高考數學歸納法精選(九篇)

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第1篇：高考數學歸納法范文

數學高考題型題思路

一、三角函數題

注意歸一公式、誘導公式的正確性(轉化成同名同角三角函數時，套用歸一公式、誘導公式(奇變、偶不變;符號看象限)時，很容易因為粗心，導致錯誤!一著不慎，滿盤皆輸!)。

二、數列題

1.證明一個數列是等差(等比)數列時，最后下結論時要寫上以誰為首項，誰為公差(公比)的等差(等比)數列;

2.最后一問證明不等式成立時，如果一端是常數，另一端是含有n的式子時，一般考慮用放縮法;如果兩端都是含n的式子，一般考慮數學歸納法(用數學歸納法時，當n=k+1時，一定利用上n=k時的假設，否則不正確。利用上假設后，如何把當前的式子轉化到目標式子，一般進行適當的放縮，這一點是有難度的。簡潔的方法是，用當前的式子減去目標式子，看符號，得到目標式子，下結論時一定寫上綜上：由①②得證;

3.證明不等式時，有時構造函數，利用函數單調性很簡單(所以要有構造函數的意識)。

三、立體幾何題

1.證明線面位置關系，一般不需要去建系，更簡單;

2.求異面直線所成的角、線面角、二面角、存在性問題、幾何體的高、表面積、體積等問題時，最好要建系;

3.注意向量所成的角的余弦值(范圍)與所求角的余弦值(范圍)的關系(符號問題、鈍角、銳角問題)。

四、概率問題

1.搞清隨機試驗包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的個數;

2.搞清是什么概率模型，套用哪個公式;

3.記準均值、方差、標準差公式;

4.求概率時，正難則反(根據p1+p2+...+pn=1);

5.注意計數時利用列舉、樹圖等基本方法;

6.注意放回抽樣，不放回抽樣;

7.注意“零散的”的知識點(莖葉圖，頻率分布直方圖、分層抽樣等)在大題中的滲透;

8.注意條件概率公式;

9.注意平均分組、不完全平均分組問題。

五、圓錐曲線問題

1.注意求軌跡方程時，從三種曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)著想，橢圓考得最多，方法上有直接法、定義法、交軌法、參數法、待定系數法;

2.注意直線的設法(法1分有斜率，沒斜率;法2設x=my+b(斜率不為零時)，知道弦中點時，往往用點差法);注意判別式;注意韋達定理;注意弦長公式;注意自變量的取值范圍等等;

3.戰術上整體思路要保7分，爭9分，想12分。

六、導數、極值、最值、不等式恒成立(或逆用求參)問題

1.先求函數的定義域，正確求出導數，特別是復合函數的導數，單調區間一般不能并，用“和”或“，”隔開(知函數求單調區間，不帶等號;知單調性，求參數范圍，帶等號);

2.注意最后一問有應用前面結論的意識;

3.注意分論討論的思想;

4.不等式問題有構造函數的意識;

5.恒成立問題(分離常數法、利用函數圖像與根的分布法、求函數最值法);

6.整體思路上保6分，爭10分，想14分。

 

數學高考題型題思路歸納相關文章：

1.數學高考大題題型歸納

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3.文科數學高考題型歸納

4.數學高考必考題型歸納

5.歷年高考數學題型總結

6.數學高考題型分值分析

第2篇：高考數學歸納法范文

關鍵詞：遞推數列；構造法；主體部分拆分法

2014年高考塵埃落定，許多理科考生，數學教師均對新課標高考數學（理科）卷二中的數列解答題議論紛紛，學生都在抱怨，教師高呼超綱超標，筆者仔細觀察，發現此題頗值得深入探討. 筆者就這個問題，從課標、教材以及其他省份的歷年高考相關試題進行淵源分析與解法探索，現將我們的思考和讀者一起分享.

（2014?新課標高考數學（理科）卷二解答題第17題和教育部考試中心提供的參考答案如下：

[?] 對本題第（Ⅰ）問的思考

首先對照《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《標準》）來思考，《標準》中對等差、等比數列的通項公式和前n項和公式的要求是“掌握”，此題中的第一問的要求是通過構造輔助的等比數列來求通項公式，而且題目中給出輔助數列，要求先證明它是等比數列，再求通項公式，實際上已經降低了構造法的難度. 所以，第（Ⅰ）問不存在“超標” 的說法. 其次，再從教材的角度來看，第（Ⅰ）問的題目原型是普通高中數學課程標準教科書人教A版教材必修5第69頁數列復習參考題組第6題：“已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求這個數列的通項公式”.此題的解答就是通過兩邊添加項構造輔助的等比數列來解決問題：

由an=2an-1+3an-2，得an+an-1=3an-1+3an-2=3（an-1+an-2），移項得an-3an-1=-（an-1-3an-2），所以{an-3an-1}是等比數列. 由這個輔助數列為突破口就可以解答該題.

本題更遠的教材原題背景是來自1995年以前使用的大綱教材――人教版高中數學代數下冊的復習參考題：“已知an+1=b，

c?an+d，求數列的前4項及其通項公式.”

對于問題（Ⅰ），其解題起點在于對遞推關系式an=3an-1+1的觀察，與an=3an-1相比，多了一個常數項1，而an=3an-1是典型的等比數列，可以猜想系數3可能與公比有關，因而確定問題的轉化方向――構造以公比為3的等比數列.

數學歸納法的證明過程在此不再贅述.

對于遞推數列的通項公式不易求解時，可考慮用賦值法求出數列的前幾項，用合情推理猜想出通項公式，再用數學歸納法進行證明，此解法思路成功的關鍵在于歸納猜想時，要靈活運用“猜結果”與“猜結構”的策略.

以上三種方法比較，顯然參考答案提供的構造法思路更簡單，解法更簡潔.當然后兩種方法均有其特點，也指明了在數列的遞推公式教學中，教師應關注的幾個方向.

[?] 對2014高考新課標卷二17題的第（Ⅱ）問的思考

這是典型的放縮法證明不等式.在此，避開放縮法是否超出課程標準考試大綱不談，我們只從數學方法的角度來看. 筆者在高考評卷過程中發現考卷中能用參考答案這種方法做出正確解答的并不多見，筆者認真分析了國家考試中心提供的參考答案，感覺該解答與中學生的解題習慣不甚吻合.

放縮法的關鍵，一是放縮的方向，二是如何把握放縮的“度”的問題. 那從這個參考答案上來看，學生如何確定放縮的方向？如何才能得到3k-1≥2×3k-1？這個思路與學生的認知水平及思維習慣相差甚遠. 基于此，筆者提出以下的解法，并將結論做相應的推廣.

評注：對于上述解法，應關注其解題思路，剖析解題心理狀態.首先觀察目標結論：++…+=++…+

上述解題思路當中有兩個關鍵點，第一：向等比數列轉化，第二，運用“主體部分拆分法”，拆出主體部分等比數列后，對其剩余部分實施放縮.

受此觸動，筆者嘗試將上述結論適當推廣.

既然可以放大，能否考慮縮小呢？

前兩問考查了賦值法，以及運用前n項和公式求數列的通項公式的方法，其中第（Ⅱ）問考點仍舊是構造法，在此不再贅述.

第3篇：高考數學歸納法范文

關鍵詞：等差；等比；前 項和；性質

數列是特殊的函數，是高中數學的重點內容，也是與高等數學內容的接軌之處，因而深受高考命題人青睞，是每年高考的必考內容。

縱觀近幾年的高考數列試題，我們可以看出高考命題主要圍繞以下方面進行考查：

（1）數列自身內部問題的綜合考查（如與的關系問題、遞推數列問題的考查一直是高考的熱點，求數列的通項與求數列的和是最常見的題目，數列求和與極限等綜合性探索性問題也考查較多）。

（2）構造新數列思想，如“累加、累乘、錯位相減、倒序相加、裂項求和”等方法的應用與創新.

（3）數列與其他知識的交匯綜合考查，如數列與函數、方程、不等式、數學歸納法、三角、解析幾何等知識的綜合.

（4）數列的應用問題，主要是增長率、分期付款等數列模型.

