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關鍵詞 人臉識別；主成分分析；奇異值分解；特征值分解
中圖分類號 TP3 文獻標識碼 A 文章編號 1674-6708（2017）179-0040-02
隨著人工智能的飛速發展，人臉識別吸引了越來越多的關注及研究。主成分分析因為其方便簡單的特點成為比較常用的方法之一，而SVD分解又成為主成分分析中的主流實現方法，但該方法有一定缺陷，比如處理大矩陣效率較低。為了得到更高效率的主成分分析方法，越來越多的工作者開始研究如何提高主成分分析的效率。
經過研究，當矩陣的兩個維度相差很大時，將矩陣與其轉置相乘得到相關矩陣，即一個維度較小的矩陣，再求其特征值與特征向量能夠得到與直接進行SVD分解相同的結果，而上述相關矩陣求特征值的替代方法卻能極大地提高效率。
第二節將詳細介紹基于SVD的主成分分析和基于特征值分解的替代算法的基本原理。第三節將詳細介紹的兩種方法對應的實驗步驟。第四節將詳細比較這兩種方法的異同，主要是算法耗費時間的差異。第五節總結根據我們設計的實驗得到的結論。
1 基本原理
主成分分析的主要思想是提取出訓練集中圖片的主成分，使測試集與其主成分做內積觀察結果，進而將人臉圖片與其他圖片相區別。
我們將訓練集的圖片讀入，并將每一張圖片都拉成“一條向量”放在一個矩陣的一行中，減去平均值，此時的圖像矩陣示意圖如下：
我們的數據集共有35個圖片，圖片拉長之后的向量長為108×75=8 100，故矩陣的行數為8 100，列數為35。可知這是一個行列維度相差很多的矩陣。
1.1 基于SVD的主成分分析
奇異值分解是主成分分析的主流方法，其原理在于將原矩陣P分解為3個矩陣相乘：
U×S×V=P
其中U和V是單位正交矩陣，S是對角陣。通過這樣的分解，我們得到U和V代表兩個維度上的主成分，而S的對角元素代表對應主成分的重要程度。在本實驗中，V的每一行有著明確的物理意義，代表圖片的主成分。
1.2 基于相P矩陣特征值分解的快速算法
當需要奇異值分解的矩陣在兩個維度上相差較大時，我們可以用相關矩陣特征值求解的辦法來提高計算效率，并且得到相同的結果。首先我們需要得到P的相關矩陣R：
然后，將奇異值分解的結果帶入相關矩陣，由于正交陣的轉置即是它自身的逆，故不難發現經過推倒得到了特征值分解的形式，所以我們僅需要做特征值分解的計算即可得到奇異值分解中的S和U矩 陣。
至此，我們用相關矩陣求特征值分解的方法已經完全求出奇異值分解的結果。
2 實驗方法
訓練集由35張人臉的灰度圖像構成，如圖2：
測試集如圖3：
實驗過程由matlab仿真進行。首先，我們將訓練集的圖片讀入，并將每一張圖片都拉成“一條向量”放在一個矩陣的一行中，減去平均值，待后續處理。在傳統的方法中，我們對該矩陣進行SVD分解，但由于兩個維度相差過大，導致較大的維度上的值相對很小，故而在正規奇異值分解算法中浪費了很多時間，而這也正是SVD分解算法效率較低的關鍵。實驗中，我們就傳統算法和相關矩陣的特征值算法進行了討論。繼而，我們對SVD的中間的對角陣觀察對角元素，可知最大項約為次大項的一倍，故可知在后續的分類中，只需考慮最大項對應的主成分。在訓練集輸入完成以后，我們將待檢測圖片按照同樣的方法拉成“一條向量”，再與最大主成分求相關系數，即直接做內積并與前面圖片作比較即可，可知人臉和馬臉圖片的運算結果相差一個數量級，故而得以區分。
3 實驗結果
在上述實驗過程中，將矩陣分解為U×S×V，左右兩個矩陣為標準正交陣，中間是對角陣。觀察對角陣元素見圖4。
可知第一個項是第二個2倍左右，相差較多，故我們可以重點區分以是否像第一個主成分作為判別標準。即第一項可以被看作人臉圖像的最主要成分。我們將第一主成分經過線性放縮到0到255灰度值區間并可視化觀察，如圖5左，可以看作是一個近似每張人臉平均的這樣一個結果。而實際上排序相對靠后地主成分也有特定地物理含義，例如第4個主成分，如圖5右，主要表征了肩上頭發的多少的區別。
我們用主成分去和測試集地人臉圖片和馬臉圖片分別作內積，得到圖6。可明顯觀察到，測試集人臉圖片和上面分析的主成分進行內積明顯高于測試集馬臉地內積結果。我們根據圖中觀察可得出將2 000設為判定是否為人臉地閾值：即當內積值大于或等于2 000，我們把測試圖片判定為人臉，若內積值小于2 000，我們把測試圖片判定為非人臉。
4 算法對比
我們經過原理分析和實驗結果均證明兩種方法得到的結果完全相同。但是兩者的耗費時間卻相差很多，我們在matlab上進行試驗，對比運行時間發現，傳統SVD方法耗時約2.7S，而我們的基于特征值分解的快速替代算法耗時約0.0026S，效率提高了大約1 000倍。這在大量級數據集上將發揮著至關重要的作用。
5 結論
基于SVD主成分分析人臉識別方法是一種簡單可靠的方法，能夠得到很清晰的分類效果。而其效率較低地問題在待分解矩陣維度相差較大情況下可以通過特征值分解的方式，在保證得到相同結果的前提下，大大提高算法運行效率。
參考文獻
[1]何婧，馮國燦.奇異值分解在人臉識別中的應用[J].廣東第二師范學院學報，2006，26（3）：92-96.
[2]羅小桂.矩陣奇異值分解（SVD）的應用[J].井岡山醫專學報，2005，12（4）：133-135.
[3]梁毅雄，龔衛國，潘英俊，等.基于奇異值分解的人臉識別方法[J].光學精密工程，2004，12（5）：543-549.
