十八大總結精選(九篇)

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第1篇：十八大總結范文

數列

第十八講

數列的綜合應用

一、選擇題

1．(2018浙江)已知，，，成等比數列，且．若，則

A．，

B．，

C．，

D．，

2．(2015湖北)設，．若p：成等比數列；q：，則

A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C．p是q的充分必要條件

D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

3．（2014新課標2）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則的前項和=

A．

B．

C．

D．

4．（2014浙江）設函數，，

，記

，則

A．

B．

C．

D．

二、填空題

5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數列．記為數列的前項和，則使得成立的的最小值為

．

6．（2015浙江）已知是等差數列，公差不為零．若，，成等比數列，且，則

，

．

7．（2013重慶）已知是等差數列，，公差，為其前項和，若成等比數列，則．

8．（2011江蘇）設，其中成公比為的等比數列，成公差為1的等差數列，則的最小值是________．

三、解答題

9．（2018江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為的等比數列．

(1)設，若對均成立，求的取值范圍；

(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．

10*．（2017浙江）已知數列滿足：，．

證明：當時

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

*根據親所在地區選用，新課標地區（文科）不考．

11．（2017江蘇）對于給定的正整數，若數列滿足

對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”．

（1）證明：等差數列是“數列”；

（2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列．

12．（2016年四川）已知數列的首項為1，為數列的前項和，，其中，

(Ⅰ)若成等差數列，求數列的通項公式；

(Ⅱ)設雙曲線的離心率為，且，求．

13．（2016年浙江）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.

（I）求通項公式；

（II）求數列{}的前項和.

14．(2015重慶)已知等差數列滿足，前3項和．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設等比數列滿足，，求前項和．

15．（2015天津）已知是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且，，．

（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）設，，求數列的前項和．

16．(2015四川)設數列（=1,2,3…）的前項和滿足，且，+1，成等差數列．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列的前項和為，求．

17．（2015湖北）設等差數列的公差為，前項和為，等比數列的公比為，已知，，，．

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）當時，記=，求數列的前項和．

18．(2014山東）已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）令=求數列的前項和．

19．（2014浙江）已知數列和滿足．若為等比數列，且

（Ⅰ）求與；

（Ⅱ）設．記數列的前項和為．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求正整數，使得對任意，均有．

20．（2014湖南）已知數列{}滿足

（Ⅰ）若{}是遞增數列，且成等差數列，求的值；

（Ⅱ）若，且{}是遞增數列，{}是遞減數列，求數列{}的通項公式．

21．（2014四川）設等差數列的公差為，點在函數的圖象上（）．

（Ⅰ）若，點在函數的圖象上，求數列的前項和；

（Ⅱ）若，函數的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數列

的前項和．

22．(2014江蘇)設數列的前項和為．若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是“H數列”．

（Ⅰ）若數列的前n項和(N)，證明:

是“H數列”；

（Ⅱ）設

是等差數列，其首項，公差．若

是“H數列”，求的值；

（Ⅲ）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“H數列”和，使得(N)成立．

23．（2013安徽）設數列滿足，，且對任意，函數

，滿足

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若，求數列的前項和．

24．（2013廣東）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足

且構成等比數列．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）證明：對一切正整數，有．

25．（2013湖北）已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，

且.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；

若不存在，說明理由．

26．（2013江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是其前項和.

記，，其中為實數.

（Ⅰ）

若，且，，成等比數列，證明：；

（Ⅱ）

若是等差數列，證明：．

27．

(2012山東)已知等差數列的前5項和為105，且．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）對任意，將數列中不大于的項的個數記為.求數列的前m項和．

28．（2012湖南）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產．該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50％．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第年年底企業上繳資金后的剩余資金為萬元．

（Ⅰ）用表示，并寫出與的關系式；

（Ⅱ）若公司希望經過（≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金的值（用表示）．

29．（2012浙江）已知數列的前項和為，且=，，數列滿足，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求數列的前項和．

30．（2012山東）在等差數列中，，

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）對任意的，將數列中落入區間內的項的個數為，求數列的前項和．