等差數列、等比數列是數列中的兩個特殊數列，高考中考查的非等差數列、等比數列問題，主要是將其轉化為這兩種數列，進而得解，其核心思想是轉化與化歸.在高考中，文科試題與解方程、求特殊數列的和有關，理科試題中數列與函數、不等式、數學歸納法等的綜合問題是熱點，復習過程中要加強邏輯思維能力與推理能力的訓練與培養.對于等差數列與等比數列混合交匯的綜合問題，突破的關鍵是熟練掌握并靈活應用其定義、性質、通項、前項和，并能熟記相關的“二手結論”.本文通過幾道考查數列性質的題與高考題目鏈接對比來分析數列在高考中的基本考向.

例1（人教A版必修5習題2.3B組第2題）已知數列是等差數列，是其前項的和.求證：，，也成等差數列。

這是一道反映等差數列基本量思想的題目，利用通項與前項和的公式很容易解答，體現了由特殊到一般的數學思想.由此得出的結論具有典型性和代表性：“已知數列是等差數列，是其前項的和，設，則有，，也成等差數列”.在選擇題、填空題中可作為“二手結論”直接使用，在高考中有不少試題可以體現.

既然等差數列有這樣的結論，類比到等比數列，請問：等比數列是否也有類似的結論呢？通過類比引導學生再回顧課本，可得到等比數列也有類似的結論。

人教A版必修5習題2.5B組第2題就蘊涵著等比數列前項和的這一重要性質：已知等比數列的前項和為，求證：，，也成等比數列.

鏈接高考：（2010年高考數學安徽卷理科第10題）設是任意等比數列，它的前項和、前項和、前項和分別為，則下列等式中恒成立的是（ ）

A.B.

C.D.

此題可以直接用上面提煉出的結論，，（）也成等比數列，代入、化簡、整理即可解答.由此可以看出高考試題并不神秘，很多試題都直接或間接來源于課本，或是原題，或是變式題，或是直接由課本題提升而得的結論.這說明我們在高考復習中要緊扣教材、回歸教材、抓綱務本。

例2：成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上1，3，9后又成等比數列，求這三個數。

此題充分將等差數列等比數列進行了交匯結合.要解答此題，就需要引導學生分析入手點，即如何設出滿足條件的數列，可技巧性的設成等差數列的三個數為，直接求得.這不僅訓練了學生已知三個數的和且成等差數列的技巧設法，而且將基本量思想和方程思想也進行了綜合訓練.由此讓學生歸納總結出一般規律：

（1）若已知奇數個數成等差數列并知道其和，可設這個等差數列為…，，…（公差為）；

（2）若已知偶數個數成等差數列并知道其和，可設這個等差數列為…，，…（公差為）；

再啟發引導學生思考：若已知個數成等比數列并知道其積，又如何設該數列呢？

例3：有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是37，第二個數與第三個數的和是36，求這四個數.

這是一道有關等差數列、等比數列的綜合問題，可以讓學生體會在等差數列、等比數列中方程思想的應用.可根據前三個數成等差數列設其為；或根據后三個數成等比數列，設其為；或設其為等，讓學生感受利用等差數列、等比數列的有關知識靈活設元而得到的不同的解法.然后由學生比較、總結，得出簡潔合理的最優化運算途徑，以此培養學生運用數學概念分析問題、解決問題的能力，既培養學生思維的發散性，又培養學生思維的聚合性.

鏈接高考：（2011年高考數學湖北卷文科第17題）成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2，5，13后成為等比數列中的.

求數列的通項公式；

數列的前項和為，求證：數列是等比數列。

本題涉及等差數列，等比數列及其求和公式等基礎知識，同時訓練學生的基本運算能力和推論論證能力，難度適中，是一道好題.解題的關鍵是尋找如何設出此數列，找到突破口問題就簡單多了.基本量法求解等差數列、等比數列的有關問題是基本功，必須過關，其求解的基本思路是：需要緊扣等差數列與等比數列的概念、性質，做出合理的分析與比較，根據他們的五個基本量（）的內在關系及題目中的條件建立方程（組），通過解方程（組）尋找突破口求解相關問題。

例4：有兩個等差數列，，，求.

解：設等差數列，的前項和為，.

此題看似平凡，實則是一道難得的好題，它將等差數列的通項、前項和及性質進行了綜合復習，并體現了轉化與化歸思想和構造法，體現了數列與函數的綜合.解法1用的是構造法，要注意性質“當時，”的正確使用；解法2用的是待定系數法，充分利用了等差數列前項和是關于的二次函數形式；解法3利用了等差數列前項的和與通項之間蘊涵的一個關系：是等差數列，，此式在選擇題、填空題中可作為“二手結論”直接使用。

由此題再啟發學生思考：設等差數列，的前項和為，，且滿足（1）如何求？（2）如何求？進而得出一般性結論：

第4篇：高考數學歸納法范文

策略一、數列是特殊的函數，因此可用函數思想解決數列不等式恒成立問題，但是由于數列圖象是其對應函數圖象上的一些孤立的點，因此用函數思想解決數列問題時應該特別注意數列中自變量取正整數這一特殊性質。

例1cn=(2n+1)a2n+1lga,其中a>0且a≠1，如果數列{cn}中的每一項恒小于它后面的項，求實數a的取值范圍。（2008年湖北壓軸題改編）

思路分析：函數思想解決含參的數列不等式恒成立問題，關鍵在于通過靈活轉化，構造合理的函數。由于等價轉化的方式不同，構造出的函數也不同，因此導致解題難度就不同。cn

觀察發現：不等式兩邊都有公因式lga與a2n+1，可以對不等式進行等價轉化，然后利用最值法解決。但是由于lga有正由負，需要進行分類討論。

(1)0(2n+3)a2n+3對任意的n∈N恒成立，即2n+1>(2n+3)a2對任意的n∈N恒成立，接下來關鍵是構造什么函數。

轉化一：2n+1>(2n+3)a2對任意的n∈N恒成立等價于a2

轉化二：2n+1>(2n+3)a2對任意的n∈N恒成立即(2n+3)a2－(2n+1)>0對任意的n∈N恒成立，設f(n)=(2n+3)a2－(2n+1)，則f(n+1)－f(n)=2a2－2

轉化三：2n+1>(2n+3)a2對任意的n∈N恒成立即(2n+3)a2－(2n+1)>0對任意的n∈N恒成立，設f(x)=(2x+3)a2－(2x+1)=(2a2－2)x+3a2－2則f′(x)=2a2－2

(2)若a>1，則lga>0，顯然(2n+1)a2n+1

綜上所述a∈[JB((]0,155[JB))]∪(1,+∞)。

“分離變量法”僅是用函數思想解決不等式恒成立問題的過程中對不等式進行等價轉化的一個變形技巧，它的作用主要在于求函數最值時避免分類討論。

策略二、善于運用合情推理

“先猜后證，特值引路”，即通過特值猜想求出使問題成立的必要條件，在證明其具有充分性。這種方法在最近幾年的高考試卷多次出現，隨著新課改的深入，高考對猜想能力的考查將日趨加強。

例2（2010年全國卷Ⅰ22）已知數列{an}中，a1=sn+1=c-1[]an。

（Ⅰ）略。（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范圍。

分析：第（Ⅱ）較難，需要運用先猜后證。先由特值引路，因為ana1=1，由此解得c>2,下面只要證明再用數學歸納法證明“當c>2時，an

用數學歸納法證明：當c>2時，an

（ⅰ）當n=1時，a2=c－1a1>a1，命題成立；

（ⅱ）設當n=k時，ak

ak+2=c－1ak+1>c－1ak=ak+1

故由（ⅰ），（ⅱ）知，當c>2時，an

另一方面，由an

f(3)≥0，

Δ=c2－4>0，即c

9－3c+1≥0，

c>2，解之得c≤103。綜上所述兩個方面可知，所求c的取值范圍為2,103。

接下來只要證明c∈2,103時不等式an

因為當c∈2,103時，an+1an

第5篇：高考數學歸納法范文

《考試說明》和《考試大綱》中所透露的高考信息最權威、最準確，因而也最被高三畢業班的教師和學生看重。“考什么”“怎樣考”“考多難”這三個疑問在這兩個文件中均能給畢業班的所有師生做出明確的解答。