教學過程
一、創設情境，激趣引新
師：下面同學們先看一道生活中的問題，自己獨立思考根據題意把方程列出來（大屏幕投影）.
1. 一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行100千米，與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等，求江水的流速是多少？
（學生自主探究與同伴互助列出方程.）
師：哪位同學回答這個問題？
生：設江水的流速為x千米/時，則順流速度為（20+x）千米/時，逆流速度為（20-x）千米/時，根據題意“順流航行100千米與逆流航行60千米所用時間相等”，所以方程應為■=■ .
師：思路很明確.江水中的輪船是順流而下走得快，逆流而上航行的慢，那同學們看我們的學習是應該逆流而上呢還是應該順流而下？
生（眾）：逆流而上！
師：這種類型的方程，我們以前接觸過嗎？那我們以前曾學過哪幾類方程？你能舉出幾個例子嗎？
生1：我們學過一元一次方程；如：3x-1=0 等.
生2：還有二元一次方程；如：2x+3y=6等.
師：仔細觀察，這些方程的兩邊都是怎樣的式子？
生（齊）：是整式.
師：我們把這些方程都叫做整式方程.那么，我們剛才所列的方程與這些整式方程有什么區別？
生1：這個方程的未知數在分母里.
生2：這個方程的分母中含有未知數.
師：同學們觀察得非常細致，總結得太棒了！我們就把這種分母中含有未知數的方程叫做分式方程.（板書分式方程的概念），同學們想一想分式方程的特征是什么？
生：分母中含有未知數.
師：下面我們作一個小練習：判斷下列各式哪個是分式方程.
（1）3x+2y=1； （2）■=■； （3）■；
（4）■=0； （5）x+■=1.
生：（1）（2）是整式方程；（3）是分式；（4）（5）是分式方程.
師：分式方程和我們以前研究的一（二）元一次方程一樣能刻畫現實世界，是一種反映現實世界的數學模型，但從形式上又與它們不同：分母中含有未知數，那么如何解分式方程呢？
二、追根溯源，探究解法
師：同學們已經知道了什么是分式方程，那下一步就是要考慮怎樣解分式方程了？
首先，我們先看一個一元一次方程x-■=■-2， 哪個同學能解呢？
（生板演，大屏幕顯示解答步驟.）
師：非常好，那么這個分式方程■=■你會不會解呢？要求同學們先獨立思考，給你們3分鐘時間解出方程，要求檢驗所得結果，解完后可以與前后桌討論解題方法.（學生獨立思考解方程.）
師：（巡視同學解題情況，看同學們大部分都完成了任務），哪位同學能把自己的解法講給同學們？
生1：利用分式的基本性質，方程化為
■=■，因為分母相同則分子也相等，得：100（20-x）=60（20+x），所以x=5.
師：好，哪位同學還有不同的解法？
生2：我是通過去分母來化簡方程的.方程■=■兩邊都乘以最簡公分母（20+x）（20-x），得100（20-x）=60（20+x），所以x=5.
師：還有不同解法嗎？
生3：利用比例的性質“內項之積等于外項之積”，這樣做也比較簡便，得100（20-x）=60（20+x） ，所以x=5
師：這三位同學的解法都很好，很有創意，大家給點表揚（鼓掌）.他們的解法不同，但不同在哪兒呢？各自的依據是什么？
生（眾）：一個是利用分式的基本性質，一個是利用等式的基本性質，一是利用比例的性質.
師：對，這三種解法的不同我們找出來了，那他們的解法有相同的地方嗎？又相同在哪兒？大家討論一下.
（學生同座或前后座立馬投入討論.得出結論：都是由分式方程化為整式方程.）
師：我們解分式方程要在方程兩邊乘以最簡公分母，去分母后變為整式方程，再解這個方程，得出分式方程的解.（本節課的重點清晰的呈現在學生面前-解分式方程的關鍵-把分式方程轉化為整式方程.）
三、乘勝追擊，再探新知
師：下面咱們再解一個難點兒的方程，要求驗根”.大屏幕投影出：
解分式方程：■=■.
（學生獨立思考，在方程兩邊同乘（x+5）（x-5），得整式方程x+5=10，解得x=5，將x=5代入原分式方程檢驗，發現這時分母x-5和x-25的值都為0，相應的分式無意義，因此，x=5雖是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程■=■的解，實際上，這個分式方程無解.驗根時發現問題：所得結果5使原方程分母為0，此時教室有點亂了，有同學認真檢驗自己解題過程并無錯誤，開始和同桌及前后同學討論了.）
師：（巡視，看火候差不多了）同學們是不是發現解方程得出x=5不是分式方程的解，分式方程還有沒有解呢？分式方程此時就沒有解了，為什么兩個方程，一個有解，一個無解，而產生無解的原因是什么？
（學生自主探究，同伴交流，各抒己見，踴躍發言探討分式方程無解的原因.）
師：利用黑板總結學生發言，去分母時，方程2，當x=5時（20+x）（20-x）≠0方程兩邊同時乘以不為0的式子，因此，所得整式方程的解是2的解；方程3，當x=5時（x+5）（x-5）=0，方程兩邊同時乘以一個等于0的式子，這時所得整式方程的解使方程3出現分母為0，因此x=5不是方程3的解.因為0乘以任何數都等于零，從而擴大了方程解的范圍.這就是分式方程無解的原因.
師：我們已經明白了本節難點“分式方程可能無解的原因”，現在大家回顧思考在解分式方程時驗根的方法是什么？
生：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.
（學生理解分式方程可能無解的原因，突破了難點，并掌握了解分式方程驗根的方法.）
四、 水到渠成，范例引路
師：下面同學們一起看兩個例題，學生思考解答.
例1：解方程■=■.
生板演：解：方程兩邊同乘x（x-3），得 2=3x-9，解得 x=9，檢驗：x=9時x（x-3）≠0，x=9是原分式方程的解.
例2：解方程■-1=■.
生板演：解：方程兩邊同乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-（x-1）（x+2）=3 化簡，得x+2=3 解得x=1.