31．（2012江蘇）已知各項均為正數的兩個數列和滿足：．

（Ⅰ）設，求證：數列是等差數列；

（Ⅱ）設，且是等比數列，求和的值．

32．（2011天津）已知數列滿足，

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設，證明是等比數列；

（Ⅲ）設為的前項和，證明

33．（2011天津）已知數列與滿足：，

，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設，證明：是等比數列；

（Ⅲ）設證明：．

34．（2010新課標）設數列滿足

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）令，求數列的前項和．

35．（2010湖南）給出下面的數表序列：

其中表（=1,2,3

）有行，第1行的個數是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．

（Ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表（≥3）（不要求證明）；

（Ⅱ）每個數列中最后一行都只有一個數，它們構成數列1，4，12，，記此數列為，求和：

．

專題六

數列

第十八講

數列的綜合應用

答案部分

1．B【解析】解法一

因為()，所以

，所以，又，所以等比數列的公比．

若，則，

而，所以，

與矛盾，

所以，所以，，

所以，，故選B．

解法二

因為，，

所以，則，

又，所以等比數列的公比．

若，則，

而，所以

與矛盾，

所以，所以，，

所以，，故選B．

2．A【解析】對命題p：成等比數列，則公比且；

對命題，

①當時，成立；

②當時，根據柯西不等式，

等式成立，

則，所以成等比數列，

所以是的充分條件，但不是的必要條件．

3．A【解析】，，成等比數列，，即，解得，所以．

4．B【解析】在上單調遞增，可得，

，…，，

=

在上單調遞增，在單調遞減

，…，，，

，…，

==

=

在，上單調遞增，在，上單調遞減，可得

因此．

5．27【解析】所有的正奇數和()按照從小到大的順序排列構成，在數列

中，前面有16個正奇數，即，．當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；……；當時，=

441

+62=

503

+62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．

6．【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以．

7．64【解析】由且成等比數列，得，解得，故．

8．【解析】設，則，由于，所以，故的最小值是．

因此，所以．

9．【解析】(1)由條件知：,．

因為對=1，2，3，4均成立，

即對=1，2，3，4均成立，

即11，13，35，79，得．

因此，的取值范圍為．

(2)由條件知：,．

若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，

即(=2，3，···，+1)，

即當時，滿足．

因為，則，

從而，，對均成立．

因此，取=0時，對均成立．

下面討論數列的最大值和數列的最小值（）．

①當時，，

當時，有，從而．

因此，當時，數列單調遞增，

故數列的最大值為．

②設，當時，，

所以單調遞減，從而．

當時，，

因此，當時，數列單調遞減，

故數列的最小值為．

因此，的取值范圍為．

10．【解析】（Ⅰ）用數學歸納法證明：

當時，

假設時，，

那么時，若，則，矛盾，故．

因此

所以

因此

（Ⅱ）由得

記函數

函數在上單調遞增，所以=0，

因此

故

（Ⅲ）因為

所以得

由得

所以

故

綜上，

．

11．【解析】證明:（1）因為是等差數列，設其公差為，則，

從而，當時，

，

所以，

因此等差數列是“數列”.

（2）數列既是“數列”，又是“數列”，因此，

當時，，①

當時，.②

由①知，，③

，④

將③④代入②，得，其中，

所以是等差數列，設其公差為.

在①中，取，則，所以，

在①中，取，則，所以，

所以數列是等差數列.

12．【解析】（Ⅰ）由已知，

兩式相減得到.

又由得到，故對所有都成立.

所以，數列是首項為1，公比為q的等比數列.

從而.

由成等差數列，可得，所以，故.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以雙曲線的離心率.

由解得.所以，

13．【解析】（1）由題意得：，則，

又當時，由，

得，

所以，數列的通項公式為.

（2）設，，.

當時，由于，故.

設數列的前項和為，則.

當時，，

所以，.

14．【解析】（Ⅰ）設的公差為，則由已知條件得

化簡得

解得，．

故通項公式，即．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

設的公比為，則，從而．

故的前項和

．

15．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為q，數列的公差為d，由題意，由已知，有

消去d，整數得，又因為＞0，解得，所以的通項公式為，數列的通項公式為.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有

,設的前n項和為，則

，

，

兩式相減得，

所以．

16．【解析】(Ⅰ)

由已知，有

=(n≥2)，即(n≥2)，

從而，．

又因為，+1，成等差數列，即＋＝2(＋1)，

所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．

所以，數列是首項為2，公比為2的等比數列，故．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，

所以＝．

17．【解析】（Ⅰ）由題意有，

即，

解得

或

故或

（Ⅱ）由，知，，故，于是

，

①

．

②

①－②可得

，

故．

18．【解析】（Ⅰ）

解得

（Ⅱ），

當為偶數時

．

19．【解析】（Ⅰ）由題意，，，

知，又由，得公比（舍去），

所以數列的通項公式為，

所以，

故數列的通項公式為，；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，

所以；

（ii）因為；

當時，，

而，

得，

所以當時，，

綜上對任意恒有，故．

20．【解析】（I）因為是遞增數列，所以。而，

因此又成等差數列，所以，因而，

解得

當時，，這與是遞增數列矛盾。故.

