數形結合本質上是通過將符號語言“數”，圖形語言“形”進行結合轉化，使問題得到解決。“形”主要提供研究的對象和輔助思考的工具，而“數”則是為研究提供必要的工具、方法、視角。兩者之間的結合具有雙重含義。可廣泛應用于函數、解析幾何、不等式等多個方面。
1.由“數”轉化為“形”的應用。“數”和“形”是一種對應。有些數量比較抽象，難以把握，而“形”具有形象直觀的優點，對解決問題的重要作用。
例1.不等式■≥x的解為m≤x≤n，|m-n|=2a，a>0，求a.
問題分析：本題看似是一道以“數”表現出的求解不等式的問題，即求解得■-x=0的根，而解題誤區在于m，n的值和方程的根的關系。若不應用數形結合思想，便極易出錯，而解題者卻難以察覺。
解：作曲線C：y=■，直線l：y=x，如圖1所示，顯然有m=-a，由y=xy■=x+a可得大根x=■，
即n=■.根據|m-n|=2a.
得■+a=2a，解得a=2.
例2.實數x，y滿足等式（x-3）■+y■=3，求y/x的最大值。
問題分析：通過觀察y/x的幾何意義，發現y/x即為點（x，y）與點（0，0）連線的斜率k，應用數形結合的思想方法，題目就比較簡單明了。
解：繪制圖2可觀察到，直線m與圖中圓相離，直線l與圓相切，直線n與圓相交，α為直線l與x軸的夾角。觀察圖形可知，當過原點（0，0）的直線與圓相切，且直線只在一三象限時，斜率k的值最大。設直線方程y=kx，則圓心（3，0）到直線l的距離為d=■=■，解得斜率k=■，所以y/x的最大值為■.
除了通過距離公式求斜率，學生還可以應用直角三角形性質，構造下式：
k=tanα=■=■.
問題小結：在數學解題中，方法至關重要，同一道題目可能有多種解決辦法，學生需要不斷地思考探索，發揮主觀能動性，提高自身的學習素質。
2.由“形”轉化為“數”的應用。雖然“形”有形象、直觀的優點，但在定量計算問題方面還必須借助代數方法，尤其是對于較抽象的“形”。在解題過程中，不但要把圖形數字化，而且還要注意觀察圖形的特點，發掘題目中隱含的條件，充分利用圖形的性質與幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，并對其進行分析計算。
例3：在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）是橢圓■+y■=1上的一個動點，求S=x+y的最大值。
問題分析：拿到此類題目，初始想法與本文中例2類似，一是對橢圓的方程進行代數運算，配出x+y；二是作橢圓的圖形，觀察圖形性質。實際操作可發現，兩種思路的可操作性低，應當另辟思路。在高中數學學習中，圓錐曲線占有重要地位。題中■+y■=1為橢圓一般式，而橢圓的另一種表現形式圓錐曲線參數方程，在中學數學解題中的應用體現了數形結合思想，可以作為一種思路。
解：因橢圓■+y■=1的參數方程為x=■cosφy=sinφ，（φ為參數）。故可設動點P的坐標為（■cosφ，sinφ），其中0≤φ
因此S=x+y=■cosφ+sinφ=2（■cosφ+■sinφ）=2sin（φ+■），故φ=■時，S取最大值2。
問題小結：對于某些問題，采用單純的幾何和代數方法，都無法使問題得到妥善的解決。但根據圓錐曲線參數方程，將平面上的點代數化，再由三角函數的性質，能更好地解決問題。此過程展現了“數”與“形”的互相轉化。