檢驗：x=1時（x-1）（x+2）=0，x=1不是原分式方程的解，原分式方程無解.
師：這兩名學生都做對了，這兩上分式方程一個有解，一個無解.
師：同學們翻到課本29頁做練習，教師提問四名同學板演.
生：講解解題過程，互相評價.
師：這幾個同學做得很好，同學們都會解分式方程了，下面同學們思考討論.請同學們歸納解分式方程的基
本思想，基本方法和基本步驟？
學生歸納：（大屏幕顯示）.
五、 畫龍點睛，建構體系
師：回顧一下在這一節課中你都學了什么？
生：1. 分式方程的概念. 2. 分式方程的解法. 3. 解分式方程必須要驗根.
對于形如“af（x）+b =c”（其中a、b、c為常數，f（x）是關于x的二次代數式）”的可化為一元二次方程的分式方程，一般來說都可以用如下五種方法來解.下面我以方程 + =7為例，談談這五種方法的具體求解過程.
一、倒數換元法
觀察分式方程“af（x）+b =c”，我們不難發現它有一個明顯的特點是：f（x）與 互為倒數.對于此類問題，最簡明的求解方法就是利用倒數換元法來求解.因此我們可以假設f（x）=y，那么 = ，這樣一來，經過換元后關于新變量y的方程的次數就降低了，問題也就容易解決了.
解法一：設 =y，則 = （y≠0），原方程變形得2y+ =7.
去分母，得2y -7y+6=0，解之得y =2，y = .
當y =2時， =2，去分母，化簡得x -2x-1=0，解之得x=1± ；
當y = 時， = ，去分母，化簡得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.
二、均值換元法
由于分式方程“af（x）+b =c”的左邊兩個含有變量x的式子的和是一個常數c，因此如果假設af（x）= +t，b = -t，由于f（x）與 互為倒數，因此將兩式相乘可以得到ab= -t ，再由這個方程可以解得t，然后把t的值代入af（x）= +t中求得x.結合上述方程具體解法如下.
解法二：設 = +t， = -t，
將上述兩式相乘可得12= -t ，解之得t = ，t = .
當t = 時， = + ，去分母，得2（x +1）=4（x+1），化簡得x -2x-1=0，解之得x=1± ；
當t =- 時， = - ，去分母，得2（x +1）=3（x+1），化簡得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.
三、利用根與系數關系來解
仔細觀察分式方程“af（x）+b =c”的特點，不難發現它有兩個特點：①af（x）+b =c；②af（x）×b =ab，其中c與a×b都是常數.正好符合一元二次方程中的根與系數關系式，因此我們可以把af（x）與b 看做是一元二次方程“y -cy+a×b=0”的兩個實數根，我們只要解這個一元二次方程就可以得到af（x）與b 的值，從而進一步求得原方程的解.
解法三：由于 + =7， × =12，因此我們把 與 看做是一元二次方程“y -7y+12=0”的兩個根.解這個一元二次方程得y =4，y =3.
若 =4，則 =3，由方程 =4，去分母，得2（x +1）=4（x+1），化簡得x -2x-1=0，解之得x=1± ；
若 =3，則 =4，由方程 =3，去分母，得2（x +1）=3（x+1），化簡得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.
四、十字相乘因式分解法
如果將分式方程進行移項或者去分母，再經過適當整理后，使得方程的右邊是0，方程的左邊是易于利用十字相乘法分解因式的式子，那么就可以利用十字相乘法來解此類方程.
解法四：移項得 + -7=0，利用十字相乘法分解因式得 + -7=-（ -1）（ -3）=0，于是可以得到 -1=0或 -3=0.
當 -1=0時，整理得x -2x-1=0，解之得x=1± ；
當 -3=0時，整理得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.
另解成：方程兩邊同時乘以（x +1）（x+1）去分母，移項得2（x +1） -7（x +1）（x+1）+6（x+1） =0，利用十字相乘法進行分解因式得[（x +1）-2（x+1）][2（x +1）-3（x+1）]=0，于是可以得到（x +1）-2（x+1）=0或2（x +1）-3（x+1）=0.
當（x +1）-2（x+1）=0時，整理得x -2x -1=0，解之得x=1± ；
當2（x +1）-3（x+1）=0時，整理得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.
五、待定系數因式分解法
在解方程 + =7時，在學習用換元法解這個方程之前，大部分學生習慣上直接用去分母法來解，即方程兩邊同時乘以（x +1）（x+1），去分母、去括號、移項得2x -7x +3x +5x+1=0.當學生在解這個高次方程有困難時，教師可以引導學生觀察方程2x -7x +3x +5x+1=0的特點，可以發現：x 的系數是2；常數項是1.根據這個特點，用待定系數法分解因式時只有兩種可能.
解法五：方程兩邊同時乘以（x +1）（x+1），去分母、去括號、移項得2x -7x +3x +5x+1=0.用待定系數法分解因式：
①設2x -7x +3x +5x+1=（x +ax+1）（2x +bx+1），去括號，合并同類項得，2x -7x +3x +5x+1=2x +（2a+b）x +（3+ab）x +（a+b）x+1，于是有2a+b=-73+ab=3a+b=5，求解方程組時，發現此方程組無解，說明此種分解不符合題意.