通過對這幾年我省的高考數學命題情況的研究，我們會有一個較大的發現：這些試題是有其共性的。從命題角度上看，更加注意試題背景，更加強調數學思想，更加注重數學應用；從試題特點上說，更加強調問題性，更加強調啟發性，更加突出基礎性；從解法上來看，更加重視通性通法，比較淡化特殊技巧，尤為凸顯問題思考。這些試題，強化的是主干意識，關注的是知識點銜接，考查的是創新意識。其實，這創新意識在《考試大綱》中就有明確的說明，即“創新意識是理性思維的高層次表現”。所以近些年的試題從表現形式上都顯得極為新穎、活潑，為的就是要考查學生比較高層次的理性思維。

就這個意義上來說，在高考復習前，一定要把《說明》和《考綱》研究好，吃透其精神，把握其實質，特別要加強新題型的練習，注意揭示問題的本質，創造性地解決問題。

二、高度重視基礎知識，以不變應萬變

每年的高考命題者似乎總是變著法地捉弄考生，他們對高考試題翻盡了花樣，使盡了花招，一年一個樣，年年不相同。但唯一不變的是命題的原則——不得超出課本所涉范圍。而課本上的知識，都是最基本、最基礎的。再高的大廈，一旦失去了堅實的基礎，也不可能巍然矗立。數學高考試題再難，也不能超乎課本的范疇。因此，在高考數學復習時，一定要注意回歸課本，狠抓基礎知識，對課本上的例題和習題，弄懂、吃透，做到以不變應萬變，一直到高考前一周。

高考數學試題雖然不可能考查單純背誦和單純記憶的內容，也不會把課本上的原題拿出來考查。但是，我們從歷年的試卷分析中發現，高考試題中即使是那些壓軸題目，也全能在課本上找到“根源”。說白了，高考試題就是對課本上原題的變型、改造、綜合。高考是針對大眾的，如果出現了大量的偏題、怪題，就會違背命題原則，所以，只要我們對課本上的題目熟悉了、弄懂了、吃透了，對高考試題就會有似曾相識的感覺，至少見了，不會害怕。

在回歸課本進行復習時，對課本中的基礎知識、基本方法、基本技巧，要以重現講授時的情景，認真地加以回憶梳理，對那些尚未掌握的，要及時補上，千萬注意不強記題型，不死背結論，把復習的重點放在掌握例題涵蓋的知識點解題方法上。在復習時，我們也不妨用一下“以退為進”的戰略。我們看到，有相當一部分考生，到了最后的沖刺階段，通常會把基礎的內容棄置在一邊，專門攻克一些難度較大的題，結果呢，只能是自信心受挫，在考場上，原本該得到的基礎分卻丟了。因此，我們建議考生，在高考復習時，不要有過高的奢望，不要指望把所有題目全部攻克，應該將有限的時間放在鞏固基礎知識上，對付簡單、基礎的題目，這樣的話，在高考時肯定會有超常的發揮。

三、注意滲透思想方法，培養綜合能力

縱覽近幾年的高考數學試題，我們看到，它不僅緊緊扣住教材，而且還十分注重考查數學思想方法，這也吻合了《考綱》中所述的“強調能力立意，重視對數學能力的考查”。大凡考查學生數學思想方法的題目，一般都比較靈活，解題的技巧性相對比較強，解題的方法也多種多樣。它要求考生在考試時，能以最快的速度，迅捷地尋出解題的最佳方法，找到解題的最佳思路，為解答其他試題爭取到較多的時間。

常用的數學方法有：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、消元法、參數法等；常用的數學思想有：函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化與化歸思想等。這些思想方法是從數學思維之“觀察與分析、抽象與概括、分析與綜合、歸納與演繹、特殊與一般”中提煉的。數學思想方法較之于數學基礎知識，其地位和層次顯然要高得多，掌握數學思想方法可一輩子受用。在數學思想方法中，數學方法是數學思想的具體體現，是一種數學行為，具有模式化與可操作的特征，它是解題的具體手段。而數學思想卻是數學的靈魂，它是一種數學意識，屬于思維的范疇，只能領會和運用，它主要用于對數學問題的處理和解決。數學思想方法的獲得，只有一條途徑：在學習、掌握數學知識的同時獲得。

數學思想方法不是集中在某一個章節里，而是分散地滲透在高中數學教材的每一個章節中，因此，我們在平時的復習中，就要十分注意歸納和總結，以幫助學生在解題中正確運用，唯有如此，我們的考生才能在高考中靈活地運用數學思想方法解決問題。

四、重視解題的回顧反思，提高解題能力

在高考數學復習中，大多數教師都積極主張“多練”，而我更加強調的是“多思”，尤其是解題后的反思。反思應側重：

1.通過反思，找出形成該題目的知識結合點，即題目中考查的知識點有哪些？這些知識點一般情況下又是怎樣結合在一起的？這些東西弄清了，解題的思路也就打開了。

2.通過反思，找到解答問題的突破點，即解完那些較難的題目后，要回顧一下突破這些題目的條件是什么？與這些相類似的條件有無其他的形式和一般的規律？用這些規律能否突破其他的問題等。

3.通過反思，優化解題的思維路線。即對綜合性極強的題目，解完題后要進一步地回顧、整理、概括自己解題的思維，以確定最佳的思維路線。對一題多解的題目，解完題后要回顧一下，徹底弄清在什么樣的情形下用什么樣的方法最適合，通常要注意哪些細節。

第6篇：高考數學歸納法范文

【關鍵詞】新課標 高考文科數學 備考復習策略

文科學生是高中數學學習中的一個特殊群體。提高文科數學備考復習的質量對于大面積提高高中數學教學質量有著極其重要的意義。由于大多數文科學生的數學學習水平較理科學生要低。因此，在進行文科數學備考復習時，教師要在備考復習策略上狠下功夫，幫助學生樹立學好數學的信心，提高學生的解題能力。本文結合筆者的教學實踐，針對文科生高考數學備考復習策略進行探討。

一、回歸教材，夯實基礎

教材是考試內容的媒介，是高考命題的重要依據，也是學生思維能力的生成點。只有吃透課本上的例題和習題，才能全面系統地掌握數學基礎知識、基本技能及基本思想，構建完整的數學知識網絡，以不變應萬變。

（一）重視數學基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的掌握和運用

基礎知識、基本技能和基本數學思想方法是學生復習的重中之重。復習中要以課本例題、習題為載體，抓好基礎題型和通性通法的熟練掌握，淡化特殊技巧。教師應通過教材例題，習題的重組、演變、推廣，使學生從不同角度和不同側面深入地把握問題的本質，形成理解數學概念、解決數學問題的基本活動經驗。學生也應做到：課堂勤做筆記，課后認真思考，對任何問題先思考，后解答，對錯題要經常反思總結，將平時的每一次考試都當成高考一樣認真對待，培養良好的應考心理、技能以及規范答題的習慣。

（二）夯實解題基本功

高考復習的一個基本點是夯實解題基本功，而對這個問題的片面做法是只抓解題的知識因素。其實解題的效益取決于多種因素，其中最基本的有：知識因素、能力因素、經驗因素、非智力因素。學生在答題中除了存在知識性錯誤之外，還存在邏輯性錯誤、策略性錯誤和心理性錯誤。高考數學歷來重視運算能力。學生運算要熟練、準確，運算要簡捷、迅速，運算要與推理相結合，運算要合理，并且在復習中要有意識地養成書寫規范、表達準確的良好習慣。

（三）加強知識的綜合運用

高考數學試題強調在知識交匯點處命題。學生復習中要有意識地加強知識的橫向、縱向聯系的訓練，如不等式、數列、函數的綜合問題，數列、數學歸納法、解析幾何、不等式的綜合問題，向量、三角函數、解析幾何、不等式的綜合問題，線線、線面、面面位置關系、三角函數的綜合問題，期望、方差、正態分布的綜合問題等。