（Ⅱ）由于是遞增數列，因而，于是

①

但，所以

.

②

又①，②知，，因此

③

因為是遞減數列，同理可得，故

④

由③，④即知，。

于是

.

故數列的通項公式為．

21．【解析】（Ⅰ）點在函數的圖象上，所以，又等差數列的公差為，所以

因為點在函數的圖象上，所以，所以

又，所以

（Ⅱ）由，函數的圖象在點處的切線方程為

所以切線在軸上的截距為，從而，故

從而，，

所以

故．

22．【解析】（Ⅰ）當時，

當時，

時，，當時，，是“H數列”．

（Ⅱ）

對，使，即

取得，

，，又，，．

（Ⅲ）設的公差為d

令，對，

，對，

則，且為等差數列

的前n項和，令，則

當時；

當時；

當時，由于n與奇偶性不同，即非負偶數，

因此對，都可找到，使成立，即為“H數列”．

的前n項和，令，則

對，是非負偶數，

即對，都可找到，使得成立，即為“H數列”

因此命題得證．

23．【解析】（Ⅰ）由，

所以，

是等差數列.

而，，，，

（Ⅱ）

24．【解析】（Ⅰ）當時，，

（Ⅱ）當時，，

,

當時，是公差的等差數列.

構成等比數列，，，

解得．

由（Ⅰ）可知，

是首項,公差的等差數列.

數列的通項公式為.

（Ⅲ）

25．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為，則，.

由題意得

即

解得

故數列的通項公式為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有

.

若存在，使得，則，即

當為偶數時，，

上式不成立；

當為奇數時，，即，則.

綜上，存在符合條件的正整數，且所有這樣的n的集合為．

26．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題，

，，

是等差數列，首項為，公差為，，又成等比數列，

，，，，，，

，（）．

（Ⅱ）由題，，，若是等差數列，則可設，是常數，關于恒成立．整理得：

關于恒成立．，

．

27．【解析】（Ⅰ）由已知得：

解得,

所以通項公式為.

（Ⅱ）由，得，即.

，

是公比為49的等比數列，

．

28．【解析】（Ⅰ）由題意得，

，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

．

整理得

．

由題意，

解得．

故該企業每年上繳資金的值為繳時，經過年企業的剩余資金為4000元．

29．【解析】（Ⅰ）由=，得

當=1時，；

當2時，，.

由，得，.

（Ⅱ）由（1）知，

所以，

，

，．

30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則

，，

于是，即.

（Ⅱ）對任意m∈，，則，

即，而，由題意可知，

于是

，

即.

31．【解析】（Ⅰ）由題意知，

所以，從而

所以數列是以1為公差的等差數列．

（Ⅱ）．所以，

從而

(*)

設等比數列的公比為，由知下證．

若，則．故當，，與（*）矛盾；

若，則．故當，，與（*）矛盾；

綜上：故，所以．

又，所以是以公比為的等比數列，若，

則，于是，又由，得，

所以中至少有兩項相同，矛盾．所以，從而，

所以．

32．【解析】（Ⅰ）由，可得

又，

當

當

（Ⅱ）證明：對任意

①

②

②-①，得

所以是等比數列。

（Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當時，

故對任意

由①得

因此，

于是，

故

33．【解析】（Ⅰ）由可得

又

當時，，由，，可得；

當時，，可得；

當時，，可得；

（Ⅱ）證明：對任意

①

②

③

②—③，得

④

將④代入①，可得

即

又

因此是等比數列.

（Ⅲ）證明：由（II）可得，

于是，對任意，有

將以上各式相加，得

即，

此式當k=1時也成立.由④式得

從而

所以，對任意，

對于=1，不等式顯然成立.

所以，對任意

34．【解析】（Ⅰ）由已知，當n≥1時，

．而

所以數列{}的通項公式為．

（Ⅱ）由知

①

從而

②

①-②得

．

即

．

35．【解析】（Ⅰ）表4為

1

3

5

7

4

8

12

12

20

32

它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別為4,8,16,32.

它們構成首項為4，公比為2的等比數列．將結這一論推廣到表（≥3），即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列.

將這一結論推廣到表，即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．

簡證如下（對考生不作要求）

首先，表的第1行1，3，5，…，是等差數列，其平均數為；其次，若表的第行，，…，是等差數列，則它的第行，，…，也是等差數列．由等差數列的性質知，表的第行中的數的平均數與行中的數的平均數分別是

，．

由此可知，表各行中的數都成等差數列，且各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．

（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均數是

由（Ⅰ）知，它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列（從而它的第行中的數的平均數是），于是表中最后一行的唯一一個數為.因此

．(=1,2,3,

…,