②設2x -7x +3x +5x+1=（x +ax-1）（2x +bx-1），去括號，合并同類項得，2x -7x +3x +5x+1=2x +（2a+b）x +（-3+ab）x -（a+b）x+1，于是有2a+b=-7-3+ab=3-（a+b）=5，
關鍵詞：水利工程 施工監理 控制
1、水利工程建設特點
水利工程建設是現代化建設的項目之一，具有以下特點：（1）社會影響力大。水利工程是民生工程，是針對水資源分布不均的問題提出的工程建設，調節水資源分布、滿足人們日常生活需要，有著重要的社會效益；（2）水利工程建設的工作環境艱苦。工程建設系統化，規模龐大，區域跨度大，集中在干旱區域居多，受到自然環境因素影響大；（3）水利工程建設任務重，進度緊張。水利工程是國家的重點工程，建設任務繁重，施工質量要求較高。
2、水利工程建設監理工作存在的問題
2.1對監理工作的重視程度不夠
在水利工程建設中監理是非常重要的部分，其主要是對整個水利工程進行監督和管理，目前在水利工程建設中都是由專門的監理進行執行。但是從如今的工程建設情況來看，施工單位和委托單位對于監理工作不太重視，使得監理工作不能有效開展。同時對于水利工程監理工作來說大部分企業沒有高度重視該部分的工作，監理人員也沒有真正的管理權力，從而不能發揮其作用，對于工程建設沒有起到促進作用。
2.2監理體系不健全，監理制度不完善
就目前的情況來看，在水利工程建設中還存在很多問題，主要是管理制度不完善，管理責任不明確。在實際應用中沒有完善的監理制度，包括會議制度、驗收制度、檢驗制度和監理人員工作考核制度，同時也缺乏很多的監督保障機制，對于監理內容規定也不全面，人員的分配也存在很多問題，從而都會直接影響到工程的質量和進度，影響工程的建設，因此進一步加強對其的研究非常有必要。
2.3施工監理人員的工作素養不高
隨著社會的發展，對于水利工程監理要求不斷提高，但是目前監理人員的整體素質還存在很多問題，其主要是素養方面，不具備專業的工程監理基礎知識理論和實踐經驗，對水利工程的監理內容一知半解，不能夠采取有效的監理方式和控制措施，導致工程造價以及工程成本的增加。
3、水利工程施工監理控制措施
3.1加強監理人員隊伍建設
現代水利工程項目施工監督與管理工作，需要監理人員具有較高的素質，除了具備較強的專業技能外，還需要具有較強的安全責任意識，以做好施工監理工作。水利工程建設單位與承包商等，要提高水利工程監理單位選擇標準，選擇具有較高監理水平的單位，因此調動監理單位完善自身的資質。監理單位若想獲得水利工程監理資格，則需要加強監理人員隊伍建設，針對現代水利工程施工采取的技術與設備等，做好施工監理工作計劃，以及人員培訓工作，使其能夠具備監理技能。監理人員則需要提高自身的能力，在施工開始前，做好監理中施工資料的搜集工作，明確施工階段監理工作，做好施工監理工作，制訂監理工作方案，為后期監理工作提供工作方向。
3.2采取有針對性的監理方式
在對水利工程施工階段進行施工監理時，需要重視施工排水問題，防止地表水倒灌，影響水利工程基礎施工的質量。監理單位需要監督施工單位，使其能夠做好施工排水系統建設工作，制訂科學的施工方案，做好施工安全維護工作，確保水利工程施工質量與安全。對于施工監理階段出現的問題，則需要做好施工問題排查以及總結工作，做好施工質量循環管理工作。除了采取相應的處理措施外，還需要在后續施工中，加強對此類問題的重視工作，避免此類問題再次發生。為了確保水利工程施工的安全性，在開展地下洞室以及明挖作業時，則需要做好支護防護措施，監理單位需要協助施工單位，做好圍巖數據檢查工作，基于圍巖數據參數信息，做好臨時支護搭建工作，同時設置應急設施，包括錨桿與鋼支撐等，防止出現施工安全事故。控制混凝土配合比，合理選用混凝土標號，基于施工設計標準進行混凝土配比控制，確保水利工程的施工質量。
3.3監理人員對施工圖紙、和施工材料的審核
項目工程施工前，監理人員、項目負責人、設計單位、施工方需要對施工圖紙進行會審，并作詳細記錄。會審中，對設計圖紙中國提出的相關問題設計人員需用書面形式給予合理的解釋說明，對圖紙中已經發現的問題錯誤更要以設計變更通知的形式更正。圖紙審查合格后，對審計記錄和變更通知要由監理人員、項目負責人、設計單位、施工方共同聯合簽發。
項目施工中的材料和中間產品的質量必須符合國家的標準，進場使用前要對材料產品取樣試驗，檢測合格后方可進場使用。施工設備必須有合格證書、使用說明和安裝說明和技術文件，進場后的施工設備要定期保養。監理人員也要對施工中使用的原材料、設備等進行重點跟蹤審查、不定期抽樣測試，一旦發現問題，及時解決，及時處理。
3.4監理工程師要重視工作總結
每個監理完成工程后，項目監理部需要每位監理人員提交本項目監理工作的總結，這也是考核監理工程師工作績效的根據之一。各監理人員要仔細實施總結，主要是在監理工作中的詳細做法、好的建議、心得體會等。監理工作的經驗能夠是使用某種監理技術、方法的經驗，也能夠是使用某種經濟方法、組織方法的經驗，還有監理合同實施方面的經驗，怎樣處理好和業主、承包商關系的經驗，監理工作中存在的問題和改進的措施等等。只有經過監理工程師間的持續交流、學習與總結，才可提升監理工程師的水平，推動提高監理工作水平。
3.5做好投資控制
任何項目的興起和開展，都離不開資金的基本支持。只有足夠的資金，才能推動工程的建設；只有做好投資的控制，才能保證工程的收益。投資控制作為水利水電工程監理控制體系的另外一大重點工種，施工監理工作者也要按照國家的有關法律、簽好的合同，有步驟有規程地對工程投資進行監管，保證各項投資都能把作用發揮到極致，從根本上控制好施工投資帶來的風險問題，最終提升整個水利水電工程的經濟利潤。資金作為一切企業和工程項目存在、運作、發展、強大的基本支持，充足的資金才是維持企業和項目整體生命力的血液。做好資金管理工作，就意味著要強力控制水利水電工程項目施工對應的資金體系和財務系統，并且跟進施工進程，把好施工質量的檢查關口。比如，相關單位在適當時機需要拒付某些工程款，這在一定程度上能起到刺激施工者的積極性效果，以免出現領導不作為、施工人員作業粗糙，施工質量低劣的情況出現。
3.6強化進度控制
水利水電工程建設的施工監理控制，是以目標工程的實際執行狀況為參考基礎的，把握全局，有效地控制工程的進度問題，促進水利水電工程在既定周期內圓滿竣工，確保經濟效益不會受到損害。施工監理在科學的監控下，可以快速挖掘施工弊端，快速反應，解決問題。
結語
綜上所述，水利工程是國民基礎設施工程，俗話說，百年大計，質量第一，像水庫大壩、河道等建設質量，直接影響人民的財產安全，如何做好施工階段的監理工作，并著力提高監理質量，提升監理人員綜合素質，是值得廣大施工單位高度重視的問題。監理人員應根據工程實際情況和需要，分配監理內容，明確其工作職責，并在其專業薄弱處予以彌補，完善其工作，使得監理的總體狀況保持較高的水準，以適應當前水利工程監理工作的需要。
參考文獻
[1]王海富.水利水電施工過程質量監控管理探析[J].工程技術研究，2016，（5）：184-185.