二、構建知識網絡，加強知識交匯點問題的訓練

知識網絡就是知識之間的基本聯系，它反映知識發生的過程，知識所要回答的基本問題。構建知識網絡的過程是一個把厚書（課本）讀薄的過程；同時通過綜合復習，還應該把薄書讀厚。這個厚，應該比課本更充實，在課本的基礎上加入一些更宏觀的認識，更個性化的理解，更具操作性的解題經驗。在數學備考復習基礎知識時，要抓住各部分內容之間的聯系，并進行重新組合，使學生對所學知識的認識形成一個較為完整的結構。在第一輪復習中應堅持“低起點，中強度，細要求”。在復習過程中，必須再現主干知識形成的過程，注意知識結構的重組與概括，揭示其內在聯系與規律，重新全面梳理知識，提煉方法，感悟思想。強化基本技能的訓練要克服“眼高手低”現象，主要在速算、語言表達、解題、反思矯正等方面下功夫，盡量不丟或少丟一些不應該丟失的分數。復習中，應加強學生對知識交匯點問題的訓練，實際上就是訓練學生分析問題、解決問題的能力。綜合性問題，往往可以分解為幾個簡單的問題來解決。要解決這類問題，關鍵在于弄清題意，將之分解，找到突破口。

三、強化數學思想方法的滲透，培養學生數學思維能力

注重對數學思想方法的考查也是高考數學命題的顯著特點之一。因此，在各個階段的復習中，教師要結合具體問題，不失時機地滲透數學思想方法，運用數學思想方法，進行多次再現，不斷深化，逐步內化，使數學思想方法成為學生能力的重要組成。

在數學備考復習中，要把數學思想方法滲透到每一章、每一節、每一課、每一套試題中去。任何一道精心編擬的數學試題均蘊涵了極其豐富的數學思想方法，教師要注意滲透，適時講解，反復強調，深入學生內心。這樣，學生考試時才會思如泉涌，駕輕就熟。總之，在平時的教學中，教師要注重基本數學思想方法在日常訓練中的滲透，逐步提高學生的數學思維能力。

四、精選試題進行訓練，提高學生解題能力

第7篇：高考數學歸納法范文

2014年陜西高考數學理科試題解析

2014陜西高考數學試卷，整體遵循考綱，體現新課標改革精神，考查內容全面，考查方式靈活，在穩定中追求創新，在新而不難中考查能力，命題風格體現了新課標側重能力考查，鼓勵探索創新的特點。整卷來看，前半部分自然平穩，后半部分略顯新奇，與去年相比，今年高考試卷整體難度有所降低，有利于平時學習穩打穩扎的同學脫穎而出。

今年的數學試題設計，從“四基”出發，追求簡約，拋棄了往年某些試題的“偏、難、怪”現象，試題給人以熟悉感；為考生著想，落實減負，試題給人親和感，真正體現了關注學生，愛護學生，從學生成長的基點出發設計試題。

2014年陜西高考理科數學試題總體結構稍有改變，雖然仍然是10道選擇題+5道填空題+6道大題。但是，往年的三角函數大題沒有出現，卻出現了三角恒等變換和數列的綜合題，而平面向量和線性規劃的綜合給出了一道大題，放在了18題的位置。壓軸題21題依然是函數、導數、不等式。全卷的第10題、第20題、21題是相對較難的題，其中解析幾何大題的難度與去年相比稍有降低。

今年高考數學試題，整體上呈現以下特點：

1. 試題整體規范、遵循考綱，體現新課標改革精神。

縱觀整套試卷，沒有偏題、難題、怪題，依舊著重對基礎知識、基本思維方法的考查，題型結構延續以往常規，比如基本初等函數及其圖象、簡易邏輯、算法與程序框圖、復數、排列組合、平面向量，解析幾何、數列，立體幾何等題型都是考綱范圍內的重點，試題的前5個選擇題，分別考查了集合的交集，三角函數的周期，定積分計算，程序框圖的識別，立幾中組合體的體積計算，第7題函數的單調性的判別，第8題的復數命題真假的判斷，這些試題很基礎常規，可以說，不用動筆心算就可“一望而選”。至于第6題，對概率的計算和選擇題的第10題函數解136析式的選擇，都附以簡約的實際或抽象意義。這些考點都著重考查知識點原理，試卷整體難度稍有降低，尤其是15題的A題，運用柯西不等式求最值，更是考綱明確強調的內容，考查簡潔明了。

2. 知識點考查綜合性增強。

第8題，再次將復數和命題交匯，綜合考查復數概念和四種命題之間的關系。第16題，以等差、等比數列作為條件考查三角恒等變換，以及三角形中邊角關系與不等式結合求最值。第17題，通過三視圖給定幾何體中的線面位置關系和數量關系，考查空間圖形特征判斷與線面角的計算；第18題，將平面向量與線性規劃含蓄的綜合。第20題將橢圓與拋物線合在一起考查，特別是第21題函數壓軸題，以考生熟悉的函數求導為切入點，進行組題，綜合運用了數學歸納法，分來討論求函數最值、數列求和與特值轉換等數學技能，試題的知識點濃度不斷增強，把能力的考查推向了。凸顯在知識交匯處命制試題的指導思想。

3. 試題情景更貼近生活。

2014陜西高考試題，情景設計生活味濃厚，諸如：第10題飛行器飛行問題，考查對三次函數的理解和應用；第19題耕地種植作物問題，考查對隨機變量的理解和應用。這些試題著力考查學生的數學應用意識和能力，而試題選材設計，緊扣高中數學教材核心內容，雖有新意，但學生只要冷靜思考，很快就能找到解題思路，避免了往年出現的學生一看就怕，無處下手的窘境。試題呈現設計簡單、基礎、基本，重視算理，強調思維，體現人文關懷，力求凸現核心內容。

4. 推理論證能力要求步步高。

推理論證梯次增高。陜西數學試題從余弦定理的敘述與證明開始，到2012年對三垂線定理的及其逆定理的變形考查，到去年已經發展到對等比數列前n項和公式的推導，到今年發展到三角恒等變換的簡單證明。全卷涉及到證明的試題有第16題的第1問、第17題的證明矩形和第21題的第3問，并且第21題第一問求函數解析式也涉及到了用數學歸納法證明，體現出加強邏輯推理能力的考查。

5.試卷特色鮮明，亮點光彩奪目。

（1）第16題新在將三角恒等變換和數列綜合起來考查，與以往對三角函數和數列分別考查方式不同。

（2）第18題破天荒的出現了平面向量的大題，綜合考查了向量的坐標運算和線性規劃求二元函數的最值，往年平面向量都是附著在其他知識點中綜合考查，今年單獨成體考查。

（3）第20題圓錐曲線以橢圓和拋物線兩個圓錐曲線作為載體，與往年只有一個載體不同。這一變化一方面防止了“回歸教材變成死記硬背”的風險，另外一方面加大了知識和方法的覆蓋面，突出了主干知識，注意知識之間的綜合應用。這些都凸顯穩中求變，銳意創新的命題指導思想。

6. 壓軸題考點固定、思維靈活。

2011年到2014年導數壓軸題的載體分別是對數函數、冪函數、指數函數、對數函數，呈現出一定的規律性。第21題的第一問求N次復合函數表達式，需要用數學歸納法證明。第二問用已知函數大小關系求參數范圍的方式考察函數知識的綜合應用，導數與函數單調性的關系，和差積商的導數求法，轉化與化歸的數學思想。第三問函數大小比較進行探索，一題多解，符合壓軸題的特色，區分度很大。考生須具備良好的數學基礎以及靈活的處理問題方法，才能突破難關，到達勝利彼岸。體現出靈動考素質，選拔真人才的命題指導思想。

綜上所述，2014陜西高考數學試題，注重考查考生的個性品質，主要體現在知識組合的多樣性上，體現在難度的漸進性上，體現在考生的數學視野及思維習慣上，體現在考生的考試心態上。這些都需要考生具有較強韌的個性支撐，也必將對下一年的高三數學復習提供積極的導向和重要的指導作用。

2015年高考備考復習策略

每年的高考真題，都是一筆寶貴的財富，每一道優秀的高考試題都是命題者靈感與智慧的結晶，善待真題，我們才可以把握高考的脈搏，在復習中多走捷徑，少走彎路。2014年陜西高考數學試題，在許多方面給我們提供了有益的借鑒，給高三數學復習指明了新的方向，啟發我們要有新的學習和工作思路，妥善處理好教與學中存在的幾個矛盾。