一、漏掉“檢驗”，解答過程不完整或產生增根
例1 解方程：[1x-3]=[3x].
【錯解】方程兩邊同乘x（x-3），得：
x=3（x-3），
解這個方程，得：
x=[92].
所以x=[92]是原方程的解.
【分析】本題中缺少解分式方程的重要步驟――檢驗.錯解的最后一步改為：“檢驗：當x=[92]時，x（x-3）≠0，所以x=[92]是原方程的解”.
【點評】解分式方程的一般步驟是：（1）去分母，把分式方程轉化為整式方程；（2）解整式方程；（3）檢驗，在求出未知數的值后應檢驗這個值是否使得原方程有意義且成立.
例2 解方程：[x-2x+2]-[x+2x-2]=[16x2-4].
【錯解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：
（x-2）2-（x+2）2=16，
解這個方程，得：x=-2.
所以x=-2是原方程的解.
【分析】本題方程中未知數x的取值范圍是x≠-2且x≠2，但是在去分母把分式方程轉化為整式方程后，未知數x的取值范圍擴大為任意實數，所以x=-2是原方程的增根.這里漏掉“檢驗”導致了錯誤.本題錯解的最后一步改為“檢驗：當x=-2時，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，所以原方程無解”.
【點評】解分式方程時要注意未知數的取值范圍，作為檢驗方程解的條件.
二、常數項漏乘公分母，解答錯誤
例3 解方程：[x2x-5]+[55-2x]=1.
【錯解】方程兩邊同乘（2x-5），得：
x-5=1，
解這個方程，得：x=6.
檢驗：當x=6時，2x-5≠0，所以x=6是原方程的解.
【分析】本題中去分母時方程右邊的常數項“1”沒有乘（2x-5），并且在“檢驗”時沒有發現x=6不符合原方程。
【點評】此類錯誤很難檢查出來，所以在解可化為一元一次方程的分式方程時，要認真做好每一步，避免出現類似的錯誤.
【正解】方程兩邊同乘（2x-5），得：
x-5=2x-5，
解這個方程，得：x=0.
檢驗：當x=0時，2x-5≠0，
所以x=0是原方程的解.
三、忽略分數線的括號作用，解答錯誤
例4 解方程：[2x-2]+3=[1-x2-x].
【錯解】方程兩邊同乘（x-2），得：
2+3（x-2）=-1-x，
解這個方程，得：x=[34].
檢驗：當x=[34]時，x-2≠0，
所以x=[34]是原方程的解.
【分析】本題方程右邊的分式[1-x2-x]乘（x-2）后應得-（1-x），正確結果為x=[32].
【點評】分式中的分數線具有括號的作用，如果分子是多項式，那么去分母時應用括號把分子括起來.
四、數量關系理解不清，導致用方程解決實際問題錯誤
例5 一輛汽車從甲地開往相距90千米的乙地，出發后第一個小時按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前20分鐘到達乙地.求前一個小時的行駛速度.
【錯解】設前一個小時的行駛速度為x千米/小時，則一小時后的速度為1.5x千米/小時.
根據題意，得：[90x]-[901.5x]=20
【分析】本題中時間表達式錯誤且時間單位不統一.根據行程問題中的路程、速度、時間三者的關系可得，原計劃的時間為[90x]小時，實際所用的時間應為[1+90-x1.5x]小時，相等關系是：原計劃的時間-實際的時間=20分鐘，但所設未知數的單位是千米/小時，所以應將20分鐘化為[13]小時，正確的方程為：
[90x]-[1+90-x1.5x]=[13]，
解得：x=45.
經檢驗，x=45是所列方程的解，所以前一個小時的行駛速度是45千米/小時.
上學期期末考試的成績不及格，總體來看，成績比較不理想。在學生所學知識的掌握程度上，大部分學生能夠透徹理解知識，知識間的內在聯系也較為清楚，但個別學生連簡單的基礎知識還不能有效的掌握，成績較差。在學習能力上，一些學生課外主動獲取知識的能力較差，向深處學習知識的能力沒有得到培養，學生的邏輯推理、邏輯思維能力，計算能力需要進一步加強，以提升學生的整體成績；在學習態度上，絕大部分學生上課能全神貫注，積極的投入到學習中去。
二、本學期教學內容（概念、法則、原理等）和目的要求：
本學期教學內容，共計六章，第一章《一元一次不等式和一元一次不等式組》本章通過具體實例建立不等式，探索不等式的基本性質，了解一般不等式的解、解集、解集在數軸上的表示，一元一次不等式的解法及應用；通過具體實例滲透一元一次不等式、一元一次方程和一次函數的內在聯系．最后研究一元一次不等式組的解集和應用．第二章《分解因式》本章通過具體實例分析分解因式與整式的乘法之間的關系揭示分解因式的實質，最后學習分解因式的幾種基本方法．第三章《分式》本章通過分數的有關性質的回顧建立了分式的概念、性質和運算法則，并在此基礎上學習分式的化簡求值、解分式方程及列分式方程解應用題．第四章《相似圖形》本章通過對兩條線段的比和成比例線段等概念的學習，全面探索相似三角形、相似多邊形的性質與識別方法．第五章《數據的收集與處理》主要是概念的理解與運用．第六章《證明一》本章主要內容是命題的相關概念、分類及應用．
重點（1）掌握不等式的基本性質，一元一次不等式（組）的解法及應用．（2）掌握分解因式的兩種基本方法（提公因式法與公式法）．（3）掌握分式的基本性質、四則運算、分式方程的解法及列分式方程解應用題．（4）成比例線段的概念及應用和相似三角形的性質和判定．（5）調查方法的應用．（6）命題的推理論證．
難點（1）對不等式的基本性質的理解和熟練運用，一元一次不等式（組）的應用．（2）提公因式法與公式法的靈活運用．（3）分式的四則混合運算和列分式方程解應用題．（4）靈活運用比例線段和相似三角形知識能力的培養．（5）幾個概念的理解、區別和應用．（6）命題的推理論證．
三、為了達到本學期教學目的要求將采取的具體措施是什么？教學方法上做哪些改革？
1、認真研讀新課程標準，鉆研新教材，根據新課程標準，擴充教材內容，認真上課，批改作業，認真輔導，認真制作測試試卷，也讓學生學會認真學習。
2、興趣是最好的老師，激發學生的興趣，給學生介紹數學家，數學史，介紹相應的數學趣題，給出數學課外思考題，激發學生的興趣。
3、引導學生積極參與知識的構建，營造民主、和諧、平等、自主、探究、合作、交流、分享發現快樂的學習課堂氛圍，讓學生體會學習的快樂，享受學習。
4、運用新課程標準的理念指導教學，積極更新自己腦海中固有的教育理念，不同的教育理念將帶來不同的教育效果。
5、培養學生良好的學習習慣，陶行知說：教育就是培養習慣，有助于學生穩步提高學習成績，發展學生的非智力因素，彌補智力上的不足。
四、本學期教學進度安排表：
單元章節教材內容課時預計上課日期
一元一次不等式與一次函數2 第2周2.28－3.1
一元一次不等式組3 第2周3.2－3.4
復習小結2 第3周3.7－3.8
第二章《分解因式》分解因式1 第3周3.9
提公因式法2 第3周3.10－3.11
運用公式法2 第4周3.14－3.15
復習小結1 第4周3.16
第三章《分式》分式2 第4周3.17－3.18
分式的加減法2 第5周3.22－3.23
復習小結2 第6周3.29－3.30
第四章《相似圖形》線段的比2 第6周3.31－4.1
黃金分割1 第7周4.4
形狀相同的圖形1 第7周4.5
相似多邊形1 第7周4.6
相似三角形1 第7周4.7
探索三角形相似形的條件2 第8周4.11－4.12
測量旗桿的高度1 第8周4.13
相似多邊形的性質2 第8周4.14－4.15
頻數與頻率2 第12周5.9－5.10
數據的波動2 第12周5.11－5.12
第六章《證明一》你能肯定嗎1 第13周5.16
定義與命題2 第13周5.17－5.18
為什么它們平行1 第13周5.19
在課堂教學中精心設計問題，并根據教材內容設計啟發方式，編出合理的導語，以激發學生的求知欲，使學生處于興奮狀態，產生自己看書解決問題的沖動。
采用何種啟發方式，關鍵要看教材的內容。例如，當教材內容具有從直觀到抽象的特點時，以學生進行“觀察”為主，可以借助電教設備或其它教學用具，作為觀察的手段；當教材內容邏輯性很強，有從假設到證明的特點時，以多設計問題為主；當教材內容具有從舊知識到新知識的特點時，應以回顧解題方法、解題思路為主。無論教材內容有什么特點，教師都要把握好“度”，使設計的問題恰到好處，即以“智”為核心，強化學生自己解決問題的主體意識。同時，設計的問題要留有一定的想象空間，要讓學生感覺他們能解決，以便發揮他們的想象力和創造力。例如，在學習一元二次方程的解法時，我是這樣設計的：
問：進入中學以來，我們首先學習的方程是一元一次方程及其解法，又學習了二元一次方程組和分式方程，請回答：二元一次方程組和分式方程的解題思想分別是什么？解題方法分別是什么？
答：二元一次方程組解題思想是化二元一次方程組為一元一次方程，方法是消元。分式方程的解題思想是化分式方程為整式方程再化為一元一次方程，方法是去掉方程兩邊的分母。
問：消元有哪些方法？怎樣去掉分母？
答：消元有代入消元法和加減消元法。在分式方程兩邊都乘以最簡公分母可以去掉分母。
問：以上兩種類型題都可以轉化為一元一次方程解決，但轉化方法不同。那么，一元二次方程是否也可以轉化為一元一次方程去解呢？如果可以，又有哪些方法呢？
學生們紛紛猜測，發揮著他們的想象力，而后讓學生自己看書，通過自學，尋找準確答案。問題解決了，學生得到自我鼓勵，感受到“智”的樂趣，在不知不覺中樹立和強化了自學意識。
二、加強讀書方法的指導
讀數學書是一種以思維為核心的理解性學習，要讓學生反復琢磨，潛心領會，深入思考。同時，要教會學生“粗讀、細讀、精讀”的方法。“粗讀”，就是知其大意，找出不了解、但又需要細讀的部分；“細讀”就是要鉆研教材的內容、概念、公式和法則，掌握例題的格式，分析關鍵的字詞、語句和符號標記；“精讀”就是對內容加以概括、記憶，并用相關的知識做練習。待學生熟悉了這些基本方法后，輔之以讀書提綱，由學生自學。