1.處理好基礎與綜合之間的矛盾。

2014年的試題設計符合陜西的考情，有利于廣大考生數學水平的正常發揮，為今后高三復課教學起到良好的引導作用。從今年的試卷中不難看出，命題重在考查雙基應用，著重依據新教材的知識分布而設置命題，許多考題均能在課本中找到它們的影子，相當數量的考題就是教材中基礎知識的組合、加工和深化。所以教材是基礎， 是學生智能的生長點，是高考命題的源泉，只有回到對教材的深層理解上，對概念的內涵和外延的理解上，才能提高數學能力，掌握數學思想。

然而高考命題，源于課本而又高于課本。這就要求在復習過程中，不能只停留在課本單一而零散的知識章節上，而應加強對知識的橫向聯系的認識上，有目的有步驟的強化綜合性訓練，如同不是只看一條道路，而應看到多條道路形成的網絡，即應該高度重視把課本由厚變薄的認識和訓練。當然，同時要防止走向偏難怪的不良傾向，千萬不要以為“高考以能力立意”，就是要去鉆難題、偏題、怪題. 要明確：能力是指思維能力，即對現實生活的觀察分析力，創造性的想象能力，探究性實驗動手能力，理解運用實際問題的能力，分析和解決問題的探究創新能力，處理、運用信息的能力，新材料、新情景、新問題應變理解能力，其重點仍然是概念和規律的形成過程，而這些往往蘊藏在最簡單、最基礎的題目之中.一味地鉆研綜合題、難題，知識的熟練程度達不到，最后又會制約思維的發展和解題能力的提高。

所以，要兩相兼顧，要把章節內的基礎訓練與章節外的綜合訓練郵寄結合起來，關鍵是在基礎的綜合上下功夫。這就需要高三數學教師在教學過程中，既要把學生帶進課本，又要使學生走出課本，做好分層級訓練。先做章節內的的訓練，再做綜合性訓練，要善于在一個題的基礎上，做發散性指導和變式訓練，尤其要加強融合知識橫向聯系的技能訓練，如平面向量與線性規劃，三視圖與線面位置關系，空間角的計算，三角函數與數列、球體與多面體的組合體，具體函數與抽象函數等基礎性的綜合訓練。

2.處理好通性通法與特殊技巧之間的矛盾。

2014陜西高考數學試題。重視高中數學的通性通法，倡導一題多解和多題一解。如第9題，若從平均數和方差的實際意義理解和作用認識來思考，可以得到巧解；而若只滿足于基本公式計算，則計算較繁，用時較多。而大多數同學對前者，可能掌握不力。第10題，由于課本中沒有明確給出三次函數的概念，有相當一部分同學對其認識模糊，圖象生疏，這樣就不能快速理解題意，進而運用選擇題技巧而得到巧解.

這些都啟示我們，在復習中要從頭激活已學過的各個知識點，并適當深入一點，要以清晰的線索重新構建合理的知識結構，對含糊不清的地方多一些思考和研究性練習和探究，對產生的錯誤要究根問底，要反思感悟，回到正確的認知上來。在復習解題時，首先應從基本方法上去探索，而不是死用公式，死記結論；再者，還要思考能否用特殊技巧來完成，要養成多一手準備的解題習慣。 對于每一種方法，要深入思考它的適用范圍，思考它的推廣發展，盡可能多地找出它在不同模塊問題的應用題型，即舉一反三。 如分式函數的最值，在函數，數列，圓錐曲線，不等式等模塊中就以不同的面目出現，或是恒成立，或是范圍、最值等，但實質沒有大的改變，解法過程基本相似，但許多學生往往因為一葉障目而顧此失彼，這就是沒有處理好通性通法與特殊情景和技巧之間的矛盾。

高中數學學習過程中所接觸到的數學思想方法一般分為三類：第一類是用于具體問題模型中的方法，如配方法、換元法、消元法、待定系數法、判別式法 、錯位相減法、迭代法、割補法、特值法等；第二類則是用于指導解題的邏輯思維方法，如綜合法、分析法、反證法、類比法、探索法、歸納法、解析法等；第三類則是在數學學習過程中形成的對于數學解題甚至于對于其它問題的解決都具有宏觀指導意義的規律性方法，稱為數學思想，如函數思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸轉化思想等.復習中要關注它們的應用，細心體會，能把抽象的方法和思想通過具體問題模型化，儲存在自己的認知結構里。

3.處理好掌握公式定理與知識產生過程之間的矛盾。

2014年陜西高考試題，重視考查知識的產生過程。如第14題，取材于選修教材2-2的“歸納推理”第一節的例1，將著名的歐拉公式設計為考題，但不是直接考公式，而是讓學生體驗定理的發現與產生過程，考查了學生探索與發現的精神和歸納推理的能力，可謂一舉多得。與直接考定理相比，這一方面要有趣得多，另一方面又能給考生留下深刻的印象，這與平時教學的良好感覺是一致的，這就是給課堂教學提供了可貴的借鑒和警示。再聯系到近幾年陜西數學試題中，2011年的余弦定理的敘述與證明，2012年的三垂線定理的及其逆定理的變形考查，2013年對等比（差）數列前n項和公式的推導，都是回歸課本，但都是回歸到知識的產生和形成的過程中去，而不是現搬現用，為回歸課本指明了廣闊的道路和正確的方向。

在教學過程中，在復習階段的綜合訓練中，有相當一部分同學會出現各種意想不到的錯誤，這正是基礎不牢固的表現，而根本原因就是對知識的產生和形成的過程不清楚，甚至張冠李戴、混淆是非所致。因此在教學活動中，既要讓學生明確公式定理的結論是重要的，又要讓學生充分認識知識的過程是更根本的，也就是最有價值的，要培養學生對知識過程的探索精神和發現的興趣，為學生學習高一級的知識貯藏潛力。

只有回到知識的形成過程中來，才能從根本上糾正錯誤，彌補漏洞，而不是把錯誤簡單地歸結為粗心大意。認真糾錯，積極反思，是復習過程中最為重要的，比多做幾個題的價值更大；認真糾錯，就能達到穩定發揮，穩步提高。

4.處理好教與學之間的矛盾。

誠然，2014高考，對廣大師生會有諸多的啟示，但要把一種新的理念付諸實踐，也不是輕而易舉能完成的。學生是學習和課堂的主體，老師是學習和課堂的主導。在實際教學中，就會產生各種各樣的困難，也許有些學生會不習慣，也許課時會緊張，也許訓練成績會不理想。

因此，在高中教學實踐中，要樹立全程備考的思想認識，在高三復課教學中，要立足于教材，輔之以資料書籍，落實在訓練和糾錯中。要培養學生做到：熟練掌握基礎知識和基本技能，在老師講解之前進行預習和思考，把課堂接受知識的過程變成思維訓練的活動，在課堂上應注意師生的交流，把平時的學習變成師生協作與奮進的快樂旅行；定時作業，有意識地限定時間完成學習任務； 在課外練習中應注意培養良好的作業習慣，不但要做得整體、清潔，培養一種美感，還要有條理，培養邏輯能力，同時作業必須獨立完成，以培養一種獨立思考的精神，嚴密思維的能力和正確解題的責任感。

2014年陜西高考數學理科試題逐題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合 ，

則 （ ）

A. [0，1] B.[0，1） C. （0，1] D. （0，1）

答案 B 【命題意圖】本題考查集合的概念和運算，意在考查考生求解不等式和進行集合運算的能力。

【解析】 化簡集合

【梳理總結】集合代表元素的識別是確定集合關系與運算的關鍵，常與函數和不等式交匯，一般不具有難度，但易疏忽代表元素，把求函數的定義域、值域或求函數圖像的交點相混淆而導致出錯.本題給出的兩個較為簡單的不等式，但對每個集合元素的確定非常關鍵。

2.函數 的最小正周期是（ ）

A.■ B. π C. 2π D. 4π

答案 B 【命題意圖】 本題考查三角類復合函數周期的計算方法，意在考查考生運用公式求解運算的能力.