教師要精心設計讀書提綱：要根據教學目標，幫助學生提煉出重點；要設計梯度，幫助學生突破難點；要給出提示，幫助學生學會科學的思維方法。如，學習第八章《分式》中“分式的基本性質”時，提綱中可以提示：找出本節分數與分式比較的內容，分析它們的相同點和不同點，以便更準確地學習新概念，這是我們經常使用的思維方法，即比較法。教師要經常有意識地把教科書中涉及到的思維方法、數學思想方法等在提綱中提示給學生。仍以比較法為例，運用比較法，可以幫助學生消除知識的混淆和割裂現象，使知識連線成網。縱向，學生理解得深刻；橫向，學生理解得廣闊。
三、減少隨意性，增強計劃性
關鍵詞：數學思想、數學教學、滲透
《初級中學數學教學大綱》指出:“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想和方法。”這就要求我們在數學知識教學的同時，必須注意數學思想和方法的滲透。只有這樣，才能促進學生數學能力的發展，推動學生思維品質的提高。那么，如何在初中數學教學中滲透數學思想方法呢？
一、 在備課時，注重數學思想的挖掘。
數學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數學思想方法卻隱含在數學知識體系里，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節中。這就要求教師在備課時，不但備數學基礎知識、基本技能，更應該挖掘知識間隱藏的數學思想，因此，教師在教學過程中一定要研究大綱，吃透教材，把教材中蘊涵的數學思想、方法精心設計到教案中去。比如，在講數軸、相反數、絕對值等知識時，教師只有把握住數形結合思想，并堅持節節課滲透，學生才能抓住知識的本質，從而更好的形成數學技能和思維。
二、 在上課時，注重數學思想的滲透。
(1) 在知識的形成過程中注重數學思想的滲透。對于數學而言，知識的發生過程，實際上也是數學思想方法的發生過程。因此，必須掌握好教學過程中進行數學思想方法的滲透時機和分寸。比如在講《探索規律》時，教師從兒歌引入：“一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水；兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿，撲通兩聲跳下水…”教師在此提問：“這個兒歌能唱的完嗎？你怎樣用簡潔的話概括它呢？”通過這個問題的引入和講解，自然地滲透了化歸思想和有特殊到一般的思想。通過數學思想方法和生活實際的有機結合，教師自然滲透了數學思想和方法，啟發學生領悟到蘊含于數學知識之中的種種數學思想方法。再比如在講九年級《分式方程》一節，教學時不能只簡單介紹分式方程的概念和解法，而是從復習整式和分式的概念出發，然后依據辯證思想自然引出分式方程，接著帶領學生領會兩個概念的對立性和統一性，再利用未知與已知的轉化思想啟發學生說出分式方程的解題基本思想，從而發現兩種方程在解法上雖有不同，但卻存在內在的必然聯系。這樣，學生在知曉整式方程與分式方程概念和解法的辯證關系后，就體現了分式方程與整式方程的對立統一思想，就能進一步理解和掌握分式方程，收到一種深入淺出的教學效果。
（2）在方法的提升過程中注重數學思想的滲透。教學中那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數學思想、方法的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高數學思想方法是在啟發學生思維過程中逐步積累和形成的。為此，在教學中，首先要特別強調知識體系形成之后，在方法提升中注重數學思想的總結和滲透。比如從研究過程上來看，二次函數的學習也體現了研究函數的一般套路和方法，研究“二次函數y=ax2的圖像和性質”可以類比研究反比例函數的圖像和性質來進行。也就是先畫出函數圖象，然后從圖像上觀察函數的性質注意，最后用數學語言描述這些性質，用數形結合地研究函數的圖像與性質。
（3）在應用的訓練過程中注重數學思想的滲透。初中數學中有許多體現“分類討論”思想的知識和技能。比如，在講等腰三角形時，（1）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是50°，那么等腰三角形的頂角是多少？（2）直角三角形兩邊長分別是3和5，那么這個三角形斜邊上的高時多少？所有這些，充分體現了分類討論的思想方法，通過解決這類問題，有利于學生全面的分析解答問題，有利于學生用辯證的眼光認識物質世界。再比如“數形結合”是初中數學中的一種重要的思想方法，我們在探討數量關系時常常借助于圖形直觀地去研究；而在研究圖形時，又常借助于圖形間隱含的數量關系去求解：
（1）實數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，
化簡|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|= = 。（2）如圖，用8塊大小相同的長方形地磚拼成一矩形地面，那么這塊矩形地面的面積S＝ 。以上兩題，一個是利用數軸的直觀性，結合實數絕對值的幾何意義，一個是注意觀察圖形中隱含的數量關系，將對應的數與形結合起來，體現數形結合在解題中的直觀與簡明，比較容易得出結論。
三，在復習時，注重數學思想的延伸。
數學思想方法貫穿在整個中學數學教材的知識點中，以隱形的方式蘊含于數學知識的體系中，作為教師，我們首先弄清楚教材中所反映的數學思想方法以及它與數學相關知識之間的聯系，并適時作出歸納和概括。在課堂教學中及時地概括和總結，并適時地強化，讓學生在腦海中留下深刻的印象，這樣有意識、有目的地結合數學基礎知識，挖掘、概括數學思想方法，才能讓學生在潛移默化中體會數學思想，而不是生搬硬套，華而不實地死記硬背。
總之， 數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。數學思想是學生必須具備的基本素質之一。我們在教學時，應充分挖掘由數學基礎知識所反映出來的數學思想和方法，設計數學思想方法的教學目標，結合教學內容適時滲透、反復強化、及時總結，用數學思想方法武裝學生，使學生真正成為數學的主人。通過教師積極的挖掘與引導，適當的訓練與概括，合理的設計與運用，一定能夠使學生較好的掌握數學思想方法，提高解題能力。
參考文獻：
【關鍵詞】變式練習 突破重難點 辨別混淆 把握數學實質 數形結合
【課題項目】甘肅省教育科學‘十二五’規劃2014年度“創設初中數學實驗課的探究”成果，課題申報號：LZ-930，課題負責人：陳麗英。