【解析】由余弦函數的復合函數周期公式得 T=■=π；

【梳理總結】形如 的函數求周期的公式為 ，形如 的函數求周期的公式為

3.定積分 的值為（ ）

A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1

答案C 【命題意圖】本題考查應用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分的基本方法。

【梳理總結】熟記公式，掌握一些常見函數的導函數和原函數。若函數f（x）的導函數為f'（x），則有

雖然原函數不唯一，但不影響結果。

4.根據右邊框圖，對大于2的整數N，得出數列的通項公式是（ ）

A.an=2n B.an=2（n-1） C.an=2n D.an=2n-1

案C【命題意圖】本題考查對程序框圖的功能理解，意在考查考生運用程序框圖進行計算和歸納的能力.

【解析1】 特殊化和等比數列定義驗證

a1=2，a2=4，a3=8，an是a1=2，q=2的等比例數列，選C。

【解析2】 注意初始值的特征可知，輸出的數列首項為2，把握3個賦值語句ai=2×S，S=ai，i=i+1，■=2則輸出的數列為首項為2，公比為2的等比數列，則通項公式an=2n；

【方法技巧】程序框圖題型一般有兩種，一種是根據完整的程序框圖計算；一種是根據題意補全程序框圖.程序框圖一般與函數知識和數列知識相結合，一般結合數列比較多見，認真探究程序運行的過程，通過特值探索可發現結構特征和規律。經過多年的高考，更趨成熟，時常新穎。

5 .已知底面邊長為1，側棱長為■則正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（ ）

A. ■ B. 4π C. 2π D.■

答案D【命題意圖】本題考查對簡單幾何體的理解和計算，要求掌握棱柱與球的組合體中的數量關系，以此考查學生的空間想象能力，而不是單純的依靠空間向量坐標的計算。

解析：正四棱柱的外接球的直徑是其對角線的長，即 2R=■=2，r=1，v-■πR3=■π；

【方法技巧】球的內接多面體，可仿照球的內接正方體來思考，即抓住球的直徑與多面體的高或其對角線等之間的關系。新課標對簡單幾何體的要求與傳統教材相比，有所降低，但球的組合體卻是一個重點，不能忽視。

6.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（ ）

A. ■ B.■ C.■ D. ■

答案C 【命題意圖】本題考查古典概型和對立事件的計算概率的方法，意在考查考生運用概率的方法解決實際幾何問題的能力.

【解析】 5個點中任取2個點有C52=10種方法，而每兩點之間的距離小于邊長的點必須取中心點和其它4個頂點，有4種方法，于是所求概率P=1-■= ■；

【梳理總結】概率計算關鍵是依據互斥事件合理分類，同時設計簡單可行的計數的方法。

7.下列函數中，滿足“f（x+y）=f（x）f（y）”的單調遞增函數是（ ） A. f（x）=x ■ B. f（x）=x3 C.f（x）=（■）x D.f（x）=3x

答案D 【命題意圖】 本題考查抽象函數的對應法則和函數單調性的應用，意在考查考生運用法則和單調性解決實際問題的能力.

【解析1】 把握和的函數值等于函數值的積的特征，則典型代表函數為指數函數，再由所求函數為增函數，則選D；

【解析2】只有C不是遞增函數，對D而言，f（x+y）=3x+y，f（x）?f（y）=3x?3y=3x+y，選D

【梳理總結】抽象函數關鍵是對對應法則的理解和應用，常常依據法則特殊化處理賦值尋求解題的切入點。

15.（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）

A.（不等式選做題）設a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，則■的最小值為

答案■ 【命題意圖】 考查對柯西不等式的理解和求最值的技巧和方法。

【解析】a2+b2=5，設a=■sinθ，b=■cosθ， 則ma+nb=m■sinθ+n■cosθ=■■sin（θ+φ）=5，■sin（θ+φ）=■≤■。

所以，■的最小值是■

【梳理總結】直用柯西不等式求最值簡單且避免了繁雜變形，這正是陜西高考不等式考點的新增要求；B（幾何證明選做題）如圖，ABC中，BC=6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F，若AC=2AE，則EF=

答案 3 【命題意圖】 本小題主要考查平面幾何中圓和相似三角形的性質，圖形背景新穎，重點考查考生靈活應用平幾知識進行推理和計算能力.

【解析】注意圓內接四邊形對角互補的特征可得到∠AEF=∠ACB，ACB相似，■=■=■=■，EF=3.

【梳理總結】平面幾何中圓的有關問題，充分利用圓和相似三角形的有關知識和方法求解；

C.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，點（2，■）到直線ρsin（θ-■）=1的距離是

答案 1 【命題意圖】考查把極坐標的點和方程化成直角坐標的點和方程，并計算點到直線的距離的能力。

【解析】極坐標點（2，■）對應直角坐標點（■，1），直線ρsin（θ-■）=ρsinθ?■-ρcosθ?■=1即對應■y-x=2，點（■，1）到直線x-■y+2=0的距離

d=|■|=1

【梳理總結】把極坐標化成直角坐標，化生為熟，是數學解題方法中熟悉化的要求。

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）

16. （本小題滿分12分）ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。

（I）若a，b，c成等差數列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（II）若a，b，c成等比數列，求cosB的最小值.

【命題意圖】 本題主要考查三角形中的三角變換方法，意在考查考生運用三角形中邊角互化，以及正余弦定理求解三角形的能力.

【解題思路】 （1） 由等差數列得到三邊滿足的齊次式，利用正弦定理和互補角的關系，借助三角變換證明恒等式 （2）利用邊之間的等比數列關系，結合余弦定理求角，基本不等式求得最值.

【解析】

（1）a，b，c成等差，2b=a+c，即2sinB=sinA+sinC.

sinB=sin（A+C）.，inA+sinC=sin（A+C）

（2）a，b，c成等比，b2=ac，又cosB=■≥■=■=■

僅當a=c=b時，cosB取最小值■，這時三角形為正三角形。

【梳理總結】三角函數與解三角形是高考的一個重要部分，在客觀題和在解答題都有出現，解三角形所涉及的知識點要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等。 常見的三角函數題型有：（1） 三角函數式的求值與化簡；（2） 三角函數的圖像和性質的綜合；（3） 三角函數與平面向量交匯；（4） 三角函數恒等變形，與解三角形、正弦定理、余弦定理的交匯；（5）三角形中的邊角互化與數列、不等式的交匯.2014陜西高考此題與往年相比，難度稍高。

17 （本小題滿分12分）

四面體ABCD及其三視圖如圖所示，過被AB的中點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H.

（I）證明：四邊形EFGH是矩形。

（II）求直線AB與平面EFGH夾角的θ正弦值。

【命題意圖】 本題主要考查利用三視圖還原空間幾何體的幾何關系與數量關系，求證空間圖形的形狀特征與線面角的計算，意在考查考生的空間想象能力，運用平行、垂直關系的判定與性質進行計算和邏輯推理的能力。

【解題思路】 （1）由三視圖得到特殊的四面體：DA，DB，DC兩兩垂直，進而得到線面垂直，再借助平行關系可證所求。（2）利用空間直角坐標系，向量坐標運算求出線面角；或者做輔助線，由幾何法求出線面角。

【解析】

（1）

（2）

【梳理總結】 立體幾何尋找解題思路：一是要有轉化與化歸的意識，即將線線關系、線面關系、面面關系三者之間的問題相互轉化，二是要有平面化的思想，即將空間問題利用定義和性質定理轉化到某一平面內處理.而建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量及其坐標運算，可降低難度。

18.（本小題滿分12分）

在直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（2，3），C（3，2），點P（x，y）在ABC三邊圍成的區域（含邊界）上

（1）若■+■+■=■，求OP；

（2）設■=m■+n■（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值.

【命題意圖】 本題主要考查向量的概念和向量的線性運算以及坐標運算，考查二元變量在約束條件下的最值問題的求解方法。

【解題思路】由向量關系可求出點P的坐標，則可得OP；再由向量關系求m和n，得到m-n的表達式，認識其意義，由線性規劃求二元函數式的最值。

解析：（1）

（2）

【梳理總結】借助向量的線性表示和坐標運算可以溝通幾個變量之間的關系，目標指引下可得所求向量問題，向量條件下的最值問題，借助向量溝通，化歸函數，而二元一次函數通過線性規劃求解，凸顯向量的工具性和數形結合思想的具體應用，使得向量和線性規劃有機地網絡交匯，新而不難，值得回味。

19.（本小題滿分12分）

在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：

（1）設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列。

（2）若在這塊地上連續3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率。

【命題意圖】本題考查實際生活中隨機事件的理解和隨機變量的應用，獨立事件求概率及其分布列的計算。

【解題思路】由利潤x=產量價格-成本入手，同時注意價格與成本都是隨機變量，分別計算可得x的分布列；認識理解n次獨立重復試驗，易求得概率。

【解析】注意隨機變量的意義為利潤， 而利潤x=產量價格-成本，確定隨機變量的取值

（1）

X的分布列如下表：

X 800 2000 4000

P 0.2 0.5 0.3

（2）構建二項分布的模型，確定每一次獨立實驗的概率。

【梳理總結】 實際生活中的概率問題，關鍵是要認清隨機事件，抓住隨機事件之間的關系，選擇合理的概率計算方法。本題中要抓住關鍵字句“作物的市場價格和這塊地上的產量具有隨機性，且互不影響”，則思路豁然，運用獨立事件概率的乘法公式即可。本題具有濃郁的現實生活氣息，是生活數學化的極好典范。

20. （本小題滿分13分）

如圖，曲線C由上半橢圓C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分拋物線C2：y=-x2+1（y≤0）連接而成，C1，C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為■.

（1） 求a，b的值；

（2） 過點B的直線l與C1，C2分別交于P，Q（均異于點A，B），若APAQ，求直線l的方程.

【命題意圖】本題考查圓錐曲線的基本幾何性質，待定系數法求解方程的方法，重點考查直線和圓錐曲線位置關系的研究方法。

【解題思路】（1）依據題設和幾何量之間的關系構建方程組求解；（2）聯立方程組降元化歸一元二次方程，利用根與系數之間的關系，借助弦長和題設條件構建方程確定直線方程，注意直線和橢圓相交條件的驗證，和直線垂直用向量數量積解決的具體方法運用；

【解析】

（1）拋物線y=-x2+1交于點（-1，0），（1，0），b=1，又■=■，a2=b2+c2

（2）

【梳理總結】解析幾何大題第（1）問一般考查圓錐曲線的基本知識，常考待定系數法確定方程的方法.第（2）問對不少考生來說，運算量較大，但寫出直線與曲線方程聯立，寫出兩根之和與兩根之積，這都是常規的方法步驟.直線和圓錐曲線的位置關系以及范圍、最值、定點、定值、存在性等問題，直線與多種曲線的位置關系的綜合問題已成為高考命題的熱點，近兩年高考題中經常出現了以函數、平面向量、導數、數列、不等式、平面幾何、數學思想方法等知識為背景，考查知識的綜合運用，而向量的坐標運算在圓錐曲線問題中往往是一個有力的工具，是建立函數、不等式，方程的必須途徑 。主要題型：（1）考查解析幾何基本知識、方法；（2）向量滲透于圓錐曲線中；（3）求曲線方程或求軌跡；（4）直線與圓錐曲線相交，涉及弦長、中點、軌跡、范圍、定值、最值等問題。

21.（本小題滿分14分）

設函數 ，其中f'（x）是f（x）的導函數。

（1） ，求gn（x）的表達式。

（2） 若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）設n∈N+，比較g（1）+g（2）+…g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明。

【命題意圖】 本題主要考查函數及其導數的有關運算和歸納猜測函數表達式，函數與不等式綜合，求解不等式恒成立下的參數范圍問題的求解，構造函數，運用導數探索性質，求解數列求和與不等式問題，意在考查考生全面深入、合理轉化，應用導數解決函數綜合問題的能力。

【解題思路】 （1）特值計算，不完全歸納法猜測gn（x）的表達式，用數學歸納法證明；（2） 不等式恒成立合理變形轉化為函數值滿足的關系式，構建新函數，探索其單調，函數觀點，借助分離參數化歸二次函數區間上的最值或值域求得參數范圍。（3）分析比較化歸構造函數，利用導數研究其單調性求解。

【解析】

（1）

（2）

第8篇：高考數學歸納法范文

關鍵詞：高中數學；數列通項；方法及共性；教學建議

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）04-0119

數列在高中數學和大學數學中都有著重要的地位。在課程設置方面，人教版高中數學必修5將數列這部分內容作為一個獨立的章節出現，而且在選修4系列中《數列與差分》也是一個單獨的專題，因此在整個高中數學課程中，數列占有重要的地位；在實際應用方面，現實生活中的儲蓄、人口增長、分期付款、物品的擺放等問題都與數列有著密切的聯系；而且數列問題在高考數學中也備受命題專家的重視，同時也是一線數學教師和高校數學教育專家研究的重要內容；在大學數學中，數列也是數學分析、組合數學、離散數學等多門課程的重要組成部分。

一、觀察法

即觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系結構（如分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征。），縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通項公式。需要指出的是在歸納數列的通項公式的時候使用的是不完全歸納法，因此在解答題中一般不用，常用于解選擇題和填空題。

二、公式法

等差數列與等比數列是兩種常見且重要的數列，所謂公式法就是分析后項與前項的差或比是否符合等差數列或等比數列的定義，然后用等差、等比數列的通項公式表示它。用這種方法的時候關鍵在于緊扣等差、等比數列的定義。

4. 題型四：數列的求和問題

（1）公式法：確認數列是等差或等比數列，可以直接代入求和公式進行求和。

（2）倒序相加法：這是一種特殊的數列求和問題，用常規方法顯然不能解答，考慮到性質，嘗試用倒序相加法。主要適合滿足性質ak+a1=am+an（k+1=m+n）的數列的求和問題。

（3）錯位相減法：這種方法主要用于求數列{an?bn}的前項n和Sn，其中數列{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列。

（4）裂項法：這是分解與組合在數列求和中的具體應用。該方法的實質是將數列中的某些項進行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。

（5）分組求和法：有一類數列既不是等差數列也不是等比數列，但若將這類數列適當拆開，可以得到幾個等差數列、等比數列或其他容易求和的數列，我們一般先分別求各個數列的和，然后把這些和相加就得到所要求的和。

（6）試值猜想法：通過對知S1，S2，S3，S4……的計算進行歸納分析，尋求規律，猜想出前n項和，然后用數學歸納法去證明。

六、數列教學建議

1. 根據教材特點應以啟發學生積極思維為核心

培養學生觀察問題、思考問題，并要教學生如何思維這對培養學生教學能力尤為重要。在提出的問題和定義的概念的引入方面要引起學生的注意并且讓學生體會到數學來源于生活，數學例子和實際生活息息相關，并且例子是學生知道的并做到易懂，在講等概念時，要先寫出幾個數列，啟發學生讓學生觀察他們有什么特點，有什么共性，然后用歸納性的語言總結這類數的特性，給出相應的定義（稱之為什么數列）。

2. 數列趣味性的認識

數列問題具有非常悠久的歷史，數列其實在很早時候就有應用。早在公元前3000年，古巴比倫就研究了數列：1，2，22……29并給出了它的和29+29-1。我國《周髀算經》中的“七衡圖”就有相關的問題，在例高斯發現等差數列的前n項和、兔子問題――斐波那契數列。這些都是我們值得一讀一看的歷史，這樣更會讓學生了解數列廣泛的應用以及在歷史上取得的燦爛的成就，激發學習的熱情。

3. 注意滲透一些重要的數學思想方法

一般的數列求解需耍用到裂項求和、分類討論等及其重要的數學思想，教材在這方面沒有過多的深入，只是以函數的角度切入數列，對于其他的數學思想沒有過度的體現。所以，在教學中處于關鍵地位，起關鍵作用的教師必須彌補這一缺憾，教師應在整體的、動態的觀點之下使數列的一些性質顯現得更加鮮明，更好地解決某些問題。

4. 準確解讀新課標對數列的教學要求

分析、研究新課標的對數列要求，把握課程標準中的教材的難重點，并在實際教學中認真貫徹課程標準中的規定，有的放矢地教學，使教學實效明顯提高。

5. 正確認清數列問題在高考中的地位與作用

數列在高中數學中與前面幾個章節知識相互瓜葛，相互交錯，要徹底弄清數列問題，弄懂前面幾章的內容是基礎，把分類討論、數形結合、函數思想等一些數學思想作為解題的主線，抓住數列這一章的重點章節，重點知識為解題的突破點。

第9篇：高考數學歸納法范文

關鍵詞：合情推理；解題教學

■講與不講的討論

最近在高三的一次學情調研檢測中，筆者遇到了這樣一道壓軸填空題：

題目1 已知實數a，b滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，則a+b=_______.