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10-0122-02
在初中數學課堂教學中，根據教材內容及學生學習情況合理設置一些變式練習，對提高課堂教學效果及培養學生探究問題的能力和數學素養有很大幫助，本文將從以下幾個方面闡述。
一、變式練習符合學生認知規律，有助于突破教學內容的重難點
在課堂教學中，設計由淺入深，由特殊到一般的變式練習，一方面能將本節課的重難點分成幾個步驟，由簡到難展現出來，另一方面學生也更容易理解和掌握課堂所學知識，符合學生的認知規律。如：在學習提公因式法分解因式第2課時中，公因式為多項式時，如何找公因式是這節課的重點和難點。為了突破本節課重、難點，我在課堂教學中設計如下例題和變式訓練：
例1.分解因式：2am-3m
變式（1）：2a（b+c）-3（b+c）
變式（2）：2a（b+c）2-3（b+c）3
變式（3）：2a（c-b）2-3（b-c）3
變式（4）：2a（c-b）2n-3（b-c）2n+1 （n為正整數）
設計意圖：例1中，學生很容易找到公因式為m。變式（1）中，將例題中的m變為多項式：b+c，有了例題的鋪墊，這一問學生通過類比較容易得到多項式為b+c；變式（2）中，將（1）中b+c，分別變為（b+c）2和（b+c）3，引導學生取較低次冪（b+c）2作為公因式；變式（3）中，將（2）中的（b+c）2變為（c-d）2，（b+c）3變為（b-c）3，這時底數雖不同，但是互為相反數，引導學生先將（c-b）2變為（b-c）2再找出公因式（b-c）2；變式（4）中將（3）中（c-b）2變為（c-b）2n，（b-c）3變為（b-c）2n+1，這樣指數更為一般化，由于兩個底數互為相反數，而且一個指數2n表示偶數，另一個指數2n+1表示奇數，有了（3）的思考，學生很快想到將（c-b）2n變為（b-c）2n， 從而找到公因式（b-c）2n。通過這種變式練習，這節課的重難點很容易被學生接受和理解。
二、變式練習有助于學生辨別教學中容易混淆的知識點，從而更好的把握數學知識的實質
在教學中，有一些定理和概念容易混淆，通過設置變式練習可以幫助學生加以區別。如：在學習分式方程時，學生對分式方程的增根和無解這兩個概念容易混淆，為此，我設置了如下例題和變式訓練：
例2.解方程： ■-■=■
變式（1）：關于x的分式方程■-■=■ （k為常數）有增根，則k的值是多少？
變式（2）：關于x的分式方程■-■=■（k為常數）無解，則k的值是多少？
設計意圖：例題2考查學生對可化為一元一次分式方程的解法及對其根的合理性的檢驗。由于這個分式方程產生增根使得該分式方程無解，大部分學生誤認為分式方程有增根等同于分式方程無解。因此教學中很有必要設置變式訓練，引導學生區別這兩個概念。變式（1）中含有字母k，首先將分式方程轉化為整式方程：（k-1）x=-10 ，由題目知道分式方程有增根，則增根可能是x=2或x=-2，將增根x=2或x=-2代入整式方程（k-1）x=-10 ，解得，k=-4或k=6。通過變式（1）的練習讓學生進一步理解，增根是分式方程轉化成的整式方程的解，但是它使得原分式方程的分母為零，因此不是原分式方程的解。變式（2）將變式（1）中的增根改為無解，此時要考慮兩種情況（1）：如果分式方程轉化成的整式方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解；（2）分式方程轉化后的整式方程（k-1）x=-10本身無解的情況，即當a-1=0，即a=1時此整式方程無解，所以原方程無解。通過變式（2）的練習讓學生進一步理解，分式方程無解包含兩層含義，（一）原分式方程轉化后的整式方程無解；（二）原分式方程轉化的整式方程有解，但這個解卻使得原分式方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解。通過這種變式練習，加強了學生對數學概念的理解和辨別，從而更好的把握數學本質。
三、變式練習有助于開闊學生思維，并提高學生解決數學問題的能力
在數學課堂教學中，將考查同一個知識點的不同類型題目由簡到難設置變式練習，引導學生開闊思維，并提高解決數學問題的能力。如：在學習反比例函數圖像及其性質時，設計如下例題和變式訓練：
例3.如圖1所示，點p為反比例函數y=■圖像上一點，PMx軸，PNy軸，垂足分別為M、N，（1）求長方形PMON的面積，（2）求PMO的面積。
圖1 圖2 圖3
變式（1）：如圖1所示，點P為反比例函數y=■圖像上一點，PMx軸，PNy軸，垂足分別為M、N，若長方形PMON面積為2，則k為多少？
變式（2）：如圖2所示，P為反比例函數y=■圖像上一點，求PMx軸，垂足為M，則PMQ1和PMQ2面積分別是多少？
變式（3）：如圖3所示，A、C兩點均在反比例函數y=■的圖像上，且A、C兩點關于O點中心對稱，ABx軸，CDy軸，垂足分別為B，D，則四邊形ABCD面積為多少？
設計意圖：
例3是對反比例函數比例系數k的幾何意義的直接應用。變式（1）則將例題中的題設和結論反過來，這樣能激發學生逆向思考問題的能力；變式（2）中，將例題中PMO的一個頂點O移到Q1或Q2位置，此時PMQ1和PMQ2都與PMO等底等高，因此面積也相等，這樣的設計可以幫助學生加深對知識的理解，從而提高學生解決數學問題的能力。變式（3）中，將平行四邊形知識與反比例函數性質巧妙的結合起來，學生通過分析得到：S四邊形ABCD=2SABD=4SABO=4×1=4。通過這樣的設置，不但開闊了學生的思維能力，同時也提高了學生綜合分析問題的能力。
四、通過變式練習滲透數形結合思想，實現數量關系與圖形性質的相互轉化
函數與方程及其不等式都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型，通過變式練習，滲透這三者之間的聯系，幫助學生從整體上認識不等式，感受函數方程不等式的作用，從而使所學知識融匯貫通。 在學習一次函數與一元一次不等式時，設計如下例題和變式練習：
例4.如圖4，一次函數y1=kx+b（k≠0）與反比例函數y2=■（n≠0）交于點A（1，m），B（-3，n），問：x取何值時，y1y2？x取何值時，y1
變式（1）：解方程：kx+b-■=0（請直接寫出答案）
變式（2）：解不等式：kx+b-■≥0 （請直接寫出答案）
變式（3）：求一元二次方程kx2+bx-n=0的解
（根據函數圖像簡單說明理由）
設計意圖：