筆者任教的理科班56名學生，解答正確的只有2人，其正確率幾乎為0，筆者私下找了他們2人，了解了一下他們的答題情況，他們表示不會做，是胡亂猜到答案的. 在接下來的集體備課中，備課組在討論這份試卷的評講問題時，又談到了這道壓軸填空題講與不講的問題，以下是當時部分教師的看法.

教師A：這道題的難度很大，學生的正確率十分低，我認為可以放棄這道題的評講，不要浪費時間. 試想一下，我們講了這道題之后，能保證產生什么效益？能保證以后再碰到類似這樣的問題，學生就會做嗎？

教師B：這道題的難度確實很大，但也可以評講一下，讓班上少數成績好的學生了解一下方法，對他們以后的解題可能會有些幫助，當然，我們不要期望評講了這道題后會帶來多大的效益，對95%的學生來講是沒有用的.

教師C：教師A與教師B的觀點基本上是一致的，講與不講沒有太大的區別，我認為如果要講，也不要花太多的時間，讓幾個學生了解一下方法即可，我看可以這樣辦，找幾個成績好的學生，與他們單獨談一談解題方法，課堂上不講.

對這道題的評講問題，筆者在集體備課會上由于思考沒有成熟，也就沒有表態發言. 但講與不講的問題，會后筆者仍在繼續思考，筆者也同意以上幾位教師的觀點，講了之后，如果不能帶來什么效益，確實不如不講；如果要講，那么就要產生效益. 我們是否可以從解題教學上下工夫而產生效益呢？為此，筆者對這道題的解題教學作了一個優化設計，并選擇了相關試題對學生進行補償訓練，整體上感覺效果不錯，現整理成文，與同行研討.

■解題教學的分析

1. 函數的構造過程

對于條件a3-3a2+5a=1與b3-3b2+5b=5，如何構造函數？大多數學生往往會構造函數f（x）=x3-3x2+5x，從而有f（a）=1與f（b）=5，這時教師應引導學生怎樣構造出更好的函數，使f（a）與f（b）有較強的聯系. 教師可以適當地點撥學生，最終達到的目的是構造出函數f（x）=x3-3x2+5x-3，從而使得f（a）=-2且f（b）=2，但學生又隨后發現函數f（x）不是奇函數，這時教師還要繼續給學生指明方向，函數值f（a）與f（b）為相反數，接下來我們解決問題的關鍵是什么呢？學生自然會想到要研究函數f（x）的性質，教師應追問：我們有什么辦法發現函數f（x）的性質呢？

2. 性質的發現過程

如何發現函數f（x）=x3-3x2+5x-3的性質？是合情推理中的歸納法！在教學中，教師應指引學生如何發現問題的一個解題策略：先猜后證，并且要強化此解題策略，因為大多數學生只有在含有探究字眼的題目中，才能想到運用此策略.

在這次教學中，筆者首先用問題引導學生，“我們在高一學習指數函數、對數函數時，是怎么得到這兩個函數的性質的？”學生大多數會答“描點法”，繼而又問“我們通過描出函數圖象的部分點，得到函數圖象，從而發現了函數的性質，這里用了什么樣的數學方法？”通過引導，學生就知道歸納法了，還可以進一步強調，“對一些特殊的數列，我們是怎么發現它的規律的”，學生容易回答“是由a1，a2，a3等歸納出來的”. 如此，學生自然而然地就會繼續處理這道題了，他們能求出f（0）=-3，f（1）=0，f（2）=3，f（3）=12，f（4）=33，可能有少數學生需要教師點撥，提示他們再求出f（-1）=-12，f（-2）=-33，從而最終師生共同發現函數f（x）關于點（1，0）中心對稱，所以a+b=2.

3. 本質的揭示過程

通過歸納法，學生發現了函數的性質，再揭示問題的本質就不是太困難的事情了，我們可以從以下幾個角度來引導學生證明.

法1：（坐標轉移法直接驗證）f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+5（1+x）-3+（1-x）3-3（1-x）2+5（1-x）-3？搖？搖=2[（1+x）2-（1+x）（1-x）+（1-x）2]-3（1+x）2-3（1-x）2+4= -2（1+x2）-2（1-x2）+4=0.

總結重現：函數f（x）關于點（m，n）對稱，即f（m+x）+f（m-x）=2n.

法2：（與二項式定理聯系）結合二項式定理，考慮系數關系，由于x3，x2的系數為1，-3，從而聯想到（x-1）3的二項式系數，于是可將函數的系數配成f（x）=x3-3x2+3x-1+2x-2=（x-1）3+2（x-1），所以函數f（x）是由奇函數y=x3+2x向右平移1個單位得到的，它關于點（1，0）中心對稱. 這個處理方法比較簡潔，但不太容易想到，需要教師合理的引導.

法3：（平移的視角與奇函數聯系）與學生分析，利用歸納的手段很容易得到函數f（x）關于點（1，0）中心對稱，而奇函數是關于原點對稱的，這說明只要將函數f（x）向左平移1個單位，我們就會得到奇函數. 于是，由函數f（x）的解析式，可轉化到函數g（x）=（x+1）3-3（x+1）2+5（x+1）-3=x3+2x為奇函數，故函數f（x）關于點（1，0）中心對稱. 由此教師可以說明命題者是怎樣設計這道試題的：他是先選擇了奇函數g（x）=x3+2x，然后將其向右平移1個單位后得到函數f（x）=x3-3x2+5x-3關于點（1，0）對稱，最后運用函數值f（a）=-2，f（b）=2，整理得出了條件，要求學生求出a+b的值. 命題者的高明之處就是把函數的性質隱藏在平移中，使我們不容易看出來.

4. 練習的反饋過程

為了了解學生對這道壓軸填空題評講后的掌握程度，也為了進一步強化歸納法在解題中的策略性應用，筆者通過反復尋找，最后看中了2012年高考數學四川卷理科數學第12題，由學生當場練習反饋.

題目2 設函數f（x）=2x-cosx，{an}是公差為■的等差數列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a5=（ ）.

A. 0？搖 B. ■π2

C. ■π2？搖？搖？搖 D. ■π2

大多數學生能用數學歸納法得到答案.

投影展示一學生的解答：由函數可求出f（0）=-1，f■=π，f（π）=2π+1，f■=3π，f（2π）=4π-1，f-■=-π，f（-π）=-2π+1，由此歸納出函數f（x）關于點■，π對稱，根據條件{an}是公差為■的等差數列，知a1，a2，a3，a4，a5關于a3對稱，且f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，所以a3=■，所以[f（a3）]2-a1a5=2?■-cos■■-■-■?■+■=■π2.

教師追問：能不能揭示這道高考題的本質呢？

也有不少學生想到了函數的轉換：由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得f（a1）-π+f（a2）-π+…+f（a5）-π=0， 所以f（x）-π=2x-cosx-π=2x-■-cosx=2x-■+sinx-■，若以x代替x-■，則f（x）-π可轉化為g（x）=2x+sinx，所以函數g（x）是由函數f（x）向左平移■個單位，再向下平移π個單位得到的，另外容易驗證：g（-x）=-g（x）且g′（x）>0，即函數g（x）在R上為奇函數且為增函數.

令an-■=bn，則g（b1）+g（b2）+…+g（bn）=0，且{bn}也是以■為公差的等差數列. 由奇函數的對稱性以及g（x）為增函數可知，b3有且只有一解0，于是a3=■，所以[f（a3）]2-a1a5=■π2.

教師點評：與原題一樣，我們通過歸納法發現了這道高考題中函數的性質，于是有些學生就有目的地將原函數進行轉換，最終揭示了這道高考題的本質，是命題者將一個單調遞增的奇函數通過左右、上下平移形成的新函數，再結合等差數列的對稱性命制的，我們從解題實踐的角度出發，還是要想辦法先發現結論，作為平時學習也需要通過論證來揭示本質.

■教學實踐的感悟